Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN. NOLLRUM (Kernel (=kärna) i kursboken) Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla vektorer x i Rn som avbildas på nollvektorn i Rm kallas avbildningens nollrum ( eller kärna) och betecknas med ker(T) eller Null(T) . Symboliskt beskriver vi nollrummet på följande sätt ker(T ) { x R n : T ( x ) 0} Om T anges på matrisformen T ( x ) Ax då är ker( T ) { x R n : Ax 0} Med andra ord nollrummet är lösningsmängden till ekvationen T (x) 0 . -----------------------------------------------------------------------------------------------BILDRUM (värderum, värdemängd) Definition. Låt T vara en linjär avbildning från Rn till Rm . Mängden av alla bilder ( alla funktionens värden) T (x ) i Rm kallas avbildningens bildrum (synonymer: värderum, värdemängd) och betecknas med im(T). Symboliskt beskriver vi bildrummet på följande sätt im (T ) {T ( x ) : x R n } . Ekvivalent definition: im (T ) { y R m : y T ( x ) för någon x R n } Alltså kan im(T) definieras som mängden av alla y R m för vilka ekvationen T ( x ) y , dvs Ax y , har minst en lösning x R n . ========================================================== För en given matris A av typ m n kan vi genom T ( x ) Ax definiera T : R n R m . Därför definierar vi bildrum Im( A) och nollrum ker( A) för en matris enligt följande. Definition. Nollrummet ker( A) till en matris A av typ m n definieras som mängden av alla n- dimensionella vektorer x som satisfierar ekvationen Ax 0 . Definition. (Bildrummet till en matris) Låt A vara en matris av typen m×n . Bildrummet till A betecknas im( A) och definieras som Im( A) { Ax , x R n } . Eftersom Sida 1 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR a11 a12 a21 a22 Ax ... ... am1 am 2 Nollrum. Bildrum. x1 a1n a11 a12 a1n a1n a12 a11 x2 a a a a ... a2 n a a x1 21 x2 22 xn 2 n span( 21 , 22 , 2 n ) ... ... am1 am 2 ... amn amn am1 am 2 amn xn ... ser vi att bildrummet i det här fallet spänns upp av matrisens kolonvektorerna, a11 a12 a1n a a a 21 22 2n im(T ) = span( , , ). a m1 a m 2 a mn En bas och dimensionen av bildrummet kan bestämmas med hjälp av de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform. ================================================= Exempel 1. a) Avgör om någon av vektorerna a (0,2,2) , b (1,2,1) eller c (0,0,0) tillhör nollrummet ker( T). b) Bestäm nollrummet till avbildningen T från R3 till R2 då T ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 2 x2 2 x3 ) c) Om alla vektorer i norrummet har sina startpunkter i origo då bildar alla ändpunkter en mängd i R3 . Tolka denna mängd geometriskt ( en punkt, en linje , ett plan eller hela R3 ) Lösning: a) Vi beräknar T (a ) (0 2 2,0 4 4) (0,0) 0 Eftersom T (a ) 0 , tillhör vektorn a nollrummet ker( T). Den andra vektorn, b (1,2,1) , tillhör INTE nollrummet ker( T) för T (b ) (4,7) 0 Vektorn, c (0,0,0) , tillhör nollrummet ker( T) för T (c ) (0,0) 0 . b) Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T ( x ) 0 . T ( x )0 Från harvi ( x1 x2 x3 , x1 2 x2 2 x3 ) (0, 0) som ger två skalära ekvationer: x1 x2 x3 0 x1 2 x 2 2 x3 0 ( vi använder Gausseliminationen) Sida 2 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. x1 x 2 x3 0 x 2 x3 0 Vi har två ledande variabler x1 , x 2 och en fri variabel x3 som vi betecknar med t. ⇒ Lösningen x3 t , x 2 t , och x1 =0 skriver vi på vektorform ( x1 , x2 , x3 ) (0,t , t ) t (0,1, 1) Därmed är ker (T) = { t (0,1, 1) } där t varierar fritt. c) Om startpunkter ligger i origo då bildar alla ändpunkter { t (0,1, 1) } en linje i R3 , (som går genom origo). Svar: a) Se ovanstående lösning. b) genom origo). ker (T) = { t (0,1, 1) } c) En linje i R3 , (som går Exempel 2. Vi betraktar en linjär avbildning T från R4 till R3 som definieras av x1 x1 x2 x3 x4 x T ( 2 ) x1 2 x2 2 x3 3 x4 x3 2 x1 3 x2 3 x3 4 x4 x 4 a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) Bestäm en bas till nollrummet c) Bestäm nollrummets dimension. Lösning: Vi bestämmer lösningsmängden till ekvationen T ( x ) 0 . x1 x 2 x3 x 4 0 Från T ( x ) 0 harvi x1 2 x 2 2 x3 3x 4 0 , som vi skriver som 3 skalära 2 x1 3x 2 3x3 4 x 4 0 ekvationer: x1 x 2 x3 x 4 0 x1 x 2 x3 x 4 0 x1 x 2 x3 x 4 0 x1 2 x 2 2 x3 3 x 4 0 x 2 x3 2 x 4 0 x 2 x3 2 x 4 0 2 x 3 x 3 x 4 x 0 x x 2x 0 00 2 3 4 2 3 4 1 Systemet har två ledande variabler x1 , x 2 och två fria variabler x3 s och x 4 t . Systemets lösning x1 t , x 2 s 2t , x3 s , x 4 t . För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform ( och separerar s- och t-delen : x1 t 0 t 0 1 x s 2t s 2t 2 s 1 t 2 x3 s s 0 1 0 0 1 x4 t 0 t Sida 3 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. 0 1 1 2 Avbildningens nollrum är ker(T)= ker(T)= { s t } . 1 0 0 1 0 1 1 2 Vi säger att nollrummet späns upp av två vektorer , och alternativt betecknar 1 0 0 1 1 0 1 2 , ) ker(T)= span( 1 0 0 1 Vi ser att nollrummet är en mängd av alla linjära kombinationer som bildas med hjälp av två 0 1 1 2 ( uppenbart) linjärt oberoende vektorer och som därför utgör en bas till 1 0 0 1 nollrummet. Därmed är nollrummets dimension =antalet basvektorer (= antalet fria variabler) 0 1 0 1 2 1 t Svar: a) ker(T)= { s } eller ( alternativt ) ker(T)= span( , 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 b) En bas till nollrummet är , . 1 0 0 1 c) dim(ker(T))=2. Exempel 3. Vi betraktar en linjär avbildning T från R2 till R3 som har matrisen 1 2 A 1 0 , 1 0 dvs T ( x ) Ax Sida 4 av 15 =2 1 2 ) 0 1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. a) Bestäm avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) Bestäm en bas till nollrummet c) Bestäm nollrummets dimension. d) Vilken mängd bildar ändpunkter till nollrummets vektorer om startpunkter ligger i origo?. Lösning: Vi löser ekvationen T ( x ) 0 d v s Ax 0 eller 1 2 0 1 0 x1 0 x 1 0 2 0 Motsvarande ekvationssystem är x1 2 x 2 0 x1 0 x 0 1 som har lösning x1 0 , x 2 0 . Systemet har två ledande variabler x1 , x 2 , ingen fri variabel och endast den triviala lösningen x1 0 , x 2 0 som vi skriver på vektorform: x1 0 x 0 . 2 0 Svar: a) ker(T) = { } 0 b) Nollrummet som består bara av en nollvektor har ingen bas. (enligt definitionen består basen av oberoende vektorer och därmed kan inte innehålla 0 ) c) dim(ker(T))=0. d) En punkt (origo) Exempel 4. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen 1 2 0 1 1 A , 2 4 0 2 2 dvs T ( x ) Ax Bestäm a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) en bas till nollrummet c) nollrummets dimension. d) matrisens rang. Sida 5 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. 1 1 1 2 e) om någon av vektorerna x1 0 , x 2 0 tillhör nollrummet ker( T). 