Ekonomisk styrning - UU Studentportalen

2013-02-28
Ekonomisk styrning
Delkurs Finansiering
Föreläsning 6
Introduktion till portföljteorin
BMA: Kap. 7-8
Jonas Råsbrant
[email protected]
Föreläsningens innehåll
•
•
•
•
•
•
Historisk avkastning för finansiella tillgångar
Beräkning av avkastning och risk
Avkastning och risk för en portfölj av tillgångar
Portföljdiversifiering
Sambandet mellan risk och avkastning
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
2
1
2013-02-28
Värdet av $1 investerad år 1900 i statsskuldsväxlar
(Bills), Obligationer (Bonds) och aktier (Common stock)
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
3
Värdet av 1 kr investerad i slutet av år 1918 i olika
svenska finansiella tillgångar
10 000 kr
1 000 kr
6 745kr
Svenska aktier inkl. återinvesterade utdelningar
Statsobligationer (10 år)
Diskontot och statsskuldsväxlar (3 mån)
Inflation (KPI)
335kr
110 kr
100 kr
18 kr
10 kr
1 kr
1918
1928
1938
1948
1958
1968
1978
1988
1998
2008
0 kr
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
4
2
2013-02-28
Genomsnittlig årlig avkastning och värdetillväxt
för svenska placeringstillgångar 1919-2011
14%
Kort ränta (Statsskuldsväxlar)
Statsobligationer
Svenska aktier
12,5%
12%
10,1%
10%
8%
6%
9,0%
7,0%
6,6%
6,6%
5,2%
5,2%
3,9%
4%
3,3%
2,1%
2%
1,9%
0%
Nominellt
Realt
Nominellt
Realt
Aritmetisk medelavkastning Geometrisk medelavkastning
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
5
Genomsnittlig årlig riskpremie för en bred
aktieportfölj i olika länder
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
6
3
2013-02-28
Genomsnittlig årlig riskpremie på
Stockholmsbörsen under olika perioder (%)
Från
Till
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
1929
1939
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
-0.3
-0.5
2.3
5.3
5.1
4.5
7.3
8.1
7.6
-0.7
3.6
7.1
6.4
5.4
8.5
9.3
8.6
8.0
11.1
8.8
7.0
10.4
11.0
10.0
14.1
9.2
6.6
11.0
11.5
10.3
4.2
2.9
9.9
10.9
9.5
1.5
12.8
13.1
10.8
24.1
19.0
14.0
13.9
8.9
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
4.0
7
Genomsnittlig avkastning
(Aritmetiskt medelvärde)
R1  R2  ...RT 1 T
R
  Rt
T
T t 1
– Rt är tillgångens avkastning i period t och T är
antalet perioder.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
8
4
2013-02-28
Exempel 1 genomsnittlig avkastning
(Aritmetiskt medelvärde)
Datum
Pris
31 dec 2010
100
31 dec 2011
31 dec 2012
RA 
År
Avkastning
110
1
10%
121
2
10%
10%  10%
 10%
2
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
9
Exempel 2 genomsnittlig avkastning
(Aritmetiskt medelvärde)
Datum
Pris
31 dec 2010
100
31 dec 2011
31 dec 2012
RA 
År
Avkastning
120
1
20%
120
2
0%
20%  0%
 10%
2
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
10
5
2013-02-28
Exempel 1 genomsnittlig avkastning
(Geometriskt medelvärde)
Datum
Pris
31 dec 2010
100
31 dec 2011
31 dec 2012
RA 
År
Avkastning
110
1
10%
121
2
10%
10%  10%
 10%
2
1
T
R G  1  R1  1  R 2  1  R 3  ...  1  R T   1
1
2
RG  (1,10 1,10)  1  10%
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
11
Exempel 2 genomsnittlig avkastning
(Geometriskt medelvärde)
Datum
Pris
31 dec 2010
100
31 dec 2011
31 dec 2012
RA 
År
Avkastning
120
1
20%
120
2
0%
20%  0%
 10%
2
1
RG  (1,20 1,00) 2  1  9.54%
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
12
6
2013-02-28
Aktieavkastning
• Totalavkastning = Direktavkastning + Värdetillväxt
R
Utdelning  P1
1
P0
R = Aktiens totalavkastning
P = Aktiepris
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
13
Totalavkastning Stockholmsbörsen
1919-2012
80%
60%
