2013-02-28 Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering Föreläsning 6 Introduktion till portföljteorin BMA: Kap. 7-8 Jonas Råsbrant [email protected] Föreläsningens innehåll • • • • • • Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk Avkastning och risk för en portfölj av tillgångar Portföljdiversifiering Sambandet mellan risk och avkastning Capital Asset Pricing Model (CAPM) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 2 1 2013-02-28 Värdet av $1 investerad år 1900 i statsskuldsväxlar (Bills), Obligationer (Bonds) och aktier (Common stock) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 3 Värdet av 1 kr investerad i slutet av år 1918 i olika svenska finansiella tillgångar 10 000 kr 1 000 kr 6 745kr Svenska aktier inkl. återinvesterade utdelningar Statsobligationer (10 år) Diskontot och statsskuldsväxlar (3 mån) Inflation (KPI) 335kr 110 kr 100 kr 18 kr 10 kr 1 kr 1918 1928 1938 1948 1958 1968 1978 1988 1998 2008 0 kr Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 4 2 2013-02-28 Genomsnittlig årlig avkastning och värdetillväxt för svenska placeringstillgångar 1919-2011 14% Kort ränta (Statsskuldsväxlar) Statsobligationer Svenska aktier 12,5% 12% 10,1% 10% 8% 6% 9,0% 7,0% 6,6% 6,6% 5,2% 5,2% 3,9% 4% 3,3% 2,1% 2% 1,9% 0% Nominellt Realt Nominellt Realt Aritmetisk medelavkastning Geometrisk medelavkastning Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 5 Genomsnittlig årlig riskpremie för en bred aktieportfölj i olika länder Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 6 3 2013-02-28 Genomsnittlig årlig riskpremie på Stockholmsbörsen under olika perioder (%) Från Till 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1929 1939 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 -0.3 -0.5 2.3 5.3 5.1 4.5 7.3 8.1 7.6 -0.7 3.6 7.1 6.4 5.4 8.5 9.3 8.6 8.0 11.1 8.8 7.0 10.4 11.0 10.0 14.1 9.2 6.6 11.0 11.5 10.3 4.2 2.9 9.9 10.9 9.5 1.5 12.8 13.1 10.8 24.1 19.0 14.0 13.9 8.9 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 4.0 7 Genomsnittlig avkastning (Aritmetiskt medelvärde) R1 R2 ...RT 1 T R Rt T T t 1 – Rt är tillgångens avkastning i period t och T är antalet perioder. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 8 4 2013-02-28 Exempel 1 genomsnittlig avkastning (Aritmetiskt medelvärde) Datum Pris 31 dec 2010 100 31 dec 2011 31 dec 2012 RA År Avkastning 110 1 10% 121 2 10% 10% 10% 10% 2 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 9 Exempel 2 genomsnittlig avkastning (Aritmetiskt medelvärde) Datum Pris 31 dec 2010 100 31 dec 2011 31 dec 2012 RA År Avkastning 120 1 20% 120 2 0% 20% 0% 10% 2 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 10 5 2013-02-28 Exempel 1 genomsnittlig avkastning (Geometriskt medelvärde) Datum Pris 31 dec 2010 100 31 dec 2011 31 dec 2012 RA År Avkastning 110 1 10% 121 2 10% 10% 10% 10% 2 1 T R G 1 R1 1 R 2 1 R 3 ... 1 R T 1 1 2 RG (1,10 1,10) 1 10% Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 11 Exempel 2 genomsnittlig avkastning (Geometriskt medelvärde) Datum Pris 31 dec 2010 100 31 dec 2011 31 dec 2012 RA År Avkastning 120 1 20% 120 2 0% 20% 0% 10% 2 1 RG (1,20 1,00) 2 1 9.54% Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 12 6 2013-02-28 Aktieavkastning • Totalavkastning = Direktavkastning + Värdetillväxt R Utdelning P1 1 P0 R = Aktiens totalavkastning P = Aktiepris Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 13 Totalavkastning Stockholmsbörsen 1919-2012 80% 60% 40% 20% 2012 2009 2006 2003 2000 1997 1994 1991 1988 1985 1982 1979 1976 1973 1970 1967 1964 1961 1958 1955 1952 1949 1946 1943 1940 1937 1934 1931 1928 1925 1922 1919 0% -20% -40% -60% Genomsnittlig årlig avkastning = 12,5% 70% av åren är avkastningen positiv Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 14 7 2013-02-28 Fördelning av totalavkastning Stockholmsbörsen 1919-2012 2008 2002 1931 1990 1966 1932 1921 2011 2001 