0 0 1 1 Lösning: Vi löser ekvationen Ax 0 eller x1 x 2 1 2 0 1 1 0 2 4 0 2 2 x3 0 x 4 x5 Motsvarande ekvationssystem är x1 2 x 2 0 x 4 x5 0 x 2 x 2 0 x 4 x5 0 1 00 2 x1 4 x 2 0 2 x 4 2 x5 0 Systemet har 1 ledande variabel x1 och 4 fria variabel. Systemets lösning x1 2u s t , x 2 u , x3 v , x 4 s , x5 t . För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform ( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) : x1 2u s t 2u 0 s t x u 0 0 0 u 2 x3 0 v 0 0 v s x4 0 0 s 0 x5 0 0 0 t t 2 0 1 1 1 0 0 0 u 0 v 1 s 0 t 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 0 0 0 Svar: a) ker(T) = span( 0 , 1 , 0 , 0 ) 0 0 1 0 0 0 0 1 Sida 6 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. 2 0 1 1 1 0 0 0 b) Vektorerna 0 , 1 , 0 , 0 är linjärt oberoende och spänner hela 0 0 1 0 0 0 0 1 nollrummet. Därför bildar vektorerna en bas till ker(T). c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 4 . d) Matrisens rang = med antalet matrisens oberoende rader= antalet oberoende kolonner = antalet ledande ettor i matrisens trappform= antalet ledande variabler i trappformen för motsvarande ekvationssystem = 1. 1 1 1 2 0 1 1 0 e) Ax1 0 0 2 4 0 2 2 0 0 1 Alltså x1 tillhör ker(T) . {Vi kan skriva kortare x1 ker(T) } 1 2 4 1 2 0 1 1 A x För den andra vektorn gäller 2 0 8 0 2 4 0 2 2 0 1 Därmed x2 tillhör inte ker(T) . { Vi kan skriva x 2 ker(T)}. BILDRUMMET ( Image i kursboken) som tillhör en linjäravbildning. Om T definieras med en matris A av typ m×n då består bildrummet av alla vektorer T ( x ) Ax x1 a11 a12 ... a1n a11 a12 a1n a11 a12 a1n x2 a a a a a 22 ... a 2 n a a a x1 21 x 2 22 x n 2 n span ( 21 , 22 , 2 n ) 21 ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn x a m1 a m 2 a mn a m1 a m 2 a mn n Alltså bildrummet ( som kallas även matrisens kolonnrum) i det här fallet spänns upp av matrisens kolonvektorerna, Sida 7 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. a11 a12 a1n a a a 21 22 2n im(T ) = span( , , ). a m1 a m 2 a mn En bas och dimensionen av bildrummet kan bestämmas med hjälp av de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform. ------------------------------------------------------------------------------------------------Exempel 5. Vi betraktar en linjär avbildning T med matrisen 1 1 1 A= 1 2 2 1 3 3 a) Bestäm avbildningens bildrum im(T) b) Bestäm en bas till bildrummet c) Bestäm bildrummets dimension. d) Bestäm matrisens rang. 2 1 e) Avgör om någon av vektorerna y1 3 , y 2 2 tillhör bildrummet im( T). 4 1 2 3 f) Bestäm alla vektorer x R sådana att T ( x ) y1 , där y1 3 . 4 Lösning: a) Bildrum im(T) spänns up av matrisens kolonnvektorer och därför 1 1 1 im(T)= span( 1 , 2 , 2 ) . 1 3 3 1 Alternativ beteckning: im(T)= { x 1 1 1 y 2 z 3 1 2 : x, z och y är skalärer som varierar 3 fritt} . 1 1 1 b) För att välja en bas till span( 1 , 2 , 2 ) väljer vi (största antalet) linjärt oberoende 1 3 3 kolonnvektorer; de kolonner som svarar mot ledande ettor i matrisens trappform. Sida 8 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 1 1 1 2 2 ~ 1 3 3 1 1 1 0 1 1 ~ 0 2 2 Nollrum. Bildrum. 1 1 1 0 1 1 0 0 0 Ledande ettor finns i första och andra kolonner och därför väljer vi matrisens första och andra kolonn som bas till bildrummet (kolonnrummet). den tredje kolonnvektor är beroende av de första två. 1 1 Svar b) En bas bildas av kolonnvektorerna 1 , 2 . 3 1 Anmärkning: Eftersom tredje kolonvektor är en linjärkombination av första två har vi 1 1 1 1 1 span( 1 , 2 , 2 )=span( 1 , 2 ), 1 3 1 3 3 för varje linjär kombination som inkluderar tredje vektor kan utryckas med hjälp av de första två vektorerna. Vi förlorar ingen kombination om vi tar bort beroende vektorer bland de som spänner upp ett underrum. Svar c) Bildrummets dimension är 2 (= antalet bildrummets basvektorer= antalet ledande ettor i matrisens trappform) . d) Matrisens rang är 2 (= antalet oberoende kolonnvektorer= antalet oberoende radvektorer= antalet = antalet ledande ettor i matrisens trappform ) . 