2320 a
Utgå ifrån y = sin 𝑥
Om vi subtraherar 25° från vinkeln x,
så kommer den att "senareläggas" med 25°
och således förskjuts grafen åt höger
y = sin(x − 25°)
Svar: C = −25°
b
Utgå ifrån y = sin 𝑥
Om vi adderar 90° till vinkeln x,
så kommer den att "tidigareläggas" med 90°
och således förskjuts grafen åt vänster
y = sin(x + 90°)
Svar: C = 90°
c
I uppgiften framgår inte om vi ska förskjuta
funktionens graf åt höger eller vänster.
Vi börjar med vänster.
Utgå ifrån y = sin 𝑥
Om vi adderar 180° till vinkeln x,
så kommer den att "tidigareläggas" med 180°
och således förskjuts grafen åt vänster
y = sin(x + 180°)
Nu förskjuter vi grafen åt höger.
Utgå ifrån y = sin 𝑥
Om vi subtraherar 180° till vinkeln x,
så kommer den att "senareläggas" med 180°
och således förskjuts grafen åt höger
y = sin(x − 180°)
Betraktar vi graferna så ser vi att
y = sin(x + 180°) är identisk med
y = sin(x − 180°)
Vilket förklaras av att de är inbördes förskjutna 360°
och sinus är periodisk med 360°
Svar: C = 180° eller C = −180° ger samma resultat
d
Utgå ifrån y = sin 𝑥
π
Om vi adderar till vinkeln x,
4
så kommer den att "tidigareläggas" med
π
radianer
4
och således förskjuts grafen åt vänster
π
y = sin (x + )
4
Svar: C =
π
4
2321 a
Utgå ifrån y = cos 𝑥
Om vi subtraherar 40° från vinkeln x,
så kommer den att "senareläggas" med 40°
och således förskjuts grafen åt höger
Svar: y = cos(x − 40°)
b
Utgå ifrån y = cos 𝑥
Om vi adderar 25° till vinkeln x,
så kommer den att "tidigareläggas" med 25°
och således förskjuts grafen åt vänster
Svar: y = cos(x + 25°)
c
Utgå ifrån y = cos 𝑥
π
Om vi adderar till vinkeln x,
6
så kommer den att "tidigareläggas" med
och således förskjuts grafen åt vänster
π
Svar: y = cos (x + )
6
π
radianer
6
d
Utgå ifrån y = cos 𝑥
2π
Om vi subtraherar
till vinkeln x,
5
så kommer den att "senareläggas" med
och således förskjuts grafen åt höger
Svar: y = cos (x −
2π
)
5
2π
radianer
5
2322
f(x) = sin(x − 20°) är förskjuten åt höger med 20°,
och har dessutom ingen höjdledsförskjutning,
jämfört med y = sin 𝑥
Den enda grafen vi kan välja är
alternativ a)
g(x) = sin(x − 20°) är förskjuten åt vänster med 20°,
och har dessutom ingen höjdledsförskjutning,
jämfört med y = sin 𝑥
Den enda grafen vi kan välja är
alternativ c)
⋮
⋮
h(x) = sin x + 0.5 är inte förskjuten i sidled,
dock har den en höjdledsförskjutning på 0.5
jämfört med y = sin x
Den enda grafen vi kan välja är
alternativ b)
2323
Graferna är endast förskjutna i x-led
och kan därmed uttryckas som
y = sin(x + C)
Då 6 rutor i x-led motsvarar 180°,
motsvarar 1 ruta i x-led 30°
2
Den gula grafen är förskjuten cirka 1 3 ruta åt vänster,
motsvarande 50° och får därmed funktionsuttrycket
y = sin(x + 50°)
Den blåa grafen är förskjuten cirka 1 ruta åt höger,
motsvarande 30° och får därmed funktionsuttrycket
y = sin(x − 30°)
2324 a
Generell formel för sinusfunktionen
y = A cos(Bx + C) + D
Amplitud
A
Period
2π 360°
=
B
B
Förskjutning x-led
C
−
B
Förskjutning y-led
D
Kommentar:
Sätt vinkeln för sinus lika med noll
C
Bx + C = 0 ⇔ x = −
B
y = 3 cos(x + 10°)
y = 3 cos(1 ⋅ x + 10°) + 0
Identifiera A, B, C och D
A=3
B=1
C = 10°
D=0
Amplitud ∶ 3
360° 360°
Period ∶
=
= 360°
B
1
Kommentar: x-leds förskjutningen på 10° påverkar inte amplitud eller period.
