Om logaritmens historia och dess betydelse

Om logaritmens historia
och dess betydelse
Anders Källén
Matematikcentrum, LTH
arför behövs logaritmer? Det enkla svaret är att inte mycket matematik klarar sig utan dem. Men intressantare är
kanske att förstå varför någon kom att tänka
på dem för första gången. Logaritmer uppkom för att förenkla rent räknearbete. Multiplikation (och ännu mer division) har alltid
varit besvärligt, speciellt när man måste arbeta med stora tal, såsom inom astronomin.
Finessen med logaritmer är att de överför den
komplicerade multiplikationen på den betydligt enklare additionen. Och division på subtraktion. I den här artikeln ska vi diskutera
den historiska utvecklingen som ledde först
till detta, och sedan vidare till sambandet
med de trigonometriska funktionerna.
V
Om ränteräkning och
potensfunktioner
ränta, så ska jag efter ett år ha tillbaka K(1 + r)
kronor. Att låna ut pengarna på 2 år innebär att
man först lånar ut K kronor på ett år, och därefter
beloppet K(1+r) kr i ett år, vilket betyder att det jag
ska ha tillbaka är K(1 + r)2 kr. I den här situationen
säger man att lånet kapitaliserar sig årligen. Med
årlig kapitalisering blir lån som löper över n år värt
K(1+r)n kr. Det räcker att diskutera en enda utlånad
krona (K = 1), och det är bekvämt att skriva a =
1 + r. Talet an betyder då a multiplicerat med sig
självt n gånger, och vi har den självklara räkneregeln,
känd redan av Arkimedes1 ,
(1)
an · am = an+m
där n, m är positiva heltal. Vi ser att vi måste definiera
1
a−n = n ,
a
om vi vill att Arkimedes potensregel ska gälla för alla
heltal, eftersom det ska gälla att a−n an = a0 = 1.
Men då ser vi också att an /am = an−m . Observationen man gör är väldigt viktig: addition i exponenten svarar mot multiplikation av talen. Det är
denna observation som ligger bakom det stora steg
mot att förenkla komplicerade räkningar som logaritmerna innebär. En annan viktig observation är att
(am )n = anm , vilket vi inser av att
Vid medeltidens slut skapades de långa oceangående
handelslederna, och för att kunna navigera rätt
krävdes av kaptenen att han rimligt fort kunde
utföra komplicerade numeriska räkningar (involvernade de trigonometriska funktionerna). En annan
nödvändighet var upprättandet av finansiella institutioner typ banker, som kunde låna ut pengar. Sedan
kyrkan väl accepterat att kristna fick ta ut ränta, så (am )n = am . . . am = (a . . . a) . . . (a . . . a) = anm .
| {z }
| {z }
kan man säga att en nödvändig förutsättning för den
m stycken
m stycken
spirande kapitalismen var att metoder uppfanns för
snabb ränteräkning.
Men man måste definiera ax också för tal x som inte
Om jag lånar ut K kr till en räntesats på 100r% årlig är heltal. Vad händer t.ex. om du ska låna ut 1 kr
1
till en årlig ränta på 100r%, men ska ha tillbaka
pengarna på ett halvår? Om vi betecknar det du
ska betala med a1/2 , så är det väl rimligt att, om vi
lånar ut de pengarna i ytterligare ett halvår, så ska
det vara samma sak som att vi lånat ut pengarna
ett helt år från början. Detta betyder a1/2 · a1/2 = a,
så a1/2 ska lösa ekvationen x2 = a. Med andra ord,
√
vi måste ha att a1/2
= a. Allmänt är det inte svårt
√
att se att ap/q = q ap , eftersom vi ska ha att
(ap/q )q = aq·p/q = ap .
Vi kan förbättra approximationen genom att också
räkna ut värdet av 2x för alla mittpunkter i intervallen ovan, alltså i punkter
√ på formen k + 1/2.