2 e) För att avgöra om y1 3 tillhör im(T) undersöker vi om ekvationen 4 Ax y1 är konsistent ( dvs om ekvationen har minst en lösning). Från 1 1 1 2 1 3 Ax y har vi 1 x1 2 2 x2 3 3 x3 4 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 2 x1 2 x2 2 x3 3 x2 x3 1 x 3x 3x 4 00 2 3 1 Systemet har oändligt många lösningar x1 1 , x2 1 t x3 t . 2 Vektorn y1 3 tillhör bildrummet im(T) eftersom systemet Ax y1 är konsistent ( = 4 lösbar), dvs det finns x så att Ax y1 ( eller T ( x ) y1 ) 1 Den andra vektorn y 2 2 tillhör inte bildrummet im(T) eftersom ekvationen Ax y2 1 saknar lösning ( kontrollera själv). Alla lösningar till ekvationen T ( x ) y1 dvs till ekvationen Ax y1 , enligt e-delen, ges av Sida 9 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. x1 1 , x2 1 t x3 t . Vi kan skriva detta på vektorform x1 1 x 1 t , där t är ett godtyckligt reellt tal. 2 x3 t Svar: 1 1 1 1 1 a) Im(T) = span( 1 , 2 , 2 )=span( 1 , 2 ), 1 3 1 3 3 1 1 b) En bas är ( 1 , 2 ) . 1 3 c) dim(Im(T) =2 d) Rang(A) =2 e) y1 tillhör bildrummet im(T) . y2 tillhör inte bildrummet im(T). 1 f) 1 t , där t är ett godtyckligt reellt tal. t Exempel 6. Vi betraktar en linjär avbildning T från R3 till R3 som har matrisen 1 2 A 2 4 dvs T ( x ) 1 2 , 2 4 Ax Bestäm a) avbildningens nollrum (kärna), ker(T) b) en bas till nollrummet c) nollrummets dimension. d) avbildningens bildrum im(T) e) en bas till bildrummet f) bildrummets dimension. g) matrisens rang. Lösning: a) Vi löser ekvationen Ax 0 eller x1 1 2 1 2 x 2 0 2 4 2 4 x 0 3 x4 Motsvarande ekvationssystem är Sida 10 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. x1 2 x 2 x3 2 x 4 0 x 2 x 2 x3 2 x 4 0 1 00 2 x1 4 x 2 2 x3 4 x 4 0 Systemet har 1 ledande variabel x1 och 3 fria variabel. Systemets lösning x1 2v s 2t , x 2 v , x3 s , x 4 t . För att få nollrummet skriver vi lösningar på vektorform ( och separerar u-, v-, s- och t-delen ) : x1 2v s 2t 2v s 2t 2v s 2t 2 1 2 x v v 2 v 0 0 v 1 s 0 t 0 x3 0 s 0 0 1 0 s s t t 0 0 t 0 0 1 x4 2 1 2 1 0 0 Svar: a) ker(T) = span( , , ) 0 1 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 b) Vektorerna , , , är linjärt oberoende och spänner hela nollrummet. 0 1 0 0 0 1 Därför bildar vektorerna en bas till ker(T). c) dim(ker(T)) = antalet basvektorer (= antalet fria variabler) = 3 d) avbildningens bildrum im(T) späns upp av kolonnvektorer där oberoende svarar mot ledande ettor. 1 Därför im(T) = span( ) 2 1 e) en bas till bildrummet är 2 f) bildrummets dimension dim(Im(T) = 1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform) . g) matrisens rang =1 ( = antalet ledande ettor i matrisens trappform). ========================================================= DIMENSIONSSATSEN Om vi betraktar en matris A av typ m×n och motsvarande ekvationssystem Ax 0 a11 a 21 ... a m1 a12 a 22 ... am2 x ... a1n 1 x 0 ... a 2 n 2 , ... ... 0 ... a mn x n Sida 11 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. efter att vi överför systemet till trappformen, ser vi att ( antalet ledande variabler) + ( antalet fria variabler)= ( antalet alla variabler) dvs dim( im(A)) + dim(ker(A)) = n eller rang(A) + dim(ker(A)) = n ====================================================== Exempel 7. Tentamen 20120109 Uppgift 6 Betrakta en linjär avbildning, T : R 2 R 2 , sådan att lösningsmängden till 1 T (x ) 2 x t 1 ges av , y 3 t där t är en reell parameter. a) Bestäm nollrummet Ker(T) b) Bestäm bildrummet Im(T) Lösning Ett sätt att lösa uppgifter är att först bestämma avbildningens matris och därefter Ker(A) och Im(A). a b x Låt A vara den matris som hör till avbildningen T . Låt x . c d y 1 1 Ekvationen T (x ) kan skrivas på formen Ax eller 2 2 ax by 1 (sys 1) cx dy 2 Vi ska först bestämma A med hjälp av given lösning: x t 1 Enligt antagandet, är en lösning för varje t R . Vi kan därför välja några t y 3 t värden, substituera i sys1 och bestämma a, b, c och d . x 0 1 1 Om vi t ex väljer t= 0 får vi att är en lösning till sys 1 och därför gäller ( y 3 0 3 substituera x=1 och y=3 i sys 1): a 3b 1 ( sys 2) c 3d 2 x 1 1 2 Om vi väljer t= 1 får vi att är en lösning till sys 1 och därför( substituera y 3 1 2 x=2 och y=2 i sys 1): Sida 12 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. 2a 2b 1 ( sys 3) 2c 2 d 2 Från sys 2 och sys 3 beräknar vi a, b, c och d . Vi kan t ex gruppera de ekvationer som innehåller a och b : a 3b 1 och 2a 2b 1 och bestämma a 1 / 4 och b 1 / 4 . På samma sätt, från c 3d 2 och 2c 2d 2 har vi c 1 / 2 och d 1 / 2 . 1 / 4 1 / 4 1 1 Därmed blir A 1 / 4 . 1 / 2 1 / 2 2 2 1 1 1 Härav har vi omedelbart att Im(A)=Span( , ) =Span( ). 2 2 2 För att bestämma Ker(A) löser vi ekvationen x y0 x y 0 1 1 x 0 Ax 0 eller 1 / 4 2 x 2 y 0 00 2 2 y 0 En fri variabel y s samt x y s . x s 1 Därför s . y s 1 1 1 1 Alltså Ker(T)=Ker(A)= Span ( ) ( Anmärkning: Span ( )=Span ( ) 1 1 1 Svar: 1 1 a) Ker(T)=Ker(A)= Span ( ), b) Im(T)= Im(A)=Span( ). 1 2 Exempel 8. Tentamen 2014-20-maj Uppgift 7 (alternativ lösning) Bestäm alla linjära avbildningar T : R 3 R 3 som uppfyller följande två krav: 1 0 a) Vektorerna 1 och 1 utgör en bas för nollrummet för T. 0 1 0 b) Bildrummet för T är linjen med riktningsvektor 0 . 1 Lösning: Låt A vara tillhörande avbildningsmatris. Vi ska bestämma A med hjälp av givna två krav. Bildrummet för T är lika im(A) =span(k1,k2,k3) där k1,k2 och k3är kolonner i A. Sida 13 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Nollrum. Bildrum. 0 Enligt antagande är bildrummet im(A) =span( 0 ). Därmed är varje kolonn i A en linjär 1 0 0 kombination av basvektorn 0 dvs har formen t 0 för något t. 1 1 0 0 0 Låt k1 0 , k 2 0 och k 3 0 vara kolonnvektorer i A. a b c 0 0 0 Då är A 0 0 0 där minst en av a, b, c är skild från 0. ( Om alla a, b, c är 0 då är A en a b c 0 nollmatris och im(A) ={ 0 } som inte stämmer med vår avtagande att im(A) =span( 0 .) 1 1 Vi bestämmer a,b och c med hjälp av första villkoret dvs vi använder vektorerna v1 1 0 0 och v2 1 som ligger i nollrummet: 1 0 0 0 1 0 0 0 Från Av1 0 har vi 0 0 0 1 0 0 0 dvs a b (ekv1) a b c 0 0 a b 0 0 0 0 0 0 0 0 Från Av2 0 har vi 0 0 0 1 0 0 0 dvs b c (ekv2) a b c 1 0 b c 0 Vi kan välja c s ( ett godtyckligt tal skilt från 0), då är a s och b s . 0 0 0 0 0 0 0 0 och Härav A 0 0 0 0 a b c s s s 0 0 x 0 0 T ( x) 0 0 0 y 0 s s s z sx sy sz Vi kan skriva detta på även på följande form: T ( x, y, z ) (0,0, sx sy sz ) Svar: T ( x, y, z ) (0,0, sx sy sz ) (där s är ett godtyckligt tal skilt från 0) Sida 14 av 15 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 0 x , 0 eller T ( y ) z sx sy sz Nollrum. Bildrum. s0. Sida 15 av 15