Svar: Amplitud ∶ 3 , Period ∶ 360°
b
Generell formel för sinusfunktionen
y = A sin(Bx + C) + D
Amplitud
A
Period
2π 360°
=
B
B
Förskjutning x-led
C
−
B
Förskjutning y-led
D
Kommentar:
Sätt vinkeln för sinus lika med noll
C
Bx + C = 0 ⇔ x = −
B
π
y = sin (2x + )
3
π
y = 1 ⋅ sin (2x + ) + 0
3
Identifiera A, B, C och D
A=1
B=2
π
C=
3
D=0
Amplitud ∶ 1
2π 2π
Period =
=
=π
B
2
Kommentar: x-leds förskjutningen på
Svar: Amplitud ∶ 1 , Period ∶ π = 180°
𝜋
6
påverkar inte amplitud eller period.
2325 a
sin(2x + 40°) =
√3
2
Vid grafisk ekvationslösning
utnyttjar vi att VL = HL
Låt VL motsvara en funktion och HL en annan.
Används Geogebra kan vi göra så här
VL ∶ f(x) = sin(2x + 40°)
√3
HL ∶ g(x) =
2
Kommentar:
I skärningspunkterna har de båda ekvationerna
samma funktionsvärde, f(x) = g(x) dvs VL = HL
I Geogebra används kommandot Intersect
för att skapa skärningspunkter
Avläs x-värdet för skärningspunkterna
vilket ger lösningarna till ekvationen.
en lösning är x = 10°
nästa lösning är 10° + perioden = 10° + 180° = 190°
sålunda är den ena lösningsmängden: x = 10° + n ⋅ 180°
en annan lösning är x = 40°
nästa lösning är 40° + perioden = 40° + 180° = 220°
sålunda är den andra lösningsmängden: x = 40° + n ⋅ 180°
Svar: {
⋮
x = 10° + n ⋅ 180°
x = 40° + n ⋅ 180°
⋮
Ekvationslösning med TI-räknare
b
x π
2cos ( − ) + 1 = 0
3 3
Vid grafisk ekvationslösning
utnyttjar vi att VL = HL
Nu är HL = 0 vilket grafisk motsvarar y = 0 dvs x-axeln
x π
VL ∶ f(x) = cos ( + )
3 3
HL : x-axeln
I Geogebra används kommandot Roots
för att skapa skärningspunkter med x-axeln
Avläs x-värdet för skärningspunkterna
vilket ger lösningarna till ekvationen.
En lösning är x = 3π
nästa lösning är 3π + perioden = 3π + 6π = 9π
sålunda är den ena lösningsmängden: x = 3π + n ⋅ 6π
En annan lösning är x = 5π
nästa lösning är 5π + perioden = 5π + 6π = 11π
sålunda är den andra lösningsmängden: x = 5π + n ⋅ 6π
Svar: {
⋮
x = 3π + n ⋅ 6π
x = 5π + n ⋅ 6π
⋮
Ekvationslösning med TI-räknare
2326
π
y = sin (2x + )
4
Generell formel för sinusfunktionen
y = A sin(Bx + C) + D
Amplitud
A
Period
2π 360°
=
B
B
Förskjutning x-led
C
−
B
Förskjutning y-led
D
Kommentar:
Sätt vinkeln för sinus lika med noll
C
Bx + C = 0 ⇔ x = −
B
Identifiera A, B, C och D
A=1
B=2
π
C=
4
D=0
Förskjutningen i x-led ges av
π
C
π
x=− =−4 =−
B
2
8
x är x-koordinaten för punkten P i grafen,
π
dvs avståndet som y = sin (2x + ) förskjutits
4
jämfört med y=sin (2x) som skär x-axeln vid x = 0
Svar:
π
radianer åt vänster
8
2327
Generell formel för sinusfunktionen
y = A sin(Bx + C) + D
Amplitud
A
Period
2π 360°
=
B
B
Förskjutning x-led
C
−
B
Förskjutning y-led
D
Kommentar:
Sätt vinkeln för sinus lika med noll
C
Bx + C = 0 ⇔ x = −
B
Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och gula grafen i en tabell
Röd
Gul
1
1
6 rutor
6 rutor
Förskjutning i x-led
0
0
Förskjutning i y-led
0
2
Amplitud
Period
Den enda skillnaden mellan den röda och gula grafen är
förskjutningen i y-led, som påverkas av konstanten D.
