För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant 6= 0; addera två ekvationer. Def Kvadratiska ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer = antalet obekanta. Underbestämda ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer < antalet obekanta. Överbestämda ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer > antalet obekanta. Tre typer av lösningsmängd entydig lösning, oändligt många lösningar, lösningen saknas. 2 Vektorer Def En vektor ~u är en mängd av riktade sträckor som har samma riktning och storlek. Def Addition Summan ~u + ~v av två vektorer ~u och ~v definieras enligt figuren 1 ³³ µ ³³ ¡ ³ ~u + ~v ¡ ³³ ³³ ¡~ v ³ ³³ ¡ ³ -¡ ³³ ~u 1 Multiplikation med skalär Med λ~u menas den vektor parallell med ~u som har 1) längden |λ| |~u| 2) samma riktning som ~u om λ > 0, motsatt riktning om λ < 0. Om λ = 0 så är λ~u = ~0. Räknelagar 1) ~u + ~v = ~v + ~u ~u + (~v + w) ~ = (~u + ~v ) + w ~ ~ ~u + (−1)~u = 0 ~u + ~0 = ~u 2) λ(µ~u) = (λµ)~u 1 · ~u = ~u 0 · ~u = ~0 λ~0 = ~0 3) (λ + µ)~u = λ~u + µ~v λ(~u + ~v ) = λ~v + λ~u 2 Sats Bas och koordinater För 2 ~e1 är lika med ~0. Antag att ~e1 , ~e2 är vektorer som inte är parallella. ~e1 , ~e2 , ~e3 ligger i ett plan. på linjen Då kan varje vektor ~u i planet skrivas på formen i rummet ~u = x1~e1 ~u = x1~e1 + x2~e2 ~u = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 x1 . med entydigt bestämda tal x1 , x2 . x1 , x 2 , x 3 . Def Vektorerna ~e1 , ~e2 , ~e3 bildar en bas om och endast om varje vektor ~u kan skrivas entydigt som en (linjär) kombination av ~e1 , ~e2 , ~e3 ~u = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 . Reella tal x1 , x2 , x3 kallas för koordinaterna av vektorn ~u med avseende på basen {~e1 , ~e2 , ~e3 }. 3 För 3 3 Linjer och plan Ett koordinatsystem: origo + basvektorer. Lemma ¾ P1 : (x1 , y1 , z1 ) ⇒ P1~P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ). P2 : (x2 , y2 , z2 ) Linjer i planet Linjens ekvation på parameterform ½ x = x0 + tα med t ∈ R y = y0 + tβ där talen α och β ej båda är noll. Linjens ekvation på affinform ax + by + c = 0 där talen a och b ej båda är noll. Linjer i rummet Linjens ekvation på parameterform x = x0 + tα y = y0 + tβ med t ∈ R z = z0 + tγ där talen α, β och γ ej alla är noll. Planets ekvation Planets ekvation på parameterform x = x0 + t1 α1 + t2 α2 y = y0 + t1 β1 + t2 β2 π: med t1 , t2 ∈ R z = z0 + t1 γ1 + t2 γ2 där vektorerna (α1 , β1 , γ1 ) och (α2 , β2 , γ2 ) inte är parallella. Planets ekvation på affin form ax + by + cz + d = 0 där talen a, b och c inte alla är noll. 4 För. 4 4 Geometrisk teori för linjära ekvationssystem. Sats För ett linjärt ekvationssystem med tre obekanta och n ekvationer kan endast följande alternativ för lösningsmängden inträffa 1) lösningen saknas (n ≥ 1); 2) systemet har entydig lösning (n ≥ 3); 3) lösningen beror på en parameter (n ≥ 2); 4) lösningen beror på två parameter (n ≥ 1). 