Mälardalens högskola
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
MMA127 Differential och integralkalkyl II
Tentamen – Lösningsförslag
2009.03.19
08.30–11.30
Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den
sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 0–11 p: U. 12–16 p: 3.
17–21 p: 4. 22 p eller mer: 5.
Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 073–763 27 88
Övriga anvisningar: • Skriv läsbart. • Se till att det framgår vad svaret på frågan är.
• Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. • Om du inte klarar
en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en
förklaring till vad du skulle ha gjort. • Om du i en uppgift behöver ett resultat
från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den
så att det går att komma vidare. • Du behöver inte utföra krångliga numeriska
beräkningar; det är OK att svara t.ex. 5 · 67 .
1. Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till funktionen
f (x, y) = −4x3 + 6x2 + 12xy − 24x − 3y2
(5p)
Lösning:
Det finns inga singulära punkter. Det vi kan hoppas att hitta är punkter med
derivatorna noll.
∂f
= −12x2 + 12x + 12y − 24 = 0
∂x
∂f
= 12x − 6y = 0
∂y
Nedre ekvationen är enklast; den ger y = 2x. Detta insatt i övre ekvationen ger
−12x2 + 12x + 12 · 2x − 24 = 0
−12x2 + 36x − 24 = 0
x2 − 3x + 2 = 0
p
2
x = 1,5 ± 2,25 − 2 = 1,5 ± 0,5 =
1
De intressanta punkterna är alltså (2, 4) och (1, 2). För att klassificera punkterna
behöver vi andraderivatorna:
A=
∂2 f
= −24x + 12
∂x2
B=
1
∂2 f
= 12
∂x∂y
C=
∂2 f
= −6
∂y2
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 2 (av 8)
Kontroll av diskriminanten:
(2, 4) : AC − B2 = (−24 · 2 + 12) · (−6) − 122 = 72 > 0
extrem. C = −6 < 0 ⇒ max
(1, 2) : AC − B2 = (−24 · 1 + 12) · (−6) − 122 = −72 < 0
sadel
Funktionen har ett maximum i (2, 4), (1, 2) är en sadelpunkt.
Rättningsnorm: Deriverat rätt: 1 p. Hittat nollställena: +2 p. Korrekta andraderivator: +1 p. Korrekt klassificering: +1 p.
2. (a) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation:
y00 − 8y0 + 16y = 0
(2p)
(b) Ta fram allmänna lösningen till följande differentialekvation:
y00 − 8y0 + 16y = 6e4x
(Observera att vänsterledet är samma som i a-uppgiften!)
(2p)
(c) Bestäm den lösning till ekvationen i b som uppfyller följande randvillkor: y(0) = 2, y(1) = 10e4x . (Om du inte lyckades lösa b så gör
samma sak för ekvationen i a istället.)
(1p)
4
Tryckfel i frågan, andra bivillkoret skulle vara y(1) = 10e .
Lösning:
(a) Karaktärisktisk ekvation:
r2 − 8r + 16 = 0
⇒
r =4±
p
42 − 16 = 4 ± 0 = 4
Dubbelrot. Lösningen till ekvationen är
y = (Ax + B)e4x
Rättningsnorm: Rätt karaktäristisk ekvation: 1 p. Rätt lösning, baserat på
ekvationens rötter: +1 p.
(b) Lösningen sätts ihop av en homogenlösning och en partikulärlösning, och
homogenlösningen har vi redan. Partikulärlösningen fordrar en ansats. Givet högerledet 6e4x verkar y p = Ce4x bra, men detta är en av homogenlösningarna och kommer därför inte att fungera. (Det märker man om man
sätter in den!) En bättre ansats är y p = p(x) · e4x , där vi än så länge inte vet
vad p(x) är. Detta ger:
y p = p(x) · e4x
y0p = p0 (x) · e4x + p(x) · 4e4x = p0 (x) + 4p(x) · e4x
y00p = p00 (x) + 4p0 (x) · e4x + p0 (x) + 4p(x) · 4e4x
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 3 (av 8)
= p00 (x) + 8p0 (x) + 16p(x) · e4x
vilket insatt i ekvationen ger
y00p − 8y0p + 16y p = p00 (x) + 8p0 (x) + 16p(x) · e4x
− 8 p0 (x) + 4p(x) · e4x + 16p(x) · e4x
= p00 (x) · e4x
Vi borde ha fått högerledet 6e4x , så p00 (x) = 6. I så fall fungerar p0 (x) = 6x,
p(x) = 3x2 . (Behövs inga ” + C”, eftersom vi bara är ute efter en av de
möjliga lösningarna.) Så y p = 3x2 e4x , vilket ger den allmänna lösningen
y = 3x2 e4x + (Ax + B)e4x = (3x2 + Ax + B)e4x
Rättningsnorm: Korrekt ananalys av en felaktig ansats: 1 p. Korrekt ansats,
men ej lösning: 1 p. Lösning som gav det korrekta svaret: 2 p.