2000 1977 1970 1952 1939 1920 1919 -40% -30% -20% 2007 1987 1984 1962 1955 1948 1947 1937 1930 1929 1923 1922 -10% 1994 1992 1991 1979 1976 1974 1973 1969 1967 1961 1960 1957 1956 1938 0% 2012 1998 1972 1965 1964 1953 1949 1946 1945 1944 1943 1942 1940 1935 1933 1926 1925 1924 10% 2010 2006 2004 1997 1995 1989 1985 1980 1978 1971 1963 1958 1951 1950 1941 1934 1928 1927 20% 2005 2003 1975 1968 1954 1936 30% 1996 1982 1959 40% 2009 1993 1988 1986 50% 1999 1983 1981 60% 70% Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 15 Den empiriska fördelningen av årsavkastningar för stora amerikanska bolag (S&P 500), småbolag, företagsobligationer (Corporate Bonds) och statsskuldsväxlar (Treasury Bills), 1926–2008 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 16 8 2013-02-28 Riskmätning Mått på variation i avkastning (volatilitet) • Varians (Variance, Var) – Medelvärde av kvadrerade avvikelser från medelvärdet. • Standardavvikelse (Standard Deviation, SD) – Kvadratroten ur variansen. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 17 Exempel på beräkning av varians och standardavvikelse i historisk avkastning Var (R) SD( R) 1 T 1 T R t 1 Var ( R) 𝑅= Var ( R ) t R 2 År Avkastning 2010 -10% 2011 10% 2012 30% −10% + 10% + 30% = 10% 3 (0,10 0,10) 2 (0,10 0,10) 2 (0,30 0,10) 2 0,04 3 1 SD( R ) 0,04 20% Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 18 9 2013-02-28 Risk och avkastning för några svenska placeringstillgångar 1919-2011 Korta räntor (Statsskuldsväxlar) Svenska statsobligationer Genomsnittlig årlig avkastning 5,2 % 7,0 % Standardavvikelse 3,0 % 9,7 % Svenska aktier inkl. utdelningar 12,5 % 23,3 % Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 19 Standardavvikelsen i årsavkastningen på olika aktiemarknader (1900-2008) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 20 10 2013-02-28 Normalfördelningen 68,3% av observationerna återfinns -/+ 1 standardavvikelse från medelvärdet 95,4% av observationerna återfinns -/+ 2 standardavvikelser från medelvärdet 99,7% av observationerna återfinns -/+ 3 standardavvikelser från medelvärdet Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 21 Den historiska fördelningen av månadsavkastningar på Stockholmsbörsen (1980-2008) Histogram 30 Blå staplar = empirisk fördelning Röda staplar = normalfördelning 25 Frequency 20 15 10 5 0 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 22 11 2013-02-28 Systematisk och unik risk Risken i avkastningen kan delas upp i en systematisk och en unik del. • Systematisk risk – Risk som påverkar samtliga tillgångar på marknaden. Betecknas även som marknadsrisk. • Unik risk – Risk som påverkar en specifik tillgång. Betecknas även som företagsspecifik risk, diversifierbar risk och osystematisk risk. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 23 Portföljdiversifiering Portfolio standard deviation När flera värdepapper kombineras i en ”bred” tillgångsportfölj kommer de individuella okorrelerade unika riskerna att ta ut varandra. Den unika risken kan därmed reduceras så att endast marknadsrisken består. Unique risk Market risk 0 5 10 15 Number of Securities Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 24 12 2013-02-28 Portföljavkastning En portföljs avkastning är det värdeviktade medelvärdet av de ingående tillgångarnas avkastning. RP x1R1 x2 R2 xn Rn xR i i i Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 25 Avkastning och risk för en portfölj med två tillgångar Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 26 13 2013-02-28 Kovarians • För att mäta en portföljs risk måste man känna till: – Vikterna på tillgångarna – Tillgångarnas standardavvikelser – Samvariationen mellan tillgångarnas avkastningar • Kovariansen mäter samvariationen mellan två olika tillgångars avkastningar (riktning och styrka). – Beräkning av kovariansen: 1 Cov(Ri ,R j ) (Ri,t Ri ) (R j ,t R j ) T 1 t • Om kovariansen är positiv så tenderar de två tillgångarnas avkastningar att röra sig i samma riktning och om kovariansen är negativ så tenderar de två tillgångarnas avkastningar att röra sig i motsatt riktning. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 27 Korrelation Korrelationen mäter styrkan och riktningen i samvariationen och är standardiserad mellan -1 och +1. Corr (Ri ,R j ) Cov(Ri ,R j ) SD(Ri ) SD(R j ) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 28 14 2013-02-28 Illustration av korrelationen Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 29 Exempel på beräkning av kovarians och korrelation mellan tillgångars avkastningar Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 30 15 2013-02-28 Beräkning av varians och standardavvikelse för en portfölj med två tillgångar – Portföljens varians Var (RP ) x12Var (R1 ) x22Var (R2 ) 2 x1 x2Cov(R1,R2 ) – Portföljens standardavvikelse SD( R p ) Var ( R p ) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 31 Exempel beräkning av standardavvikelse för en portfölj med två tillgångar • • • • Tillgång A: SD = 10% Tillgång B: SD = 15% 25% A och 75% B i portföljen Korrelation mellan tillgångarnas avkastning = 0,7 SD( R p ) 0,252 0,10 2 0,752 0,152 2 0,25 0,75 0,10 0,15 0,7 13,1% Notera att: 0,25 0,10 0,75 0,15 13,75% Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 32 16 2013-02-28 Förväntad avkastning och volatilitet i portföljer Förväntad avkastning och volatilitet (standardavvikelse) för portföljer med olika vikter av Intel och Coca-Cola aktier. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 33 Förväntad avkastning och volatilitet i en portfölj med Intel och Coca-Cola Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 34 17 2013-02-28 Ineffektiva och effektiva portföljer • Ineffektiva portföljer – I en ineffektiv portfölj är det möjligt att skapa en bättre portfölj i termer av förväntad avkastning och risk (högre förväntad avkastning till samma risk eller lägre risk till samma förväntade avkastning). • Effektiva portföljer – I en effektiv portfölj så finns det ingen möjlighet att minska risken i portföljen utan att sänka portföljens förväntade avkastning. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 35 Korrelationens påverkan • Korrelationen mellan tillgångarnas avkastning påverkar portföljens volatilitet (inte portföljens avkastning). • Ju lägre korrelation, desto lägre volatilitet kan uppnås. • Om korrelationen är +1 existerar ingen diversifieringseffekt. • Om korrelationen är -1 kan en helt riskfri portfölj skapas (standardavvikelsen = 0%). Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 36 18 2013-02-28 Förväntad avkastning och volatilitet för korrelation mellan -1 och +1 Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 37 Effektiva portföljer med flera aktieslag Anta att vi lägger till Bore Industries i portföljen med Intel och Coca-Cola aktier. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 38 19 2013-02-28 Förväntad avkastning och volatilitet för portföljer med Intel, Coca-Cola och Bore Industries Notera att det fördelaktigt att lägga till Bore till portföljen även då Bore har lägre förväntad avkastning och samma volatilitet som Coca-Cola. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 39 Effektiva fronten med 10 respektive 3 aktieslag Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 40 20 2013-02-28 Riskfritt sparande och lån • Portföljens risk kan också minskas genom att placera en del i riskfria räntebärande tillgångar. • En riskbenägen investerare kan låna pengar för att kunna investera mer kapital på aktiemarknaden. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 41 Kombinationer av en riskfri tillgång/lån och en riskfylld portfölj (P) på den effektiva fronten Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 42 21 2013-02-28 Sharpekvot • Sharpekvot – Mäter kvoten mellan portföljens avkastning utöver den riskfria räntan (riskpremien) och standardavvikelsen. 𝑆ℎ𝑎𝑟𝑝𝑒𝑘𝑣𝑜𝑡 = 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ö𝑙𝑗𝑒𝑛𝑠 𝑎𝑣𝑘𝑎𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑅𝑖𝑠𝑘𝑓𝑟𝑖 𝑟ä𝑛𝑡𝑎 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ö𝑙𝑗𝑒𝑛𝑠 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑣𝑣𝑖𝑘𝑒𝑙𝑠𝑒 Den portfölj på den effektiva fronten som har den högsta Sharpekvoten benämns tangentportföljen. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 43 Tangentportföljen Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 44 22 2013-02-28 Kapitalmarknadslinjen (Capital Market Line, CML) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 45 Effektiva investeringar En investerares riskbenägenhet (riskaversion) avgör hur stor andel investeraren bör placeras i den riskfria tillgången respektive i den riskfyllda marknadsportföljen. – Riskobenägna (riskaverta) investerare bör placera en liten andel i marknadsportföljen och en stor andel i den riskfria tillgången. – Riskbenägna investerare bör placera en stor andel i marknadsportföljen. – Alla typer av investerare kommer därmed i princip placera en viss andel i riskfria placeringar och en viss andel i marknadsportföljen. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 46 23 2013-02-28 Historisk avkastning och volatilitet för 500 individuella aktier, uppdelade på storlek varje kvartal (1926–2005) Historisk volatilitet är inte lämplig för att beräkna den förväntade avkastningen för individuella aktier. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 47 Riskpremien • Riskpremien för diversifierbar risk är noll. • Investerare kompenseras endast för den systematiska risken i portföljen. • En tillgångs riskpremie bestäms av dess systematiska risk. • Standardavvikelsen (volatiliteten) som mäter en tillgångs totala risk är inte lämplig för att bestämma en enskild tillgångs riskpremie. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 48 24 2013-02-28 Beta • Känsligheten för systematisk risk benämns Beta (β). • Beräknas mha marknadsportföljen som är effektiv och endast innehåller systematisk risk. • Beta för tillgång i beräknas som kvoten mellan kovariansen mellan tillgångens och marknadsportföljens avkastning och variansen i marknadsportföljens avkastning: i Cov ( Ri , Rm ) Var ( Rm ) • Beta för en portfölj är det värdeviktade genomsnittet av alla portföljtillgångars enskilda betavärden. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 49 Illustration av en akties känslighet för systematisk risk Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 50 25 2013-02-28 Beta för olika amerikanska aktier. (Beta baserat på månadsavkastningar 2004–2008) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 51 Kapitalmarknadslinjen (Capital Market Line) och Security Market Line (SML) Per definition har marknadsportföljen ett Beta = 1. Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 52 26 2013-02-28 Marknadsportföljens riskpremie • Marknadsportföljens riskpremie är marknadsportföljens avkastning utöver den riskfria räntan. • Representerar marknadspriset på risk i ekonomin. • Marknadsportföljens förväntade riskpremie uppskattas till ca 4-6% av marknadsaktörerna. • Marknadsportföljen som i teorin består av alla riskfyllda tillgångar brukar i praktiken approximeras med ett aktieindex. Marknadsportföljens riskpremie rm rf rm Marknadsportföljens avkastning rf Riskfria räntan Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 53 The Capital Asset Pricing Model (CAPM) • CAPM används i praktiken för att estimera en tillgångs förväntade avkastning (avkastningskrav) och riskpremie. • Den förväntade avkastningen baseras på tillgångens Beta, riskfria räntan och marknadsportföljens riskpremie. Förväntad avkastning för tillgång i = = Riskfria räntan + Beta för tillgång i x Marknadsportföljens riskpremie ri rf i (rm rf ) Föreläsning 6 Delkurs Finansiering 54 27