Natur, miljö och samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Utmaningar i gymnasielärares arbete
med de matematiska förmågorna
Challenges in upper secondary school teachers’ work with the
mathematical competencies
Hanna Carlsson
Kompletterande pedagogisk utbildning, 90 hp
Ämneslärarexamen gymnasieskolan
Matematik, fysik
2017-01-12
Examinator: Per-Eskil Persson
Handledare:Handledare:
Peter Bengtsson
Ange handledare
2
Sammanfattning
Detta examensarbete tar sin utgångspunkt internationella undersökningar och forskning
om matematikundervisningen i Sverige. En nedåtgående trend har beskrivits parallellt
med att svensk skola har kritiserats för en undervisning med alltför stort fokus på
procedurer, enskilt räknande samt utantillkunskap och för lite utrymme för bland annat
problemlösning och kreativt matematisk tänkande. I dagens läroplan har betydelsen av
fler matematiska förmågor framhävts och ett ramverk för matematisk kunskap används
för att visa på olika typer av kunskap. Syftet med denna uppsats är att bidra till ökad
kunskap om varför vissa lärare väljer att fokusera på procedurförmågan i sådan
utsträckning att möjligheterna att utveckla övriga förmågor begränsas. Studien har en
kvalitativ ansats och innefattar intervjuer med fem yrkesverksamma gymnasielärare i
matematik. Dessa berättar hur de arbetar med läroplanens matematiska förmågor och
vilka utmaningar de har upplevt i arbetet med detta. Resultatet visar på ett antal
utmaningar som skulle kunna leda till en procedurfokuserande undervisning.
Undervisning som tar upp en bredd av matematiska förmågor kräver mer tid, speciellt i
grupper med svaga eller spridda förkunskaper. Vissa menar att begrepp och procedurer
behöver behandlas innan övriga förmågor kan utvecklas. Lärarna berättar också att det
är enklare att arbeta med begrepp och procedurer. I klasser där lärarna kämpar för att
eleverna ska nå godkänt påverkas undervisningen av att de matematiska förmågorna
tycks svårare att särskilja på E-nivå och att poängen på det nationella provet är viktade
mot begrepps- och procedurförmågan. Ur resultaten framkommer även att det upplevs
som svårare att arbeta med de matematiska förmågorna i högre kurser och att det verkar
finnas specifika utmaningar i att träna elevernas relevans- och modelleringsförmåga.
Nyckelord: lärares erfarenheter, matematiska förmågor, procedurfokus, utmaningar
3
4
Innehåll
Innehåll....................................................................................................................................................5
1. Inledning.............................................................................................................................................7
1.1 Internationella studier....................................................................................................................7
1.2 Procedurfokus i svensk skola........................................................................................................8
2. Syfte och frågeställningar..................................................................................................................11
3. Tidigare forskning.............................................................................................................................12
3.1 Från avsedd läroplan till utförd läroplan.....................................................................................12
3.2 Den utförda läroplanen................................................................................................................13
3.3 Från utförd läroplan till uppnådd läroplan...................................................................................16
4. Teori..................................................................................................................................................17
4.1 De matematiska förmågorna........................................................................................................17
4.2 Ramfaktorteori............................................................................................................................19
4.3 Traditionell undervisning............................................................................................................20
4.4 Modell för konceptuell förändring av uppfattningar...................................................................21
5. Metod................................................................................................................................................23
5.1 Urval och informanter.................................................................................................................24
5.2 Analys av data.............................................................................................................................25
5.3 Reliabilitet...................................................................................................................................26
5.4 Etiska aspekter.............................................................................................................................27
6. Resultat och analys............................................................................................................................28
6.1 Hur lärare arbetar med förmågorna.............................................................................................28
6.2 Utmaningar i arbetet med förmågorna.........................................................................................31
6.3 Ramfaktorer och andra begränsningar.........................................................................................34
6.4 Analys av resultaten....................................................................................................................35
7. Slutsats och diskussion......................................................................................................................37
7.1 Resultatdiskussion.......................................................................................................................37
7.2 Slutsatser.....................................................................................................................................39
7.3 Validitet.......................................................................................................................................39
7.4 Implikationer och fortsatt forskning............................................................................................40
Referenser.............................................................................................................................................42
Bilaga 1. Intervjuguide..........................................................................................................................45
5
6
1. Inledning
I detta kapitel beskrivs svenska skolungdomars nedåtgående resultat inom matematik, både
över tid och i jämförelse med andra länder, fram till ett trendbrott uppmättes år 2015. Det
presenteras att undervisning i svenska skolor till övervägande del har fokuserat på algoritmer
men brustit bland annat när det gäller att ge eleverna förutsättningar att öva problemlösning
och att föra kreativa resonemang. Slutligen lyfts några potentiella svårigheter med att som
lärare förändra sin undervisning. Genom att belysa hur ett antal gymnasielärare arbetar med
de matematiska förmågorna i dagens läroplan och huruvida de har upplevt några utmaningar i
arbetet med att undervisa med fokus på dessa, är förhoppningen att denna uppsats ska kunna
bidra till en ökad kunskap om varför vissa lärare väljer att bedriva en undervisning som
huvudsakligen fokuserar på procedurer och enskilt arbete i läroböckerna.
1.1 Internationella studier
Få har undgått den så kallade PISA-chocken och andra alarmerade rapporter om hur svenska
skolungdomar har försämrat sina kunskaper inom matematikämnet. Det finns tre återkommande studier av elevers matematikkunskaper som genomförs internationellt; PISA,
TIMSS och TIMSS Advanced. PISA är störst av dessa och genomförs vart tredje år av
OECD. I fokus för studierna är 15-åriga skolungdomars kunskaper inom matematik,
naturvetenskap och läsförståelse. TIMSS och TIMSS Advanced organiseras av IEA och
genomförs vart fjärde år med fokus på matematik och naturvetenskap. TIMSS genomförs med
elever i årskurs fyra och årskurs åtta medan TIMSS Advanced undersöker kunskaper hos
gymnasieelever som läser sista året på det naturvetenskapliga eller det tekniska programmet.
Skolverket (2013) beskriver hur svenska skolelevers PISA-resultat har sjunkit kontinuerligt
sedan den första studien genomfördes år 2000 till och med 2012 då Sverige presterade under
genomsnittet i alla undersökta kunskapsområden. I matematik stod Sverige för den största
nedgången av alla deltagande länder mellan 2003 och 2012 (Skolverket, 2013). Intressant är
att den nedåtgående trenden för matematik inom PISA verkar ha brutits i och med resultatet
från 2015 års mätning (Skolverket, 2016a). Sverige visar i denna en statistiskt säkerställd
förbättring av resultaten, även om kunskapsnivån fortfarande är lägre än vad den var före år
7
2009. TIMSS Advanced har, precis som PISA, visat på en nedåtgående trend sedan den första
mätningen 1995 (Skolverket, 2016c). Mellan åren 2008 och 2015 har dock utvecklingen vänt
även i dessa tester och svenska gymnasieelever visar ett signifikant högre resultat. Endast två
av nio länder förbättrar sina resultat över denna tid. Däremot är det genomsnittliga resultatet
fortfarande högre i de flesta andra länder och dessutom betydligt längre än år 1995. Inga
fördjupade analyser har färdigställts om vad förändringarna skulle kunna bero på. Vad som
tas upp är dock att det finns ett samband mellan högre resultat och högre grad av hemresurser,
minst en svenskfödd förälder, en positiv inställning till ämnet och en hög grad av
ansträngning (Skolverket, 2016c). Skolverkets rapport poängterar att eleverna i 2015 års
studie läser 50 poäng mer matematik än de elever som deltog 2008. Två tredjedelar av
eleverna i studien har undervisats av lärare som har deltagit i olika former av kompetensutveckling inom pedagogik, metodik och bedömning vilket är en högre andel än 2008. Som
exempel på ett omfattande sådant arbete kan nämnas Matematiklyftet som har genomförts
under åren 2012–2016 (Skolverket, 2016b). Eleverna är också de första i granskningarna som
har läst hela sin gymnasieutbildning enligt läroplanen från 2011. Huruvida detta bidrar till att
förklara det trendbrott som noterats och om resultaten fortsätter att öka är mycket intressant
men för tidigt att svara på. Med största sannolikhet är det flertalet faktorer som samspelar för
att förklara om elever uppnår mer eller mindre väl utvecklade kunskaper i matematik. Det är i
frågan om vad som kännetecknar matematikundervisning av god kvalitet och hur
förutsättningarna ser ut för att kunna bedriva sådan på svenska gymnasieskolor som denna
uppsats tar sin utgångspunkt.
1.2 Procedurfokus i svensk skola
Skolinspektionen (2010) skriver i sin rapport om undervisningen i matematik i gymnasieskolan att många elever inte ges förutsättningar att utveckla alla de olika matematiska
kompetenser och förmågor som tas upp i kursplanen. En av de generella iakttagelserna som
presenteras är att undervisningen i stor utsträckning fokuserar på enskilt arbete i läroboken
och att eleverna tränas för lite i att lösa problem, upptäcka samband, föra matematiska
resonemang och kommunicera om ämnet. Skolinspektionen framhåller att en sådan
undervisning riskerar att begränsa matematiken till att handla om utantillkunskap och försvåra
för elevernas lärande på längre sikt. Granskningen har fokuserat på den dåvarande kursen
8
Matematik A och är inte tänkt att ge någon generell bild av undervisningen. Resultatet ligger
dock i linje med andra rapporter och forskning inom området. Bergqvist, Boesen och Nyroos
(2010) har sammanställt en kunskapsöversikt om hur matematiklärare arbetar för att utveckla
elevers kunskaper i matematik. Denna sträcker sig över perioden från 1995 och framåt och
sammanfattas i ett antal generella betraktelser; läromedlen har en stark ställning i
klassrummen, det enskilda arbetet med eller utan handledning dominerar, det finns ett fokus
på procedurer och/eller algoritmer och det saknas ofta tillfällen för reflektion och
gemensamma diskussioner. Skolinspektionen (2016) har också granskat en senare kurs i
matematik på gymnasiet, Matematik 3c, främst med avseende på huruvida eleverna ges
förutsättningar att träna problemlösning och utveckla begreppsförståelse men i viss mån även
i vilken utsträckning de får möjligheter att öva resonemangs- och kommunikationsförmågan.
Även här bekräftas bilden av matematik som ett traditionellt sett tyst ämne med mycket arbete
på egen hand. Goda exempel finns emellertid men på många håll får eleverna för få
utmaningar och för lite stimulans till abstrakt tänkande.
Matematikkunskap beskrivs idag, både nationellt och internationellt, med hjälp av ett antal
kompetenser eller matematiska förmågor. De förmågor som avses i dagens styrdokument för
matematikämnet har genom åren gradvis fått ett större utrymme. I föregående kursplan
behandlades förmågorna mer implicit än idag, i form av mål som eleverna skulle ges
förutsättning att sträva mot (Skolverket, 2000). I den senaste läroplanen från 2011, Gy11, har
förmågornas betydelse för undervisningen och elevernas kunskapsutveckling förtydligats. I
ämnets syfte beskrivs på gymnasiet sju förmågor som också kunskapskraven är uppbyggda
kring; begreppsförmåga, procedurförmåga, problemlösningsförmåga, modelleringsförmåga,
resonemangsförmåga, kommunikationsförmåga samt relevansförmåga (Skolverket, 2011b). I
det kommentarmaterial som Skolverket (2011a) gav ut i samband med att Gy11 infördes
skildras de rapporter och den typ av forskning som tagits upp tidigare som en explicit
motivering till att de matematiska förmågorna har getts en tydligare roll i styrdokumenten:
Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i stor utsträckning
är präglad av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade
möjligheter att utveckla förmågan att lösa problem. Det innebär också̊ att eleverna sällan har
fått möjlighet att använda matematiken i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot
bakgrund av detta är ambitionen med den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges
möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att lösa problem,
använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika
uttrycksformer.Den nationella utvärderingen av matematikundervisningen, NU-03, visade att
det i den tidigare kursplanen var svårt att urskilja de förmågor som undervisningen syftade till
9
att eleverna skulle utveckla. Dessa centrala förmågor har samstämmigt stöd i
matematikdidaktisk forskning och i den nya kursplanen är dessa förmågor tydligare framlyfta i
syftestexten. (s. 6)
Ett alltför stort fokus på matematiska algoritmer och enskild räkning i en lärobok, enligt ovan,
ger motivation till en reformerad matematikundervisning. Det finns dock ett antal utmaningar
med att förnya pedagogiken i klassrummen. Termerna avsedd läroplan, genomförd läroplan
och uppnådd läroplan, som myntats av IEA för att visa på den komplexa processen från
intentioner i styrdokumenten till elevernas prestationer i matematik (Mullis & Martin, 2007),
indikerar att det finns flera nivåer där svårigheter kan uppstå. Det finns också starka
traditioner rörande matematikundervisning som innebär att såväl lärare som elever kan
tvingas utmana sin bild av hur matematikundervisning ska gå till. Detta illustreras av en
artikel om två norska lärarstuderande som försökte implementera ett undersökande arbetssätt
under sin praktik men stötte på motstånd hos både lärare och elever (Wedege, 2008).
