Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Handledning till datorövning
AST213 Solär-terrest fysik
Handledare: Magnus Wik (2862125)
[email protected]
Institutet för rymdfysik, Lund
Oktober 2003
1
Inledning
Syftet med laborationen är att studera laddade partiklars rörelser i elektromagnetiska fält med
hjälp av datorprogrammet Xspace. Inom astrofysiken och rymdfysiken är många plasman av
mycket låg täthet varför det är intressant att studera enskilda partiklars växelverkan med de
storskaliga elektromagnetiska fält som nästan alltid är närvarande. Laborationen anknyter direkt till resultaten i Kivelsons & Russells bok Introduction to Space Physics kapitel 2.1-2.2.,
samt till teorihäftet ”Partiklar och elektromagnetiska fält” kapitel 3.
Vi kommer endast att studera partiklar med icke-relativistiska hastigheter vilket innebär att
rörelseekvationen för en partikel med massan m och laddningen q blir
m
du
= q(E + u × B)
dt
Denna ekvation löses genom numerisk integration med givna elektriska och magnetiska fält. De
E- och B-fält som partiklarna själva genererar försummas. Man brukar dela upp partikelns
hastighet u i en hastighetskomponent vinkelrätt mot B (u⊥ ) och en parallellt med B (uk ), dvs
u = u⊥ + uk . Observera att tidsstegen vid integreringen varierar beroende på initialvillkor och
partikelslag.
Partiklar som kan studeras är H+ , He+ , He++ , O+ , e, och H− . Elektronens massa är i Xspace
√
det geometriska medelvärdet av protonens och elektronens massa, dvs m = me mp . Detta är
för att skillnaderna mellan elektroner och övriga partiklar inte skall bli alltför stor.
En magnetisk fältlinje definieras som den linje vars tangent i varje punkt pekar i magnetfältets
riktning, dvs
dx
Bx
=
,
dy
By
där Bx och By är magnetfältskomponenterna i x- respektive y-led.
OBS: Uppgifter markerade med • skall lösas innan laborationen genomförs.
1
2
2
Homogent magnetfält
Här förutsätts att magnetfältet är homogent, vilket betyder att det ser likadant ut i varje punkt
i rummet. Magnetfältet ges av B = B0 ez , B0 = konstant.
2.1
Gyro-rörelsen
Varje elektriskt laddad partikel som placeras i ett magnetfält kommer att gyrera, d.v.s. röra sig
runt i cirkel. Rörelsen bestäms av en balans mellan Lorentzkraften och en centrifugalkraft. Om
E = 0 och om magnetfältet är homogent, så blir rörelsen speciellt enkel att beskriva.
• 1. Beräkna gyrofrekvens och gyroradie för de 6 olika partikelslagen då B0 = 200 nT och
v = 50ex + 50ey + 15ez km/s.
• 2. Om elektroner och protoner i ett väteplasma har samma kinetiska energi, vad blir då
förhållandet mellan deras gyrofrekvenser? Mellan deras gyroradier?
3. Studera de olika partiklarnas banor givna samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera
i figuren partikelslag, rörelseriktning och magnetfältets riktning.
4. Vad kan man säga om partiklarnas energi? Förklara varför det blir så?
2.2
E × B-drift
Här lägger vi dessutom på ett elektriskt fält E = E0 (sin θex + cos θez ), där θ är vinkeln från
z-axeln. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera men kommer dessutom att börja driva under
inverkan av det elektriska fältet.
• 1. Beräkna drifthastigheten uE för en proton då E0 = 1 V/km, θ = 90◦ och B0 = 200 nT.
Vad blir drifthastigheten för en elektron?
2. Låt E vara vinkelrät mot B (θ = 90◦ ) och studera de olika partiklarna under samma
initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och Bfälten.
3. Vad kan sägas om partiklarnas energi ?
4. Uppstår det en elektrisk ström ?
5. Låt nu istället E bilda 45◦ mot B och studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och Bfälten.
6. Vad kan sägas om partiklarnas energi ?
7. Uppstår det en elektrisk ström ?
3
3
Inhomogent magnetfält
Här komplicerar vi magnetfältet genom att göra det inhomogent, d.v.s. magnetfältets utseende
varierar i rummet. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera, men får dessutom olika driftrörelser p.g.a. magnetfältets struktur. För att inte komplicera situationen alltför mycket, så
förutsätter vi att E = 0.