Då röd graf beskrivs av y = sin 2x så kommer
gul graf att beskrivas av y = sin 2x + 2
Svar: y = sin 2x + 2
⋮
⋮
Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och blåa grafen i en tabell
Röd
Blå
1
1
6 rutor
6 rutor
Förskjutning i x-led
0
2 rutor höger
Förskjutning i y-led
0
0
Amplitud
Period
Den enda skillnaden mellan den röda och blåa grafen är
att den blåa grafen är förskjuten i x-led 2 rutor höger.
Förskjutning i x-led påverkas av konstanterna B och C,
C
enligt samband ovan x = − ⇔ C = −B x
B
B=2
x = 2 rutor, avläses i grafen som x-ledsförskjutningen hos den blåa grafen
insätting ger
C = −2 ⋅ 2 = −4
y = sin(2x + C)
y = sin(2x − 4rutor)
Perioden för sin x är 2π
Perioden för sin 2x är π
Perioden avläses i grafen till 6 rutor,
π
vilket betyder att en ruta motsvarar
6
π
2π
C = −4 rutor = −4 ⋅ = −
6
3
Svar: y = sin (2x −
2π
) = sin(2x − 120°)
3
2328
Generell formel för sinusfunktionen
y = A sin(Bx + C) + D
Amplitud
A
Period
2π 360°
=
B
B
Förskjutning x-led
C
−
B
Förskjutning y-led
D
Kommentar:
Sätt vinkeln för sinus lika med noll
C
Bx + C = 0 ⇔ x = −
B
Avläsning i figur ger
Amplitud: 3
A=3
Period ∶ 4π
Period =
Förskjutning i x-led: 0 C = 0
Förskjutning i y-led: 2 D = 2
Insättning ger
y = A sin(Bx + C) + D
1
y = 3 sin ( x + 0) + 2
2
x
y = 3 sin + 2
2
x
Svar: y = 3 sin + 2
2
⋮
2π
2π
2π 1
⇔ B=
=
=
B
period 4π 2
⋮
Avläsning i figur ger
Amplitud: 2
A=2
Period ∶ 2π
Period =
Förskjutning i x-led:
π
−
6
Förskjutning i y-led: 2
x=−
2π
2π
2π
⇔ B=
=
=1
B
period 2π
C
π
π
⇔ C = −Bx ⇒ C = −1 ⋅ (− ) =
B
6
6
D=2
Insättning ger
y = A sin(Bx + C) + D
π
y = 2 sin (1 ⋅ x + ) + 2
6
π
y = 2 sin (x + ) + 2
6
π
Svar: y = 2 sin (x + ) + 2 = 2 sin(x + 30°) + 2
6
2329
Varje cosinus funktion y = cos x
kan skrivas som en sinusfunktion
mha identiteten
cos(x) = sin(x + 90°)
sinus ligger 90°efter cosinus
y = cos(2x + 60°) + 1
y = sin(2x + 60° + 90°) + 1
y = sin(2x + 150°) + 1
Vi ser att graferna för funktionerna
f(x) = cos(2x + 60°) + 1
g(x) = sin(2x + 150°) + 1
överlappar varandra.