40%
20%
2012
2009
2006
2003
2000
1997
1994
1991
1988
1985
1982
1979
1976
1973
1970
1967
1964
1961
1958
1955
1952
1949
1946
1943
1940
1937
1934
1931
1928
1925
1922
1919
0%
-20%
-40%
-60%
Genomsnittlig årlig avkastning = 12,5%
70% av åren är avkastningen positiv
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
14
7
2013-02-28
Fördelning av totalavkastning
Stockholmsbörsen 1919-2012
2008
2002
1931
1990
1966
1932
1921
2011
2001
2000
1977
1970
1952
1939
1920
1919
-40% -30% -20%
2007
1987
1984
1962
1955
1948
1947
1937
1930
1929
1923
1922
-10%
1994
1992
1991
1979
1976
1974
1973
1969
1967
1961
1960
1957
1956
1938
0%
2012
1998
1972
1965
1964
1953
1949
1946
1945
1944
1943
1942
1940
1935
1933
1926
1925
1924
10%
2010
2006
2004
1997
1995
1989
1985
1980
1978
1971
1963
1958
1951
1950
1941
1934
1928
1927
20%
2005
2003
1975
1968
1954
1936
30%
1996
1982
1959
40%
2009
1993
1988
1986
50%
1999
1983
1981
60% 70%
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
15
Den empiriska fördelningen av årsavkastningar för stora amerikanska bolag
(S&P 500), småbolag, företagsobligationer (Corporate Bonds) och
statsskuldsväxlar (Treasury Bills), 1926–2008
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
16
8
2013-02-28
Riskmätning
Mått på variation i avkastning (volatilitet)
• Varians (Variance, Var)
– Medelvärde av kvadrerade avvikelser från medelvärdet.
• Standardavvikelse (Standard Deviation, SD)
– Kvadratroten ur variansen.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
17
Exempel på beräkning av varians och
standardavvikelse i historisk avkastning
Var (R) 
SD( R) 
1
T  1
T
 R
t 1
Var ( R)
𝑅=
Var ( R ) 
t
 R
2
År
Avkastning
2010
-10%
2011
10%
2012
30%
−10% + 10% + 30%
= 10%
3
(0,10  0,10) 2  (0,10  0,10) 2  (0,30  0,10) 2
 0,04
3 1
SD( R )  0,04  20%
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
18
9
2013-02-28
Risk och avkastning för några svenska
placeringstillgångar 1919-2011
Korta räntor
(Statsskuldsväxlar)
Svenska
statsobligationer
Genomsnittlig årlig
avkastning
5,2 %
7,0 %
Standardavvikelse
3,0 %
9,7 %
Svenska aktier
inkl. utdelningar
12,5 %
23,3 %
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
19
Standardavvikelsen i årsavkastningen på
olika aktiemarknader (1900-2008)
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
20
10
2013-02-28
Normalfördelningen
68,3% av observationerna återfinns -/+ 1 standardavvikelse från medelvärdet
95,4% av observationerna återfinns -/+ 2 standardavvikelser från medelvärdet
99,7% av observationerna återfinns -/+ 3 standardavvikelser från medelvärdet
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
21
Den historiska fördelningen av månadsavkastningar på
Stockholmsbörsen (1980-2008)
Histogram
30
Blå staplar = empirisk fördelning
Röda staplar = normalfördelning
25
Frequency
20
15
10
5
0
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
22
11
2013-02-28
Systematisk och unik risk
Risken i avkastningen kan delas upp i en
systematisk och en unik del.
• Systematisk risk
– Risk som påverkar samtliga tillgångar på marknaden.
Betecknas även som marknadsrisk.
• Unik risk
– Risk som påverkar en specifik tillgång. Betecknas även
som företagsspecifik risk, diversifierbar risk och
osystematisk risk.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
23
Portföljdiversifiering
Portfolio standard deviation
När flera värdepapper kombineras i en ”bred”
tillgångsportfölj kommer de individuella okorrelerade unika
riskerna att ta ut varandra. Den unika risken kan därmed
reduceras så att endast marknadsrisken består.
