Om gr
ansv
ardet limx→∞ 1 +
1 x
x
September 23, 2016
Vi skall skissera ett bevis p
a att gr
ansv
ardet existerar genom era delsteg.
1. Varje v
axande och upp
at begransad reelvard funktion har ett gransvarde. Detta m
aste vi i
denna kurs acceptera. Det ar ett grundl
aggande egenskap hos de reella talen som t ex delmangden av
rationella tal inte har.
n
2. Sats: Talf
oljden 1 + n1 , n ≥ 1 ar vaxande och upp
at begr
ansad.
(a) F
orst bevisar vi att den ar v
axande. Via binomialsatsen, efter att ha r
aknat klar alla binomialtal,
kan vi skriva
n
1
1
n(n − 1) 1
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
1
1+
=1+n +
+ ··· +
+ ··· + n
n
n
2!
n2
k!
nk
n
(1− 1 )···(1− k−1 )
1
n
n
=
Den allmanna termen kan skrivas om som: ck,n = n(n−1)···(n−k+1)
. Vi har allts
a
k!
k!
nk
dividerat varje parentes i t
aljaren med n (det nns exakt s
a m
anga n i n
amnaren som det beh
ovs, och
f
orkortat varje parentes till sin enklaste form. Alla parenteser i ck,n blir storre n
ar n v
axer. Dessutom
har vi er termer ju mer n v
axer (antalet termer i binomialutvecklingen ar n + 1). Resultaten blir att
n
n
ar n v
axer s
a blir 1 + n1
st
orre: Vi har er termer och varje term ar st
orre an sin motsvarighet
f
or mindre n−v
arden.
(b) Nu visar vi att f
oljden ar begr
ansad. Detta gor vi genom att ers
atta varje term i binomialsumman
ovan med n
agot lite st
orre. Binomialsumman blir d
a mindre an den nya summan. I varje term ck,n
d
a k ≥ 2 (de tv
a f
orsta termerna hanterar vi separat, f
or hand), kan vi notera att i alla parenteser
g
aller att (1 − nj )<1 eftersom 1 ≤ j ≤ k − 1 < n. Dessutom,
1
1
1
1
=
<
= k−1
k!
1 · 2 · ··· · k
1 · 2 · ··· · 2
2
Vi kan allts
a konstatera att ck,n <
1
1+
n
n
1
2k−1
och d
armed ar
n
1 − 12
1
1
1
< 1 + 1 + + · · · n−1 = 1 +
<1+
2
2
1 − 12
1−
1
2
=3
Vilket ar oberoende av n dvs att samtliga element i talfjolden ar mindre an 3.
3. F
orsta element i denna v
axande talf
oljd, f
or n = 1 ar (1 + 11 )1 = 2. F
or alla positiva heltal n g
aller allts
a
1 n
att 2 ≤ 1 + n < 3. Vi tillampar nu f
orsta punkten och kommer fram till att den h
ar begr
ansade och
v
axande talf
oljd har ett gr
ansv
arde, som ar ett reellt tal som ligger mellan 2 och 3. Denna bevis r
acker
inte f
or att r
akna ut vilket tal det blir, men man kan f
a b
attre och b
attre approximationer genom att
genomf
ora summan for stora n. Vi kallar gr
ansv
ardet f
or e och det visar sig att e = 2.7182818 · · ·
1
4. Det aterst
ar d
a att bevisa att gr
ansv
ardet ar densamma f
or x → ∞, allts
a f
or de reella talen, inte bara f
or
det speciella fallet som blir att titta p
a f
oljden av positiva heltal. F
or detta anvander vi inst
angningssatsen.
F
orst noterar vi att f
or varje reellt tal x nns det ett heltal n lika eller n
armast f
ore x och ett heltal n
armast
efter x, dvs att n ≤ x < n + 1 g
aller. D
a blir
samt
1
1+
x
1
1+
x
x
Vilket leder till att
1+
x
≥
≤
1
1+
x
1
n+1
1
1+
x
n
n+1
≥ 1+
n+1 1+
1
n+1
≤
1
1+
n
n+1
n
1
n+1
−1
≤
=
n 1
1
= 1+
1+
n
n
1
1+
n+1
n+1 1+
1
n+1
−1
.
x n 1
1
1
1+
≤ 1+
1+
.
x
n
n
Gr
ansv
arden for de v
anstra och h
ogra uttrycken ar densamma, dvs e och d
armed har det instangda
uttrycket samma gr
ansv
arde.
2
