1 Linjära ekvationssystem 2 Vektorer

För. 1
1
Linjära ekvationssystem
Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system
genom att:
byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta;
multiplicera en ekvation med en konstant 6= 0;
addera två ekvationer.
Def
Kvadratiska ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer = antalet obekanta.
Underbestämda ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer < antalet obekanta.
Överbestämda ekvationssytem ⇔ antalet ekvationer > antalet obekanta.
Tre typer av lösningsmängd
entydig lösning,
oändligt många lösningar,
lösningen saknas.
2
Vektorer
Def En vektor ~u är en mängd av riktade sträckor som har samma riktning
och storlek.
Def Addition
Summan ~u + ~v av två vektorer ~u och ~v definieras enligt figuren
1
³³
µ
³³ ¡
³
~u + ~v
¡
³³
³³
¡~
v
³
³³
¡
³
-¡
³³
~u
1
Multiplikation med skalär
Med λ~u menas den vektor parallell med ~u som har
1) längden |λ| |~u|
2) samma riktning som ~u om λ > 0,
motsatt riktning om λ < 0.
Om λ = 0 så är λ~u = ~0.
Räknelagar
1) ~u + ~v = ~v + ~u
~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~
~
~u + (−1)~u = 0
~u + ~0 = ~u
2) λ(µ~u) = (λµ)~u
1 · ~u = ~u
0 · ~u = ~0
λ~0 = ~0
3) (λ + µ)~u = λ~u + µ~v
λ(~u + ~v ) = λ~v + λ~u
2
Sats
Bas och koordinater
För 2
~e1
är lika med ~0.
Antag att ~e1 , ~e2 är vektorer som inte är parallella.
~e1 , ~e2 , ~e3
ligger i ett plan.
på linjen
Då kan varje vektor ~u i planet skrivas på formen
i rummet
~u = x1~e1
~u = x1~e1 + x2~e2
~u = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3
x1 .
med entydigt bestämda tal x1 , x2 .
x1 , x 2 , x 3 .
Def
Vektorerna ~e1 , ~e2 , ~e3 bildar en bas om och endast om varje vektor ~u kan
skrivas entydigt som en (linjär) kombination av ~e1 , ~e2 , ~e3
~u = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 .
Reella tal x1 , x2 , x3 kallas för koordinaterna av vektorn ~u med avseende
på basen {~e1 , ~e2 , ~e3 }.
3
För 3
3
Linjer och plan
Ett koordinatsystem: origo + basvektorer.
Lemma
¾
P1 : (x1 , y1 , z1 )
⇒ P1~P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
P2 : (x2 , y2 , z2 )
Linjer i planet
Linjens ekvation på parameterform
½
x = x0 + tα
med t ∈ R
y = y0 + tβ
där talen α och β ej båda är noll.
Linjens ekvation på affinform
ax + by + c = 0
där talen a och b ej båda är noll.
Linjer i rummet
Linjens ekvation på parameterform

 x = x0 + tα
y = y0 + tβ med t ∈ R

z = z0 + tγ
där talen α, β och γ ej alla är noll.
Planets ekvation
Planets ekvation på parameterform