Förklaringen tillskrivs ett rådande didaktiskt kontrakt om en annan slags undervisning där
antalet korrekt bemästrade uppgifter var det viktiga för eleverna. Frågor med syfte att
fördjupa elevernas förståelse ledde till att tillfredställelsen av ett korrekt svar ersattes av orolig
stämning och bristande fokus. Eleverna delade inte lärarens syn på vad matematik handlar om
och vad som var poängen med de uppgifter de arbetade med. Ur lärarens perspektiv finns
rimligen många fler potentiella utmaningar att förhålla sig till om denne har ambitionen att
utveckla sin undervisning i nya riktningar. Det här examensarbetet kommer att fördjupa sig
inom detta område med fokus på de matematiska förmågorna så som de beskrivs av Gy11.
10
2. Syfte och frågeställningar
I ljuset av de rapporter om nedåtgående resultat för svenska skolelever som i utdrag
presenterats i inledningen känns det angeläget att reformer för att vidareutveckla matematikundervisningen får genomslag i klassrummen. Mot bakgrund av den forskning som beskriver
en undervisning som på många håll i landet riktar fokus mot algoritmer och mer eller mindre
mekaniskt räknande i läroböckerna har de matematiska förmågorna en viktig roll att spela.
Ytterligare motivation för att ge de matematiska förmågorna en större och tydligare roll i
undervisningen skulle vara om det trendbrott som uppvisats i de internationella mätningarna
2015 kan kopplas till den nya läroplanen och de olika kompetensutvecklade aktiviteter som
genomförts i svensk skola sedan denna infördes. Eftersom kritiken mot den procedurfokuserande undervisningen har framförts vid upprepade tillfällen genom åren faller det sig
naturligt att ställa frågan om vilka faktorer det är som begränsar lärarna i deras arbete med att
undervisa för kunskapsutveckling inom en bredd av matematiska kompetenser.
Syftet med det här examensarbetet är att bidra till en ökad kunskap om varför matematikundervisningen på många håll i Sverige fokuserar på procedurförmågan i sådan utsträckning
att möjligheterna att utveckla de övriga matematiska förmågorna i läroplanen verkar
begränsas. Undersökningen är tänkt att belysa lärarnas perspektiv och de erfarenheter de har
från sin vardag. Med andra ord görs en avgränsning till de utmaningar som är synliga ur
lärarens infallsvinkel. Kontexten för studien är den svenska gymnasieskolan.
De frågeställningar som ligger till grund för studien är:
•
Hur planerar och genomför lärare undervisning med avseende på de matematiska
förmågorna?
•
Upplever lärare några utmaningar i arbetet med att undervisa med avseende på de
matematiska förmågorna och i så fall vilka är dessa?
11
3. Tidigare forskning
För att skapa en struktur för detta kapitel används IEA:s begrepp avsedd läroplan, utförd
läroplan och uppnådd läroplan (Mullis & Martin, 2007). Den avsedda läroplanen utgörs av ett
lands mål och intentioner för vad elever ska lära sig i skolan. Styrdokument såsom läroplan
och kursplaner är en tydlig källa till detta. Den utförda läroplanen inbegriper vad som faktiskt
lärs ut i skolorna. Kortfattat handlar det om resultatet av de val en lärare gör i form av
arbetssätt, läromedel, vilka områden som betonas och liknande. Slutligen beskriver den
uppnådda läroplanen de kunskaper som eleverna tar med sig från undervisningen. I idealfallet
skiljer sig inte den uppnådda läroplanen från den avsedda. Avvikelser kan dock uppstå genom
hela kedjan.
Denna uppsats intresserar sig för den undervisning som bedrivs och de utmaningar som kan
uppkomma gällande de matematiska förmågorna i strävan efter överensstämmelse mellan
avsedd och uppnådd läroplan. Då studien görs från lärarens perspektiv finns potentiella
utmaningar som har begränsade möjligheter att framkomma i undersökningen. Detta kapitel
vill emellertid med hjälp av tidigare forskning på området belysa olika perspektiv på
procedurfokuserad undervisning och vidareutveckling av sådan. Däremot kommer innehållet i
den avsedda läroplanen inte att diskuteras eller värderas.
3.1 Från avsedd läroplan till utförd läroplan
Detta avsnitt behandlar framförallt tolkningsprocessen från formuleringar i styrdokumenten
till de intentioner lärarna tar med sig till sin undervisningsplanering. En stor kvalitetsgranskning av matematikutbildningen har genomförts med syfte att förbättra studieresultaten
och öka måluppfyllelsen (Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm & Palmberg,
2010). Det är denna forskning som ligger till grund för den övergripande rapport från
Skolinspektionen (2010) som presenterats i inledningen till denna uppsats. Studien innefattar
både kvantitativa och kvalitativa delar i form av enkäter, observationer och intervjuer. Som
nämnts bekräftas att procedurhantering är den vanligaste aktiviteten i de undersökta
klassrummen. Ett annat av studiens fokus är lärares uppfattningar och kunskap om
12
styrdokumentens olika mål (Bergqvist et al., 2010). Studien genomfördes hösten 2009, det vill
säga när kursplanen behandlade förmågorna som mål att sträva mot. Detta betyder att de
kompetenser som undersökts inte till fullo stämmer överens med förmågorna i dagens
läroplan. Essensen av det som åsyftas är dock mycket lik. Rapporten tar upp att kursplanen
kan påverka lärare på olika sätt. Målen behöver vara formulerade på ett sätt som gör det
möjligt för lärarna att tolka dem, lärarna behöver ha fått utbildning som gör att de besitter
förmågan att tolka målen och lärarna behöver uppleva målen som relevanta. Endast 18 % av
lärarna i undersökningen visar på omfattande kunskap om de förmågor som tas upp av
strävansmålen. En fjärdedel av lärarna filtrerar kursplanen genom sina personliga
grundläggande mål för undervisningen vilket kan begränsa det utrymme olika förmågor ges
under lektionerna. En annan risk är att läraren låter bli att bearbeta kursplanen på djupet
eftersom den upplevs stämma överens med lärarens befintliga tankesätt. Det finns också lärare
som menar att innehållsmålen måste behandlas först för att eleverna ska ha förutsättningar att
utveckla andra förmågor. Många som inte talar om kursplanen som en betydande faktor tar
upp att läroboken har ett starkt inflytande på undervisningen. Flera lärare menar också att
kursplanen är svår att förstå. Studien bedömer generellt sett den dåvarande kursplanens
påverkan när det gäller matematiska förmågor som mycket liten. Kollegiala diskussioner
tycks dock ha bidragit till ökad kunskap om och fokus på förmågorna. Eftersom förmågornas
roll har tydliggjorts i Gy11 förväntas kunskapsnivån ha ökat men det är inte omöjligt att vissa
av problemen som beskrivits ovan kvarstår. Om så är fallet kan dessa fortfarande bidra till
varför vissa lärare ännu inte har utvecklat undervisningen i enlighet med reformen om de
matematiska förmågorna.
3.2 Den utförda läroplanen
Detta avsnitt tar upp vad som sker i undervisningen. Att procedurer och enskilt arbete
dominerar under matematiklektionerna har tagits upp tidigare. Bergqvist et al. (2010) visar
därutöver på att när undervisningen väl fokuserar på en förmåga utöver procedurförmågan
ökar elevernas möjligheter att utveckla även de andra förmågorna. Detta ligger i linje med hur
förmågorna beskrivs i Skolverkets (2011c) text om matematikämnet. Samma undersökning
belyser en positiv korrelation mellan användning av läroboken och arbete med matematiska
procedurer och en negativ korrelation mellan läroboken och övriga förmågor. Detta betyder
13
att det finns en risk att förhålla sig till när det kommer till läromedlens starka roll i
undervisningen. Tillåts läroboken ensamt styra undervisningen kan konsekvensen bli ett
alltför stort fokus på procedurförmågan. Ytterligare en aspekt värd att lyfta fram från studien
är att de aktiviteter som behandlar förmågor utöver procedurförmågan visade sig vara
vanligare förekommande på det naturvetenskapliga programmet. För aktiviteter som fokuserar
på procedurer presenteras det omvända. Detta tyder på att det kan finns skillnader att
åskådliggöra mellan programmen med fler matematikintresserade elever och övriga
utbildningar.
Lärobokens betydelse för elevernas möjligheter att utveckla specifika förmågor har också
uppmärksammats av Johan Sidenvall (2015). Han har publicerat en licentiatavhandling, som
precis som denna uppsats utgår från ett övervägande fokus på procedurer inom skolan, om
gymnasieelevers möjligheter att lära sig föra kreativa matematiska resonemang. Sidenvall
skiljer på kreativt matematiskt resonemang och olika typer av imitativt resonemang. Det
förstnämnda kopplas till konceptuell förståelse medan imitativt resonemang hör samman med
användandet av procedurer och algoritmer. I den första delstudien konstateras att elever
nästan enbart använder sig av imitativt resonemang när de arbetar med läroboken. Eleverna
arbetade främst med bokens enklare uppgifter och även när eleverna fick guidning av lärare
eller klasskamrater användes samma resonemangstyp. Studien ifrågasätter därför elevernas
möjlighet att träna resonemangs- och problemlösningsförmågan genom arbete med läroboken.
I den tredje delstudien, som har undersökt uppgifter i läroböcker från tolv länder, konstateras
det dessutom att endast omkring en tiondel av uppgifterna kräver ett kreativt matematiskt
resonemang och att de uppgifter som gör det ofta är placerade i slutet av avsnitten. Även
denna undersökning implicerar alltså en svårighet att undervisa om matematikens alla
förmågor utan komplement till läroboken. Viktigt att poängtera är dock att studien inte alls
har tagit hänsyn till på vilka sätt läroboken används i undervisningen.
Eftersom frågan om svenska ungdomars matematikkunskaper är av intresse även ur ett
internationellt perspektiv blir det intressant att fråga sig vad som kännetecknar matematikundervisningen i de länder där eleverna presterar bättre. Den studie av läroböcker som har
nämnts tidigare innefattade böcker från tolv länder och visade på ungefär samma fördelning
av uppgifter oavsett ursprungsland (Sidenvall, 2015). Sex av länderna som representerades i
studien har precis som Sverige deltagit i internationella jämförelser såsom PISAundersökningarna. Alla sex länder presterar också bättre än Sverige, varför lärobokens
14
utformning endast verkar kunna bidra till en del av förklaringen. I en rapport från OECD
(2016) kan ses en generell skillnad mellan undervisningen i Sverige och i de länder som
presterar i topp på PISA, nämligen att svenska elever mer sällan möter en utmanande
matematikundervisning. Detta skulle möjligen kunna vara ett tecken på någon form av
koppling mellan procedurfokus och de försämrade resultaten. I samma rapport tas också vissa
fördelar med utantillinlärning upp. OECD menar att denna typ av inlärningsstrategi kan vara
positiv för att lågpresterande elever ska kunna utveckla grundläggande kunskaper och
samtidigt höja sitt självförtroende inom ämnet. Då Skolinspektionen (2010) beskriver
utantillinlärning som riskfyllt för matematiklärandet på lång sikt uppenbarar sig en balansgång att förhålla sig till som matematiklärare. Utantillkunskap kan vara effektivt på kort sikt
men få negativa konsekvenser på lång sikt. Eftersom procedurinriktad undervisning ofta
upplevs som effektiv på grund av ett högt antal korrekt producerade svar samt att de negativa
konsekvenserna uppenbarar sig först i ett senare skede, är det förståeligt om denna typ av
undervisning i stunden ses som ett attraktivt arbetssätt.