(c) Första bivillkoret ger
y(0) = (3 · 02 + A · 0 + B)e4·0 = B = 2
Andra bivillkoret ger nu
y(1) = (3 · 1 + A · 1 + 2)e4·1 = (5 + A)e4 = 10e4
⇒
A=5
så y = (3x2 + 5x + 2)e4x .
Rättningsnorm: Korrekt angreppssätt: 1 p.
3. (a) Förklara vad det innebär att en funktion f är deriverbar i punkten
(x, y) = (a, b).
(1p)
Lösning:
Att f x (a, b) och fy (a, b) båda är definierade.
Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? Trodde jag! Jag menade att
f var en funktion R2 → R, men flera har tolkat frågan som att y = f (x),
och att b = f (a). Denna tolkning är inte orimlig, så jag får acceptera svar
som är korrekta givet denna innebörd hos frågan. Dessutom har en del tolkat frågan som ”nämn någon konsekvens av att funktionen är deriverbar”,
vilket givet formuleringen inte heller är orimligt. Sådana svar ger därför
också poäng, och jag ska formulera mig klarare i fortsättningen!
(b) Förklara vad det innebär att en funktion f är differentierbar i punkten (x, y) = (a, b).
Lösning:
Att funktionen i en omgivning till (a, b) kan approximeras med en linjär
funktion med ett fel som går mot noll snabbare än avståndet till (a, b).
(Går att formulera på ett antal mer eller mindre formella sätt, det här var
en mellanvariant.)
Rättningsnorm: Vad som helst som med lite välvilja kan tolkas som att
man fattar innebörden i begreppet ger poäng.
(1p)
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 4 (av 8)
(c) Vi har ytan
x2 + y2 − z2 = −1
Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan i punkten (x, y, z) =
(2, −2, −3).
(3p)
Lösning:
Via funktionsuttryck
Vi vet hur man hanterar en funktionsyta, så vi försöker skriva om den här
ytan till en sådan:
q
x2 + y2 − z2 = −1 ⇒ z2 = x2 + y2 + 1 ⇒ z = ± x2 + y2 + 1
Den punkt som vi ska undersöka har ett negativt z-värde, så det måste vara
negativa roten som gäller.
x
f x (x, y) = − p
q
x 2 + y2 + 1
z = f (x, y) = − x2 + y2 + 1 ⇒
y
fy (x, y) = − p x2 + y2 + 1
I den givna punkten har vi f x (2, −2) = −2/3, fy (2, −2) = 2/3. Tangentplanet blir då
z = f (2, −2) + f x (2, −2)(x − 2) + fy (2, −2) y − (−2)
2
2
= −3 − (x − 2) + (y + 2)
3
3
2
2
1
=− x+ y−
3
3
3
Rättningsnorm: Korrekt löst ut z (med minustecken): 1 p. Deriverat korrekt: +1 p. Satt upp planets ekvation: +1 p.
Via nivåyta
Den givna ytan är en nivåyta till funktionen
g(x, y, z) = x2 + y2 − z2
Funktionens gradient pekar i den riktning där värdena ökar fortast, vilket
är vinkelrätt mot nivåytan. Den är alltså en normalvektor till nivåytan.
∇g(x, y, z) = hg x (x, y, z), gy (x, y, z), gz (x, y, z)i = h2x, 2y, −2zi
I punkten blir det
∇g(2, −2, −3) = h4, −4, 6i
Planets ekvation kan nu tas fram med punkt–normal:
h4, −4, 6i·hx − 2, y + 2, z + 3i = 0
4(x − 2) − 4(y + 2) + 6(z + 3) = 0
4x − 4y + 6z + 2 = 0
(Om vi multiplicerar med 1/6 och flyttar över z ser vi att det är samma
svar som i föregående beräkning.
Rättningsnorm: Korrekt beräknad gradient: 1 p. Kommit vidare till ett
plan: +2 p. Inte kommit rätt, men visat att man har ett hum om hur ett
plans ekvation tas fram: +1 p.
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 5 (av 8)
4. Vi har integralen
Z1 Z2
y cos(1 + x3 ) dx dy
0 y/2
(a) Rita upp integrationsområdet.
(1p)
(b) Beräkna integralen.
(4p)
Lösning:
Det var en siffra fel i frågan, och det gjorde den betydligt svårare än vad som
meningen var. Rättningen kommer därför att göras på ett mycket snällt sätt!
(a) Området kan skrivas y/2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1:
Området är parallellepipeden nertill. (Andra gränsen för y skulle ha varit 4,
så att området blev en snygg triangel.)
Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel?
(b) Att integrera uttrycket som det nu står är inte genomförbart, så för att komma någonstans alls måste man byta integrationsordning.