Först beräknar vi 21/2 = 2 = 1.414213562373095
till en hög (16 decimaler) precision3 . Sedan kan vi
beräkna 2x när x är mittpunkten i ett intervall genom
att multiplicera
detta med
√
√ en lämplig potens av två:
21.5 = 2 · 2, 22.5 = 22 · 2 etc. Början på den delen
av tabellen, med en precision av fyra decimaler, blir
x
2x
Vi har därför definierat en funktion x → ax för alla
rationella x. Den är växande, eftersom a > 1, vilket
betyder att det finns bara ett sätt att definiera den för
irrationella x, så att den förblir växande. Med andra
ord: funktioner som uppfyller Arkimedes potensregel
går att definiera på precis ett sätt för alla reella tal x
så att de blir växande funktioner, och (1) fortsätter
att gälla. Kravet är att a > 1, men vi kan också
definiera den för 0 < a < 1, genom ax = ( a1 )−x , och
vi ser att sådana funktioner blir avtagande istället.
För alla gäller att a0 = 1.
0.5
2.8284
5.5
90.510
1.5
5.6569
6.5
181.02
2.5
11.314
7.5
362.04
3.5
22.627
8.5
724.08
4.5
45.255
Ritar vi om figuren ovan, får vi nu korrekta värden
på 2x för alla x = n/2, där n är heltal, och bättre
approximation än i tabellen ovan för övriga reella tal.
Vi fortsätter sedan detta genom att halvera även de
nya, kortare intervallen. Vi måste då först räkna ut
21/4 = 1.189207115002721, för att sedan få 23/4 =
21/4 · 21/2 = 1.68179283050743. Sedan kan vi hitta motsvarande punkter i de övriga mittpunkterna
genom att multiplicera en av dessa med en lämplig
Exempel 0.1. Låt oss repetera diskussionen ovan multipel av två. Vi får en tabell som börjar
genom att beräkna 2x för olika x. Låt oss börja med
x
0.25
0.75
1.25
1.75
2.25
att beräkna uttrycket för alla naturliga tal mellan 1
2x 1.1892 1.6818 2.3784 3.3636 4.7568
och 13:
n
2n
0
1
7
128
1
2
8
256
2
4
9
512
3
8
10
1024
4
16
11
2048
5
32
12
4096
6
64
13
8192
2.75
6.7272
3.25
9.5137
3.75
13.4543
4.25
19.027
Om vi tittar på grafen vi ritar, så kan vi göra en
liten observation. När vi gör bättre och bättre approximationer av kurvan y = 2x , så går vi tillväga på
Vi kan rita detta så att vi plottar dessa punkter i en följande sätt. Till ett givet heltal p > 0 beräknar vi
x
p
graf och förbinder de olika punkterna med räta linjer. a i alla punkter k/2 där k genomlöper heltal från
p
1 till T · 2 där T är höger ändpunkt i intervallet
En del av denna kurva illusteras nedan.
(13
i vårt exempel). Sedan förbinder vi dessa punkter
2n
med räta linjer. Varje approximation är därför en
polygon, vars graf är en styckvis linjär kurva. När
100
vi gör indelningen finare och finare, kommer dessa
kurvor att närma sig (konvergerar mot) en kurva som
helt saknar hörn (utom i ändpunkterna).
50
2x
100
0
0
2.5
5
n
50
Från en sådan figur kan vi, för olika reella tal x,
avläsa en approximation av vad 2x är, genom att se
vilket y-värde som svarar mot x. Detta ger oss rätt
svar i heltalspunkterna, men endast en approximation
däremellan2 .
Om logaritmens historia och dess betydelse
0
•epost: [email protected]
0
2.5
5
x
page 2 of 9
Slutligen kan vi utvidga tabellen/grafen till att gälla tal är troligen den högre matematikens viktigaste tal,
för x < 0 genom att använda att 2−x = 21x .
t.o.m. viktigare än π. Vi ser nu att
r
r n
r n
(1 + )n = (1 + ) r ·r = ((1 + ) r )r → er ,
Från denna diskussion är det mindre än ett stenn
n
n
kast till logaritmerna. Men trots att potensfunktionär antalet kapitaliseringar n går mot oändligheten
nen i princip var känd åtminstone på 1300-talet,
(n måste inte vara ett heltal i diskussionen). Funktiogjorde användandet av romerska siffror att det innen x → ex , som alltså är en av potensfunktionerna,
te gick att genomskåda dess värde för beräkningar.
kallas exponentialfunktionen. Dess matematiska beDess användning vid ränteräkning sköttes under
tydelse kan inte nog understrykas, vilket vi snart ska
lång tid genom att man gjorde omfattande tase.