Den undersökning som visar på flest likheter med denna studie är en kvalitativ undersökning
av Jesper Boesen (2006). Boesen har i en tidigare undersökning konstaterat att lärare i stor
utsträckning betonar imitativt resonemang i de prov de använder sig av. Genom intervjuer
med utvalda lärare söker han svar på varför de väljer detta fokus. Resultaten visar bland annat
exempel på lärare som ser det kreativa matematiska resonemanget som önskvärt men
bedömer det som orealistiskt för svagare elever att behärska. Kreativt resonemang kopplas av
dessa lärare samman med svårare uppgifter och en önskan om att kunna godkänna alla elever
leder till sänkta krav. Betydelsen av att lärare utmanar sina uppfattningar om matematik och
matematikundervisning framträder på nytt. Det fanns också lärare som beskrev en önskan om
att elever som arbetat flitigt i läroboken skulle känna igen sig vid provtillfällena, vilket
återigen indikerar lärobokens starka ställning i klassrummen. Exempel på övriga aspekter som
tas upp som orsaker till provens fokus på imitativt resonemang är upplevda svårigheter att
konstruera, alternativt hitta, lämpliga uppgifter som testar ett kreativt matematiskt tänkande
samt att detta arbete tar mycket tid i anspråk (Boesen, 2006). Dessa förklaringar är sannolikt
överförbara till denna undersökning.
15
3.3 Från utförd läroplan till uppnådd läroplan
Detta avsnitt tar upp problem som kan uppkomma på vägen mot den uppnådda läroplanen,
även om det finns en hög överensstämmelse mellan avsedd och utförd läroplan. Richard
Wester (2015) har i en licentiatstudie undersökt reforminriktad undervisning ur elevens
perspektiv. Wester ställer den reforminriktade undervisningen i ett motsatsförhållande till den
traditionella undervisningen. Han menar att reforminriktad undervisning karaktäriseras av ett
undersökande arbetssätt och att denna är tätt sammankopplad med intentionerna med
läroplanens matematiska förmågor. Denna undervisningstyp syftar till att ge eleverna en
relationell förståelse för matematiken, det vill säga en förståelse som innebär att eleverna inte
bara vet hur de ska gå till väga för att lösa en uppgift utan också inser varför metoderna
fungerar. Den traditionella undervisningen, å andra sidan, menar Wester fokuserar på en
instrumentell förståelse. Enligt en sådan handlar förståelse om att behärska de procedurer som
behövs för att kunna lösa uppgifter. I studien följs en lärare som aktivt arbetar med de
matematiska förmågorna och några av hennes elever. Dessa elever tillhör den första årskullen
som skulle avsluta grundskolan och bedömas enligt dagens ämnesplan och det nya
betygssystemet. Studien visar att läraren och eleverna ofta har saknat en samsyn om vad
skolmatematik är och hur den bäst lärs ut. Läraren genomför en undervisning som syftar till
att ge eleverna en relationell förståelse för ämnet medan eleverna istället arbetar efter en
instrumentell förståelse. Eleverna strävar efter att på ett effektivt sätt finna korrekta svar och
de menar att läraren krånglar till det. De kopplar också de matematiska förmågorna främst till
bedömning och betyg. Det blir påtagligt att traditioner inom matematikundervisning har en
viktig roll och att det krävs en medvetenhet om såväl lärarens som elevernas uppfattningar
kring ämnet för att kunna förändra arbetsformerna. Alla parter behöver acceptera en
förändring för att undervisningspraktiken ska kunna vidareutvecklas.
16
4. Teori
I detta kapitel kommer de matematiska förmågorna att presenteras närmre. Därefter förklaras
begreppet ramfaktor genom en introduktion till ramfaktorteorin. Traditionell undervisning
diskuteras som begrepp och jag förklarar de begrepp jag väljer att använda mig av och varför.
Slutligen beskrivs en teoretisk modell som kan användas för att studera förändring av
uppfattningar hos lärare i samband med nya utbildningsreformer och hur denna kommer att
utnyttjas för att analysera resultatet i denna undersökning.
4.1 De matematiska förmågorna
Att beskriva matematisk kunskap med hjälp av ett ramverk bestående av ett antal kompetenser
eller förmågor är idag vanligt även internationellt. I USA har ett projekt genomförts som
bland annat har haft till syfte att ta fram forskningsbaserade rekommendationer om
undervisning i matematik för att kunna förbättra elevers lärande (Kilpatrick, Swafford &
Findell, 2001). I den rapport som redovisar projektet, Adding It Up, betonas fem matematiska
förmågor. Fyra av dessa förmågor är näst intill identiska med begrepps-, procedur-,
problemlösnings- och resonemangsförmågan i svenska styrdokument. Den femte ligger
närmst relevansförmågan men inkluderar också uppfattningar om matematik. Ämnet ska till
exempel ses som meningsfullt och eleverna ska känna en tillit till sin egen förmåga att lära
matematik. I Danmark har genomförts ett annat projekt om matematiska kompetenser,
nämligen KOM-projektet (Niss & Højgaard Jensen, 2002). Här framhävs åtta kompetenser;
tankegång, problemlösning, modellering, resonemang, representation, symbol- och formalism,
kommunikation och hjälpmedelskompetens. I mångt och mycket beskriver dessa kompetenser
samma typ av matematisk kunskap som förmågorna i Sverige, även om de är indelade på lite
olika sätt. Några skillnader består dock i att användandet av digitala verktyg beskrivs av en
särskild kompetens i det danska systemet samt att det saknar en motsvarande beskrivning av
relevansförmågan. Ett tredje ofta förekommande arbete i dessa sammanhang är NCTM:s så
kallade Principles and Standards (NCTM, 2000). NCTM, som står för National Council of
Teachers of Mathematics och finns i USA och Kanada, har organiserat målen i innehållsmål
och processmål. Processmålen beskriver motsvarigheten till de matematiska förmågorna och
17
är fem till antalet; problemlösning, resonemang och bevis, kommunikation, samband samt
representation. De tre förstnämnda tas upp även av de svenska styrdokumenten medan övriga
två till stor del faller under begrepps- och procedurförmågorna. Relevansförmågan behandlas
alltså inte av ramverket.
Nedan följer en sammanfattning av Skolverkets (2011c) beskrivning av de matematiska
förmågorna i svensk gymnasieskola. Först bör poängteras att svensk grundskola arbetar med
fem förmågor i jämförelse med gymnasieskolans sju. De förmågor som tillkommer på
gymnasienivå är relevans och modellering. De matematiska förmågorna ska inte betraktas
som något en individ besitter eller inte, utan som områden där kunskaperna är i ständig
utveckling. Förmågorna i ramverket ska heller inte separeras utan utvecklas i samspel med
varandra och det finns ingen inbördes rangordning dem emellan. Begreppsförmåga innebär att
kunna förklara olika begrepp och hur de hänger samman, att kunna använda olika
representationsformer för att illustrera begreppen samt att känna till när och hur begreppen är
användbara. Procedurförmåga handlar om att kunna välja och på ett effektivt sätt tillämpa
metoder för att lösa uppgifter av standardkaraktär. Förmågan innefattar även att kunna hantera
digitala hjälpmedel. Problemlösningsförmåga innebär förmåga att lösa uppgifter där eleven på
förhand inte känner till en lämplig lösningsmetod. För att åstadkomma detta krävs bland annat
att eleven kan analysera och tolka problem, använda problemlösningsstrategier och värdera
sina val och sitt resultat. Problemlösning är den enda förmåga som uttryckligen förekommer
både som mål och medel, vilket innebär att problemlösning ska användas också för att
utveckla andra förmågor. Modelleringsförmåga avser att kunna formulera en matematisk
beskrivning av en realistisk situation, använda denna och tolka resultatet. Viktigt är också att
kunna värdera modellen och dess begränsningar. Resonemangsförmåga innefattar bland annat
att kunna diskutera, förklara, generalisera och argumentera om saker som begrepp, metoder,
lösningar på problem och matematiska modeller. Även att formulera hypoteser, genomföra
bevis och skilja välgrundade påståenden från gissningar hör hit. Kommunikationsförmåga
innebär att med lämpliga representationer kunna kommunicera matematik i både tal och skrift
samt att kunna anpassa kommunikationen efter sammanhang. Relevansförmåga handlar
slutligen om att kunna sätta in matematiken i ett större sammanhang, bland annat genom att
visa på matematikens betydelse inom ekonomi, samhällsliv, yrkesarbete och så vidare. Det är
dessa definitioner av matematisk kunskap som åsyftas genom denna uppsats.
18
4.2 Ramfaktorteori
Något som ofta dyker upp när utmaningar, eller snarare begränsningar, i undervisningen
diskuteras är ramfaktorteorin. Teorin grundar sig i ett arbete av Urban Dahllöf från 1967
(Lundgren, 2014). Arbetet genomfördes i ett sammanhang då differentieringsfrågan
debatterades flitigt, det vill säga frågan om huruvida och i så fall hur länge Sverige skulle ha
en sammanhållen enhetsskola i kontrast till ett parallellskolesystem. I arbetet konstaterade
Dahllöf att elever i odifferentierade klasser och i negativt differentierade klasser lägger ned
mer tid på matematikämnet för att nå samma resultat, jämfört med positivt differentierade
klasser. Dahllöf noterade också att det i en klass vanligtvis finns en så kallad styrgrupp bland
eleverna vars kunskapsnivå avgör den takt läraren väljer att hålla. Det som markerades av
arbetet och blev grunden för ramfaktorteorin var att undervisningsprocesser och dess resultat
måste förstås utifrån de ramar som finns. Med andra ord kom relationen mellan resurser,
verksamhet och resultat att förtydligas. Ulf P. Lundgren bekräftade fem år senare modellen
och presenterade en vidareutvecklad teori (Lundgren, 2014). Vanliga ramfaktorer som
påverkar undervisningens resultat är den undervisningstid som finns till förfogande samt
elevgruppens sammansättning gällande förkunskaper och liknande. Ramarna påverkar vad
som är möjligt att genomföra i undervisningen men kan inte ses som orsaker till ett visst
resultat. Lindblad, Linde och Naeslund (1999) tar upp ramfaktorteorin som aktuell även idag
och beskriver hur teorin med åren utvidgats till att även beröra saker som sociala, kulturella
och historiska förutsättningar. De kritiserar dock teorins begränsade möjligheter att förklara
skolans resultat eftersom den endast behandlar nödvändiga betingelser för att något ska kunna
ske och inte vad som är tillräckliga förutsättningar. Lindblad, Linde och Naeslund menar att
förklaringsmodeller också behöver ta hänsyn till lärare och elevers intentioner och
uppfattningar. Marginaliseras sådana aspekter riskerar läraren att få en marionett-liknande roll
med alltför liten möjlighet att påverka undervisningen. Ramfaktorteorin kan med andra ord
inte ses som heltäckande för att beskriva de utmaningar som finns i undervisningen. Teorin
kan dock illustrera den komplexitet som undervisning utgör i form av flertalet faktorer som
samspelar och att vissa av dessa ligger utanför vad den enskilde läraren kan påverka. I denna
uppsats kommer begreppet ramfaktorer att användas för att beskriva yttre begränsningar för
undervisningen som den enskilda läraren inte har möjlighet att påverka.