Unique
risk
Market risk
0
5
10
15
Number of Securities
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
24
12
2013-02-28
Portföljavkastning
En portföljs avkastning är det värdeviktade
medelvärdet av de ingående tillgångarnas avkastning.
RP  x1R1  x2 R2 
 xn Rn 
 xR
i
i
i
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
25
Avkastning och risk för en portfölj med
två tillgångar
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
26
13
2013-02-28
Kovarians
• För att mäta en portföljs risk måste man känna till:
– Vikterna på tillgångarna
– Tillgångarnas standardavvikelser
– Samvariationen mellan tillgångarnas avkastningar
• Kovariansen mäter samvariationen mellan två olika
tillgångars avkastningar (riktning och styrka).
– Beräkning av kovariansen:
1
Cov(Ri ,R j ) 
 (Ri,t  Ri ) (R j ,t  R j )
T  1 t
• Om kovariansen är positiv så tenderar de två tillgångarnas
avkastningar att röra sig i samma riktning och om
kovariansen är negativ så tenderar de två tillgångarnas
avkastningar att röra sig i motsatt riktning.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
27
Korrelation
Korrelationen mäter styrkan och riktningen i
samvariationen och är standardiserad mellan
-1 och +1.
Corr (Ri ,R j ) 
Cov(Ri ,R j )
SD(Ri ) SD(R j )
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
28
14
2013-02-28
Illustration av korrelationen
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
29
Exempel på beräkning av kovarians och
korrelation mellan tillgångars avkastningar
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
30
15
2013-02-28
Beräkning av varians och standardavvikelse
för en portfölj med två tillgångar
– Portföljens varians
Var (RP )  x12Var (R1 )  x22Var (R2 )  2 x1 x2Cov(R1,R2 )
– Portföljens standardavvikelse
SD( R p )  Var ( R p )
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
31
Exempel beräkning av standardavvikelse
för en portfölj med två tillgångar
•
•
•
•
Tillgång A: SD = 10%
Tillgång B: SD = 15%
25% A och 75% B i portföljen
Korrelation mellan tillgångarnas avkastning = 0,7
SD( R p )  0,252  0,10 2  0,752  0,152  2  0,25  0,75  0,10  0,15  0,7 
 13,1%
Notera att:
0,25  0,10  0,75  0,15  13,75%
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
32
16
2013-02-28
Förväntad avkastning och volatilitet i
portföljer
Förväntad avkastning och volatilitet (standardavvikelse) för
portföljer med olika vikter av Intel och Coca-Cola aktier.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
33
Förväntad avkastning och volatilitet i en
portfölj med Intel och Coca-Cola
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
34
17
2013-02-28
Ineffektiva och effektiva portföljer
• Ineffektiva portföljer
– I en ineffektiv portfölj är det möjligt att skapa en
bättre portfölj i termer av förväntad avkastning och
risk (högre förväntad avkastning till samma risk eller
lägre risk till samma förväntade avkastning).
• Effektiva portföljer
– I en effektiv portfölj så finns det ingen möjlighet att
minska risken i portföljen utan att sänka portföljens
förväntade avkastning.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
35
Korrelationens påverkan
• Korrelationen mellan tillgångarnas avkastning påverkar
portföljens volatilitet (inte portföljens avkastning).
• Ju lägre korrelation, desto lägre volatilitet kan uppnås.
• Om korrelationen är +1 existerar ingen diversifieringseffekt.
• Om korrelationen är -1 kan en helt riskfri portfölj skapas
(standardavvikelsen = 0%).
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
36
18
2013-02-28
Förväntad avkastning och volatilitet för
korrelation mellan -1 och +1
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
37
Effektiva portföljer med flera aktieslag
Anta att vi lägger till Bore Industries i portföljen med
Intel och Coca-Cola aktier.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
38
19
2013-02-28
Förväntad avkastning och volatilitet för portföljer med
Intel, Coca-Cola och Bore Industries
Notera att det fördelaktigt att lägga till Bore till portföljen även då Bore har lägre
förväntad avkastning och samma volatilitet som Coca-Cola.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
39
Effektiva fronten med 10
respektive 3 aktieslag
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
40
20
2013-02-28
Riskfritt sparande och lån
• Portföljens risk kan också minskas genom att placera en del
i riskfria räntebärande tillgångar.
