Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
IMPLICIT, LOGARITMISK OCH PARAMETRISK DERIVERING
Vi kan ange en kurvas ekvation på olika former:
Exempel
= ( )
( , )= ( , )
= ( ),
= ( )
EXPLICIT FORM
IMPLICIT FORM
PARAMETRISK FORM
=
+
( )+
=
,
+3
=5
=
IMPLICIT DERIVERING
När vi beräknar derivatan
av en funktion given på implicit form
( , )= ( , )
deriverar vi båda sidor med avseende på x. När vi deriverar ett uttryck som innehåller y
använder vi kedjeregeln ( multiplicerar med inre derivatan d v s med ′ )
[ Några exempel: (
)′ = 5
∙ ′,(
)′ = (
) ∙ ′,( )′ = 4 ∙ ′]
Efter derivering löser vi ut ′.
Exempel 1. Beräkna ′( ) för följande funktion (som är given på implicit form)
+
( )+
( )= 4 +
Lösning: Vi deriverar båda sidor med avseende på x och får
5
∙ ′+
+
∙ ′ = ∙ ′
Vi löser ut ′:
5
∙ ′+
⇒ (5
∙ ′ − ∙ ′ =−
+
⇒ ′=
Svar:
′=
− ) ′ = −
5
−
+
− Exempel 2. Beräkna ′( ) för följande funktion (som är given på implicit form)
( )= 4 +
1 av 6
Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Lösning: Vi deriverar båda sidor med avseende på x och använder produktregeln och
kedjeregeln:
5
∙
+
∙ ′=
∙
Vi löser ut ′:
∙ ′=
−5
⇒ ′=
Svar:
′=
∙
−5
∙
Exempel 3. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (1, −1) till kurvan
−
−
= 1och
Lösning: (Anmärkning: Insättning
−
=2
= −1 i kurvans ekvation visar att punkten
(1, −1) ligger på kurvan.)
Vi deriverar båda sidor och får
3
− 3
⇒ 3
∙ ′−1 −
−
−1=3
⇒ ′ = 3
∙ ′ − 1 = 0
∙ ′ +
−
3
∙ ′
−1
+
Vi substituerar punktens koordinater och får
3
′ = (=
4
Tangentens ekvation är
−
= ( −
),
i vårt fall
3
+ 1 = ( − 1)
4
2 av 6
)
Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Svar: Tangentens ekvation:
+ 1 = ( − 1)
eller
=
−
LOGARITMISK DERIVERING
En tillämpning av implicitderivering är logaritmisk derivering.
Låt
( ) = [ ( )]
( )
(∗)
För att beräkna derivatan ′( ) logaritmerar vi (*) och därefter implicitderiverar.
Lägg märke till att, enligt kedjeregeln, (ln )′ = ∙ ′.
Exempel 4. Beräkna ′( ) om
/
( )=
Lösning:
Steg 1. Vi logaritmerar funktionen och får
1
ln = ∙ ln( )
Steg 2. Vi deriverar båda leden
1
∙ ′ =
−1
∙ ln( ) +
1 1
∙
Steg 3. Vi löser ut ′ −1
1
′ = [
∙ ln( ) + ]
och, till slut, insätter
( )=
/
och får
′=
Svar: ′ =
/
∙
/
∙
1 − ln( )
( )
Exempel 5. Beräkna ′( ) om
( )=
Lösning:
3 av 6
Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ln = sin ∙ ln( )
Steg 1. (Logaritmering)
∙ ′ = cos ∙ ln( ) + sin ∙
Steg 2. (Derivering )
′)
Steg 3. ( Lös ut
′ = [cos ln( ) +
Till slut substituerar vi =
i högersidan, och får
′=
[cos ln( ) +
Svar: ′ =
]
[cos ln( ) +
sin
]
]
PARAMETRISK DERIVERING
Vi betraktar en kurva given på parametrisk form
= ( ),
Derivatan
= ( )
beräknas enligt följande formel
=
[eftersom
′( )
′( )
Δ
′( )
Δ
= lim
= lim Δt =
]
→ Δ
→ Δx
′( )
Δt
Exempel 6. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten som svarar mot = /4 till kurvan (
elipsen)
=4
,
=2
Lösning:
=
′( )
2
=
′( ) −4
= [ = /4] =
2
−4
Tangentens ekvation är
−
= ( −
Punkten ( ,
).
)svarar mot = /4 och därför
=4
( /4) =
4 av 6
4
√2
( /4)
1
=−
( /4)
2
Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
=2
−
Svar: −
√
=
( −
)
√
( /4) =
2
=
√2
√2
−1
4
( − )
2
√2
=
[ eller
2
+ 2√2]
DERIVERING AV INVERS FUNKTION
Vi kan använda implicit derivering för att härleda några formler för derivering av inversa
funktioner som i nedanstående exempel.
Exempel 7. Bevisa formeln
(
)′ =
1
1+
Lösning:
Låt
=
[−∞ <
< ∞, − <
<
Då gäller
=
( )(∗)
Implicit derivering ger
1=
1
cos
∙ ′
därför ′ = cos
För att eliminera cos
tan
eller
cos
och få x i sista uttrycket använder vi (*) och sambandet
+ 1 =
=
(∗∗)
1
cos
(
sin
+ cos
= 1
cos
.
Från (∗∗) har vi
′ = cos
=
1
tan
+ 1
=[
5 av 6
å (∗)] = 1
+ 1
)
Implicit, logaritmisk och parametrisk derivering
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
alltså (
)′ =
1
1+
,
Anm. På liknande sätt härleder man formlerna
(
)′ =
(
)′ =
(
)′ =
.
√
.
√
.
6 av 6
.