19
4.3 Traditionell undervisning
I relation till Westers (2015) studie, som beskrivs i kapitlet tidigare forskning, vill jag belysa
och problematisera användandet av begreppet traditionell undervisning. Wester använder
begreppet i beskrivningen av en undervisning som är otillräcklig för att stimulera till
utveckling av alla matematiska förmågor. Även i Sidenvalls (2015) licentiatavhandling
förekommer begreppet kopplat till ett fokus på procedurer och i motsats till ett undersökande
klassrumsklimat. Begreppet kopplas också till att mycket tid läggs åt elevernas arbete i
läroboken. Skolinspektionen (2010) nämner inte traditionell undervisning som begrepp men
pratar ändock om en tradition inom matematikundervisningen där lektioner inleds med en
gemensam genomgång följt av enskilt arbete i läroboken. Bergqvist, Boesen och Nyroos
(2010) betonar lärarens ledande roll i den traditionella undervisningen och att elever här
mestadels lyssnar och svarar på frågor. Med andra ord är det flertalet olika aspekter av
undervisning som på olika håll inom forskning kopplas till traditionell undervisning på ett
kritiskt sätt. Sammantaget ser jag en risk att budskapet som förmedlas blir att det krävs en helt
annan undervisning med andra typer av aktiviteter än gemensamma genomgångar och arbete
med räkneuppgifter för att kunna arbeta i linje med den nya läroplanen. Kraven skulle kunna
upplevas som så stora att läraren blir handfallen och fortsätter som förut, för att denne saknar
kunskap om hur förändringen skulle kunna se ut. I Westers (2015) studie förekommer ofta
genomgångar följt av enskilt räknande. Däremot ser rollerna inte likadana ut som de ovan
beskrivna. Genomgångarna tar också upp en större andel av lektionstiden och en annan typ av
frågor ställs till eleverna. Min hypotes är att det undersökande arbetssättet tar upp förmågorna
och arbetar med relationell förståelse i större utsträckning än det mer traditionella men att
även detta kan behandla matematiken på ett sätt som ger en djupare förståelse, exempelvis
genom vilken typ av uppgifter som används och i vilken utsträckning eleverna är delaktiga i
undervisningen. En enskild lärares undervisning kan också innehålla vissa komponenter som
kan kategoriseras som mer traditionella och vissa som är mer reforminriktade. I ljuset av de
internationella jämförelser där Sverige presterar avsevärt sämre idag, än till exempel i TIMSS
Advanced år 1995 (Skolverket, 2016), finns också en viss bristande logik i att sammanföra
kritiken mot de negativa resultaten under begreppet traditionell undervisning. Bättre är i så
fall att försöka fokusera på vad det är i innehållet eller metoderna som är negativt för eleverna
i den traditionella undervisningen. Jag har därför valt att använda tavelpedagogik, ett ord som
dök upp i datainsamlingsprocessen, för att beskriva den undervisning som bedrivs i helklass
20
där läraren har en ledande roll men eleverna inbjuds att aktivt bidra till arbetet vid tavlan.
Undervisningen utesluter inte heller att eleverna stundtals ges tid för diskussion i mindre
grupper eller att fokus läggs på relationell förståelse.
4.4 Modell för konceptuell förändring av uppfattningar
Att traditioner och uppfattningar om matematik och matematikundervisning påverkar de
resultat som uppnås i klassrummen har tidigare forskning belyst. Michele Gregoire (2003)
föreslår en kognitiv-affektiv modell för att beskriva stegen från en presenterad reform till
förändrade uppfattningar och i förlängningen ett förändrat arbetssätt. Modellen tar upp de
faktorer som påverkar en lärare som möts av ett nytt budskap om hur undervisning bör
bedrivas och dess möjligheter att generera en konceptuell förändring hos läraren i fråga. Det
utvecklingsarbete som Gregoire refererar till handlar om att få matematiklärare att arbeta mer
problemlösande och mer konstruktivistiskt inspirerat genom att eleverna ska engageras i
upptäckande övningar snarare än att agera passiva mottagare av kunskap. Det finns alltså
många likheter mellan exemplen i Gregoires artikel och intentionerna med de matematiska
förmågorna. Modellen tycks därför användbar för att tolka de faktorer som skulle kunna
utgöra hinder för en förnyad undervisning. Inledningsvis lyfter Gregoire fram två exempel
från forskningen där lärare från olika stadier förklarat sig vara positiva till det budskap som
introducerats och själv menat att de arbetar reforminriktat trots att det framkommit att så inte
var fallet. Att lärarna trots goda ambitioner genomför en undervisning där procedurer
betonades över djupare inlärning föreslås bero på att de uppfattningar lärarna haft med sig om
matematikundervisning sedan tidigare stått i konflikt med det nya budskapet. Detta skulle
kunna förekomma även i denna undersökning. Dock har en avgränsning gjorts till lärarens
perspektiv och det hamnar därför utanför vad som är möjligt att analysera.
Det första steget i Gregoires (2003) modell utgörs av att en ny reform, som exempelvis
införandet av de matematiska förmågorna, presenteras för läraren. Budskapet kan då upplevas
som skrämmande beroende på vilken uppfattning läraren har med sig sedan tidigare. En ny
reform kan implicera att tidigare undervisningsmetoder har haft negativa konsekvenser för
elevernas möjligheter att utveckla förståelse för ämnet. I modellen frågas om läraren anser sig
påverkad av reformen. Här menar Gregoire att den som redan tycker sig arbeta enligt
21
reformen sannolikt saknar motivation att bearbeta den på ett systematiskt sätt och därför
riskerar att missa budskapet. Bearbetningen görs då endast ytligt eller inte alls och läraren
ändrar inte sina konceptuella uppfattningar, oavsett om de är i linje med reformen eller inte.
För de lärare som upplever en viss stress eller oro kring reformen finns däremot
förutsättningar för förändrade uppfattningar. Dock måste den hotfulla känslan övervinnas och
situationen uppfattas som en utmaning möjlig att hantera. För att lyckas med detta krävs en
tillräckligt stark tilltro till sin egen kapacitet att undervisa enligt den nya reformen. Om den
inre motivationen saknas undviks det hotfulla i reformen och resultatet blir även här ett ytligt
eller obearbetat budskap och inga betydande förändringar av lärarens uppfattningar. Det krävs
också att läraren upplever att det finns tillräckliga resurser i form av kunskap om ämnet, tid,
stöttande kollegor och liknande för att förändringen ska ses som genomförbar. Passerar
läraren detta steg i modellen har han eller hon som mål att närma sig reformen och läraren
kommer att bearbeta budskapet på ett systematiskt sätt. Om budskapet därefter verkar rimligt
och läraren tror att förändringarna kan ge positiva resultat i undervisningen förändrar läraren
slutligen sina uppfattningar i modellens sista steg. Gregoire menar alltså att sannolikheten att
läraren i fråga bearbetar reformen på djupet och förändrar sina existerade uppfattningar ökar
om budskapet upplevs som utmanande men genomförbart. Om budskapet upplevs ligga i linje
med lärarens befintliga arbetssätt sjunker däremot motivationen att sätta sig in i och bearbeta
innehållet ytterligare.
Den modell som har redovisats ovan kommer att ligga till grund för analysen av denna studie.
Jag menar att modellen kan användas för att försöka förstå de bakomliggande orsakerna till de
utmaningar som lärare har upplevt i samband med att dagens läroplan introducerades och i
arbetet med att undervisa i enlighet med denna. Gregoires (2003) modell beskriver främst om
läraren i det här fallet har kunnat förändra sin uppfattning i enlighet med reformen om de
matematiska förmågorna och inte om läraren har lyckats förändra undervisningen på
motsvarande sätt. Däremot illustrerar modellen att det finns fler begränsningar än de
traditionella ramfaktorerna och att såväl befintliga uppfattningar som inre och yttre resurser
samspelar.
22
5. Metod
Detta arbete vill bidra till ökad kunskap om de utmaningar som kan uppstå i en
gymnasielärares arbete med att undervisa matematik med avseende på de sju matematiska
förmågorna såsom de beskrivs av Gy11 (Skolverket, 2011b). Den forskning som är inriktad
på att beskriva eller förstå ett fenomen på ett djupare plan, snarare än att analysera och
generalisera baserat på större mängder data, är av kvalitativ typ. Bryman (2011) skriver att
kvalitativ forskning förenklat sett intresserar sig mer för ord än siffror och skiljer kvalitativ
och kvantitativ forskning åt på tre punkter. Kvalitativ forskning har vanligtvis en induktiv
ansats där teorier genereras från insamlad empiri, ett tolkningsinriktat fokus som försöker
förstå en social verklighet baserat på de deltagande individernas tolkning av densamma samt
en konstruktionistisk utgångspunkt där sociala företeelser formas och revideras som resultat
av mellanmänsklig interaktion. Detta stämmer väl in på denna studie även om ansatsen inte är
renodlat induktiv, eftersom en teoretisk modell kommer att användas för att analysera lärarnas
erfarenheter. Alvehus (2013) tar upp att induktiv och deduktiv forskning är ett slags idealfall
och att verkligheten snarare beskrivs av vad han benämner som en abduktiv ansats.
Som datainsamlingsmetod har semi-strukturerade intervjuer med ett antal verksamma lärare
inom gymnasieskolan valts. Underlaget i studien kommer att vara förhållandevis litet men
förhoppningsvis ska studien kunna bidra till en djupare förståelse för de arbetssätt som lärare
väljer eller väljer bort i sin undervisning. Möjligheten att ställa fördjupande följdfrågor är en
av fördelarna med semi-strukturerade intervjuer som var avgörande vid valet av metod
(Alvehus, 2013). Önskvärt var också att välja en metod som i största möjliga mån skapar en
öppen och tillåtande undersökningsmiljö. För att undvika olika typer av gruppeffekter valdes
fokusgrupper och andra former av gruppintervjuer bort. Lärarna skall inte känna sig
granskade huruvida de i sin undervisning behandlar de matematiska förmågorna i den
utsträckning styrdokumenten föreskriver. Studiens fokus är istället att lyfta fram de eventuella
svårigheter som kan finnas i uppdraget. För att rikta fokus mot studiens frågeställningar samt
för att minimera en eventuell påverkan från mina personliga föreställningar om frågorna
skapades en intervjuguide, se bilaga 1. Vilka frågor som ställdes och i vilken följd anpassades
dock under respektive intervjutillfälle.
23
Alla intervjuer har genomförts i avskilda rum på lärarnas arbetsplats. Bryman (2011)
förespråkar, framförallt den som är ovan vid intervjusituationen, att göra någon eller några
pilotintervjuer innan datainsamlingen inleds. På grund av ramarna för examensarbetet
bedömdes tiden otillräcklig för att genomföra en regelrätt pilotstudie. Jag har däremot valt att
göra en testintervju på en lärarstuderande kamrat för att bedöma kvaliteten på frågorna,
tidsåtgången för de olika delarna samt för att bli mer bekväm med rollen som intervjuare. För
att skapa goda möjligheter för en utförlig analys och för att säkerställa att lärarnas
ursprungliga kommentarer och uttryck bevarades samtidigt som utrymme gavs att fokusera på
samtalet och eventuella följdfrågor, spelades intervjuerna in och transkriberades i efterhand.
Intervjuerna tog mellan 38 och 82 minuter att genomföra. Medianvärdet blev 47 minuter.
5.1 Urval och informanter
För att få ett bra empiriskt underlag krävs ett rimligt urval av intervjupersoner, det vill säga
informanter. Av strategiska skäl föreslås ofta ett målinriktat urval för kvalitativ forskning
(Bryman, 2011). I detta fall skulle det kunna handla om att välja informanter som har
reflekterat över de matematiska förmågornas roll och stött på utmaningar när de arbetat med
att införliva dessa i undervisningen. Önskvärt för att täcka in olika infallsvinklar blir också att
informanterna representerar en bredd gällande hur lång erfarenhet de har av yrket, vilka
gymnasieprogram och kurser de undervisar, med mera. På grund av ramarna för
examensarbetet har ett bekvämlighetsurval tillämpats (Alvehus, 2013). Av praktiska skäl har
min VFU-skola kontaktats för att söka informanter. Lämpliga som informanter bedömdes
dem vara som är behöriga matematiklärare och har erfarenhet av att undervisa på gymnasiet.
Efter att ha fått information om studiens syfte och villkor för deltagande anmälde fem lärare
sitt intresse. Detta antal bedömdes kunna ge tillräcklig information samtidigt som
datamängden sågs som rimlig att hantera, varför inga ytterligare lärare kontaktades. Denna
procedur innebär att alla informanter arbetar på samma skola. Den variation som önskades
bland informanterna tillgodosågs dock i förhållandevis stor utsträckning av slumpen. Två av
informanterna är kvinnor, tre är män. Deras ålder varierar mellan cirka 35 och 65 år.
