Geometri

Geometri
Grundläggande geometriska begrepp
Rät linje
En linje som utan begränsning går genom två givna punkter.
Stråle
Linje begränsad åt ett håll.
Sträcka
Linje begränsad åt två håll.
Normal
Linje vinkelrät mot en annan linje.
Mittpunktsnormal
Linje vinkelrät gm mittpunkten på en sträcka.
Transversal
En linje som skär två eller flera linjer.
Vertikalvinklar
T ex y och x; lika stora y=x
Likbelägna vinklar
T ex y och v; lika stora om L1//L2
Alternatvinklar
T ex x och v; lika stora om L1//L2
Sidovinklar
T ex v och z; tillsammans 180o
transversal
Månghörningar
En triangel är den enklaste formen av månghörning. Vinkelsumman i en triangel är 180o.
En höjd är en vinkelrät sträcka från en sida till motstående hörn.
En median är en sträcka som dras från ett hörn till mittpunkten på motstående sida.
En yttervinkel är en sidovinkel till en av triangelns vinklar.
I figuren är y yttervinkel till x.
Yttervinkelsatsen - yttervinkeln är summan av triangelns övriga två inre
vinklar.
I triangeln här innebär det att y = u + v.
Detta kommer av att y + x = 180o samt att u+v+x = 180o. Alltså måste gälla att y = u+v.
En likbent triangel har två lika långa sidor. Vinklarna
”längst ned på benen” är lika stora.
I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, liksom alla vinklar.
Pythagoras sats - i en rätvinklig triangel gäller att summan av
kateterna, vardera i kvadrat, är lika stor som hypotenusan i
kvadrat.
För alla månghörningar gäller att vinkelsumman = (antal hörn - 2)⋅180o. Tänk efter hur
många trianglar man kan dela upp nedanstående månghörningar i, genom att dra diagonaler
från ett och samma hörn till andra hörn.
Geometriska satser
Likformighet
För likformiga figurer gäller att
- förhållandet mellan motsvarande sidor i figurerna
är konstant
- motsvarande vinklar är lika stora
Om två figurer är likformiga kan vi räkna ut en okänd sida
i den ena figuren om motsvarande sida i den andra figuren är känd. Vi behöver även känna till
längden av två andra sidor som motsvarar varandra.
I trianglarna ovan söker vi längden av x. Motsvarande sida i blå figur är 24, två kända sidor
som motsvarar varandra är 10 resp 20.
Vi sätter upp ekvationen
Att förhållandet mellan motsvarande sidor
är konstant betyder att kvoten mellan dem
(division) är samma.
Kongruenta figurer är både likformiga och har samma storlek
- de är i samma skala. De kan dock vara spegelvända, roterade eller
förskjutna i förhållande till varandra
Triangelsatser
Topptriangelsatsen
I triangeln är DE en transversal som är parallell med CB, DE kallas
för en parallelltransversal.
Om vi skulle kopiera den lilla topptriangeln ADE, så finner vi att den
är likformig med ACB. Båda trianglarna har ju ∆A gemensam, dessutom är
∆ D lika stor som ∆C, eftersom de är likbelägna. Detsamma gäller för ∆E och
∆B.
Detta kallas topptriangelsatsen och enligt beteckningarna i blå figuren gäller:
=
=
Transversalsatsen
Vi använder ovanstående blå triangels beteckningar även här. Transversalsatsen använder vi
när en parallelltransversal delar två sidor i en triangel och vi har kända värden eller uttryck för
dessa delade sidor.
Med blå figurens beteckningar lyder transversalsatsen:
Ex : Beräkna x i nedanstående triangel.
Lösn:
Cirkeln
korda
En korda är en sträcka mellan två punkter på en cirkel.
En korda delar cirkeln i två cirkelbågar.
Området mellan kordan och cirkeln är ett cirkelsegment.
I cirkeln finns också två vinklar markerade:
Cirkelsegment
-
∆ y kallas medelpunktsvinkel. Radierna från punkterna A och B till medelpunkten
begränsar tillsammans med bågen AB en cirkelsektor.
-
∆ x kallas randvinkel till bågen AB.
Randvinkelsatsen:
Medelpunktsvinkeln på en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln på samman
båge.
Cirkeln till höger har två randvinklar på samma båge som
medelpunktsvinkeln som är 50o. Randvinklarna A och B är då båda 25o.
Viktiga följdsatser:
-
Randvinklarna på samma båge är lika stora
Se A och B ovan - lika stora!
-
Randvinklar på en halvcirkel är 90o
Kordorna som utgår från randvinkeln v slutar i
ändpunkterna på cirkelns diameter.
-
För en fyrhörning som är inskriven i en cirkel
är summan av motstående vinklar 180o
∆ A + ∆ C = 180o
∆ B + ∆ D = 180o
För bevis - se läroboken!