Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp B6.1 1-2) Korrekta 3) Felaktig (Enheten skall inte vara med här; om exempelvis m2 = 10 kg, så är m2 g = 98, 1 N. Uttrycket m2 g N innehåller då enheten dubbelt upp.) 4) Felaktig (Vänsterledet är en kraft, men högerledet har dimensionen (massa)−1 .) 5) Korrekt 6) Felaktig (Faktorn L1 ω12 i högerledet är en acceleration, som multipliceras med en dimensionslös faktor, nämligen kvoten mellan två massor.) 7) Korrekt 8) Felaktig (Sista termen är en acceleration, övriga är krafter.) B6.2 Innan du tittar på lösningen, rekommenderas att du genomför uppgiften nedan. Enligt Newtons andra lag gäller att F = ma, där F är resultanten till de verkande krafterna, egentligen ΣF . Detta innebär att resultanten är riktad åt samma håll som accelerationsvektorn. I den högra kolumnen i figuren på nästa sida är accelerationsvektorerna utritade för de åtta fallen. I fall f) har dessutom de verkande krafterna ritats in i den vänstra kolumnen och deras resultant i den mittersta. Som synes är resultanten riktad åt samma håll som accelerationen i överensstämmelse med Newtons andra lag. Din uppgift är nu att komplettera figurerna för de övriga sju fallen. a) a b) a c) AA AA AAA AA AA AAA AA AA AA AAA AAA AA AAA AA AAA AAAAAA AAA AAAAAAAA AAA AA AA AAA AAA a a a d) a AA AA AA AA AA AA AAA AA AA AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAA AAA AAAAA AA AA AA AA AA AAA AAA AAA AAA e) a a a a f) S a mg g) h) AAA AA AA AAA AAA AA AA AA AA AA AA a a Här följer den korrekta lösningen: AAAAAA AAAAAAAAA AAAAA AA AA AA AA N N a) e) F mg mg mg mg mg b) f) S S mg mg c) g) P N F mg mg mg mg N h) d) F N F mg mg På nästa sida följer några kommentarer till vanliga fel och missuppfattningar, som brukar förekomma i dessa sammanhang. a) En kraft i rörelsens riktning åt höger kan tyda på uppfattningen att det behövs en kraft för att upprätthålla rörelsen. Så är dock inte fallet enligt tröghetslagen. En pil framåt beskrivs ibland som ”den kraft pucken fått” vid tillslaget eller som en ”levande kraft”. Detta är och förblir fel. Pucken påverkas endast av en framåtriktad kraft så länge den är i kontakt med hockeyklubban. Denna kraft ger pucken en begynnelsehastighet riktad framåt. Denna hastighet minskar sedan successivt på grund av friktionskraftens inverkan. b) En pil längs bantangenten i rörelsens riktning kan tyda på samma uppfattning som gällde liknande pil i fall a). En kraft utåt längs radien tyder på så kallat centrifugalkrafttänkande. Detta misstag är vanligt i uppgifter där ett föremål följer en cirkelbana. Det som vi i dagligt tal brukar kalla centrifugalkraft är dock inte en verklig kraft i den Newtonska mekanikens mening; se kommentar till fall f-h) nedan. c) och e) Pilar i bantangentens riktning kan tyda på missuppfattningar av samma slag som nämndes i fall a) och b). Kraft får inte förväxlas med hastighet eller med begreppet rörelsemängd, som behandlas i kapitel 6.3. En horisontell kraft rakt åt höger i varje läge under luftfärden kan motsvara en besläktad missuppfattning; samtidigt som kroppen åker upp och ner på grund av tyngdkraften så ”driver” den åt höger påverkad av ”någonting”, oklart vad. Någon sådan kraftkälla finns dock inte. Bollen får en horisontell hastighetsomponent då den sparkas eller kastas iväg. Denna behåller den sedan under luftfärden, åtminstone om luftmotståndet är försumbart, vilket vi här förutsatte. Vid själva utsparken i c) skall givetvis finnas en stor kraft (P ) nära nog i tangentens riktning. Motsvarande gäller vid studsen i e). d) En bakåtriktad kraft kan tolkas som att man tänker på lådans tendens att glida av flaket på den accelererande bilen. Eftersom lådan tenderar att glida bakåt, blir friktionskraften från flaket riktad framåt, Friktionskraften är alltid riktad motsatt den riktning som lådan ”önskar” glida i. I sjäva verket har ju lådan samma acceleration som bilen eftersom den inte glider, och därför ingen acceleration bakåt. Även om lådan skulle glida bakåt relativt flaket skulle dess absoluta acceleration (relativt en jordfast referensram) vara riktad framåt, låt vara med ett mindre belopp än bilens. Denna acceleration åstadkoms av friktionskraften, som är den enda horisontella kraften. f), g) och h) I dessa situationer utför kroppen cirkelrörelse. Kroppens tendens att ”vilja” ge sig iväg utåt tillskrivs ofta en ”centrifugalkraft”. En pil utåt ritas då för denna ”kraft” som inte är verklig, utan vad man kallar en fiktiv kraft. I fall h) ligger det nära till hands att betrakta förloppet sett från en passagerares perspektiv. En person som sitter till höger i bilens framsäte ”vill” enligt tröghetslagen fortsätta rakt fram i tangentens riktning. När då bilen svänger åt vänster, pressas passageraren mot bildörren, i synnerhet om säkerhetsbältet inte används. Detta upplever passageraren som att en utåtriktad kraft verkar och hittar då en förklaring i form av en centrifugalkraft. För passageraren är det ju naturligt att betrakta sin situation med bilen som referensram. I förhållande till denna är ju personen i vila, och det känns därför naturligt för hjärnan att ”uppfinna” en utåtriktad kraft som tillsammans med kraften från bildörren satisfierar jämviktsvillkoren. Problemet med detta undermedvetna resonemang, är att bilens referensram inte är en inertialram. Jämviktsvillkoren skall inte vara uppfyllda. Passageraren och bilen har i själva verket en acceleration riktad mot cirkelbanans centrum. Genom en friktionskraft i fall g) och h) eller en snörkraft i fall f) får kraftresultanten ΣF just denna riktning. Om friktionen plötsligt skulle upphöra i fall h), till exempel genom att bilen passerar en isfläck, fortsätter bilen rakt fram, det vill säga i tangentens riktning, helt enligt tröghetslagen. Den avlägsnar sig då förstås från centrum; ”centrifugal” = ”från centrum flyende”.