Tillsammans undervisar gruppen det samhällsvetenskapliga, naturvetenskapliga, humanistiska
och det estetiska programmet. Lärarnas erfarenhet från yrket varierar från omkring 10 år till
24
drygt 40 år. Medianvärdet för yrkeserfarenheten är 17 år. Några av lärarna har erfarenhet från
flertalet skolor medan andra har arbetat många år på samma arbetsplats.
5.2 Analys av data
Bryman (2011) skriver att grounded theory har blivit det vanligaste synsättet i samband med
analys av kvalitativa data. Grounded theory föreslår ett iterativt arbetssätt där datainsamling
och analys växelverkar för att sträva efter en teoretisk mättnad. En sådan metod kräver mer tid
för datainsamling och analys än vad som har funnits utrymme för i detta examensarbete. Det
finns dock flera likheter mellan teknikerna för kodning inom grounded theory och det
analysverktyg som har valts här. Den transkriberade datamassan har analyserats med
inspiration av kvalitativ innehållsanalys så som den beskrivs av Graneheim och Lundman
(2004). Metodiken ämnar analysera såväl det tydligare innehållet, så kallat manifest innehåll,
och det mer latenta innehållet i datan. Det första steget går ut på att den som ska genomföra
analysen skapar sig en helhetsbild av texten genom att läsa igenom det transkriberade
materialet upprepade gånger. Därefter kan texten vid behov delas in i olika delar beroende på
vad innehållet handlar om, exempelvis i delar som härrör till olika frågeställningar. Analysen
påbörjas genom att de meningsbärande enheterna i textmassan identifieras. Detta innebär att
yttranden som tillsammans säger något i förhållande till undersökningens frågeställningar och
syfte skiljs ut. De meningsbärande enheterna kondenseras sedan för att kunna beskrivas mer
kortfattat. De kondenserade enheterna abstraheras i följande steg och enheterna tilldelas var
sin så kallad kod. Koderna fungerar som etiketter som beskriver innehållet. Efter att koderna
har bestämts kan dessa jämföras med varandra med avseende på likheter och skillnader och
sorteras i kategorier och underkategorier. Kategorierna ska i idealfallet vara heltäckande utan
att överlappa varandra. I det slutgiltiga steget placeras därefter kategorierna i teman där
tolkningen fördjupas ytterligare. Kategorierna tar främst upp det manifesta innehållet medan
det latenta innehållet kommer fram genom de teman som väljs. Processen har beskrivits som
linjär men innebär i praktiken ett iterativt arbete som växlar mellan helheten och de separata
delarna. Jag har valt att avbryta dataanalysen efter att innehållet har kategoriserats och att
behandla möjliga bakomliggande orsaker till lärarnas upplevelser i ett separat avsnitt. Dessa
tolkas istället i förhållande till den teoretiska modell om konceptuell förändring av
uppfattningar som presenterades i föregående kapitel.
25
5.3 Reliabilitet
Begreppet reliabilitet handlar om hur tillförlitlig en studie är med avseende på om resultaten
skulle bli desamma om studien upprepades (Bryman, 2011). Som del av detta kan diskuteras
om undersökningen påverkats av slumpmässiga eller tillfälliga premisser. En sådan faktor
skulle exempelvis kunna vara om en lärare känt sig stressad under intervjun och därför valt att
berätta mindre om sina tankar och erfarenheter än vad han eller hon hade gjort vid en tidpunkt
som passade läraren bättre. Ingen av lärarna gav dock intryck av att påskynda samtalet.
Intervjun hade heller ingen begränsning i hur lång tid den fick ta. En annan fråga att ta
ställning till är huruvida resultatet hade blivit detsamma om andra lärare med samma
förutsättningar, det vill säga behöriga matematiklärare på gymnasienivå, valts ut som
informanter. Då bekvämlighetsurval användes och alla deltagare i studien arbetade på samma
skola kan det tänkas att andra arbetssätt och upplevda utmaningar skulle kunna framkomma i
en annan miljö. Motsvarande gäller med anledning av att skolan i fråga endast erbjuder
studieförberedande
gymnasieprogram
och
att
inga
nyutexaminerade
lärare
fanns
representerade i undersökningen. Likaså skulle vilka ämnen lärarna undervisar utöver
matematik, personliga intresseområden med mera kunna påverka. Implikationen blir att
studien troligtvis inte haft möjlighet att ge en fullständig bild av området. En annan
konsekvens av att ha använt bekvämlighetsurval är att lärarna i studien generellt sett
presenterat en hög medvetenhet om de matematiska förmågorna. Intressant hade varit att
identifiera och samtala med lärare som i mindre utsträckning har lyckats implementera
förmågorna i sitt arbete. Ett tecken på att det finns mer information att uthämta i den aktuella
kontexten är om det inte har uppstått en mättnad angående vad som förs fram i intervjuerna
(Bryman, 2011). I denna studie återkom stora delar av samtalsämnena men det är troligt att
ytterligare aspekter skulle lyftas fram om fler intervjuer genomförts. Detta var dock aldrig ett
alternativ på grund av begränsad tid för arbetet. En annan viktig punkt att lyfta fram gällande
tillförlitligheten är den roll personen som genomför en kvalitativ studie ofta intar. Vid
intervjuerna är det intervjuaren som i stunden gör ett val av vilka följdfrågor som ska ställas. I
den efterföljande dataanalysen görs sedan olika tolkningar av materialet. Detta betyder att om
en studie upprepas av en annan part är det sannolikt att vissa skillnader skulle framträda. Jag
som författare till denna uppsats har på grund av den urvalsmetod som använts dessutom
någon form av relation till alla informanter i studien från min VFU-period. Målet har
26
konsekvent varit att detta inte ska påverka undersökningen men det är omöjligt att säga om
jag helt har kunnat lägga undan tidigare erfarenheter i samband med analysen av intervjuerna.
5.4 Etiska aspekter
Vetenskapsrådet (u.å.) sammanfattar de forskningsetiska principerna inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning under fyra huvudkrav med syfte att skydda individen;
informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. För att
säkerställa att denna studie förhåller sig till dessa fick de potentiella informanterna skriftlig
information i samband med att de kontaktades med förfrågan om deltagande. I denna
information presenterades syftet för studien. Lärarna fick veta att deltagande är frivilligt och
att informanter när som helst har möjlighet att avbryta sin medverkan. De fick också veta att
de uppgifter som samlas in endast kommer att användas till examensarbetet i fråga och att den
data som används i uppsatsen avidentifieras för att bevara deltagarnas anonymitet i den mån
det är möjligt. Samtycke säkerställdes genom att de lärare som tagit del av informationen och
ville delta i studien kontaktade mig för att boka tid för en intervju. Slutligen informerades
lärarna också om var uppsatsen kommer att publiceras och informanterna erbjöds en digital
kopia via mail efter avslutat arbete. Alla informanter fick också godkänna att samtalen
spelades in innan intervjuerna inleddes.
27
6. Resultat och analys
Det som har framkommit efter en kvalitativ innehållsanalys av de transkriberade intervjuerna
presenteras i följande tre avsnitt. Det fjärde avsnittet försöker förstå hur utmaningar av olika
slag samspelar i dess påverkan på en lärares planering och dess undervisning. Resultaten har
kategoriserats i en del som handlar om hur lärarna arbetar med förmågorna, en som beskriver
utmaningar som huvudsakligen uppstår på grund av de matematiska förmågornas roll i dagens
läroplan samt en del som tar upp utmaningar som visserligen är relevanta i arbetet med
förmågorna men som kan vara närvarande i undervisningen oavsett inriktning. Avgränsningen
mellan de två sistnämnda är inte absolut men fungerar som ett sätt att skilja utmaningar med
nära koppling till förmågorna från yttre begränsningar såsom ramfaktorer och liknande.
Underkategorier och koder benämns inte uttryckligen utan förklaras i löpande text.
6.1 Hur lärare arbetar med förmågorna
Detta avsnitt har för avsikt att svara på frågeställningen om hur lärare arbetar med de
matematiska förmågorna när de planerar och genomför undervisning. I intervjuerna framkom
flera intressanta och detaljerade exempel på undervisning som på olika sätt stimulerar flera
aspekter av matematisk kunskap. Resultatet kommer dock att presenteras på ett mer
övergripande sätt, dels på grund av begränsat utrymme men framför allt för att fokusera på det
som kan kopplas till syftet att öka kunskapen om varför vissa väljer en procedurinriktad
undervisning.
Lärarna i studien presenterar de matematiska förmågorna för sina elever så att dessa känner
till vad de behöver kunna och vad som ligger till grund för bedömningen av deras kunskap.
Detta sker framförallt i början av en kurs men många pratar också om förmågorna löpande
under läsåret. Lärarna tar också upp förmågorna i samband med prov och andra examinerande
övningar. Vissa använder sig av bedömningsmatriser för att synliggöra elevernas prestationer
inom var och en av de matematiska förmågorna medan andra nöjer sig med att prata om
förmågorna på ett formativt sätt. Generellt sett menar lärarna i studien att eleverna inte
behöver sätta sig in i förmågorna på ett djupare plan utan att detta är lärarnas ansvar. Det
28
framkom i intervjuerna att vissa har prövat att arbeta med bedömningsmatriser men av olika
orsaker valt bort arbetssättet. En av orsakerna som nämnes var att eleverna, framförallt när
Gy11 var ny, hade svårt att till fullo förstå systemet. Det poängterades också att arbetet med
bedömningsmatriser av vissa upplevs som arbetsamt och tidskrävande. Oavsett vilka metoder
lärarna har valt så är det uppenbart att eleverna får information om de matematiska
förmågorna och att de bedöms med avseende på dem. Vad som dock varierar är hur medvetet
lärarna arbetar med förmågorna utöver vid kursstarten och i samband med bedömning. Vissa
arbetar kontinuerligt med förmågorna på ett aktivt sätt medan andra berör förmågorna på olika
sätt utan att planeringen har det som primärt syfte. Följande citat kommer från olika lärare och
visar på olika sätt att tänka:
•
”När jag gör terminsplaneringen så försöker jag alltid se till att jag täcker in alla
förmågorna i det, för jag menar på att det finns olika sorters undervisning som gynnar
de olika förmågorna.”
•
”Det är väldigt sällan som jag tänker i förmågor när jag planerar. När jag lägger upp
ett avsnitt så tänker jag nog mer på omfattningen av avsnittet och hur mycket tid jag
har på mig. Sen när jag kommer till undervisningen så kommer ofta förmågorna med.”
•
”Alla förmågorna går in i varandra tänker jag, de hänger ju ihop. Det är klart att man
måste tänka igenom det ibland så att man inte missar något men jag tänker nog
egentligen mer i det här språkutvecklande sättet.”
•
”Så vill jag att undervisningen ska se ut hela tiden, att förmågorna så ofta som möjligt
ska komma in, gärna många på en gång och gärna inte isolerat bara resonemang eller
bara procedur, utan att man samkör förmågorna.”
Det finns också en lärare i studien som uttrycker att de matematiska förmågorna inte
förekommer i arbetet på det sätt som läraren själv menar att de borde. Läraren förklarar detta
med att det krävs mycket arbete och engagemang för att sätta sig in i förmågorna ytterligare
och att det är svårt att motivera sig till det då personen endast kommer att arbeta som lärare i
några få år till. Som citaten visar på så finns det många olika sätt att se på de matematiska
förmågorna och de förekommer på olika sätt och i olika grad. Två huvuddrag att organisera
undervisningen på framträdde i samtalen med lärarna. Ett sätt utgår från en grund där
tavelpedagogiken är återkommande och utöver den genomförs olika typer av aktiviteter för att
träna någon eller några matematiska förmågor specifikt. Tavelpedagogiken innehåller ofta
29
begrepp och procedurer men lärarna arbetar också med resonemang och kommunikation och
strävar efter att eleverna ska vara aktiva och bidra. Aktiviteterna kan se ut på många olika sätt.
En del skapas av läraren själv, en del plockas från läroboken och andra är inspirerade av
uppgifter från andra källor. Det andra arbetssättet utgår från problemlösning och strävar efter
att förmågorna ska samspela i så stor utsträckning som möjligt. Här kan procedurer och
begrepp introduceras, inte bara via genomgångar utan också via problemlösningsuppgifter.
