Geometri
Matematik i tre
dimensioner
Geometriska figurer
kvadrat
parallellogram
liksidig
triangel
parallelltrapets
likbent
triangel
cirkel
pentagon =
femhörning
romb
rektangel
rätvinklig
triangel
ellips = oval
hexagon =
sexhörning
oktagon =
åttahörning
Geometriska kroppar
kub
rätblock
klot
kon
cylinder
prisma
pyramid
Dimension 1 - Längd och omkrets
Längd och omkrets är bara linjer. Omkretsens linje går runt föremålet.
Enheter: mm, cm, dm, m, km, mil
Kvadrat: O = b+b+b+b = 4b
b
Rektangel: O = h+h+b+b =
= 2h+2b
h
b
Triangel: O = h+b+c
h
c
b
Cirkel: O = d·π
d
Dimension 2 - Area
Area kan beskrivas med hur många kvadrater av en viss storlek som får
plats på ytan. Enheten kvadrat (²) visar på att man jobbar med 2
dimensioner: längd och bredd.
Enheter: mm², cm², dm², m², km², mil²
Kvadrat: A = b·b=b²
b
Rektangel: A = h·b
h
b
h
Triangel: A = b·h
2
b
h
b
Cirkel: A = π·r² = π ·r·r
r
Dimension 3 - Volym
Volym kan beskrivas med hur många kuber av en viss storlek som får
plats i figuren (som kallas kropp). Enheten kubik ( ³) visar på att man
jobbar med 3 dimensioner: längd, bredd och höjd.
Enheter: mm³, cm³, dm³, m³, km³, mil³
a
Kub: V = a · a · a = a³
Rätblock: V = b · h · d
Pyramid, kon: V = B·h
3
h
d
b
h
h
B
B=bottens area
B
B
Prisma, cylinder: V = B · h
h
B
Klot: V = 4/3 · r³ · π
r
h
Det magiska talet π
Talet pi är det tal som alltid blir resultatet då omkretsen på en cirkel
divideras med samma cirkels diameter, hur stor eller liten cirkel vi än tittar
på.
Om man gör denna division mycket noggrant kan man upptäcka att pi kan
uttryckas med betydligt fler decimaler än bara två (3,14).
Idag vet man att talet pi kan uttryckas med hur många decimaler som helst
d.v.s. med oändligt många. Med hjälp av datorer har man hittills funnit ca
200 miljarder decimaler.
Talet kallas även Arkimedes konstant efter Arkimedes, som 250 f.Kr. fann
att dess värde låg mellan 223/71 och 22/7, och Ludolphs tal efter Ludolph
van Ceulen som kring år 1600 räknade ut 35 decimaler. In på 1900-talet var
det inte ovanligt att använda 22/7 (ungefär 3.143) i beräkningar, som
Arkimedes hade kommit på.
Beteckningen π, som härstammar från det grekiska ordet περιφέρεια
(periferi), valdes 1706 för att beteckna talet och standardiserades samma
århundrade
Det går åt exakt pi diametrar för
att nå runt cirkeln!
d
Arean på cirkeln = 4 · r² - de
randiga hörnen.
r
r
Det behövs pi≈3.14 randiga hörn
för att fylla upp den sista
fjärdedelen.
Arean på cirkeln är alltså r² · π
Vinklar
Vinkel är mellanrummet mellan två
linjer som skär varandra eller
lutningen mellan två strålar, som
utgår från en och samma punkt.
Denna punkt kallar man vinkelspets,
de båda räta linjerna vinkelben.
Vinkeln här heter α.
α
vinkelben
vinkelspets
0°/360°
Vinklar mäts i grader (°). Ett helt
varv är 360°. Summan av vinklarna i
en cirkel är alltså 360 °.
90°
270°
180°
Vinkelsumman längs en rät linje
är 180°. Vinklar som ligger
bredvid varandra så här längs en
rät linje kallas sidovinklar. De
här vinklarna heter ACD och
BCD.
α
α=β
β
bisektris
En linje som delar en vinkel på
mitten kallas bisektris. (bi = 2
och sektris = del)
Mera vinklar
En rät vinkel är alltid 90°. Oftast ritar
man den som ett hörn.
En spetsig vinkel är mindre än 90°.
spetsig vinkel
En trubbig vinkel är mindre än 90°.
trubbig vinkel
Om två räta linjer skär varandra uppkommer
fyra vinklar.
