Kulstötning

Kulstötning
Israt Jahan
Martin Celander
Andreas Svensson
Jonathan Koitsalu
Abstract
I detta projekt undersöktes en kulstötning med starthöjden 2 meter och en längd på 22,15
meter med hjälp av matematiska modeller. När hastigheten deriverades med avseende på
vinkeln fick man den optimala vinkeln med minsta möjliga utgående hastighet. Den optimala
vinkeln blev 42,42° och utgående hastigheten blev 14,10 [m/s].
Inledning
Det döljer sig fysikaliska lagar i vårt vardagsliv. En kulstötning kan beskrivas med hjälp av
dessa lagar, speciellt en elitidrottare har mycket glädje av dessa fysikaliska eller mekaniska
faktorer. Det finns en gren i idrotten där det stötas kula. Den som stöter sin kula längst vinner.
Vid denna sport krävs det inte bara råstyrka utan även bra teknik och koordination för en bra
prestation. Kulans färd i luften kan beskrivas med hastighet och acceleration. En fysiker kan
vara en potential rådgivare till en elitidrottare samt dra slutsatser om hur kulan kommer att
uppföra sig. Syftet med detta projekt har varit att observera kulans rörelse via fysikaliska
lagar.
Problem och Syfte
En elitidrottare eller en vanlig person stöter en kula med starthöjden 2 meter kulan färdas så
att avståndet mellan dem blir 22,15 meter, vad är då utgångshastighet och begynnelsevinkel
längs med horisontalplanet?
Detta problem kan lösas matematiskt och experimentellt. Om båda resultaten instämmer med
varandra bevisar det att matematiska lösningar är ett potentiellt underlag för att förutse vad
som kan hända vid en riktig stötning. Vi kan lägga till att detta är till nytta för kulstötare och
även för fysiker som får sina fysikaliska lagar bekräftade.
Metod och utförande
Startvärden givna av problemet:
x 0=0
y 0=2 m
v 0x =v 0 cos 
v 0y =v 0 sin 
Newtons II lag ger:

F
 =m 
 =m 
F
a⇒
a= , F
a ⇒
a = g
m
Eftersom gravitations kraften är parallell med y-axeln blir den.
a = g =g −ey 

Sedan integreras accelerationen y-led. Vilket då ger hastigheten i y-led.
∫ a y dt =∫−g dt =−g t c 1=−g tv 0y=−g t v 0 sin =v y Integrations konstanten c1 blir
här v0y på grund av startvärdena.
Hastigheten integreras för att få sträckan i längs y-axeln.
∫ v y dt =
−g t 2
−g t 2
t v 0 sin c 2=
t v 0 sin  y 0= y (1)
2
2
Sedan integreras accelerationen och hastigheten i x-led.
∫ a x dt =c 3=v 0x =v 0 cos =v x
∫ v x dt =v x t c 4=v x t=t v 0 cos =x (2)
Tiden bryts ut ur (2) och ger:
t=
x
v 0 cos 
(3)
(3) sätts in i (1):
2
y=
2
2
−g
x
x
−g x
x sin 
−g
x


v sin  y 0= 2

 y 0=

 x tan  y 0
2 v 0 cos 
v 0 cos  0
2 v 0 cos 
2 v 0 cos 2  cos 
starthastigheten v0 bryts ut.
2
2
−g x
−g x
1
2
y−x tan − y 0= 2 2 ⇒v 0 =
⇒ v 0= g x
2
2
2 v 0 cos 
2 cos  y − y 0−x tan 
 2cos − y y 0x tan 
1
⇒ v 0 = g x
2
 2  y0 − y cos 2xsin  cos 
v 0 = g x
1
 2  y0 − y cos 2 xsin2 
(4)
Hastigheten deriveras med avseende på vinkeln α .
d v0 d
1
d
1
=
 g x
= g x
2
d d
d   2  y 0− y cos 2 xsin2 
 2  y 0− y cos  xsin2 
d v 0 − g x
⇒
=
2  y 0− y cos 2 xsin2 −3/2 −4  y 0− y cos sin 2xcos2 
d
2
d v0
− y 0− y sin 2 xcos2
⇒
=− g x
d
2  y 0− y cos 2 xsin2 3 / 2
Derivatan sätts till noll för att räkna ut den vinkel som ger lägst hastighet.
d v0
− y 0− y sin 2 xcos2 
=0 ⇒0 =− g x
⇒− y 0− y sin 2 xcos 2 =0
d
2  y 0− y  cos2  xsin2 3/ 2
x
1
x
⇒− y 0− y tan 2 x=0 ⇒ tan 2 =
⇒= arctan 

y 0− y
2
y 0− y
De numeriska värdena sätts in i uttrycket.
1
22.15m
1
22.15
x=22.15m , y=0 m , y 0=2 m⇒ = arctan 
= arctan 
≈42,42 °
2
2m
2
2
v 0 = g x
1
 2  y0 − y cos
2
42,42 ° xsin2∗42,42 ° 
=14,10 m / s
Resultat
Optimal vinkel är 42,42° och utgångshastigheten är 14,10 [m/s].
Diskussion
För räkna ut utgångshastighet samt optimala kastvinkel, togs det fram en ekvation.
Ekvationen var derivatan av hastigheten med avseende på kastvinkeln. Vi sökte ekvationens
nollställe vilket gav oss den optimala kastvinkeln. För att beräkna utgångshastigheten sattes
kastvinkeln in i ekvationen.
Vid denna beräkning hade vi försummat luftmotståndet samt löst problemet endast i två
dimensioner. Eftersom starthöjden är 2 meter är inte resultatet vi fick det bästa för alla
kulstötare utan enbart för dem som kastar från 2 meter i starthöjd.
Sammanfattning och avslutande anmärkningar
I detta projekt undersöktes en kulstötning med starthöjden 2 meter och en längd på 22,15
meter med hjälp av matematiska modeller. Vid beräkningen försummas luftmotståndet för
dess påverkan är avsevärd liten vid resultatet. När hastigheten deriverades med avseende på
vinkeln fick man den optimala vinkeln med minsta möjliga utgående hastighet. Den optimala
vinkeln blev 42,40° och utgående hastigheten 14,10 [m/s].