Några av lärarna som arbetar efter det förstnämnda sättet menare snarare att begrepp och
procedurer behöver behandlas först för att eleverna ska bygga upp grundläggande kunskaper
och kunna arbeta med andra aktiviteter och förmågor på ett bra sätt.
Ett annat generellt drag från intervjuerna är att relevansförmågan sticker ut på olika sätt.
Kunskapen om vad förmågan innebär och hur man kan arbeta med den verkar sämre än
kunskapen om de övriga förmågorna. Flertalet hänvisar också till att relevansförmågan inte
testas på de nationella proven, vilket kan bidra till att lärarna i lägre grad fokuserar på denna.
Någon menar att den kommer med i undervisningen genom att man arbetar med annat men
genomför ingen undervisning direkt riktad mot att träna förmågan. Någon annan beskriver ett
aktivt arbete med förmågan, men först efter att de nationella proven har genomförts. Även
modelleringsförmågan skiljer ut sig från övriga förmågor vid upprepade tillfällen och bilden
som ges är att även denna behandlas i lägre grad. Exempel på utmaningar som har beskrivits
med förmågorna tas upp i nästkommande avsnitt.
Lärarna framhäver i intervjuerna betydelsen av matematiklyftet och hur viktigt det kollegiala
lärandet har varit för deras möjligheter att utveckla sin undervisning så att den i större
utsträckning utvecklar elevernas samtliga matematiska förmågor. De betonar vikten av att tid
avsätts för gemensamma diskussioner framförallt när en ny läroplan introduceras men också i
det fortlöpande arbetet. De nationella proven tas upp som exempel på bra diskussionsunderlag
för att lära mer om förmågorna i samband med kollegialt lärande. Framförallt verkar
matematiklyftet ha bidragit till en ökad kunskap om förmågorna och hur man på konkreta sätt
kan arbeta med dem i sin undervisning. Några av lärarna menar att det i princip är
matematiklyftets förtjänst att de har kunnat förändra sin undervisning och att de har fått
förutsättningar att arbeta enligt den nya läroplanen.
30
6.2 Utmaningar i arbetet med förmågorna
Undervisning som, i motsats till procedurinriktad sådan, behandlar en bredd av matematisk
kunskap beskrivs som i större utsträckning förståelseinriktad. Lärarna i studien menar att
förståelseinriktad undervisning behöver få ta tid för att ge ett bra resultat oavsett hur de har
valt att arbeta med förmågorna. Det framkommer också att planeringen ofta tar längre tid för
undervisning i form av aktiviteter eller med exempel som berör flera av de matematiska
förmågorna. En lärare önskade en bank att kunna hämta bra aktiviteter ur. En annan påtalade
dock att det tar tid att sätta sig in i någon annans material och efterfrågar i så fall avsatt tid för
gemensam planering lärare emellan. Generellt anses begrepp och procedurer vara enklare att
arbeta med än övriga förmågor. Dock betonar några lärare att undervisning om begrepp och
procedurer också kan vara utmanande om strävan är att eleverna verkligen ska nå en djup
förståelse för det de arbetar med. Ofta är lärarna mer vana vid och därmed tryggare i en
undervisning som passar in på beskrivningen tavelpedagogik och som mestadels berör just
begrepp och procedurer. Inget tyder dock på att lärarna nöjer sig med att arbeta med ytligare
kunskaper inom dessa områden. Det framkommer av intervjuerna att lärarna har blivit mer
och mer bekväma i undervisningen om fler matematiska förmågor med åren. Lärarna har
behövt tid för att lära sig arbeta på nya sätt och för att samla på sig bra material.
Det har uppenbarat sig ett antal utmaningar som är kopplade till specifika matematikkurser.
Framförallt är det Matematik 4 som flera lärare beskriver som mer utmanande med avseende
på de matematiska förmågorna än andra. Dels innehåller kursen mycket stoff som ska
behandlas på den tid som finns tillgänglig, något som tycks gälla även Matematik 2, dels är
innehållet mer abstrakt. Det beskrivs som svårare att arbeta mot förmågorna när eleverna inte
går på djupet i det aktuella centrala innehållet. Matematik 4 behandlar ofta innehåll som
eleverna inte har tillräcklig kunskap om för att kunna förstå på ett djupare plan. Eleverna ska
heller inte behöva kunna genomföra bevis och liknade kopplat till dessa områden. Kursen
innehåller dessutom många olika områden med begränsad koppling till varandra vilket gör det
svårare att stanna upp för att bearbeta kunskapen på olika sätt. Det påtalas att förmågorna
ligger närmre varandra när innehållet blir mer abstrakt. Ytterligare en aspekt som framförs är
att det är svårare att hitta bra och konkreta exempel samt att knyta an till elevernas
vardagsförståelse. Det generella draget är alltså att det är svårare att arbeta med de
matematiska förmågorna i högre kurser.
31
Förmågorna tycks enligt lärarna även ligga närmre varandra på E-nivå, och då framförallt
modellering och procedurer samt problemlösning och procedurer. Någon menar att om en
elev har begrepp och procedurer på E-nivå så har han eller hon ofta också vad som krävs för
att klara av problemlösning, modellering, resonemang osv på samma nivå. Flera betonar hur
det nationella provet bedömer att en elev har nått E inom kommunikation genom att
kommunicera sina lösningar så att denne tar poäng inom andra förmågor på E-nivå. Det
nationella provet innehåller också fler poäng inom begrepp och procedurer än övriga på Enivå, en viktning som lärarna menar kan antyda att de förmågorna blir viktigare för att nå en
godkänd nivå även om kunskapskraven inte är formulerade på ett sådant sätt. Ett annat
exempel som kommer fram är svårigheten att konstruera en uppgift som tränar eller bedömer
problemlösningsförmågan eller modelleringsförmågan på E-nivå som inte blir en proceduruppgift. Det tycks alltså vara svårare att testa vissa förmågor på E-nivå.
Något annat som framkom tydligt i intervjuerna var att förmågorna är svåra att särskilja. Detta
kan framförallt bli ett problem när det handlar om att bedöma elevernas kunskapsnivåer.
Lärarna berättade att de gemensamt hade studerat provuppgifter från tidigare nationella prov
men haft svårt att enas om vilka förmågor som uppgifterna testade. Det poängteras också att
en uppgift ofta kan lösas på olika sätt och att en elev kan visa kunskap inom en förmåga
medan en annan elev kan använda en annan förmåga för att lösa samma exempel.
Det framkommer inte bara skillnader i hur lätt eller svårt det är att arbeta med olika förmågor
i olika kurser utan också på olika program. Exempelvis kan det vara svårare att hitta
intressanta exempel för elever som läser det samhällsvetenskapliga programmet jämfört med
elever på det naturvetenskapliga programmet. En lärare återberättar hur elever ofta väljer
samhällsprogrammet för att de väljer bort matematiken på det naturvetenskapliga programmet
och att dessa elever sällan uppvisar ett specifikt intresse för samhällsvetenskap. På det
naturvetenskapliga programmet är det lättare att hitta relevanta uppgifter för modellering och
annat, till exempel inom fysik och kemi. Lärarna berättar att det i och med att dessa klasser
generellt sett är starkare inom matematik vad gäller intresse, motivation och förkunskaper
också blir mer tid över samt enklare att arbeta med aktiviteter riktade mot de matematiska
förmågorna. I svagare klasser räcker inte tiden till för att fördjupa förståelsen utan
undervisningen kommer främst att behandla grundläggande kunskaper. Fokus blir att eleverna
ska nå godkänt. Det är också svårare att få eleverna i svagare klasser att arbeta engagerat med
32
olika typer av aktiviteter. Detta bidrar sammantaget till att lärare i större utsträckning arbetar
aktivt med förmågorna i klasser som är starkare i matematik. Alla instämmer emellertid inte i
att det finns skillnader i hur lätt eller svårt det är att arbeta med förmågorna på olika program.
Som nämndes tidigare verkar det finnas särskilda utmaningar med relevansförmågan.
Intervjuerna ger intrycket av att kunskapen om vad relevansförmåga innebär och hur man kan
arbeta med den är begränsad. Den rangordnas efter andra förmågor både vad gäller hur viktig
den anses vara och när i tid den behandlas i undervisningen. Vissa arbetar med övningar
riktade direkt mot relevansförmågan medan andra enbart arbetar med förmågan genom att
läraren sätter matematiken i ett större sammanhang och ger exempel på vad ämnet kan
användas till. Eftersom det bara krävs av eleverna att de ska kunna ge exempel menar någon
att förmågan är enklare att arbeta med än övriga men mindre viktig. Någon påtalar att
uppgifter med starkare koppling till vardag och verklighet ofta resulterar i krångliga värden
och att dessa exempel blir svårare att arbeta med än mer tillrättalagda uppgifter med
heltalslösningar och jämna rotuttryck. Ett annat exempel som nämns är svårigheten att, i
samband med bedömning, skilja mellan vad som är matematisk kunskap och vad som tillhör
ämnen som samhällsvetenskap eller historia. I och med att det nationella provet inte testar
elevernas relevansförmåga så finns heller inga uppgifter som tydliggör vad som efterfrågas
och på vilka nivåer. Intrycket är att man i många fall inte behandlar förmågan specifikt utan
tänker sig att eleverna tränar relevansförmågan genom att undervisningen utvecklar de övriga
matematiska förmågorna.
När det kommer till modelleringsförmågan nämns att denna är starkare kopplad till vissa
centrala innehållsområden än andra vilket blir en utmaning då den endast kan tränas i
samband med vissa avsnitt. Det poängteras också att modellering på E-nivå ligger mycket
nära procedurförmågan. Ytterligare en utmaning är att hitta lämpliga modelleringsuppgifter.
Här är läroboken en källa men fler verkar behövas. En av lärarna nämner att denne gärna
tränar elevernas modelleringsförmåga i fysikundervisningen istället för på matematiklektionerna när det passar i planeringen. Modellering ligger ibland även nära
problemlösningsförmågan som vissa av lärarna också har upplevt utmaningar med. En av
utmaningarna handlar om att det är svårt att lära ut hur eleverna ska tänka i samband med
problemlösningsaktiviteter eftersom de måste hitta egna vägar baserat på de kunskaper de har
med sig från tidigare. Det krävs också självförtroende och uthållighet från elevens sida
eftersom vägen till ett svar ofta inte är helt rak. Någon framför också att du kan fastna i din
33
problemlösning om du saknar begrepp och procedurer men inte det omvända. Ett annan
intressant iakttagelse som presenterades var att problemlösningsförmågan tycks vara den
förmåga som är känsligast för elevens talang. Med detta menar läraren att ansträngning och
engagemang inte alltid räcker för att en elev ska nå de högsta kunskapsnivåerna inom
problemlösning på samma sätt som för övriga förmågor.
Slutligen behandlas resonemang och kommunikation. Dessa förmågor är mindre tydliga vad
gäller rätt och fel, det handlar snarare om vad som är bättre eller sämre. Detta gör att det kan
vara svårare att förklara för eleverna till exempel varför en elev får ett poäng på ett prov som
inte en annan får trots att de båda tänkt likartat och kommit fram till samma svar. En annan
utmaning som kommer fram om kommunikationsförmågan är att varje elev får förhållandevis
lite tid att uttrycka sig och prata matematik på ett sådant sätt att läraren har möjlighet att
vidareutveckla individens muntliga kommunikation. Vid genomgångar kommer få elever, ofta
samma varje lektion, till tals och i gruppövningar ser inte eleverna alltid meningen i att
uttrycka sig matematisk korrekt. På så sätt blir det svårt att hitta övningar där en hel klass
tränas i kommunikation. När eleverna istället arbetar på egen hand begränsar gruppstorleken
vilka möjligheter läraren har att kommunicera med eleverna. Positivt för undervisningen inom
dessa förmågor verkar dock ha varit skolans projekt om språkutvecklande undervisning.