Svar: y = sin(2x + 150°) + 1
2330
Vår uppgift är att hitta den trigonometriska funktion f(x)
som uppfyller de tre villkoren
π
π
f( ) = 2
f( ) = 3
f(π) = 1
6
2
Alla trigonometriska funktioner kan skrivas som
en sinusfunktion på formen
f(x) = A sin(Bx + C) + D
vilken innehåller fyra obekanta A, B, C och D
För att lösa den krävs fyra samband men vi har endast tre,
så för att komma vidare måste vi anta någon av A, B, C eller D.
För att beräkningarna ska bli så enkla som möjligt när vi
ställer upp ett ekvationssystem så antar vi både B och C.
Sålunda sätt B = 1 och C = 0
(vi antar ingen förändring av perioden och ingen förskjutning i x-led)
f(x) = A sin(1 ⋅ x + 0) + D
f(x) = A sin x + D
π
π 1
2 = A sin + D
sin =
6
6 2
π
π
sedan tidigare vet vi att
insättning ger
3 = A sin + D
sin = 1
2
2
{1 = A sin π + D
{sin π = 0
1
2=A⋅ +D
2
{
3=A⋅1+D
1=A⋅0+D
A
+ D … (1)
2
{
3 = A + D … (2)
D=1
… (3)
2=
(3) i (2) ger A = 2
Lösning {
A=2
⇒ f(x) = 2 sin x + 1
D=1
Testa de tre villkoren, extra viktigt då vi gjort antagandena B = 1 och C = 0
π
π
1
f ( ) = 2 ⇒ VL = 2 = 2 sin + 1 = 2 ⋅ + 1 = 2 = HL
6
6
2
π
π
f ( ) = 3 ⇒ VL = 3 = 2 sin + 1 = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 = HL
2
2
f(π) = 1 ⇒ VL = 1 = 2 sin π + 1 = 2 ⋅ 0 + 1 = 1 = HL
Svar: f(x) = 2 sin x + 1
⋮
⋮
EXTRA 1
Om vi ser vår uppgift som ett geometriskt problem
så innebär det att finna en trigonometrisk funktion
vars graf går igenom de tre punkterna i koordinatsystemet.
I Geogebra kan man tänka sig att göra en prövning.
Att pröva med en obekant är enkelt.
Att pröva med två obekanta är svårt.
Att pröva med fler än två obekanta utan ytterligare information
kan betraktas som praktiskt omöjligt,
så vi måste som ovan antaga att B = 1 och C = 0
och sedan justera värdena på A och D.
EXTRA 2
I de flesta matematikprogram och räknare finns verktyg för att finna
(trigonometriska) funktioner som passar till givna punkter.
I Geogebra används kommandot FitSin[< list of points >]
Det krävs dock att vi känner minst fyra punkter då det generella
uttrycket som beskriver trigonometriska funktioner
f(x) = A sin(Bx + C) + D innehåller fyra obekanta konstanter
A, B, C och D.
Om vi känner, eller lyckas gissa, ytterligare en punkt till exempel
3π
( , −1) fås i Geogebra nedanstående funktion och graf.
2
2331
För att visa att f(x) = g(x)
används identiteten
sin x = cos(90° − x)
vinkeln x och (90° − x) är
komplementvinklar
𝐟(𝐱) = sin(x + 10°) =
använd identitet ovan
cos(90° − (x + 10°)) =
ta bort inre parentes
cos(90° − x − 10°) =
cos(80° − x) =
bryt ut ett minustecken
cos(−(x − 80°)) =
cos(−x) = cos x
cos(x − 80°) = 𝐠(𝐱)
Grafen visar att f(x) och g(x) sammanfaller
Kommentar:
Vissa trigonometriska funktioner kan förskjutas
med en viss vinkel så att en ny trigonometrisk
funktion fås, som uttrycker precis samma sak.
sin(x + 90°) = cos x (sinus ligger 90° efter cosinus, därför ökas vinkeln x med 90°)
cos(x − 90°) = sin x (cosinus ligger 90° före sinus, därför minskas vinkeln x med 90°)
