LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
LÖSNINGAR
Inledande kurs, 4 p
2006-09-30
1. a)
cos 4x = cos 3x
Svar: x = k
⇐⇒
4x = ±3x + k2π
(
x = k2π
x = k2π
7
⇐⇒
k∈Z,
2π
, k ∈ Z.
7
b) Ekvationen säger att första- och andrakoordinaten ska vara lika för en punkt på enhetscirkeln
med vinkeln 3x. Två punkter sådana punkter finns i 1:a och 3:a kvadranten:
cos 3x = sin 3x
c)
2.
n
=6
2
⇐⇒
3x =
π
+ kπ
4
n(n − 1)
=6
2
(n − 4)(n + 3) = 0
⇐⇒
ln 3 + 2 ln x + e−2x
ln 3x2 + e−2x
a)
=
=
ln 2x3 + e−3x
ln 2 + 3 ln x + e−3x
ln 3
ln x
ln 2
ln x
⇐⇒
x=
n2 − n − 12 = 0
⇐⇒
⇐⇒
(ty n > 0)
+2+
+3+
π
kπ
+
,
12
3
e−2x
ln x
e−3x
ln x
k∈Z.
⇐⇒
n = 4.
→
0+2+0
2
= .
0+3+0
3
b) Enligt definitionen av absolutbelopp gäller:
(
x−1 ,
då x − 1 ≥ 0
|x − 1| =
−(x − 1) , då x − 1 < 0 ,
(
x+2 ,
då x + 2 ≥ 0
|x + 2| =
−(x + 2) , då x + 2 < 0 .
Vi ser att det är tre olika fall, som avgränsas av x = −2 och x = 1. Detta motsvarar tre delar
av tallinjen:
x < −2: Ekvationen är då ekvivalent med
−(x − 1) − (x + 2) = 5x
⇐⇒
x=−
1
.
7
Vi konstaterar att x = − 17 > −2, och därför ingen lösning.
−2 ≤ x < 1: Ekvationen är då ekvivalent med
−(x − 1) + (x + 2) = 5x
⇐⇒
x=
3
,
5
vilket ligger i intervallet [−2, 1[.
x ≥ 1: Ekvationen är då ekvivalent med
(x − 1) + (x + 2) = 5x
⇐⇒
x=
1
,
3
vilket inte uppfyller x ≥ 1.
3
Svar: x = .
5
3. a) Vi konstaterar först att Df = R. Då värdena för e2x ligger i intervallet ]0, ∞[ och värdemängden
utgörs av logaritmen för tal i intervallet ]1, ∞[, så får vi Vf =]0, ∞[. Vidare är
y = ln(1 + e2x )
⇐⇒
⇐⇒
Här ser vi att inversen är f −1 (x) =
ey = 1 + e2x ⇐⇒
1
x = ln(ey − 1) .
2
e2x = ey − 1
1
ln(ex − 1) med Df −1 = Vf =]0, ∞[, Vf −1 = Df = R.
2
b) Då exponentialfunktionen är strängt växande och därmed injektiv så gäller ekvivalensen A ⇔
C. A ; B, ty t.ex. x = −2, y = 1. B ; A, ty t.ex. x = 1, y = −2. Eftersom A och C är
ekvivalenta följer även att B ; C och C ; B.
Svar: A ⇔ C.
4. a) Ur den rätvinkliga triangeln fås direkt
√
√
6
6·2 3
6
√ =
ℓ=
=
3m.
=
4
3
sin 60◦
3
2
b) Volymen är lika med basarean multiplicerat med höjden:
V = π0.22 · 6 = π0.04 · 6 = 0.24π m3 .
ℓ
b
c) Snittytan är en sned projektion av en cirkelskiva, dvs en
ellipsskiva. Vinkeln mellan planet som ellipsen ligger i och
Ellipsens halvaxlar blir
ett markplan är 30◦ , se figuren.
√
√
3
◦
därför a = r cos 30 = 0.2 · 2 = 0.1 3 m och b = r =
0.2 m. En ekvation för ellipsen i ett koordinatsystem i det
skärande planet med origo i ellipsens medelpunkt är därför
x
√
0.1 3
2
+
y 2
=1
0.2
⇐⇒
6m
a
60◦
a
30
r
◦
x2
y2
+
=1.
0.03 0.04
5. a) och b) Se läroboken.
c) I en romb är alla fyra sidor lika långa. Drag 4 radier från
hörnen till cirkelns medelpunkt, se figuren. Då bildas fyra likbenta trianglar, som alla är kongruenta pga kongruensfall SSS.
Om vinkeln mellan en radie och en sida av romben betecknas
med α, så ger satsen om likbent triangel, samt vinkelsumman
i en fyrhörning, ekvationen 8α = 360◦ ⇔ α = 45◦ . Därmed är
varje vinkel i romben rät, dvs romben är en kvadrat.
α
r
α
r
r
r
6. Kvadratkomplettering ger att cirkelns ekvation kan skrivas
5
(x + 1)2 + y 2 = 32 .
Cirkeln och linjen har ritats ut i figuren. Det sökta avståndet är markerat med den fetare sträckan, som är en del av en
normal till linjen y = 5 − x. Denna normal har riktningskoefficienten 1 och går genom cirkelns medelpunkt (−1, 0), varför
dess ekvation är
y =x+1 .
−5
−1
5
Skärningen mellan normalen och linjen y = 5 − x sker då 5 − x = x + 1 ⇔ x = 2, vilket ger y = 3.
Det sökta avståndet är lika med avståndet mellan punkterna (−1, 0) och (2, 3) minus cirkelns
radie, dvs
p
√
√
(2 − (−1))2 + (3 − 0)2 − 3 = 18 − 3 = 3( 2 − 1) .
