Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
Kapitel 2. Spinn och
magnetisk växelverkan
1
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
Överblick
Överblick
Ett experiment som P. Zeeman utförde år 1896 visade att spektret från en atom ändrade då atomen
placerades i ett magnetfält — spektrallinjerna blev tjockare. Då instrumenten blev noggrannare fann
man att de bredare linjerna bestod av flera närbelägna diskreta linjer.
Lorentz räknade ut att varje spektrallinje skulle spjälkas upp i flera linjer då atomen utsattes för ett
magnetiskt fält. Denna splittring kom att kallas för den normala Zeemaneffekten.
Senare undersökningar visade att uppspjälkningen inte var sådan som Lorentz förutsagt. Man kallade
detta för den anomala Zeemaneffekten.
Ytterligare undersökningar visade att linjerna spjälktes upp i s.k. multipletter även utan inverkan av
yttre magnetfält. Detta kallades finstruktur.
Det här kapitlet är det mest matematiska i hela kursen, och vi gör inte beräkningarna för att atomer i
magnetfält skulle leda till ytterst stora förändringar i energinivåerna el. dyl., utan mer för att vi m.h.a.
magnetiska växelverkningar kan verifiera alla kvanttal som vi härlett i KG, samt dessutom påvisa
behovet av ännu ett sista kvanttal, nämligen elektronens spinn.
2
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
2-1. Magnetiskt dipolmoment
• Lorentz kunde ge en helt klassisk förklaring till den observerade
uppspjälkningen av spektrallinjer i de ursprungliga experimenten som Zeeman
utförde.
• Idén presenteras i boken, men vi går här bara igenom den kvantmekaniska versionen
• Uppspjälkningen av fotonenergierna till flera närbelägna linjer innebär i
praktiken att atomernas energinivåer måste genomgå en spjälkning p.g.a.
magnetfältet. Vi studerar här växelverkningen mellan det yttre pålagda
magnetfältet B samt atomens magnetiska dipolmoment som uppstår då vi har
en laddning i rörelse.
• Vi gör härledningen semi-klassiskt, men en mer noggrann lösning av
Schrödingerekvationen där elektrodynamik inkorporerats visar sig ge samma resultat
3
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
4
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
5
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
6
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
I vår matematiska modell ritas vektorn att börja i centrum för elektronens bana. Vi härleder nu uttrycket
för Larmorfrekvensen (317) och antar att magnetfältet har styrkan
i banrörelsens centrum.
Kraftmomentet, definierat som = × , försöker likrikta en magnetisk dipol med ett yttre
magnetfältet
genom = × . Från Newtons II lag får vi (genom att beräkna kryssprodukten av
vardera sida med )
( × )
= × =
× =
× =
× =
=
Trots att det magnetiska kraftmomentet försöker likrikta dipolen med magnetfältet, gör dipolmomentets
( ) koppling till rörelsemängdsmomentet ( ) att den slutliga rörelsen blir en precession istället för en
likriktning.
7
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
8
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-1. Magnetiskt dipolmoment
Ekvation 316 förblir vårt viktigaste resultat från kapitel 2-1:
9
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-2. Den normala Zeeman-effekten
2-2. Den normala Zeeman-effekten
10
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-2. Den normala Zeeman-effekten
Tidigare hade vi en degeneration för alla olika värden på kvanttalen m och l, då energin endast berodde på n. Nu är
alltså energinivåerna endast degenererade för olika värden på l.
Energinnivåerna spjälks upp i ett
magnetfält beroende på värdet på m.
För den lägsta energinivån kan m
endast anta värdet 0 och därför ser vi
ingen uppspjälkning där.
Notera också att uppspjälkningen i
bilden är starkt överdriven. I
verkligheten skulle den inte urskiljas
uppritade i en sådan skala, eftersom
≪ .
11
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-2. Den normala Zeeman-effekten
Lorenz hade härlett motsvarande uppspjälkningar av energinivåerna tidigare helt klassiskt. Vi
gjorde det nu mer exakt m.h.a. våra tidigare insikter i kvantmekanik. Det visade sig dock vid
noggrannare observationer att inte ens vätets spektrum kunde förklaras endast med denna
beskrivning. Detta innebar att bilden av atomens struktur fortfarande var ofullständig!
12
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-3. Stern-Gerlach-experimentet
2-3. Stern-Gerlach-experimentet
13
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-3. Stern-Gerlach-experimentet
Se även videon
https://upload.wikimedia.org/
wikipedia/commons/9/9e/Qu
antum_spin_and_the_SternGerlach_experiment.ogv
14
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-3. Stern-Gerlach-experimentet
15
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-4. Elektronspinn
2-4. Elektronspinn
Alla elementarpartiklar har ett associerat spinn, men detta kan inte observeras direkt, utan endast
slutledas på basen av experiment såsom det av Stern och Gerlach. För användningen av spin i våra
fortsatta beräkningar förliknar vi spinnrörelsemängdsmomentet med banrörelsemängdsmomentet
och antar att alla samma ”kvantiseringsvillkor” gäller för båda.
16
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-4. Elektronspinn
17
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-4. Elektronspinn
18
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-4. Elektronspinn
19
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-5. Addition av S och L
2-5. Addition of spinn- och
banrörelsemängdsmomentet
= − , − + 1, … , − 1,
20
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-5. Addition av S och L
= + 1⁄2 eller = − 1⁄2
måste vara positivt och därför är = 1⁄2 alltid då = 0. Formeln ovan motiveras i
kursbokens bilder 8-22 och 8-23, men är (som boken också nämner) svår att visualisera p.g.a.
osäkerheterna i alla andra vektorkomponenter än z-axeln.
Beteckningen
kommer att användas ofta igenom resten av kursen och notationen löns därmed
att memorera. Kvanttalet = 0,1,2,3, … motsvarades alltså av beteckningarna , , , , ….
21
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-6. Spinn-bankoppling
2-6. Spinn-bankoppling
22
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-6. Spinn-bankoppling
23
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-6. Spinn-bankoppling
24
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-6. Spinn-bankoppling
25
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
där vi använt oss av infolådan på s. 16 i Kap. 1 för att beräkna 1⁄
Bohrradien och Rydbergenergin .
2-6. Spinn-bankoppling
, samt uttrycken för
26
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-6. Spinn-bankoppling
27
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
2-7. Relativistisk korrektion till spinn-bankopplingen
28
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
1+
=1+
−
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
+ ⋯.
29
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
där vi igen använt infolådan på s. 16 i Kap. 1. Vi använder den ännu en gång för att nedan beräkna 1⁄
Vi förenklar sedan dessa uttryck genom att införa finstrukturkonstanten
slutligen (se räkneövningen)
.
och erhåller
30
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
31
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
Uppspjälkning av energinivåerna i väteatomen till följd av spinn-bankopplingen
och den relativistiska korrektionen. (Brehm-Mullin, bild 8-29)
32
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-7. Relativistisk spinn-bankoppling
33
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
2-8. Zeemaneffekten
34
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
35
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
Figur 42: Det magnetiska momentets z-komponent i fallet med
betydande spinnbanväxelverkan. Vi beräknar som zkomponenten av och inte för att µ kommer att precessera
kring J. Notera att bilden är starkt förenklad då i verkligheten
precesserar kring medan precesserar kring . En aningen
mer detaljerad analys görs i kursboken.
36
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
37
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
38
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
39
Atomer och molekyler, 2017
Kap 2. Magnetisk växelv.
2-8. Zeemaneffekten
Figur 43: Uppspjälkningen av 3S1/2, 3P1/2 och 3P3/2 tillstånden (övre index 2 i termerna i bilden är ”spin
multipliciteten”, men den kommer vi till senare) i natrium i ett magnetfält. I magnetfältet resulterar de
tillåtna övergångarna från 3P1/2 tillstånden till 3S1/2 tillstånden i fyra linjer. De tillåtna övergångarna från
3P3/2 tillstånden till 3S1/2 tillstånden resulterar i sex linjer. Till vänster visas de beräknade energinivåerna,
medan till höger visas de experimentella resultaten. Den goda överensstämmelsen kan ses som ett klart
bevis på existensen av spinn samt en validering för alla krångliga beräkningar i det här kapitlet.
40