beller för utlåning under olika långa tidsrymder,
för olika räntesatser4 . Men när behovet av snabba Anmärkning 1. Exponentialfunktion eller potensberäkningsmetoder kom, tillsammans med införandet funktion? Uttrycket xy definierar en funktion som
av det decimala talsystemet, så gjordes en av histo- rätteligen ska kallas en potensfunktion om vi håller
riens viktigaste upptäckter – av personer som nog y fix, och ser uttrycket som en funktion av x. Det
definierar en exponentialfunktion om vi håller x fix
inte riktigt förstod vad de gjorde.
och
ser det som en funktion av y. Inte helt i linje
Innan vi diskuterar logaritmen, låt oss återvända
till problemet att beräkna räntan och när man ska med hur vi gjorde diskussionen ovan.
kapitalisera. När man lånar ut pengar kan man fixera
den årliga räntan, men låta låntagaren betala tillbaka
Multiplikationens och divisionens
lånet lite när det passar denne. Hur mycket ska hen
då betala tillbaka? Om vi kapitaliserar n gånger per bemästring – logaritmfunktionen
år, och utlåningsräntan är 100r%, så ska man efter
Vi ska nu göra följande viktiga observation som
ett år betala tillbaka
en fortsättning på exemplet i föregående avsnitt.
r
(1 + )n kr
Nämligen att vi kan använda diskussionen där till
n
att multiplicera två tal genom att bara addera och
per lånad krona. I tabellen nedan ser vi vad som läsa av resultatet från grafen till exponentialfunktiohänder om vi har 100% ränta (r = 1).
nen, kurvan y = 2x . Som exempel vi tar 35 · 174. Vi
söker då det x som uppfyller 35 = 2x , och för det går
Antal Att betala Kommentar
då in på värdet 35 på y − axeln i figuren för att, via
1 2.0000000
grafen, finna värdet x = 5.1293. På samma sätt ser
2 2.2500000
vi att 174 = 2y då y = 7.4429. Detta är illustrerat
4 2.4414063
nedan,
8 2.5657845
2x
12 2.6130353 månatlig
16 2.6379285
32 2.6769901
64 2.6973450
128 2.7077390
6089
256 2.7129916
365 2.7145675 daglig
512 2.7156320
1024 2.7169557
8760 2.7181267 varje timme
525600 2.7182792 varje minut
174
31536000 2.7182818 varje sekund
35
Vi ser att det vi ska betala växer med antalet kapitalix
y
x + yx
seringar, men det växer mot en gräns som börjar med
2.718.... Det exakta talet är irrationellt, och därför
Nu gäller att
inte möjligt att skriva exakt. Istället har man, efter
Euler, gett det den universella beteckningen e. Detta 35 · 174 = 25.1293 · 27.4429 = 25.1293+7.4429 = 212.572 .
Om logaritmens historia och dess betydelse
•epost: [email protected]
page 3 of 9
För att få det slutliga svaret behöver vi avgöra vilket
tal 212.572 är, och det ser vi direkt i grafen. Det visar
sig vara ungefär 6089. Nästan rätt, men inte helt.
Och det beror på att vi inte räknar med oändlig
precision, utan bara en ganska låg sådan.
Den observation vi gjorde ovan ligger till grund för
logaritmerna. Den som brukar anges som logaritmens uppfinnare är John Napier. Men det låg i tiden, och ett motsvarande arbete gjordes mer eller
mindre samtidigt av schweizaren Bürgi. Men ingen
av dessa två förstod nog egentligen vilken upptäckt
de gjort, och hade det inte varit för andra hade
deras arbete förmodligen mest varit historiska paranteser. I modern terminologi kan man säga att
Napiers metod svarar mot att man som logaritm tar
107 log1/e medan Bürgis logaritm hade basen 1.001
(av beräkningsmässiga skäl). Upptäckten dessa män
gjorde, var att man kunde skapa en speciell sorts
tabellverk som gjorde det möjligt att på ett mycket
enklare sätt än tidigare utföra inte bara komplicerade
multiplikationer och divisioner, utan också rotutdragningar. Här var det Napiers tabellverk, vilket han
efter 20 års idogt arbete presenterade år 1614 i en bok
som bar den latinska titeln Mirifici Logarithmorum
Canonis Descriptio (Beskrivning av den underbara logaritmregeln), som kom att få den överlägset
största betydelsen.
