PROBLEM FÖR LEKTION 6
(1) (Fyra snabba).
(a) Bestäm avståndet mellan punkterna (0, −1) och (2, 1).
(b) Bestäm ekvationen för linjen som går genom punkterna (0, −1) och (2, 1).
(c) Bestäm radien för cirkeln x2 + y 2 + 2y = 1
(d) Bestäm ekvationen för cirkeln vars graf illustreras nedan
4
2
−2
−1
1
2
3
4
5
−2
(2) Bestäm skärningspunkterna mellan linjen y = 5 − x och circkeln x2 − 2x + y 2 = 15.
(3) Beräkna arean av området som cirkeln x2 − 4x + y 2 + y = 0 begränsar.
(4) Två cirklar med radie 1 har den gemensamma tangenten y = x + 2. Ge exempel på
ekvationer cirklarna kan ha.
(5) Bestäm ekvationen för den räta linje genom punkten (2, −3) som är vinkelrät mot linjen
5x − 2y = 4.
Lösningar.
(1) (Fyra snabba).
(a) Enligt avståndsformeln så är avståndet
d=
q
(∆x)2 + (∆y)2 =
q
(2 − 0)2 + (1 − (−1))2 =
√
√
√
4+4= 8=2 2 .
(b) Lutningen får vi genom
∆y
1 − (−1)
2
=
= =1.
∆x
2−0
2
Nu har vi alltså en linje på formen y = x + m. För att hitta m så sätter vi in
punkten (0, −1) i ekvationen för att få
k=
−1 = 0 + m ⇔ m = −1 .
Så detta innebär att den sökta linjens ekvation är
y =x−1 .
(c) För att ta reda på radien så kvadratkompletterar vi för att få cirkelns ekvation att
stå på standardform. Vi kvadratkompletterar i y.
x2 + y 2 + 2y = x2 + (y + 1)2 − 1 = 1 ⇔ x2 + (y + 1)2 = 2 ,
√
så detta innebär att r2 = 2, dvs att radien av cirkeln är 2.
(d) Vi ser att centrum av cirkeln är (1, 2) och att radien är 2. Detta innebär att cirkelns
ekvation är
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 .
1
2
PROBLEM FÖR LEKTION 6
(2) Vi tar reda på skärningen genom att sätta in y = 5 − x i cirkelns ekvation. Gör vi detta
så får vi
x2 − 2x + (5 − x)2 = 15 ⇔ x2 − 2x + 25 − 10x + x2 = 15 ⇔ 2x2 − 12x + 10 = 0
⇔ x2 − 6x + 5 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 5) = 0
så ekvationen har lösningarna x1 = 1 och x2 = 5. Om vi stoppar in detta i linjens
ekvation (eller cirkelns ekvation, dessa x-värden ger ju samma y-värde för både cirkeln
och linjen!) så får vi
y1 = 5 − x1 = 5 − 1 = 4
y2 = 5 − x2 = 5 − 5 = 0 ,
så de två skärningspunkterna är (1, 4) och (5, 0).
(3) För att beräkna arean så räcker det med att ta reda på radien av cirkeln. För att göra det
så kvadratkompletterar vi; både i x och y.
2
1
=0
4
1 2
1
17
2
⇔ (x − 2) + y +
=4+ =
2
4
4
(x2 − 4x) + (y 2 + y) = 0 ⇔ (x − 2)2 − 4 + y +
1
2
−
Så vi vet att r2 = 94 , alltså är arean
A = πr2 =
17π
.
4
(4) Detta problem har en ren geometrisk lösning. Vi ritar upp linjen y = x + 2.
5
4
3
2
1
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
Det röda linjestycket i figuren ovan har längd 1. Om vi vill ta reda på koordinaterna
där det röda linjestycket slutar så kollar vi på följande triangel
1
x
x
och får enkelt med Pythagoras sats att x =
√1 , 2
2
√1
2
√1
2
så om vi placerar en cirkel i punkten
−
så kommer den precis tangera linjen y = x + 2. Vi resonerar likadant för
att placera en till cirkel som också tangerar y = x + 2 i koordinatsystemet.
PROBLEM FÖR LEKTION 6
3
5
4
3
2
1
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
Ekvationen för dessa är alltså
1
x− √
2
!2
samt
1
x−2− √
2
1
+ y−2+ √
2
!2
!2
1
+ y−4+ √
2
=1,
!2
=1,
(5)
Det vi vet om två räta linjer som är vinkelräta är att deras lutningskoefficienter uppfyller
k1 · k2 = −1. Så linjen
5x − 4
5x − 2y = 4 ⇔ y =
,
2
som har lutning 52 ger att den vinkelräta linjen till denna har lutning − 25 . Eftersom vi då har en
linje på formen y = − 25 x + m så hittar vi m genom att stoppa in punkten (2, −3) i ekvationen
för att få
2
4
4 − 15
11
−3 = − · 2 + m ⇔ m = − 3 =
=−
,
5
5
5
5
så den linje som är vinkelrät mot 5x − 2y = 4 är
11
−2x − 11
2
y =− x−
=
⇔ 2x + 5y = −11 .
5
5
5