Vinklar, som ligger bredvid varandra kallas
sidovinklar. De har ett ben gemensamt och är
tillsammans 180º
Vinklar som står mitt emot varandra kallas
vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora.
VINKELSUMMA
180°
2*180°
= 360°
3*180°
= 540°
4*180°
= 720°
Och så vidare i all oändlighet…. (antal hörn – 2) * 180°
Passare och gradskiva
Passare används för att rita cirklar. Man
mäter upp cirkelns radie mellan
pennudden och nålen. Det är viktigt att
passaren inte glappar. Om man inte har
en passare kan man binda ett snöre i
en penna och en nål och rita upp sin
cirkel.
Gradskivan använder man för att läsa av hur stor en vinkel är. Den är
graderad från 0° till 180° två gånger. Det är för att man ska kunna mäta
alla vinklar. Om vinkeln är större än 180° måste man rita en hjälplinje först
och lägga ihop vinklarna. När du ska mäta vinkeln måste du vara noga
med vilken skala du läser av.
Vinkelns spets ska vara mitt i korset. Ett av vinkelbenen ska ligga över
nollan på skalan. Vid det andra vinkelbenet läser vi av gradtalet. Vinkeln
här nedanför är 60°. Ibland är vinkelbenen för korta för att kunna läsas av.
Då får du förlänga dem.
Kvadratrot
Om man vet arean på en kvadrat kan man lätt räkna ut sidans längd med hjälp av
kvadratroten. Oftast kallas detta för ”roten ur” och tecknet kallas rottecken. √
Ibland träffar man på jämna kvadrater. T.ex √25 = 5 eftersom 5·5=25
Jämna kvadrater
Om inte kvadraten är jämn är det enklast att
använda miniräknaren. Du slår då först in talet du vill
dra roten ur och trycker sedan på rot-knappen.
Ibland vid ekvationer använder vi också roten ur.
x² = 17 betyder ju att vi multiplicerar samma tal med
sig själv för att få svaret 17. x = √17 = 4,12
(fast egentligen finns det 2 svar till x² = 17. x är både
4,12 och -4,12)
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
100
10
Pythagoras sats
Redan för 4000 år sedan i Babylonien visste
man att rätvinkliga trianglar var speciella. Om
man visste längden på två av sidorna kunde
man räkna ut den tredje!
hypotenusa
katet
För ca 1500 år sedan beskrev den grekiske
filosofen och matematikern Pythagoras
sambandet och man kallade det därför
Pythagoras sats.
katet
För alla rätvinkliga trianglar gäller att: Summan av
kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på
hypotenusan.
Vi testar detta på den mest kända rätvinkliga triangeln. Kateterna (kortsidorna) är
3 och 4 cm långa och hypotenusan (långsidan) är 5 cm.
5 cm
3 cm
4 cm
3² + 4² = 5² !
Summan av kvadraterna på kateterna är lika med
kvadraten på hypotenusan.
Det här betyder att om man ritar kvadrater på sidorna i en rätvinklig triangel så är
arean av de små kvadraterna lika stor som arean i den stora.
Summan av kvadraterna på katerna blir: 3*3 + 4*4 = 9 + 16 = 25
Kvadraten på hypotenusan blir: 5*5 = 25
c
a
b
På matematikspråk skriver man Pythagoras sats såhär: a² + b² = c²
Vill man veta hypotenusans längd adderar man kvadraterna på katerna och sedan
drar man roten ur summan.
Vill man veta en katets längd tar man hypotenusans kvadrat minus den andra
katetens kvadrat och drar roten ur differensen.
Skala
Förminskning
Skala 1:2
(1 cm på bilden är 2 cm i
verkligheten)
Naturlig storlek
Skala 1:1
Om det står 1:1000 betyder det
att 1 cm på bilden motsvarar
1000 cm = 10 m i verkligheten.
Förminskningar används bl.a.
på kartor och ritningar för att se
en förenklad bild av
verkligheten.
Om det står 1000:1 betyder det
att 1 cm på bilden är 0,001 cm
= 0,01 mm i verkligheten.
Förstoringar används för att se
detaljer.
Förstoring
Skala 2:1
(2 cm på bilden är 1 cm i
verkligheten)
Skala = bild : verklighet