Detta, i sin tur, berodde inte på Napier själv, utan
på att professorn i geometri i Oxford, Henry Briggs,
plötsligt såg ljuset och reste till Edinburgh för att
träffa Napier. Troligen förklarade Briggs då för Napier vad denne gjort. Och vad som borde göras istället
– nämligen tabeller över det vi kallar 10-logaritmen.
Briggs första tabell publiserades 1617 och innehöll
logaritmen för alla heltal mellan 1 och 1000, med 8
siffrors noggrannhet. 1624 utkom Arithmetica Logarithmica som innehöll 40000 logaritmer, för vilket
Briggs hade tvingats beräknat rötter upp till 54:e
ordningen5 och gett resultaten med 30 decimaler.
bellverk som gav potenser av olika reella tal, så att
man kunde använda dessa när man skulle multiplicera (eller dividera eller beräkna rötter). Med tanke på att vi skriver tal i decimalsystemet, så insåg
han fördelen med att använda basen 10 istället. Vi
behöver nämligen då bara hitta exponenterna x för
tal mellan 1 och 10. Och multiplikation med 10 är
väldigt enkelt. För att förtydliga, för att beräkna
35 · 174 räcker det om vi kan hitta x och y sådana
att 3.5 = 10x och 1.74 = 10y , eftersom vi har att
35 · 174 = 103 · 3.5 · 1.74. Briggs och hans medarbetare
byggde upp tabellen i vilka första kolonnen innehåller
10x , medan den andra innehåller x (alltså givet y,
vad är x). Man kunde därför slå upp i tabellen att
3.5 = 100.5441 ,
1.74 = 100.2405 .
Med hjälp av detta får vi nu att
35 · 174 = 103 · 3.5 · 1.74
= 103 · 100.5441 · 100.2405 = 103 · 100.7846 .
Sedan går vi baklänges i tabellen och letar i andra
kolonnen upp 0.7846 och ser efter vad det står i första
kolonnen på samma rad. Det visar sig vara 6.090.
Multiplicera med 1000 och vi får tillbaka vårt gamla
svar 6090.
I mer matematiskt språkbruk: om talet i första kolonnen är y, så innehåller andra kolonnen det tal x
som är sådant att y = ax (där vi ovan hade a = 10).
Detta tal x kallas a-logaritmen för y och vi betecknar
den x = loga y. Omvänt kallade man y för antilogaritmen för x (medan vi kallar det en potens). I Briggs
tabeller var alltså a = 10, och det är detta tal som
kallas basen för logaritmen (det finns alltså en logaritmfunktion till varje a > 0). Man skriver ofta lg y
för log10 y.
Men logaritmerna förenklar inte bara multiplikation,
utan också division och rotutdragningar. Om vi t.ex.
Men med Briggs verk fick astronomer och andra i sin vill räkna ut 174/35, så beräknar vi lg 174 − lg 35 =
hand ett verktyg som, enligt Pierre-Simon Laplace, 0.69648, och slår sedan upp att detta svarar mot talet
var
4.9715 (eller vad nu tabellverket ger). På samma
sätt drar vi lätt tredje roten ur 174 genom att först
“ett beundransvärd knep som, genom att reberäkna (lg 174)/3 = 0.74685 och sedan slå upp att
ducera till ett par dagar arbete som tidigare
det svarar mot talet 5.58277.
tog många månader, fördubblar livslängden
för astronomen, och skonar honom fråm de
Sin fundamentala roll i praktiskt räknearbete kom
fel och den avsky som är oskiljaktig från
logaritmerna att spela ända fram till 1970-talet, då
långa beräkningar.”
miniräknarna började dyka upp. Till sin hjälp hade
Det Briggs upptäckte är egentligen den praktiska den som gjorde bräkningarna6 en enkel men viktig
betydelsen av diskussionen vi startade detta avsnitt uppfinning: räknestickan (se Box 1).
med. Vad han insåg var att man behövde göra ta-
Om logaritmens historia och dess betydelse
•epost: [email protected]
page 4 of 9
Box 1 Räknestickan
En räknesticka är ett mekaniskt redskap för numeriska beräkningar, som var vanlig innan miniräknare
fanns.