6.3 Ramfaktorer och andra begränsningar
Lärarna ger en tydlig bild av att det är mycket som ska hinnas med på begränsad tid i
gymnasiets matematikkurser. Ramfaktorteorins sätt att beskriva förhållandet mellan stoff,
tillgänglig tid, elevernas förkunskaper och liknande är minst sagt aktuellt även idag. Lärarna
menar att de generellt sett hade velat lägga mer tid på de olika matematiska förmågorna och
på fördjupande aktiviteter av olika slag. Det blir dock i praktiken en avvägning som påverkas
av elevernas förkunskaper och att många behöver tid att repetera och att arbeta med
grundläggande förståelse. Lärarna begränsar den tid eleverna ges till att i egen takt arbeta i
läroboken för att kunna lägga tid på aktiviteter och annan undervisning mot fler förmågor. De
berättar dock att elever idag lägger mindre tid på läxor och arbete utanför lektionstid, vilket
försvårar. Det är också så att eleverna har väldigt olika förutsättningar att arbeta hemma, de
fastnar ofta och behöver handledning från en lärare för att komma vidare. Stora klasser
34
påverkar också lärarens möjligheter att hjälpa eleverna individuellt och ont om tid försämrar
kvaliteten på den hjälp som ges. Undervisningstiden per kurs är en stor utmaning för lärarna.
Elevernas förkunskaper påverkar som sagt också lärarnas möjligheter i klassrummen. Dels
beskrivs klasser med svaga förkunskaper som utmanande men också klasser med stor
spridning i förkunskaperna. En potentiell fördom presenterades i form av synsättet att svagare
elever föredrar att börja med begrepp och procedurer och att de undviker problemlösning. Det
finns dock exempel på elever som uppskattar problemlösningen men som menar att begrepp
och procedurer är tråkigt. Många elever har haft det jobbigt med matematiken under en lång
tid och detta måste läraren förhålla sig till i undervisningen. Elevernas uppfattningar och deras
förväntningar på undervisningen kan också begränsa. Detta märktes framförallt när läroplanen
var ny. Då kom många elever från högstadiet som var vana vid tavelpedagogik och de hade
sällan eller aldrig genomfört grupparbeten i matematik. Enligt lärarna är det inte ovanligt att
eleverna inledningsvis inte gillar hur undervisningen går till eftersom den avviker från vad de
är vana vid. Eleverna brukar exempelvis berätta att de lär sig bäst vid genomgångar. Det finns
också elever som bara vill veta hur man gör och inte lägger någon vikt vid varför metoderna
fungerar. Lärarna i studien menar att man måste möta klassens syn på matematik för att
undervisningen ska ge goda resultat men att det brukar gå bra att forma om den synen gradvis.
Det är också bra att variera undervisningen för att möta individernas olikheter och deras sätt
att lära. Även uppfattningarna hos elever som har mer ledande roller i en grupp influerar vad
klassen som helhet tycker om läraren och dennes undervisningsmetoder. En annan typ av
uppfattningar som kan påverka en lärares val är andra lärares uppfattningar och den kultur
som råder på skolan. Gör andra lärare val som leder till att eleverna känner sig orättvist
behandlade kan konflikter lätt uppstå. Det finns alltså en mängd faktorer som ligger utanför
vad en lärare på kort sikt kan påverka som ändå inverkar på huruvida läraren lyckas i sin
undervisning, vissa mer generella och vissa med starkare koppling till förmågorna.
6.4 Analys av resultaten
Resultaten ovan svarar på hur lärarna arbetar med de matematiska förmågorna och vilka
utmaningar som de har upplevt i det arbetet. Om Gregoires (2003) modell för förändring av
uppfattningar används för att försöka förstå den process lärarna har gått igenom sedan Gy11
presenterades kan konstateras att motivationen och tron på sin egen förmåga i de flesta fall har
35
varit tillräckligt stark och de yttre begränsningar som lärarna beskriver har setts som
hanterbara. En av lärarna verkar dock ha känt för svag motivation för att bearbeta budskapet
om de matematiska förmågorna på djupet. Det kollegiala lärandet i samband med
matematiklyftet tycks ha haft en avgörande betydelse för att stärka lärarnas inre motivation
och för att minimera de hinder som finns runt undervisningen. Att vissa lärare inte arbetar lika
medvetet med de matematiska förmågorna i sin planering skulle kunna tyda på att budskapet
bara har bearbetats till viss del. Min mening är dock att lärarna i stort har ändrat sina
uppfattningar men att det fortfarande finns utmaningar kvar att hantera. Jag tror också att det
har tagit tid att anpassa undervisningen och att det kan vara så att det är först nu som reformen
börjar få effekt på en bredare front. Tittar man specifikt på de förmågor som förefaller
behandlas i lägre grad än övriga, nämligen modellering och relevans, skulle modellen kunna
förklara detta genom att lärarna inte tyckt att de har behövt förändra sin undervisning för att ta
upp dessa så som läroplanen föreskriver. Menar en lärare att han eller hon redan undervisar på
ett sätt som behandlar förmågan kan det resultera i att budskapet enbart behandlas på en
ytligare nivå. Det kan också handla om en bristande motivation. Yttranden som rangordnar
relevans lägst bland förmågorna kan vara tecken på detta. En annan möjlig förklaring skulle
vara att de yttre resurserna är otillräckliga. Lärarna kanske inte har fått tid till kollegiala
diskussioner om vad den aktuella förmågan innebär och hur man skulle kunna arbeta med
den. Övriga utmaningar som framträdde, utöver dem som finns närvarande i undervisningen
oavsett innehåll och arbetssätt, är att vissa kurser upplevs som svårare än andra. Eftersom
lärarna har lyckats i vissa situationer bedöms den troligaste orsaken vara otillräckliga yttre
resurser i form av tillgänglig lektionstid och kunskaper om hur man kan arbeta kopplat till
ämnesinnehållet som ska läras ut.
36
7. Slutsats och diskussion
Detta kapitel diskuterar inledningsvis resultaten i förhållande till tidigare forskning och
sammanfattar det i ett antal slutsatser. Därefter diskuteras studiens validitet följt av vilka
konsekvenser resultaten ger upphov till. Slutligen lämnas några förslag till fortsatt forskning.
7.1 Resultatdiskussion
Syftet med detta arbete är att försöka förstå och finna orsaker till varför vissa lärare bedriver
en procedurinriktad undervisning. Resultatet visar att lärare arbetar olika medvetet med de
matematiska förmågorna och att det finns olika metoder för att integrera förmågorna i
undervisningen. Positivt är att denna studie tyder på att lärarnas kunskap om förmågorna och
kursplanernas inflytande på undervisningen har ökat sedan granskningen av Bergqvist et al.
(2010), även om underlaget är för litet för att det ska vara möjligt att dra några generella
slutsatser. Jämfört med granskningen 2010 påtalas dock fortfarande att undervisning som
riktar sig mot flertalet av de matematiska förmågorna förekommer i större utsträckning på det
naturvetenskapliga programmet än på övriga program. En angenämare likhet mellan studierna
är den positiva effekt som det kollegiala lärandet verkar ha för att ge ökad kunskap om och
fokus på förmågorna i undervisningen.
Resultatet tar även upp ett antal utmaningar som i olika situationer skulle kunna leda till en
undervisning med huvudsakligt fokus på procedurer. Återkommande är att förståelseinriktad
undervisning som behandlar en bredd av matematisk kunskap kräver mer tid. I svagare klasser
hamnar fokus ofta på att eleverna ska nå godkänt och detta påverkar de val lärarna gör, precis
som beskrevs av Boesen (2006). Ett antal faktorer som skulle kunna bidra till att förklara att
undervisningen i dessa klasser främst tar upp procedurer och begrepp framkommer. Det är än
mer knappt om tid i dessa grupper. Det finns också en förskjutning mot begrepps- och
procedurförmågan i de nationella proven på E-nivå vilket gör att eleverna behöver fler av
dessa poäng. Förmågorna tycks också ligga närmre varandra på denna nivå. Om läraren menar
att eleverna behöver utveckla begreppsförståelse och lära sig procedurer innan de kan arbeta
med andra förmågor kan detta betyda att övriga förmågor inte hinns med. Det finns likheter
37
mellan detta och det synsätt som förekom i granskningen av Bergqvist et al. (2010) där lärare
menade att innehållsmålen behöver behandlas först samt i Boesens (2006) studie där vissa
lärare såg det som orimligt för svagare elever att lära sig behärska ett kreativt matematiskt
resonemang. Jag menar dock att lärarna i denna studie snarare kopplar problematiken till att
svagare grupper är mer resurskrävande än att de inte har möjligheterna att lära sig dessa saker.
Tyvärr kan alltför ont om resurser i förlängningen innebära att eleverna inte får förutsättningar
för att ta till sig fler aspekter av matematiken. Med det i åtanke blir det än viktigare att lärarna
vet hur de kan arbeta med alla matematiska förmågor på en grundläggande nivå, något som av
lärarna påtalades som svårt.
Begränsningar som en lärare måste förhålla sig till i form av klassens förutsättningar med
avseende på förkunskaper, intresse, uppfattningar om ämnet och undervisningen, med mera
framkom också tydligt. De spänningar mellan lärarens och elevernas uppfattningar som
beskrevs av Wester (2015) dyker upp i intervjuerna men de verkar vara störst i början av
gymnasietiden eller när en klass möter en ny lärare. Spänningarna verkar också ha varit större
när läroplanen var ny än vad de är idag.
Något som inte framkom lika tydligt i denna studie var läroböckernas procedurfokus som
belystes av Sidenvall (2015). Lärarna verkar ändock förhålla sig till denna problematiken
genom att de skapar egna genomtänkta exempel och genomför aktiviteter för att bredda
elevernas kunskap. Den önskan om en övningsbank som framfördes kan också tyda på ett
behov av fler resurser för lärande utöver läroböckerna i undervisningen. Likheter visas
återigen mellan denna undersökning och resultaten från Boesens (2006) studie. Det är svårare
att hitta och tar längre tid att skapa uppgifter och aktiviteter som på ett medvetet sätt arbetar
med flera matematiska förmågor.
Svårigheten i att testa de olika förmågorna på ett tydligt sätt, som framkom av denna studie,
bidrar inte nödvändigtvis till svårigheter att arbeta med förmågorna i den löpande
undervisningen men kan få allvarliga konsekvenser för huruvida lärarna lyckas sätta enhetliga
betyg. Det verkar också finnas specifika svårigheter att arbeta vidare med i de högre
matematikkurserna. Slutligen är det intressant att de två förmågor som verkar förekomma
minst i undervisningen är matematiska förmågor som inte finns representerade i grundskolan
och som dessutom ofta saknas i de ramverk för matematisk kunskap som finns internationellt.
38
7.2 Slutsatser
Resultatet av studien kan sammanfattas i följande slutsatser. Undervisning som behandlar en
bredd av matematisk kunskap kräver generellt mer tid. I grupper med svagare förkunskaper
blir den tillgängliga lektionstiden än mer begränsande. Somliga menar att procedurkunskap
tillsammans med kunskaper om begrepp behöver behandlas innan övriga förmågor kan
utvecklas på ett bra sätt, eller åtminstone i ett tidigt skede kronologiskt, vilket kan leda till att
annan kunskap inte hinns med. Det framhävs också att det är enklare att arbeta med begrepp
och procedurer. Ytterligare faktorer som kan bidra är att de matematiska förmågorna är
svårare att särskilja på E-nivå samt att poängen på det nationella provet är viktade mot
begrepps- och procedurförmågan. Det framkommer även att det upplevs som svårare att
arbeta med de matematiska förmågorna i högre kurser där innehållet blir mer abstrakt.
Slutligen är intrycket att det finns fler specifika utmaningar i arbetet med att träna framförallt
elevernas relevansförmåga men också i arbetet med modelleringsförmågan.