3.1
Gradientdrift
Antag att magnetfältet varierar enligt B = Bz (x)ez , d.v.s. fältlinjerna är parallella med z-axeln
medan tätheten varierar i x-led. Se ekvation 12 i teori-häftet.
• 1. Ta fram ett uttryck för gradientdriften i det speciella fallet när B = Bz (x)ez .
2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera
rotationsrikting och driftriktning.
3. Vad kan sägas om partiklarnas energi ?
4. Uppstår det en elektrisk ström ?
3.2
Krökningsdrift
Här varierar magnetfältet enligt
!
B = B0 eϕ = B0 (− sin ϕex + cos ϕey ) = B0
y
x
−p 2
ex + p 2
ey ,
2
x +y
x + y2
uttryckt i cylindriska koordinater (r, ϕ, z) och kartesiska koordinater (x, y, z) som i Xspace.
• 1. Ta fram ett uttryck för hur krökningsdriften varierar med radien r i cylindriska koordinater.
2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera
rotationsrikting och driftriktning.
3. Vad kan sägas om partiklarnas energi ?
4. Uppstår det en elektrisk ström ?
4
4
Magnetisk spegling
Den magnetiska flaskan är ett magnetfält som är cirkulärsymmetriskt kring z-axeln och där
styrkan ökar då z → +∞ eller z → −∞. Eftersom magnetfältet blir starkare mot flaskans övre
och nedre del kan laddade partiklar reflekteras fram och åter och förbli fångade av magnetfältet.
I kartesiska koordinater kan man beskriva en magnetisk flaska på följande sätt:
Bx = −Br cos ϕ,
By = −Br sin ϕ,
1
1
(1 − f ) +
.
Bz = B0 1 −
s
s
Här är f och Br funktioner av cylinderkoordinaterna z och r:
z
L
2
,
+ e−z/L
tanh( Lz )
1
f·
,
= B0 r 1 −
s
2L
f
Br
= sech
=
ez/L
medan s och L är två fria parametrar som bestämmer magnetfältets form
Bmax
= ”mirror ratio”,
Bmin
L = flaskans ”skalhöjd”.
s =
• 1. Skissa några fältlinjer i xz-planet för att få en uppfattning om magnetfältets utseende.
• 2. Vad blir B då z = 0 respektive då z → ±∞? Riktning och styrka?
• 3. Visa att ∇ · B = 0, d.v.s. att magnetfältet är fysikalisk rimligt.
Vi ska nu släppa iväg partiklar från en punkt nära origo med olika hastighet längs z-axeln (uk ).
Alla partiklar ska ha samma hastighet vinkelrätt mot magnetfältet (u⊥ =10 km/s). Det kommer
nu att visa sig att partiklar med hög hastighet parallellt med magnetfältet tar sig ur flaskan,
medan partiklar med låg uk reflekteras tillbaka av det starkare magnetfältet.
4. Studera en proton med initialtillståndet (x, y, z)=(0, 5, 0) och (ux , uy , uz )=(u⊥ , 0, uk ). Fyll
i nedanstående tabell där α är vinkeln mellan magnetfältet och partikelns rörelseriktning.
s
50
50
50
50
50
26
26
26
26
26
ux =u⊥
km/s
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
uz =uk
km/s
10
30
50
70
90
10
30
50
70
90
αi
5
Partikeln fångad i flaskan ?
(Ja/Nej)
I teori-häftet, kapitel 3.2.4 och 3.2.5, beskrivs hur partikelns kinetiska energi och magnetiska
moment förblir konstanta under partikelns rörelse i magnetfältet.
mu2
= konstant,
2
mu2⊥
=
= konstant.
2B
E=
µm
5. Bestäm vid vilken initial vinkel αi som gränsen går för infångning av protonen i flaskan.
Gör detta för båda magnetfälten (s=26 och s=50). Ledtråd: bestäm relationen mellan α
och B. Vad är α då partikeln reflekteras och vänder tillbaka?
6
