Mekanik F, del 2 (FFM521)

R
θ
are r and R, respect
angle θ with the ho
of inertia around its
Figure 8.45
Ω
m
Mekanik F, del 2 (FFM521)
r
Veckans tal
21. Rolling lollipop *
Consider a lollipop
radially pierced by m
ground (see Fig. 8.4
its center moving in
R
Christian Forssén, [email protected]
(a) Find the angul
(b) What is the no
Uppdaterad:
March8.46
17, 2014
Figure
22. Rolling coin ***
Ett mynt som spinner kring en vertikal axel kommer snart att förloraInitial
energi conditions ha
och börja wobbla på bordsytan (se figur). Vinkeln θ kommer gradvis att
circle, as shown in
minska tills myntet slutligen faller. Antag
att
denna
process
är
långsam
r
θ
circle
och betrakta en period då vinkeln θ är konstant. Vi kan också anta
att of radius R, a
masscentrum är stillastående. Myntets radie är R. Myntet rullar utan att
R
The coin rolls witho
glida och kontaktpunkten rör sig med frekvensen Ω runt bordsytan.
as needed.)
(a) Vad är myntets vinkelhastighet
uttryckt i det kroppsfixa as
x1 x2large
x3 Figure 8.47
systemet?
point on the ground
Veckans tal: Gyroskoprörelse (överbetygsdel)
(b) Hur stor är periodtiden för kontaktpunktens cirkelrörelse och vad händer
då vinkeln θ går mot noll?
x2
x3
R
θ
Ω
23. Wobbling coin **
If you spin a coin a
energy and begin a
table will decrease,
this process is slow,
with the table (see
motionless. Let R b
which the point of c
coin rolls without sl
Figure 8.48
(a) Show that the
x̂2 points upwa
Lösning:
(see Fig. 8.27).
Vi inför en rumsfix axel Ẑ och betraktar myntet i ett koordinatsystem x1 x2 x3
(b) Show that
som roterar med vinkelhastigheten ΩẐ. I detta system är kontaktpunkten
(som vi kallar för A) alltid vid ~rA = −Rx̂2 .
(c) Show that Abe
gawea) appears
θ
circle, as shown in Fig.
circle of radius R, and th
The coin rolls without sli
as large as needed.) What
point on the ground? Sho
r
R
Figure 8.47
x2
x3
R
θ
Ω
23. Wobbling coin ****
If you spin a coin around
energy and begin a wobb
table will decrease, and e
this process is slow, and c
with the table (see Fig.
motionless. Let R be the
which the point of contac
coin rolls without slipping
Figure 8.48
(a) Show that the angul
Alt. 1: Vi kan faktiskt inse redan från början att rotationsvektornx̂2måste
points upward al
ligga längs med x2 -axeln. Vi vet ju nämligen att både myntets mittpunkt
(see Fig. 8.27).
samt kontaktpunkt är momentant stilla, och dessa måste därmed definiera
Show that
riktningen på rotationsvektorn. Men låt oss visa detta explicit (b)
nedan.
Alt. 2: Myntets totala rotationsvektor består av ovanstående precessionsrörelse
samt ett spinn runt symmetriaxel x3 , dvs
(c) Show that Abe (or T
ω
~ = Ωẑ + ν x̂3 .
gawea)
(1) appears to ro
I det roterande koordinatsystemet syns enbart spinnrörelsen. Punkten A
rör sig därmed med hastigheten ~vA,rel = νRx̂1 relativt myntets mittpunkt.
Samtidigt gäller att denna punkts absoluta hastighet är noll då vi har rullning
utan glidning. Sambandet
0 = ~vA = ~vA,rel + Ωẑ × ~rA = νRx̂1 + ΩR cos θx̂1 ,
(2)
ger att ν = −Ω cos θ. Dvs spinnet är riktat längs med negativa x3 -axeln
(vilket verkar rimligt om vi tänker oss hur kontaktpunkten rör sig sedd från
myntets mittpunkt). Slutligen får vi då den totala rotationsvektorn från (1)
med ẑ = cos θx̂3 + sin θx̂2
ω
~ = Ω sin θx̂2 .
(3)
(b) För att få periodtiden behöver vi ett värde för rotationshastigheten.
Detta kan vi få mha av vridmomentsekvationen. Vi väljer naturligt det
stillastående masscentrum som utgångspunkt.
Tröghetsmomentet kring x2 -axeln är I2 = mR2 /4 och rörelsemängds~ = I~ω , med ekv. (3), L
~ = I2 Ω sin θx̂2 . Tidsmomentet fås ur sambandet L
derivatan blir
2
~
dL
~ ×L
~ = Ω mR (Ω sin θ) cos θ(−x̂1 ).
=Ω
(4)
dt
4
Denna tidsändring måste ges av ett applicerat vridmoment. Detta vridmomentet, map masscentrum, kommer från normalkraften. Notera att denna
är lika stor som tyngdkraften och att det inte kan finnas någon sidledes friktionskraft eftersom masscentrum står still! Vi får
~ = mgR cos θ(−x̂1 ).
M
(5)
~ = ~L˙ fås slutligen precessionshastigheten och motsvarande
Med rörelseekvationen M
periodtid
s
r
g
R sin θ
,
T =π
.
(6)
Ω=2
R sin θ
g
Vi noterar att periodtiden går mot noll då θ → 0, dvs myntet wobblar allt
snabbare.