7.3 Validitet
När ett arbetes validitet bedöms diskuteras huruvida det har lyckats att mäta det som var
avsett att mätas (Bryman, 2011). Med andra ord handlar det om att ta ställning till om valda
metoder och det resultat som framkommer svarar mot syftet. Syftet med detta arbete var att
bidra till en ökad kunskap om varför vissa lärare bedriver en undervisning med huvudsakligt
fokus på procedurer. Undersökningen har lyft fram flertalet utmaningar i arbetet med de
matematiska förmågorna som skulle kunna leda till att lärare väljer bort vissa av förmågorna
till förmån för arbete med procedurkunskap och begreppsförståelse. Det handlar dock om ett
samspel av faktorer och förekomsten av en utmaning behöver självfallet inte leda till en
procedurfokuserande undervisning. Det kan också diskuteras om undersökningen hade gett en
mer rättvis bild av området om ett strategiskt urval hade kunnat användas. Genom att samtala
med lärare som själva bedriver en undervisning som främst berör begrepp och procedurer så
hade kopplingen mellan upplevda utmaningar och valda arbetssätt blivit starkare. Att
insamlad data tolkas och analyseras kan också leda till en svagare koppling mellan lärarens
upplevelser och det som faktiskt förklarar lärarens utformning av undervisningen. Här har
valet av semi-strukturerade intervjuer höjt validiteten. Under intervjuerna ställdes följdfrågor
39
för att säkerställa att lärarnas påståenden tolkades korrekt. Som tidigare har nämnts så
förekommer dock exempel, såsom dem Gregoire (2003) hänvisar till i hennes artikel, på att
lärare tycker sig arbeta på ett sätt som inte till fullo stämmer överens med verkligheten. För att
kunna bedöma om lärarnas bild av hur de arbetar är den korrekta skulle undersökningen
behövt kompletteras med observationer av något slag. Denna risk har dock större inverkan på
frågeställningen som rör hur lärare arbetar med förmågorna än den om vilka utmaningar de
upplevt. Studien är av kvalitativ typ vilket på grund av en mindre mängd data kan begränsa
om det är möjligt att generalisera slutsatserna. Bryman (2011) för fram att begrepp som
validitet är omdebatterade när det kommer till dess relevans för att bedöma kvalitativ
forskning. Detsamma gör Alvehus (2013) som påpekar att den verklighet som ofta studeras i
kvalitativa undersökningar sällan är oberoende av försöken att beskriva den. Jag hävdar dock
att studien har belyst en representativ del av en större helhet och på så sätt har arbetet lyckats
med syftet att bidra till en ökad kunskap om ämnesområdet.
7.4 Implikationer och fortsatt forskning
Resultatet av denna studie visar på att det finns flera olika utmaningar att ta hänsyn till när
undervisning i matematik planeras och att flera av dem skulle kunna få ett övervägande fokus
på procedurer som konsekvens. Viktigt blir att ta med sig en medvetenhet om dessa in i en
blivande yrkesroll. En stark motvikt till utmaningarna verkar emellertid vara det kollegiala
lärandet. En gemensam diskussion och möjligheter att lära av varandra kan fungera som
verktyg att hantera och minimera de utmaningar som en lärare möter. För skolledare och
liknande kan en implikation bli vikten av att tid avsetts för sådant arbete men det skulle också
kunna handla om att lärare inom liknande ämnen har arbetsstationer i närheten av varandra för
att stimulera till spontana samarbeten kring undervisningen. Studien lyfte fram några resultat
som hade varit intressant att undersöka kvantitativt. En av dem var att relevans- och
modelleringsförmågan verkar behandlas i mindre utsträckning än övriga förmågor, även av
lärare som arbetar aktivt och medvetet med förmågorna som helhet. Skulle detta kunna
kvantifieras i kommande forskning uppstår ett antal nya frågeställningar. Beror det på att
lärarna har sämre kunskap om dessa förmågor och hur man kan arbeta med dem? Har
eleverna svårare för dessa eftersom de inte förekommer på samma sätt i grundskolan? Ska
modellering- och relevansförmågan ha samma roll som övriga förmågor i läroplanen eller ska
40
de behandlas på andra sätt i undervisningen? Ett annat förslag till kommande forskning är att
relatera utmaningarna med de matematiska förmågorna och den utsträckning de förekommer i
undervisningen till vilka förmågor eleverna är starkare och svagare inom. Eleverna måste få
möjlighet att träna alla sidor av matematisk kunskap men det behöver inte innebära att alla
förmågorna i läroplanen behöver samma tid och engagemang. Om elever generellt är svagare
inom vissa förmågor kan det också innebära att undervisningen behöver stärkas inom dessa.
En annan aspekt som hade varit intressant att studera närmre är att de matematiska
förmågorna tycks svårare att arbeta med i högre kurser såsom Matematik 4. Eftersom de
klasser som läser denna kurs lyfts fram som enklare att arbeta med i övrigt kan man fråga sig
hur man vill att undervisningen ska se ut och om lärarna har de förutsättningar de behöver för
att kunna arbeta på det sättet. En sista aspekt som jag vill lyfta fram i relation till kommande
studier är utmaningarna att testa specifika förmågor och den konsekvens det skulle kunna
innebära för möjligheterna att sätta enhetliga betyg över landet. I vilken utsträckning detta är
ett problem går inte att svara på baserat på denna studie men om så är fallet känns det
angeläget att minimera denna svårighet.
41
Referenser
Alvehus, Johan (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: En handbok. Stockholm: Liber.
Bergqvist, Ewa, Bergqvist, Tomas, Boesen, Jesper, Helenius, Ola, Lithner, Johan, Palm,
Torulf & Palmberg, Björn (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens
ändamålsenlighet. Gymnasieskolan hösten 2009. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikutbildning.
Bergqvist, Tomas, Boesen, Jesper & Nyroos, Mikaela (2010). Vad vet vi om hur
matematiklärare arbetar för att utveckla elevers matematikkunskaper? Göteborg och Umeå:
NCM, Göteborgs universitet och UFM, Umeå universitet.
Boesen, Jesper (2006). Why emphasise imitative reasoning? Teacher made tests. Research
Reports in Mathematics Education (No. 3). Umeå: Institutionen för matematik och
matematisk statistik, Umeå universitet.
Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder (rev. uppl.). Malmö: Liber.
Graneheim, Ulla H., & Lundman, Berit. (2004). Qualitative content analysis in nursing
research: concepts, procedures and measures to achieve trustworthiness. Nurse Education
Today, 24(2), 105-112.
Gregoire, Michele (2003). Is it a challenge or a threat? A dual-process model of teachers’
cognition and appraisal processes during conceptual change. Educational Psychology Review,
15(2), 147–179.
Kilpatrick, Jeremy, Swafford, Jane, & Findell, Bradford (2001). Adding it up: Helping
children learn mathematics. Washington, DC: National Academic Press.
Lindblad, Sverker, Linde, Göran & Naeslund, Lars (1999). Ramfaktorteori och praktiskt
förnuft. Pedagogisk Forskning i Sverige. Årg. 4 nr 1, s. 93–109.
42
Lundgren, P. Ulf (2014). Läroplansteori och didaktik – framväxten av två centrala områden. I
Ulf P. Lundgren, Roger Säljö & Caroline Liberg (Red.), Lärande, skola, bildning: grundbok
för lärare (3. uppl., s. 139-221). Stockholm: Natur & Kultur.
Mullis, Ina V. S., & Martin, Michael O. (2007). TIMSS in perspective: Lessons learned from
IEA’s four decades of international mathematics assessments. Lessons learned: What
international assessments tell us about math achievement, 9-36.
NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston: National Council of
Teachers of Mathematics.
Niss, Mogens & Højgaard Jensen, Tomas (2002). Kompetencer och Matematiklæring. Ideer
og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens
temahæfteserie nr. 18 - 2002. Köpenhamn: Undervisningsministeriet.
OECD (2016). How teachers teach and students learn; Successful strategies for school.
(Education Working Paper No. 130). Paris: OECD.
Sidenvall, Johan (2015). Att lära sig resonera: Om elevers möjligheter att lära sig
matematiska resonemang (Licentiatavhandling, Studies in Science and Technology
Education, 86). Linköping: Linköping University Electronic Press. Tillgänglig:
http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-117759.
Skolinspektionen (2010). Undervisningen i matematik i gymnasieskolan. (Rapport 2010:13).
Stockholm: Skolinspektionen.
Skolinspektionen (2016). Senare matematik i gymnasieskolan (matematik 3c). Stockholm:
Skolinspektionen.
Skolverket (2000). Kursplaner och betygskriterier i matematik. Stockholm: Skolverket.
Hämtad från http://ncm.gu.se/node/3606.
Skolverket (2011a). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Skolverket.
Hämtad från: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2608.
43
Skolverket (2011b). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för
gymnasieskola 2011. Hämtad från http://www.skolverket.se/publikationer?id=2705.
Skolverket (2011c). Om ämnet. Matematik. Stockholm: Skolverket. Hämtad från
http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat.
Skolverket (2013). PISA 2012 - 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och
naturvetenskap. (Rapport 398). Stockholm: Skolverket. Hämtad från:
http://www.skolverket.se/publikationer?id=3126
Skolverket (2016a). PISA 2015. 15-åringars kunskaper i naturvetenskap, läsförståelse och
matematik. (Rapport 450). Stockholm: Skolverket. Hämtad från
http://www.skolverket.se/publikationer?id=3725.
Skolverket (2016b). Slutredovisning: Uppdrag att svara för utbildning. Stockholm:
Skolverket. Hämtad från http://www.skolverket.se/publikationer?id=3701.
Skolverket (2016c). TIMSS Advanced 2015. Svenska gymnasieelevers kunskaper i avancerad
matematik och fysik i ett internationellt perspektiv. (Rapport 449). Stockholm: Skolverket.
Hämtad från http://www.skolverket.se/publikationer?id=3708.
Vetenskapsrådet (u.å.). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Hämtad från http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf.
Wedege, Tine (2008). Varför misslyckades det? Nämnaren, (3), 43-47.
Wester, Richard (2015). Matematikundervisning från ett elevperspektiv. ”Det är klyddigt”
(Licentiatiuppsats, Malmö Studies in Educational Sciences, 36). Malmö: Malmö högskola,
Lärande och samhälle. Tillgänglig: http://dspace.mah.se/handle/2043/18169.
44
Bilaga 1. Intervjuguide
Generellbakgrundsinformation
•
Kanduberättavadduheterochhurgammalduär?
Specifikbakgrundsinformation
•
•
•
Hurlängeharduarbetatsomlärare?
Harduerfarenhetfrånfleraskolor?
Vilkagymnasieprogramundervisarduimatematik?
Deförstafrågornahandlaromhurduarbetarmeddematematiskaförmågornasomtasuppav
läroplanen,närduplanerarochgenomfördinundervisning.
•
•
•
•
•
•
Kandubeskrivapåvilketsättduarbetarmeddematematiskaförmågornanärduplanerar
dinundervisning?
Påvilkasättärförmågornanärvarandeiolikaskedenavenkurs?(texgrovplaneringinfören
kurs/ettavsnitt,planeringavspecifikalektioner,isambandmedprovellerbedömningosv)
Hurkanenvanliggenomgångseutinågonavdinaklasser?Vilkenrollspelarförmågornaett
sådantsammanhang?(texgenomvilkentypavfrågorsomställstilleleverna,vilkauppgifter
somväljs,elevernasdelaktighet)
Brukardugenomföranågraspeciellaaktiviteterföratttränaolikaförmågor?Kandugenågra
exempel?Huroftagörnisådant?
Brukardupånågotsättsynliggöraförelevernavilkaförmågorniarbetarmed?
Hardinundervisningförändratsunderårennärdetkommertillvadsomärifokusunder
matematiklektionerna?Påvilketsätt?
Denandradelenavintervjunhandlaromeventuellautmaningarsomduharupplevtiarbetet,med
avseendepådematematiskaförmågorna.
•
•
•
•
•
•
•
•
Harduupplevtnågrautmaningarmedattbehandlaalladesjumatematiskaförmågornai
undervisningen?
Omduintekännerduattdulyckastauppallaförmågoridenutsträckningduhadeönskat,
vilkafaktorerärdetsombegränsar?Finnsdetnågotsomhadekunnathjälpadigiarbetet?
Ärdetnågonskillnadihurlättellersvårtdetärattarbetamedförmågornaiolikaklasser?
(texpåolikaprogramelleriolikakurser)
Ärvissaförmågorenklareattarbetamedänandra?
Uppleverduattförmågornaärberoendeavvarandra?
Uppleverduattundervisninginomvissaförmågorförutsätterattelevernaharutvecklat
andraförmågor?
Ärvissaförmågorviktigareänandraförattelevernaskaklarasinakurser?
Kännerduattdusomlärareharfåttgodamöjligheterattläradigomdematematiska
förmågornaisambandmedattläroplanenförändrades?
45