Räknestickan är ett linjalliknande verktyg med en
mittendel som kan skjutas i sidled. Alla tre delar
är försedda logaritmiska skalor vilket gör att man
genom att flytta mittendelen kan muliplicera och
dividera tal. På så sätt utnyttjar en räknesticka det
faktum att summan av logaritmerna av två tal är lika
med logaritmen av produkten av talen. (På många
räknestickor finns även andra skalor för beräkning
av t.ex. trigonometriska funktioner.)
baklänges, alltså till ett givet x vill hitta det y som
är sådant att loga y = x sa man tidigare att man
tog anti-logaritmen. Motsvarande funktion är exponentialfunktionen f (x) = ax , för vilken vi har den
fundamentala likheten
f (x + y) = f (x)f (y).
Ur detta följer att f (0) = 1 och vi har också att
f (1) = f (loga a) = a.
y
y = ax
y = loga (x)
1
1
Antalet nollor eller läget för decimalkomma ingår
inte i räkningarna. Det får man själv hålla reda på.
Som räknestickans uppfinnare räknas den engelske
matematikern William Oughtred, som 1622 kombinerade två skalor med John Napiers logaritmer för
att direkt utföra multiplikation och division.
Logaritmer som funktioner och den
fundamentala
exponentialfunktionen
Finessen med logaritmfunktionen är alltså att den
överför multiplikation på addition. Om vi låter f (x)
beteckna någon av logaritmfunktionerna (dvs efter
att vi valt en bas a), så gäller att
f (xy) = f (x) + f (y).
Det som skiljer logaritmfunktionerna åt, är för vilket tal funktionen antar värdet ett. Det är det som
definierar basen; om alltså f (a) = 1 så gäller att
f (x) = loga x. Vi kan notera att för alla logaritmfunktioner gäller att f (1) = 0, vilket å ena sidan är
självklart om vi tänker på vad det betyder, men å andra sidan följer av formeln ovan om vi tar x = y = 1.
Då får vi nämligen att f (1) = 2f (1), vilket betyder att f (1) = 0. När man läser en logaritmtabell
Om logaritmens historia och dess betydelse
x
Relationen mellan logaritmfunktionen och exponentialfunktionen i samma bas åskådliggörs i figuren ovan.
Om vi t.ex. tar en logaritm-tabell (säg 10-logaritmen)
och plottar för varje tal x vad logaritmen y blir, så
får vi den blå kurvan i figuren. Där kan vi för varje x
läsa av y. Men vi kan också för varje y avläsa vilket
x som har den som logaritm. Exponentialfunktionen
är denna, omvända, process, men när vi ritar denna funktion, vill vi avläsa dess värde y för olika x.
För att få exponentialfunktionens graf ska vi därför
spegla logaritmfunktionen i linjen y = x.
År 1647 observerade en fransman vid namn Grégoire
de Saint-Vincent att om vi beräknar arean under
kurvan z = 1/x ovanför intervallet [1, x], så får vi
en funktion som uppfyller logaritm-relationen ovan.
Detta påstående är ekvivalent med att arean över intervallet [y, xy] under kurvan ifråga alltid är lika stor
för fixt x, oberoende av vad y är. Det är egentligen
bara ett skalargument som ligger bakom, see Box 2.
Logaritmfunktion i fråga får som bas det tal a som
är sådant att arean ovanför [1, a] är ett. Detta tal
visar sig vara e, och motsvarande logaritmfunktion
skrivs ln x och kallas den naturliga logaritmen.
Det finns egentligen ingen anledning att diskutera
allmänna logaritm- eller potensfunktioner, ty känner
vi en, känner vi alla. Inom matematiken har det
visat sig bekvämt att arbeta med basen e, vilket
betyder att vi bara använder oss av den naturliga
•epost: [email protected]
page 5 of 9
Box 2 Logaritm-funktionen som en area
För att se varför de Saint-Vincent’s observation är
sann, låt oss kalla arean under kurvan z = 1/x
ovanför intervallet [1, x] för A(x). Den är illustrerad
i gult i figuren nedan för x = 3. För detta ska vi
använda de svarta siffrorna som anger skalan, och
storleken på arean är hur många kvadrater med
sidan 1 den utgörs av (klipp sönder den gula arean
och försök passa in den i enhetskvadraten, så ser vi
att den fyller den och det blir lite över. Mer precist
är arean 1.0986, så det blir ungefär en tiondels gul
area över.) Om längdenheten är cm, är detta vad
det betyder att A(3) = 1.0986 cm2 .
3
2 (1)
z
1
1 (2)
z=
0
0
1 ( 21 )
1
x
2 (1)
x
z=
1
22 x
3 ( 32 )
4
Låt oss nu ändra längdskala. Vi kallar den nya
längdskalan fot, och är sådan att 1 cm = y fot.
