MALMÖ HÖGSKOLA
Teknik och samhälle
Lösningar
ANALYS B MA103A 7.5 hp
2012-06-01 kl 08.15-13.15
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
Alla svar ska förenklas så långt det är möjligt.
DEL ANALYS I
(
√ )
1. a) Ekvationen z 3 + 3z 2 + 4z + 4 = 0 har en rot z1 = − 1 1 + i 7 . Beräkna ekvationens övriga rötter.
2
(0.5)
√ )
1(
Lösning. Eftersom ekvationen har reela koefficienter har vi också en annan rot z2 = z1 = −
1−i 7
2
och
(
√ )(
√ ) (
)2
1
1
1
7
7
7
z+ −i
= z+
(z − z1 )(z − z2 ) = z + + i
+ = z2 + z + 2
2
2
2
2
2
4
är faktor i z 3 +3z 2 +4z +4. Polynomdivisionen ger den tredje faktor z +2 och den tredje roten z3 = −2.
b) Med hjälp av Maclaurinutveckling beräkna följande gränsvärdet
(0.5)
√
x 1 + x − ln(1 + x)
lim
.
x→0
cos x − 1
Lösning. Med hjälp av standarda utvecklingar vi får
(
) (
)
√
1
x2
x 1 + x − ln(1 + x) = x 1 + x + x2 B1 (x) − x −
+ x3 B2 (x) ,
2
2
2
x
cos x − 1 = 1 −
+ x4 B3 (x) − 1,
2
där B1,2,3 är begränsade nära x = 0 funktioner. Insättningen ger
√
x 1 + x − ln(1 + x)
x2 + x3 B4 (x)
lim
= −2.
= lim x2
4
x→0
x→0 −
cos x − 1
2 + x B3 (x)
2. a) Beräkna Taylorpolynom av ordning 3 till funktionen f (x) = xex i punkten x = 1.
(0.5)
Lösning. Eftersom f ′ (x) = (1 + x)ex , f ′′ (x) = (2 + x)ex , f ′′′ (x) = (3 + x)ex vi får f (1) = e,
f ′ (1) = 2e, f ′′ (1) = 3e, f ′′′ (1) = 4e och
f ′′ (1)
f ′′′ (1)
p(x) = f (1) + f ′ (1)(x − 1) +
(x − 1)2 +
(x − 1)3 =
2
6
(
)
3
4
2
3
= e 1 + 2(x − 1) + (x − 1) + (x − 1) .
2
6
b) Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 3 till funktionen ln(cos x).
2
Lösning. Vi använder att cos x = 1 − x2 + x4 B1 (x), ln(1 + t) = t −
2
begränsade nära x = 0 funktioner, t = − x2 + x4 B1 (x), och får
(
x2
+ x4 B1 (x)
ln(cos x) = ln 1 −
2
)
=−
t2
2
(0.5)
+ t B2 (t), där B1,2 (x) är
3
x2
+ x4 B(x),
2
2
där B(x) är begränsade nära x = 0 funktion. Därmed p3 (x) = − x2 är Maclaurinpolynom av ordning
3.
3.
a) Bestäm alla x för vilka den geometriska serien
∞
∑
k=1
Lösning. Kvoten är
1
3x+1
2
är konvergent och beräkna summan.(0.5)
(3x + 1)k
och villkoret för konvergens är
1 3x + 1 < 1 ⇔ |3x + 1| > 1.
Olikheten är ekvivalent med två olikheter: 3x + 1 > 1 och 3x + 1 < −1 som har lösningen: x > 0 eller
x < − 23 . För dessa x får vi summan
∞
∑
2
2
1
2
2
=
·
=
=
.
1
(3x + 1)k
3x + 1 1 − 3x+1
3x + 1 − 1
3x
k=1
b) Ekvationen y 4 + x3 y = 9 definierar implicit en funktion y = f (x) i en omgivning av punkten x = 2.
Beräkna lutning av kurvan y = f (x) i punkten (2, 1) samt derivatan av invers funktion f −1 i punkten
y = 1, dvs (f −1 )′ (1).
