Cirkeln

Ex.
Bestäm konstanten a så att ekvationen
Lösning:
Reell dubbelrot
x 2  1  3  2 x får en reell lösning.
2
x1, 2
P
P
     Q
2
2
Vi får:
x 2  a  2 x  3*  x 2  a  4 x 2  12 x  9  3x 2  12 x  9  a  0 
x 2  4x 
Q*a
Q*a
12  0  a
 0  x  2 d2 
[/ 3] 
 0  a3
3
3
3

0
a  3
ger dubbelrote n
x  2 Sann! efter prövning i *
Ex.
Lös ekvationen
x 4  x 2  12  0
Lösning:
 
2
x 4  x 2  12  0  x 2  x 2  12  0
Sätt: x 2  t * 
1
1 48
1 7
t 2  t  12  0  t  

t  
2
4 4
2 2
t1  4
t 2  4
Alltså;
x2  4 
x1  2
x 2  2
x 2  3
Saknar reella lösningar.
Kap. 9
Cirkeln
Def.
En cirkel har mängden av alla punkter som ligger på samma avstånd r från en vis punkt M .
y
r
M
x
Avståndsformeln ger:
r   x  x0    y  y 0 
Kvadrering ger:
x  x0 2   y  y0 2  r 2
2
2
Ex.
Ange den geometriska betydelsen av ekvationen x 2  2 x  y 2  3 y  3
Lösning:
Kvadrat-komplettering ger:
2
2
3 3

2
2
2
2
x  2 x  y  3 y  3   x  1  1   y       3 
2 2

2
2
x  1   y  3   3  1  9  x  12   y  3   25
2
4
2
4


2
Cirkel x  x0    y  y0   r 2
Vi har:
2
2
x  12   y  3 3 

2
2

25

4
2
2
2

5

x  (1)    y     
 
2



x
3

2
0
y0
r
Alltså:
3
5
Medelpunkt: ( x0 ; y0 )  (1; ) Radie:
2
2
x
Ex.
Ange en ekvation för cirkeln med medelpunkt (2;3) och radien 7 .
x
Cirkelns ekvation:
x  x0 2   y  y0 2  r 2
Givet:
x0  y0   2;3
r 7
Lösning:
x  22   y  (3)2  7 2  x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  49 
x 2  4 x  y 2  6 y  36
Ex.
Ange en ekvation som för en cirkel som har medelpunkten (1;3) och (1;1)
Lösning:
x
Avståndsformeln ger:
r  1  (1)  1  3  4  4  8
Insättning i cirkelns ekvation ger:
2
x  (1) 2   y  32 
2
2
8 
x2  2x 1 y 2  6 y  9  8 
x 2  2 x  y 2  6 y  2
Ex.
Sök skärningspunkterna mellan cirkeln: x 2  4 x  y 2  2 y  8 , och den räta linjen:
5x  y  2  0
Lösning:
Vi använder följande ekvationssystem:
x
1 : x 2  4 x  y 2  2 y  8

2 : 5 x  y  2  0
Lös ut y ur 2 och sätt in i 1 
x 2  4 x  5 x  2   25 x  2   8 
2
x 2  4 x  25 x 2  20 x  4  10 x  4 
26 x 2  26 x  0  0 
26 x x  1  0 
x1  0  y1  2
x2  1  y 2  3
Skärningspunkterna är då:
x; y   0;1
x; y   1;3