I figuren är det illustrerat i blått för y = 1/2. Vi
ser att 1 cm svarar mot 1/2 fot etc. Ekvationen
för kurvan ändras nu, eftersom det är nya x-värden
som ska ge de gamla höjderna. Den blir z = 1/y 2 x,
vilket är y −2 gånger den gamla ekvationen. Intervallet vi integrerar över blir nu [y, xy], så det gula området har en area som är y −2 gånger A(x)
fot2 . Men 1 fot2 = y −2 cm2 , så det följer att arean
under kurvan z = 1/x över intervallet [y, xy] är lika med A(x) oavsett vad y är. Men den arean är
A(xy)−A(y), så vi får att A(xy) = A(x)+A(y). A(x)
måste alltså vara en logaritmfunktion (att A(1) = 0
är självklart).
Ytterst handlar alltså observationen av att arean
under kurvan y = 1/x över ett intervall [a, ab] är
oberoende av a.
Den inversa operationen, exponentialfunktionen, är
kanske matematikens viktigaste funktion. Vi ska
därför titta närmare på den här. Först konstaterar
vi två saker
• En exponentialfunktion f (x) = ex uppfyller villkoret f (x + y) = f (x)f (y), och är de enda (differentierbara) funktionerna som gör det.
• Det gäller att f 0 (x) = f (x).
Det första påståendet har vi redan diskuterat. Det
andra kan förklaras och motiveras på en mängd olika
sätt. Det enklaste är kanske att utgå ifrån funktionalekvationen och derivera den7 med avseende på y, vilket ger att f 0 (x + y) = f 0 (y)f (x). Sätter vi nu y = 0,
så följer att f 0 (x) = f 0 (0)f (x), och det vi måste visa
är att riktningskoefficienten för tangenten till kurvan
y = ex är ett då x = 0. Tangenten till y = ex i
punkten där x = 1 är spegelbilden i linjen y = x av
tangenten till grafen till y = ln x i x = 1, som vi vet
är 1, vilket visar påståendet.(Vi kan f.ö. notera att
om f (x) = ax så gäller att f 0 (x) = kf (x), k = ln a,
vilket kan motiveras på olika sätt beroende på vad
man vill använda; ytterst handlar det om att skillnaden mellan ax och ex är en skaländring.)
Så vad vi har visat är att sambandet f (x + y) =
f (x)f (y) innebär att f (x) = ekx för någon konstant
k. Men det finns en annan operation som uppfyller
samma additionsformel, nämligen en rotation. Om vi
låter R(θ) beteckna rotation runt en punkt, moturs
vinkeln θ, så gäller att R(θ1 )R(θ2 ) = R(θ1 + θ2 )!
Dessutom är R(θ) en 2π-periodisk funktion, vilket
gör att det verkar på något sätt finnas ett samband
mellan exponentialfunktionen och de trigonometriska
funktionerna.
Komplexa tal
För att förstå exponentialfunktionen bättre, liksom
dess relation till de trigonometriska funktionerna,
måste vi binda ihop de reella talen med rotationer i
planet till att skapa en utvidgning av de reella talen.
logaritmen och exponentialfunktionen. Till allmän Denna utvidgning, de komplexa talen, har visat sig
bli av oändlig betydelse inom matematiken. Här ska
potensfunktion går vi genom
vi dock nöja oss med att använda de komplexa talen
ax = (eln a )x = e(ln a)x ,
till att förklara en metod för multiplikation som
användes några årtionden innan logaritmen dök upp,
och till allmän logaritm
bl.a. av den danske astronomen Tycho Brahë, och
ln x
som byggde på additionsformler för sinus och cosinus
loga y =
.
ln a
funktioner.
Läsaren kan övertyga sig själv om hur dessa formler Låt oss först förklara vad vi menar med en utvidgning
hänger ihop.
av de reella talen. Det vi vill ha är tal z sådana att
Om logaritmens historia och dess betydelse
•epost: [email protected]
page 6 of 9
vi kan addera och multiplicera olika sådana på ett Lägg märke till att vi än så länge bara kan peka på
sådant sätt att det gäller att
dessa komplexa tal och med hjälp av passare och
linjal addera och multiplicera dem. De är väldigt
• Addition är kommutativ, vilket betyder att
abstrakta än så länge. Men vi ska snart råda bot på
z1 + z2 = z2 + z1
det.