5 Linjärt beroende och linjärt oberoende Def Vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , sägs vara linjärt beroende omm det finns tal λ1 , λ2 , ..., λn inte alla lika med noll sådana att λ1~u1 + λ2~u2 + ... + λn~un = ~0. Vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , sägs vara linjärt oberoende omm λ1~u1 + λ2~u2 + ... + λn~un = ~0 gäller endast om alla koefficienterna λ1 , λ2 , ..., λn är lika med noll λ1 = λ2 = ... = λn = 0. Sats Antag att vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , är linjärt beroende, då en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de ovriga. Bassatsen 1) Två vektorer i planet bildar en bas omm de är linjärt oberoende. 2) Tre vektorer i rummet bildar en bas omm de är linjärt oberoende. 3) Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Fler än tre vektorer i rummet är alltid linjärt beroende. 5 För 5 6 Skalär produkt Def Skalär produkt ~u · ~v = |~u| |~v | cos[~u, ~v ] ∈ R [~u, ~v ] - vinkeln mellan ~u och ~v . Andra beteckningar för skalärprodukten: (~u, ~v ), h~u, ~v i, ... Räknelagar för skalär produkt 0) [~u, ~v ] = π/2 ⇒ ~u · ~v = 0 ⇒ ortogonala vektorer 00) ~u · ~v > 0 ⇒ |[~u, ~v ]| < π/2; 1) ~u · ~u = |~u|2 ; 2) ~u · ~v = ~v · ~u; 3) (~u1 + ~u2 ) · ~v = ~u1 · ~v + ~u2 · ~v ; ~u · (~v1 + ~v2 ) = ~u · ~v1 + ~u · ~v2 ; 4) (λ~u) · ~v = λ(~u · ~v ), ~u · (λ~v ) = λ(~u · ~v ). Ortogonal projektion ~v 6= ~0 ⇒ ~u = ~uk + ~u⊥ ~uk = ~u · ~v ~v |~v |2 Def Basen {~e1 , ~e2 , ~e3 } i rummet sägs vara ortonormerad omm basvektorerna har längden 1; basvektorerna är parvis ortogonala. Sats Antag att {~e1 , ~e2 , ~e3 } är en ortonormerad bas i rummet. Då kan skalär produkten mellan vektorerna ~u = (x1 , y1 , z1 ) och ~v = (x2 , y2 , z2 ) beräknas enligt formeln ~u · ~v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 , q |~u| = x21 + y12 + z12 . Sats Planet ax + by + cz + d = 0 har normalriktning ~n = (a, b, c). 6 För 6 7 Vektorprodukt Def Vektorprodukt ~u × ~v är den vektor som har egenskaperna 1) |~u × ~v | = |~u| |~v | sin[~u, ~v ]; 2) ~u × ~v är ortogonal med både ~u och ~v ; 3) de tre vektorerna ~u, ~v , ~u × ~v är positivt orienterade. Skalär trippelprodukt (~u × ~v ) · w ~ Sats | (~u × ~v ) · w| ~ = volymen av parallellepiped(~u, ~v , w). ~ Räknelagar 1) ~u × ~v = ~0 omm ~u och ~v är linjärt beroende; 2) ~u × ~v = −~v × ~u; 3) (~u1 + ~u2 ) × ~v = ~u1 × ~v + ~u2 × ~v ~u × (~v1 + ~v2 ) = ~u × ~v1 + ~u × ~v2 4) (λ~u) × ~v = ~u × (λ~v ) = λ(~u × ~v ) Sats (vektorprodukt i en ortonormerad bas) ~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2 )~e1 + (u3 v1 − u1 v3 )~e2 + (u1 v2 − u2 v1 )~e3 7 För 7 8 Rummet Rn. Def Rummet Rn är mängden av n-tiplar (x1 , x2 , ..., xn ) av reella tal xj , j = 1, 2, ..., n, som kan adderas och multipliceras med an skalär (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ); λ(x1 , x2 , ..., xn ) = (λx1 , λx2 , ..., λxn ). Kanonisk bas ~e1 ~e2 ... ~en = (1, 0, 0, ..., 0, 0) = (0, 1, 0, ..., 0, 0) ... ... = (0, 0, 0, ..., 0, 1) Def Vektorerna ~a1 , ~a2 , ..., ~ap spänner upp Rn omm varje vektor ~y ∈ Rn kan skrivas som en linjärkombination av ~a1 , ~a2 , ..., ~ap ~y = p X xk~ak . k=1 Def Vektorerna ~a1 , ~a2 , ..., ~ap sägs vara en bas i rummet Rn omm varje vektor ~y ∈ Rn kan skrivas entydigt som en linjärkombination av ~a1 , ~a2 , ..., ~ap ~y = p X xk~ak . k=1 Sats 1) Varje bas i Rn has exakt n element. 2) n stycken vektorer i Rn är en bas ⇔ de är linjärt oberoende ⇔ de spänner upp Rn 3) Fler än n vektorer i Rn är alltid linjärt beroende; färre än n vektorer i Rn kan inte spänna upp Rn . 8 För 8 9 Matriser A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ... ... ... am1 am2 am3 ... ... ... ... ... a1n a2n a3n ... amn Addition A + B = C ⇔ cij = aij + bij Multiplikation med skalär λA = C ⇔ cij = λaij Matrismultiplikation Am×p Bp×n = Cm×n ⇔ cij = p X aik bkj k=1 AB 6= BA Sats För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta a) A’s kolonnvektorer utgör en bas; b) AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0; c) AX = Y är lösbart för alla Y. Def Matrisen A är inverterbar omm det finns en matris A−1 sådan att: AA−1 = A−1 A = I. (AB)−1 = B −1 A−1 Beräkning av inversa matriser: ¢ ¡ (A, I) ⇒ Gauß elimination två gånger ⇒ I, A−1 9 För 9 Transponering AT - erhåller man ur A genom spegling i huvuddiagonalen. Def AT = A ⇔ A är symmetrisk. (AB)T = B T AT 10 Sats Basbyte. Ortogonala matriser. ~e01 ~e02 ... ~e0n Kvadratiska matriser x1 ~e1 = S T ~e2 ⇔ x2 = S ... ... xn ~en x01 x02 ... x0n Ortogonal matris: AT = A−1 - kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas, - radvektorer utgör en ortonormerad bas. m × n matriser Sats Den allmänna lösningen till ett linjärt ekvationssystem AX = Y kan skrivas på formen Xallm = Xp + Xh där Xp är en partikulärlösning till systemet och Xh är den allmänna lösningen till det homogena systemet AX = 0. Def Kolonnrummet - mängden av linjärkombinationer av kolonnvektorer. Rang A - dimensionen av kolonnrummet. Nollrummet - mängden av lösningar till det homogena systemetAX = 0. Nolldimensionen - dimensionen av nollrummet. Sats Antag att A är en m × n matris, då gäller nolldimA = n − RangA 10 För 10 11 Linjära avbildningar Def Vektorrum - en mängd av element som kan adderas och multipliceras med reella tal så att följande axiom gäller: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ∃~0 : ~x + ~0 = ~0 ~x + (−1)~x = ~0 ~x + ~y = ~y + ~x ~x + (~y + ~z) = (~x + ~y ) + ~z λ(µ~x) = (λµ)~x 1~x = ~x 0~x = ~0 λ~0 = ~0 λ(~x + ~y ) = λ~x + λ~y (λ + µ)~x = λ~x + µ~x Def Avbildning (= funktion) - en regel som till varje element x från definitionsmängden DF ⊂ N ordnar ett element y i en mängd M. Def Värdemängden - mängden av alla element y som är en bild av något x från definitionsmängden. F : DF → VF ⊂ M Def Avbildningen F : N → M sägs vara linjär omm: F (x0 + x00 ) = F (x0 ) + F (x00 ), för allax0 , x00 ∈ DF ⊂ N F (λx) = λF (x), för allaλ ∈ R, x ∈ N. F (~0) = ~0 11 För 11 Linjära avbildningar (fortsättning) Avbildningsmatriser Sats Antag att: 1) F är en linjär avbildning N → M ; 2) {~e1 , ~e2 , ..., ~en } är en bas i N {f~1 , f~2 , ..., f~m } är en bas i M Då existerar det en m × n matris A sådan att: ~ ⇔ y = F (x), Y~ = AX ~ är koordinatvektorerna for y och x. där Y~ , X A kallas för avbildningsmatris för F med avseende på baserna {~e1 , ~e2 , ..., ~en } och {f~1 , f~2 , ..., f~m }. Sats Sammansättningen av två linjära avbildningar är an linjär avbildning. Avbildningsmatrisen för sammansättningen av två linjära avbildningar är lika med produkten av avbildningsmatriserna F ∼A ⇒ F ◦ G ∼ AB G∼B Sats Inversa avbildningen Avbildningsmatrisen till den inversa avbildningen är like med inversen till avbildnigsmatrisen till den ursprungliga avbildningen. F ∼ A ⇒ F −1 ∼ A−1 Sats Basbyte Antag att: 1) {~e1 , ~e2 , ..., ~en } och {~e01 , ~e02 , ..., ~e0n } är två baser i Rn ; ~ och X ~0 2) matrisen S beskriver sambandet mellan koordinatvektorerna X ~ = SX ~0 X 3) A är avbildningsmatrisen för en linjär avbildning F med avseende på basen {~e1 , ~e2 , ..., ~en }. Då är avbildningsmatrisen A0 för den linjära avbildningen F med avseende på basen {~e01 , ~e02 , ..., ~e0n } A0 = S −1 AS. 12 För 12 12 Determinanter Def det(a) µ det a11 a12 a21 a22 = a ±längden ¶ = a11 a22 − a12 a21 ±arean a11 a12 a13 det a21 a22 a23 = a31 a32 a33 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ±volymen Huvudsatsen En kvadratisk matris A är inverterbar omm det A 6= 0. Sats För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta: 1) kolonnvektorer utgör en bas 2) radvektorer utgör en bas ~ = ~0 har bara den triviala lösningen X ~ = ~0 3) ekvationssystemet AX ~ = Y~ är lösbart för alla Y~ 4) ekvationssystemet AX 5) A är inverterbar 6) det A 6= 0. Repetitionsövningar 1.16, 1.24, 2.9, 2.23, 3.15, 3.24, 4.13, 4.22, 4.32, 4.42, 5.6, 5.15, 5.19, 6.8, 7.26, 7.37, 8.21, 8.38, 9.23, 9.26, 9.31, 9.37, 10.11, 10.14. 13 Determinanter (fortsättning) Räknelagar för determinanter det(A01 + A001 , A2 , A3 ) = det(A01 , A2 , A3 ) + det(A001 , A2 , A3 ) det(λA1 , A2 , A3 ) = λ det(A1 , A2 , A3 ) det(A1 , A2 , A3 ) = − det(A2 , A1 , A3 ) det(A1 , A2 , A3 ) = det(A1 + αA2 + βA3 , A2 , A3 ) det(A · B) = det A det B Observera att: a) det(A1 , A1 , A3 ) = 0 b) det I = 1 c) det(λ(A1 , A2 , A3 )) = λ3 det(A1 , A2 , A3 ) 1 d) det A−1 = det A e) det AT = det A f) A - unitär ⇒ det A = ±1. 14 För 13 Cramers Regel För 14 Def Underdeterminant Dij - determinanten för den matris som erhålles ur A genom strykning av rad i och kolonn j. Def Adjunkten till A T D11 −D12 D31 adj A = −D21 D22 −D23 D31 −D32 D33 Sats 1 adj A det A det(Y A2 A3 ) x1 = det A 1 Y A3 ) AX = Y ⇒ x2 = det(A det A x = det(A1 A2 Y ) 3 det A A−1 = Sats 13 Egenvärden och egenvektorer Def ½ AX = λX, X 6= 0 ⇔ X är en egenvektor λ är ett egenvärde Def Karakteristiskt polynom pA (λ) = det(A − λI) Att diagonalisera en n × n matris 1) bestäm alla egenvärden λk , k = 1, 2, ..., n 2) bestäm samtliga n egenvektorer Sk , k = 1, 2, ..., n 3) bilda S = (S1 , S2 , ..., Sn ) och D = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) Då gäller: A = SDS −1 15