• En riskbenägen investerare kan låna pengar för att kunna
investera mer kapital på aktiemarknaden.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
41
Kombinationer av en riskfri tillgång/lån och en
riskfylld portfölj (P) på den effektiva fronten
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
42
21
2013-02-28
Sharpekvot
• Sharpekvot
– Mäter kvoten mellan portföljens avkastning utöver
den riskfria räntan (riskpremien) och
standardavvikelsen.
𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒𝑘𝑣𝑜𝑡 =
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ö𝑙𝑗𝑒𝑛𝑠 𝑎𝑣𝑘𝑎𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑅𝑖𝑠𝑘𝑓𝑟𝑖 𝑟ä𝑛𝑡𝑎
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ö𝑙𝑗𝑒𝑛𝑠 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑣𝑣𝑖𝑘𝑒𝑙𝑠𝑒
Den portfölj på den effektiva fronten som har den högsta
Sharpekvoten benämns tangentportföljen.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
43
Tangentportföljen
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
44
22
2013-02-28
Kapitalmarknadslinjen
(Capital Market Line, CML)
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
45
Effektiva investeringar
En investerares riskbenägenhet (riskaversion) avgör hur stor
andel investeraren bör placeras i den riskfria tillgången
respektive i den riskfyllda marknadsportföljen.
– Riskobenägna (riskaverta) investerare bör placera en liten andel i
marknadsportföljen och en stor andel i den riskfria tillgången.
– Riskbenägna investerare bör placera en stor andel i
marknadsportföljen.
– Alla typer av investerare kommer därmed i princip placera en viss
andel i riskfria placeringar och en viss andel i marknadsportföljen.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
46
23
2013-02-28
Historisk avkastning och volatilitet för 500 individuella
aktier, uppdelade på storlek varje kvartal (1926–2005)
Historisk volatilitet är inte lämplig för att beräkna den förväntade avkastningen
för individuella aktier.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
47
Riskpremien
• Riskpremien för diversifierbar risk är noll.
• Investerare kompenseras endast för den systematiska
risken i portföljen.
• En tillgångs riskpremie bestäms av dess systematiska
risk.
• Standardavvikelsen (volatiliteten) som mäter en
tillgångs totala risk är inte lämplig för att bestämma en
enskild tillgångs riskpremie.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
48
24
2013-02-28
Beta
• Känsligheten för systematisk risk benämns Beta (β).
• Beräknas mha marknadsportföljen som är effektiv och
endast innehåller systematisk risk.
• Beta för tillgång i beräknas som kvoten mellan kovariansen
mellan tillgångens och marknadsportföljens avkastning och
variansen i marknadsportföljens avkastning:
i 
Cov ( Ri , Rm )
Var ( Rm )
• Beta för en portfölj är det värdeviktade genomsnittet av
alla portföljtillgångars enskilda betavärden.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
49
Illustration av en akties känslighet för
systematisk risk
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
50
25
2013-02-28
Beta för olika
amerikanska aktier.
(Beta baserat på månadsavkastningar 2004–2008)
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
51
Kapitalmarknadslinjen (Capital Market Line)
och Security Market Line (SML)
Per definition har marknadsportföljen ett Beta = 1.
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
52
26
2013-02-28
Marknadsportföljens riskpremie
• Marknadsportföljens riskpremie är marknadsportföljens
avkastning utöver den riskfria räntan.
• Representerar marknadspriset på risk i ekonomin.
• Marknadsportföljens förväntade riskpremie uppskattas till
ca 4-6% av marknadsaktörerna.
• Marknadsportföljen som i teorin består av alla riskfyllda
tillgångar brukar i praktiken approximeras med ett aktieindex.
Marknadsportföljens riskpremie  rm  rf
rm  Marknadsportföljens avkastning
rf  Riskfria räntan
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
53
The Capital Asset Pricing Model (CAPM)
• CAPM används i praktiken för att estimera en tillgångs
förväntade avkastning (avkastningskrav) och riskpremie.
• Den förväntade avkastningen baseras på tillgångens Beta,
riskfria räntan och marknadsportföljens riskpremie.
Förväntad avkastning för tillgång i =
= Riskfria räntan + Beta för tillgång i x Marknadsportföljens riskpremie
ri  rf   i (rm  rf )
Föreläsning 6 Delkurs Finansiering
54
27