Först dock några specialfall. Linjen R(π)R+ blir en
• Den distributiva lagen gäller, vilket betyder att stråle som utgår från O men går i motsatt riktning
till de reella talen. Men det betyder att att talen där
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
blir de negativa talen, vilka erhålls genom att vi mulVi definierar dessa tal z utifrån postiva reella tal och tiplicerar med (−1). Alltså: R(π) = −1. Subtraktion
rotationer. Varje komplext tal kan skrivas på precis av reella tal blir då addition av två komplexa tal:
ett sätt som z = R(θ)r, vilket betyder att vi tar talet r1 − r2 = r1 + (−1)r2 . Inget nytt: vi brukar sätta
reelr på den reella halvstrålen från origo O och roterar ihop de två strålarna till en oändlig linje, de
2 = 1:
la
talen.
Däremot
förklarar
det
varför
(−1)
den vinkeln θ.
(−1)2 = R(π)R(π) = R(2π) = R(0) = 1. I ord:
(−1)2 betyder rotera först ett halvvarv, sedan ytterR(θ)r
ligare ett, vilket betyder att vi kommer tillbaka till
utgångspunkten.
θ
r
1=
(−1)2
−1
Men hur ska vi då definiera dessa operationer, addiOm vi roterar R+ bara 90 grader moturs så får
tion och multiplikation?
vi en stråle vinkelrät mot den reella axeln. Av be• För addition tänker vi på addition av två po- kvämlighetsskäl inför vi en speciell beteckning för
sitiva reella tal som förflyttningar: för att få det tal man får om man roterar ett: i = R(π/2)1.
r = r1 + r2 ska vi utgå ifrån en punkt, som vi Det kallas den imaginära enheten, av skäl som snart
kallar 0, och gå först r1 längdenheter för att se- ska framgå. Dess kanske viktigaste egenskap är att
dan gå r2 längdenheter i samma rikning. Då har i2 = R(π/2)i = R(π/2)R(π/2)1 = R(π/2 + π/2)1 =
vi gått r längdenheter från 0. En förflyttning be- R(π)1 = −1, vilket är skälet till att man ofta skriver
skrivs av en vektor, vilket är något som har både i = √−1. Den motsatta halvstrålen är R(3π/2)R ,
+
längd och riktning. Talet z = R(θ)r definerar och tillsammans utgör dessa två den imaginära axeln
en förflyttning längden r i rikning av vinkeln θ där varje tal kan skrivas ir, där r är ett reellt tal
(relativt den positiva reella axeln). Addition får (positivt eller negativt).
vi genom två på varandra följande förflyttningar,
såsom visas i figuren nedan.
z1 + z2
z1
i
z2
1
2
i = −1
z2
z1
Men nu ser vi också att p.g.a. hur additionen är
definierad gäller att varje komplext tal kan skrivas
Denna figur visar också varför additionen blir
z = a+ib där talen a och b är reella tal. Dessutom att
kommutativ.
z1 +z2 = (a1 +ib1 )+(a2 +ib2 ) = (a1 +a2 )+(b1 +b2 )i
• Multiplikation definierar vi på det uppenbara och att
sättet: om zi = R(θi )ri så gäller att
z1 · z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 )
= a1 (a2 + ib2 ) + a2 (a2 + ib2 ) =
z1 z2 = R(θ1 + θ2 )r1 r2 .
Att den distributiva lagen gäller följer direkt av
den geometriska betydelsen.
Om logaritmens historia och dess betydelse
a1 a2 + i2 b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i
= a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i.
•epost: [email protected]
page 7 of 9
Vi kan definiera exponentialfunktionen ez för komplexa tal som ez = R(b)ea om z = a + ib. Den funktion vi då skapar får den egenskap som definierar en
exponentialfunktion:
ez1 +z2 = R(b1 + b2 )ea1 +a2
= R(b1 )ea1 R(b2 )ea2 = ez1 ez2 .