(0.5)
Lösning. Implicit derivering ger
4y 3 y ′ + 3x2 y + x3 y ′ = 0 ⇒ y ′ (x) =
3 · 22 · 1
−3x2 y
′
′
⇒
y
(2)
=
f
(2)
=
−
= −1,
4y 3 + x3
4 · 13 + 23
och
(f −1 )′ (1) =
1
= −1.
f ′ (2)
VAR GOD VÄND!
DEL ANALYS II
4. a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
(0.5)
y ′ − y · cos x = 2 cos x.
Lösning. En primitiv till g(x) = − cos x är G(x) = − sin x. Integrerande faktor är IF = e− sin x .
Därmed är ekvationen ekvivalent med
∫
( − sin x )′
− sin x
− sin x
ye
= 2 cos xe
⇔ ye
= 2 cos xe− sin x dx = −2e− sin x + C ⇔ y = −2 + Cesin x .
√
b) Bestäm den lösning till differentialekvationen y ′ = x y som uppfyller villkoret y(0) = 4.
Lösning. Vi separerar variabler:
∫
∫
1
1
1
x2
1
x2
√
y− 2 y′ = x ⇔
+C ⇔ y =
+ C.
y − 2 dy = xdx ⇔ 2y 2 =
2
4
2
(0.5)
Det är viktigt att nu bestämma konstanten med hjälp av villkoret y(0) = 4 som ger 2 = 12 C och C = 4.
( 2
)2
Därmed y(x) = x4 + 2 .
5. Bestäm den lösning till differentialekvationen y ′′ + 9y = 2 cos 3x som uppfyller
(1.0)
villkoren y(0) = 1 och y ′ (0) = 3.
Lösning.
Allmänn lösning till homogen ekvation: p(r) = r2 + 9 = 0, r1,2 = ±i3, yh = C1 cos 3x + C2 sin 3x.
Partikulär lösning till icke-homogen ekvation: Vi använder ansatsen y = x(A cos 3x + B sin 3x) eftersom
frekvensen av "yttre kraft"ω = 3 är systemets egenfrekvens, dvs p(i3) = 0.
Vi beräknar derivator
y ′ = A cos 3x + B sin 3x + x(−3A sin 3x + 3B cos 3x),
y ′′ = 2(−3A sin 3x + 3B cos 3x) + x(−9A cos 3x − 9B sin 3x)
Insättningen ger
y ′′ + 9y = 2(−3A sin 3x + 3B cos 3x) = 2 cos 3x
Identifiering av koefficenter ger A = 0, B = 31 . Därmed yp = 13 x sin 3x.
Därmed, den almänna lösningen till icke-homogen diffekv är
1
y = yh + yp = C1 cos 3x + C2 sin 3x + x sin 3x.
3
Vi behöver y ′ (x) = −3C1 sin 3x + 3C2 cos 3x + 13 sin 3x + x cos 3x.
Begynnelsevillkor leder till y(0) = C1 = 1, y ′ (0) = 3C2 = 3.
Svar: y = cos 3x + sin 3x + 13 x sin 3x.
6. a) Låt funktionen f (x) vara definierad av formeln
∫ 10
2
f (x) = √ et sin tdt.
x
′
Beräkna derivatan f (x).
(0.4)
∫ x t2
√
′
u2
Lösning. Vi använder att om A(u)
=
x)
e
sin
tdt,
då
A
(u)
=
e
sin
u.
Eftersom
f
(x)
=
−A(
10
√
vi får med hjälp av kedjeregeln (u = x):
√
√ 2
√
√ (√ )′
1
ex sin x
√
.
f ′ (x) = −A′ ( x) x = −e( x) sin x · √ = −
2 x
2 x
b) Beräkna volymen av rotationskroppen som uppkommer då kurvan
1
y=√
, x ≥ 2,
x ln x
roterar kring x−axeln.
Lösning.
∫
∫ ∞
V =π
f 2 (x)dx = π lim
(0.6)
[
]
1
t = ln x
dt = x1 dx
dx
=
=
x = 2, x = T → ∞ t = ln 2, t = S → ∞
T →∞ 2 (ln x)2 x
2
(
)
∫ S
[
]S
1
1
π
t−2 dt = π lim −t−1 t=ln 2 = π lim − +
= π lim
=
.
S→∞
S→∞
S→∞ ln 2
S
ln 2
ln 2
T