 x = x0 + t1 α1 + t2 α2
y = y0 + t1 β1 + t2 β2
π:
med t1 , t2 ∈ R

z = z0 + t1 γ1 + t2 γ2
där vektorerna (α1 , β1 , γ1 ) och (α2 , β2 , γ2 ) inte är parallella.
Planets ekvation på affin form
ax + by + cz + d = 0
där talen a, b och c inte alla är noll.
4
För. 4
4
Geometrisk teori för linjära ekvationssystem.
Sats
För ett linjärt ekvationssystem med tre obekanta och n ekvationer kan
endast följande alternativ för lösningsmängden inträffa
1) lösningen saknas (n ≥ 1);
2) systemet har entydig lösning (n ≥ 3);
3) lösningen beror på en parameter (n ≥ 2);
4) lösningen beror på två parameter (n ≥ 1).
5
Linjärt beroende och linjärt oberoende
Def
Vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , sägs vara linjärt beroende omm det finns tal
λ1 , λ2 , ..., λn inte alla lika med noll sådana att
λ1~u1 + λ2~u2 + ... + λn~un = ~0.
Vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , sägs vara linjärt oberoende omm
λ1~u1 + λ2~u2 + ... + λn~un = ~0
gäller endast om alla koefficienterna λ1 , λ2 , ..., λn är lika med noll
λ1 = λ2 = ... = λn = 0.
Sats
Antag att vektorerna ~u1 , ~u2 , ..., ~un , är linjärt beroende, då en av vektorerna
kan skrivas som en linjärkombination av de ovriga.
Bassatsen
1) Två vektorer i planet bildar en bas omm de är linjärt oberoende.
2) Tre vektorer i rummet bildar en bas omm de är linjärt oberoende.
3) Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Fler än tre vektorer
i rummet är alltid linjärt beroende.
5
För 5
6
Skalär produkt
Def
Skalär produkt
~u · ~v = |~u| |~v | cos[~u, ~v ] ∈ R
[~u, ~v ] - vinkeln mellan ~u och ~v .
Andra beteckningar för skalärprodukten: (~u, ~v ), h~u, ~v i, ...
Räknelagar för skalär produkt
0) [~u, ~v ] = π/2 ⇒ ~u · ~v = 0 ⇒ ortogonala vektorer
00) ~u · ~v > 0 ⇒ |[~u, ~v ]| < π/2;
1) ~u · ~u = |~u|2 ;
2) ~u · ~v = ~v · ~u;
3) (~u1 + ~u2 ) · ~v = ~u1 · ~v + ~u2 · ~v ; ~u · (~v1 + ~v2 ) = ~u · ~v1 + ~u · ~v2 ;
4) (λ~u) · ~v = λ(~u · ~v ), ~u · (λ~v ) = λ(~u · ~v ).
Ortogonal projektion
~v 6= ~0 ⇒ ~u = ~uk + ~u⊥
~uk =
~u · ~v
~v
|~v |2
Def
Basen {~e1 , ~e2 , ~e3 } i rummet sägs vara ortonormerad omm
basvektorerna har längden 1;
basvektorerna är parvis ortogonala.
Sats
Antag att {~e1 , ~e2 , ~e3 } är en ortonormerad bas i rummet. Då kan skalär produkten mellan vektorerna ~u = (x1 , y1 , z1 ) och ~v = (x2 , y2 , z2 ) beräknas enligt
formeln
~u · ~v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ,
q
|~u| = x21 + y12 + z12 .
Sats
Planet ax + by + cz + d = 0 har normalriktning ~n = (a, b, c).
6
För 6
7
Vektorprodukt
Def
Vektorprodukt ~u × ~v är den vektor som har egenskaperna
1) |~u × ~v | = |~u| |~v | sin[~u, ~v ];
2) ~u × ~v är ortogonal med både ~u och ~v ;
3) de tre vektorerna ~u, ~v , ~u × ~v är positivt orienterade.
Skalär trippelprodukt
(~u × ~v ) · w
~
Sats
| (~u × ~v ) · w|
~ = volymen av parallellepiped(~u, ~v , w).
~
Räknelagar
1) ~u × ~v = ~0 omm ~u och ~v är linjärt beroende;
2) ~u × ~v = −~v × ~u;
3) (~u1 + ~u2 ) × ~v = ~u1 × ~v + ~u2 × ~v
~u × (~v1 + ~v2 ) = ~u × ~v1 + ~u × ~v2
4) (λ~u) × ~v = ~u × (λ~v ) = λ(~u × ~v )
Sats (vektorprodukt i en ortonormerad bas)
~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2 )~e1 + (u3 v1 − u1 v3 )~e2 + (u1 v2 − u2 v1 )~e3
7
För 7
8
Rummet Rn.
Def
Rummet Rn är mängden av n-tiplar (x1 , x2 , ..., xn ) av reella tal xj , j =
1, 2, ..., n, som kan adderas och multipliceras med an skalär
(x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn );
λ(x1 , x2 , ..., xn ) = (λx1 , λx2 , ..., λxn ).
Kanonisk bas
~e1
~e2
...
~en
= (1, 0, 0, ..., 0, 0)
= (0, 1, 0, ..., 0, 0)
...
...
= (0, 0, 0, ..., 0, 1)
Def
Vektorerna ~a1 , ~a2 , ..., ~ap spänner upp Rn omm varje vektor ~y ∈ Rn kan skrivas
som en linjärkombination av ~a1 , ~a2 , ..., ~ap
~y =
p
X
xk~ak .
k=1
Def
Vektorerna ~a1 , ~a2 , ..., ~ap sägs vara en bas i rummet Rn omm varje vektor
~y ∈ Rn kan skrivas entydigt som en linjärkombination av ~a1 , ~a2 , ..., ~ap
~y =
p
X
xk~ak .
k=1
Sats
1) Varje bas i Rn has exakt n element.
2) n stycken vektorer i Rn är en bas ⇔ de är linjärt oberoende ⇔ de spänner
upp Rn
3) Fler än n vektorer i Rn är alltid linjärt beroende;
färre än n vektorer i Rn kan inte spänna upp Rn .
8
För 8
9
Matriser



A=


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
...
...
...
am1 am2 am3
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
amn






Addition
A + B = C ⇔ cij = aij + bij
Multiplikation med skalär
λA = C ⇔ cij = λaij
Matrismultiplikation
Am×p Bp×n = Cm×n ⇔ cij =
p
X
aik bkj
k=1
AB 6= BA
Sats
För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta
a) A’s kolonnvektorer utgör en bas;
b) AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0;
c) AX = Y är lösbart för alla Y.
Def
Matrisen A är inverterbar omm det finns en matris A−1 sådan att:
AA−1 = A−1 A = I.
(AB)−1 = B −1 A−1
Beräkning av inversa matriser:
¢
¡
(A, I) ⇒ Gauß elimination två gånger ⇒ I, A−1
9
För 9
Transponering
AT - erhåller man ur A genom spegling i huvuddiagonalen.
Def
AT = A ⇔ A är symmetrisk.
(AB)T = B T AT
10
Sats
Basbyte. Ortogonala matriser.

~e01
 ~e02

 ...
~e0n
Kvadratiska matriser






x1
~e1






 = S T  ~e2  ⇔  x2  = S 

 ... 
 ... 

xn
~en

x01
x02 

... 
x0n
Ortogonal matris: AT = A−1
- kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas,
- radvektorer utgör en ortonormerad bas.
m × n matriser
Sats
Den allmänna lösningen till ett linjärt ekvationssystem AX = Y kan skrivas
på formen
Xallm = Xp + Xh
där Xp är en partikulärlösning till systemet och Xh är den allmänna lösningen
till det homogena systemet AX = 0.
Def
Kolonnrummet - mängden av linjärkombinationer av kolonnvektorer.
Rang A - dimensionen av kolonnrummet.
Nollrummet - mängden av lösningar till det homogena systemetAX = 0.
Nolldimensionen - dimensionen av nollrummet.
Sats
Antag att A är en m × n matris, då gäller
nolldimA = n − RangA
10
För 10
11
Linjära avbildningar
Def
Vektorrum - en mängd av element som kan adderas och multipliceras med
reella tal så att följande axiom gäller:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
∃~0 : ~x + ~0 = ~0
~x + (−1)~x = ~0
~x + ~y = ~y + ~x
~x + (~y + ~z) = (~x + ~y ) + ~z
λ(µ~x) = (λµ)~x
1~x = ~x
0~x = ~0
λ~0 = ~0
λ(~x + ~y ) = λ~x + λ~y
(λ + µ)~x = λ~x + µ~x
Def
Avbildning (= funktion) - en regel som till varje element x från definitionsmängden DF ⊂ N ordnar ett element y i en mängd M.
Def
Värdemängden - mängden av alla element y som är en bild av något x från
definitionsmängden.
F : DF → VF ⊂ M
Def
Avbildningen F : N → M sägs vara linjär omm:
F (x0 + x00 ) = F (x0 ) + F (x00 ), för allax0 , x00 ∈ DF ⊂ N
F (λx) = λF (x),
för allaλ ∈ R, x ∈ N.
F (~0) = ~0
11
För 11
Linjära avbildningar (fortsättning)
Avbildningsmatriser
Sats
Antag att:
1) F är en linjär avbildning N → M ;
2) {~e1 , ~e2 , ..., ~en } är en bas i N
{f~1 , f~2 , ..., f~m } är en bas i M
Då existerar det en m × n matris A sådan att:
~ ⇔ y = F (x),
Y~ = AX
~ är koordinatvektorerna for y och x.
där Y~ , X
A kallas för avbildningsmatris för F med avseende på baserna {~e1 , ~e2 , ..., ~en }
och {f~1 , f~2 , ..., f~m }.
Sats
Sammansättningen av två linjära avbildningar är an linjär avbildning. Avbildningsmatrisen för sammansättningen av två linjära avbildningar är lika
med produkten av avbildningsmatriserna
F ∼A
⇒ F ◦ G ∼ AB
G∼B
Sats Inversa avbildningen
Avbildningsmatrisen till den inversa avbildningen är like med inversen till
avbildnigsmatrisen till den ursprungliga avbildningen.
F ∼ A ⇒ F −1 ∼ A−1
Sats Basbyte
Antag att:
1) {~e1 , ~e2 , ..., ~en } och {~e01 , ~e02 , ..., ~e0n } är två baser i Rn ;
~ och X
~0
2) matrisen S beskriver sambandet mellan koordinatvektorerna X
~ = SX
~0
X
3) A är avbildningsmatrisen för en linjär avbildning F med avseende på basen
{~e1 , ~e2 , ..., ~en }.
Då är avbildningsmatrisen A0 för den linjära avbildningen F med avseende
på basen {~e01 , ~e02 , ..., ~e0n }
A0 = S −1 AS.
12
För 12
12
Determinanter
Def
det(a)
µ
det
a11 a12
a21 a22
= a
±längden
¶
= a11 a22 − a12 a21
±arean


a11 a12 a13
det  a21 a22 a23  =
a31 a32 a33
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
±volymen
Huvudsatsen
En kvadratisk matris A är inverterbar omm det A 6= 0.
Sats
För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta:
1) kolonnvektorer utgör en bas
2) radvektorer utgör en bas
~ = ~0 har bara den triviala lösningen X
~ = ~0
3) ekvationssystemet AX
~ = Y~ är lösbart för alla Y~
4) ekvationssystemet AX
5) A är inverterbar
6) det A 6= 0.
Repetitionsövningar
1.16, 1.24, 2.9, 2.23, 3.15, 3.24, 4.13, 4.22, 4.32, 4.42, 5.6, 5.15, 5.19, 6.8,
7.26, 7.37, 8.21, 8.38, 9.23, 9.26, 9.31, 9.37, 10.11, 10.14.
13
Determinanter (fortsättning)
Räknelagar för determinanter
det(A01 + A001 , A2 , A3 ) = det(A01 , A2 , A3 ) + det(A001 , A2 , A3 )
det(λA1 , A2 , A3 ) = λ det(A1 , A2 , A3 )
det(A1 , A2 , A3 ) = − det(A2 , A1 , A3 )
det(A1 , A2 , A3 ) = det(A1 + αA2 + βA3 , A2 , A3 )
det(A · B) = det A det B
Observera att:
a) det(A1 , A1 , A3 ) = 0
b) det I = 1
c) det(λ(A1 , A2 , A3 )) = λ3 det(A1 , A2 , A3 )
1
d) det A−1 =
det A
e) det AT = det A
f) A - unitär ⇒ det A = ±1.
14
För 13
Cramers Regel
För 14
Def
Underdeterminant Dij - determinanten för den matris som erhålles ur A
genom strykning av rad i och kolonn j.
Def
Adjunkten till A

T
D11 −D12 D31
adj A =  −D21 D22 −D23 
D31 −D32 D33
Sats
1
adj A
det A

det(Y A2 A3 )

 x1 = det A
1 Y A3 )
AX = Y ⇒
x2 = det(A
det A

 x = det(A1 A2 Y )
3
det A
A−1 =
Sats
13
Egenvärden och egenvektorer
Def
½
AX = λX, X 6= 0 ⇔
X är en egenvektor
λ är ett egenvärde
Def
Karakteristiskt polynom
pA (λ) = det(A − λI)
Att diagonalisera en n × n matris
1) bestäm alla egenvärden λk , k = 1, 2, ..., n
2) bestäm samtliga n egenvektorer Sk , k = 1, 2, ..., n
3) bilda
S = (S1 , S2 , ..., Sn ) och D = diag(λ1 , λ2 , ..., λn )
Då gäller:
A = SDS −1
15