Speciellt följer nu att
Dessa trigonometriska formler är alltså ett sätt att
uttrycka potenslagen för den komplexa exponentialfunktionen och är äldre än logaritmlagarna. Faktum är att de t.o.m användes ett kort tag som ett
hjälpmedel för att multiplicera tal. Detta var så sent
som i slutet av 1500-talet, och t.ex. Tycho Brahe och
hans medarbetare använde dessa metoder (medan
Kepler räknade med logaritmer). Det man behöver
är följande konsekvens av den första lagen ovan
1
(4) cos θ1 · cos θ2 = (cos(θ1 + θ2 ) + cos(θ1 − θ2 ))
2
eib = R(b)1,
vilket är den beteckning vii fortsättningen använder
för att beskriva det tal vi får om vi roterar ett b
radianer moturs. Om vi tänker oss detta som en
rörelse, så ser vi att eftersom
som följer av att cos(−θ) = cos θ medan sin(−θ) =
− sin θ. För att använda detta för multiplikation
krävs att man redan konstruerat trigonometriska
tabeller, och sådana fanns sedan länge eftersom ef• vinkelns storlek är lika med längden av den båge tersom de trigonometriska funktionera var helt fundamentala för astronomin – den äldsta av vetenskaman rör sig längs enhetscirkeln, och
• rörelsen sker vinkelrätt mot ortsvektorn för talet perna. Nästa exempel visar hur man gick tillväga.
att derivatan av eit är ieit .
Exempel 0.2. Låt oss illustrera förfarandet genom
att (som tidigare) multiplicera 174 och 35. Det första
vi gör är att skriva
ieit
174 · 35 = 0.174 · 0.35 · 105 .
eit
t
Trigonometriska identiteter och
prostaferesis
Om vi använder att
iθ
e = cos θ + i sin θ
Sedan slår vi i en tabell upp vilka vinklar θ1 och θ2
som svarar mot de två första faktorerna, d.v.s. lösa
cos θ1 = 0.174 och cos θ2 = 0.35. Tabellerna på den
tiden gav resultat i grader, minuter och sekunder,
men om vi arbetar med radianer ska vi få att (med
fyra decimaler) θ1 = 1.3959 och θ2 = 1.2132. Sedan
beräknar vi θ1 +θ2 = 2.6091 och θ1 −θ2 = 0.18270 och
motsvarande cosinus-värden: cos(2.6091) = −0.86154
och cos(0.18270) = 0.98336. Sätter vi nu in i formeln
ovan får vi att
0.174 · 0.35 = 0.5(−0.86154 + 0.98336) = 0.060910.
Multiplicerar vi med 105 får vi att 174 · 35 = 6091,
vilket igen är nästan rätt (men inte helt).
tillsammans med potenslagen
Denna multiplikationsmetod kallas prostaferesis, en
term som kommer från de grekiska orden för addition
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 · eiθ2
och subtraktion. Den hade en del praktiska problem,
bl.a. (som vi såg) måste man ha trigonometriska tafår vi att cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) =
beller till hög precision om man vill ha god precision
cos θ1 ·cos θ2 −sin θ1 ·sin θ2 +i(cos θ1 ·sin θ2 +sin θ1 ·cos θ2 ) i svaret. Dessutom var det så att man vid tiden då
metoden dök upp (1500-talet), mätte vinklar i graIdentifierar vi här real- och imaginärdelarna får vi der, minuter och sekunder, och då är addition och
att
subtraktion av vinklar inte helt trivialt (sexigesimalt
system). Division med två var också ett litet problem,
(2)cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 · cos θ2 − sin θ1 · sin θ2
så det är inte konstigt att Brigg’s logaritm-tabeller
(3)sin(θ1 + θ2 ) = cos θ1 · sin θ2 + sin θ1 · cos θ2
snabbt kom att ersätta dessa.
Om logaritmens historia och dess betydelse
•epost: [email protected]
page 8 of 9
Noteringar
1. Arkimedes hade funderingar kring hur många
sandkorn som fanns i världen och insåg att det var ett
stort tal. Han föreslog faktiskt att skriva väldigt stora tal
ska man använda 10-potenser istället för de bokstäver
som användes för mindre tal.
2. En approximation som fås genom linjär interpolation
3. Vi behöver många decimaler eftersom vi ska
multiplicera med stora tal.
4. Vilket förenklades av att kyrkan hade anbefallt en
maximal räntesats på 10%.
√
5. Alltså 54 x
6. computer på engelska
7. Vi får då anta att funktionen är deriverbar.
Om logaritmens historia och dess betydelse
•epost: [email protected]
page 9 of 9

Om logaritmens historia och dess betydelse

Related documents

Products

Support

Om logaritmens historia och dess betydelse

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib