MATEMATIK
Karlstads universitet
2012-08-24, kl 8.14-13.15
Hjälpmedel: Inga
Ansvarig lärare: Håkan Granath
Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet.
Poäng ges endast för helt korrekta svar.
1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera:
√
(a) Förenkla log4 (6) − 2 log4 ( 3) så långt som möjligt.
(b) Förenkla cos(arctan(4/3)).
√
(c) Bestäm f 0 (4) om f (x) = x x .
√
3 + x2 − 2
.
(d) Beräkna gränsvärdet lim
x→1
x−1
(e) Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = i + j + 4k och v = i − 2j − 2k.
(f) Bestäm x5 -koefficienten i polynomet (x + 3)7 .
(g) Lös ekvationen 7 + 8 cos x = 4 sin2 x.
(h) Beräkna summan
50
X
(4k + 8).
k=1
5
5
(i) Ekvationen x +2y = 3xy bestämmer y som en funktion av x i närheten
av (x, y) = (1, 1). Bestäm y 0 (1).
(j) Betrakta intervallen A = (−1, 3], B = (1, 4) och C = [0, 2]. Bestäm
(A ∩ B) ∪ C.
(k) Formulera negationen till utsagan "Varje hund kunde minst tre konster".
(l) Bestäm medelpunkt och halvaxlar för ellipsen
x2 − 2x + 4y 2 + 16y + 13 = 0.
Var god vänd!
Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa.
√
2x + 30 + x + 3 = 0
3
+ 2x ≥ 5.
(b) Lös olikheten
2x − 1
(c) Lös ekvationen ln(ex + 3) = x + ln 3.
2. (a) Lös ekvationen
(1.5p)
(1.5p)
(1p)
3. (a) Bestäm ekvationen för planet som innehåller punkterna (3, 1, 1) och
(0, 1, 2) och som är vinkelrät mot planet x + y + z = 1.
(2p)
(b) Bestäm kortaste avståndet från planet x + 2y − 3z = 1 till punkten
(2, 3, 1).
(2p)
4. Lös ekvationen z 3 + 8i = 0. Svara på formen z = a + bi, med a, b ∈ R.
1 3
5. (a) Bestäm inversen till matrisen A =
och lös matrisekvationen
2 7
1 2
XA =
3 4
(2p)
(b) Om B och C är inverterbara matriser, lös ekvationen BXC = B 2 + C 2 .
√
6. Visa att f (x) = x + 3 − 1 är inverterbar och bestäm dess invers. Ange
definitions- och värdemängd för f −1 samt rita graferna y = f (x) och y =
f −1 (x) i samma koordinatsystem.
(1p)
7. Bestäm den eller de tangenter till kurvan y = x2 + x som passerar punkten
(0, −1).
(2p)
(2p)
(3p)