För att uttrycka området först i y får vi dela det i en triangel och en rektangel: 0 ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ x ≤ 0,5 tillsammans med 0 ≤ y ≤ 1, 0,5 ≤ x ≤ 2.
På första delområdet får vi:
I1 =
=
Z0,5 Z2x
0 0
Z0,5 "
0
=
=
y cos(1 + x3 ) dy dx
Z0,5
0
Z0,5
0
#2x
y2
3
cos(1 + x ) dx
2
0
!
(2x)2
02
3
3
cos(1 + x ) −
cos(1 + x ) dx
2
2
2x2 cos(1 + x3 ) dx
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
1 + x3 = t
dt
=
3x2 =
dx
2x2 dx = 2 dt
3
=
1,125
Z
Sida 6 (av 8)
x = 0,5 ⇒ t = 1,125
x=0⇒t=1
2
cos t dt
3
1
#1,125
2
=
sin t
3
1
2
= (sin 1,125 − sin 1)
3
"
På andra delområdet får vi
I2 =
Z2 Z1
y cos(1 + x3 ) dy dx
0,5 0
=
Z2 "
0,5
=
Z2
#1
y2
cos(1 + x3 ) dx
2
0
!
12
02
3
3
cos(1 + x ) −
cos(1 + x ) dx
2
2
0,5
=
Z2
cos(1 + x3 )
dx
2
0,5
och här ger man sig.
Rättningsnorm: Insett att man ska byta integrationsgränser: 1 p. Korrekt
uttryckt områdena: +1 p. Löst den inre integralen: +1 p. Fixat den första yttre integralen: +1 p. En uträkning som visar att man åtminstone kan
principerna för dubbelintegraler ger 1 p.
5. För de som läste kursen hösten 2008:
Vi har kurvan r = θ2 , −π ≤ θ ≤ π. (Polära koordinater.)
(a) Skissa kurvan (Du kan använda approximationen π ≈ 3; det blir
tillräckligt rätt.)
(3p)
Lösning:
Gör upp en värdetabell. r blir samma för positiva och negativa θ, så det
räcker med värden för ena halvan av varvet. π/8 (22,5◦ ) är ganska lätt att
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 7 (av 8)
sikta på vid ritning, så vi går med den steglängden:
θ
0
π/8
π/4
3π/8
π/2
5π/8
3π/4
7π/8
π
r
0
0,14
0,56
1
2,25
3,52
5,06
6,89
9
Radien ökar med vinkeln, så vi får en expanderande spiral. Andra halvan
av kurvan är en likadan spiral, fast medurs. Tillsammans ger de ovanstående bild.
Rättningsnorm: Någon form av vettig start: 1 p. Bild som ser ut som någon
form av potatis: +1 p. Helt korrekt bild (hjärtformad): +2 p.
(b) Beräkna arean av det område som omsluts av kurvan.
(2p)
Lösning:
För araberäkning i polära koordinater gäller formeln
A=
Zb
r2
dθ
2
a
vilket med aktuella värden insatta ger
A=
Zπ
(θ2 )2
dθ =
2
−π
Zπ
−π
" 5 # pi
θ
θ4
π5 (−π)5 π5
dθ =
−
=
( ≈ 61,2)
=
2
2 · 5 −π 10
10
5
(Någon form av approximation är bra att göra, så kan man rimlighetsgranska svaret i relation till figuren.)
Rättningsnorm: Rätt formel: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p.
För övriga:
Kurvan y = x2 − 3x och x-axeln begränsar tillsammans ett ändligt område.
(a) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring
x-axeln.
(2p)
Lösning:
Kurvan skär x-axeln vid x = 0 och x = 3. Vid rotation runt x-axeln används
skivmetoden:
V=
Z3
tjocklek
0
3
Z
z}|{
π(x − 3x) dx = π (x4 − 6x3 + 9x2 ) dx
| {z }
2
radie
2
0
MMA123 Tentamen 2009.03.19 Lösningsförslag
Sida 8 (av 8)
x5 6x4 9x3
=π
−
+
5
4
3
"
#3
=
0
81π
10
Rättningsnorm: Korrekt formel: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p.
(b) Bestäm volymen av den kropp som erhålls om området roteras kring
linjen x = −1.
(3p)
Lösning:
Vid rotation runt en vertikal axel används skalmetoden:
V=
Z3
0
höjd
Z
}|
{
z
2
2π x − (−1) 0 − (x − 3x) |{z}
dx = 2π (−x3 +2x2 +3x) dx
| {z }
radie
tjocklek
#3
" 4
2x3 3x2
45π
x
+
=
= 2π − +
4
3
2 0
2
Radien är avståndet till rotationsaxeln, höjden är avståndet mellan överkant och underkant på området.
Rättningsnorm: Helkorrekt formel: 2 p. Formel som på något sätt virrat till
någon detalj: 1 p. Korrekt beräkning: +1 p.
Lycka till!
