Kapitel 1

Matematik 4
Kap. 1 Trigonometri och formler
Innehåll
1.1 Trigonometri och trianglar
1.2 Trigonometri och formler
1.3 Bevis och bevismetoder
1.4 Trigonometriska ekvationer
1.5 Tillämningar och problemlösning
1.1 Trigonometri och trianglar
Sinus, cosinus & tangens
a
sin A 
b
c
cos A 
b
a
tan A 
c
Hur skall man göra för att komma ihåg detta?
Sinus, cosinus & tangens
motstående katet
sin A 
hypotenusa
närliggande katet
cos A 
hypotenusa
motstående katet
tan A 
närliggande katet
Sinus, cosinus & tangens
sin C 
c
b
cos C 
a
b
tan C 
c
a
Sinus, cosinus & tangens
3
sin A   0, 6
5
4
cos A   0,8
5
3
tan A   0, 75
4
Sinus, cosinus & tangens
Hur stor är vinkeln A?
Sinus, cosinus & tangens
sin A 
Vinkel C är rät.
cos A 
tan A 
Sinus, cosinus & tangens
sin B 
Vinkel C är rät.
cos B 
tan B 
Sinus, cosinus & tangens
Hur stora är vinklarna A och B?
Vinkel C är rät.
5
A  sin 1    22, 6
 13 
 12 
A  cos 1    22, 6
 13 
 5
A  tan 1    22, 6
 12 
 12 
B  sin 1    67, 4
 13 
5
B  cos 1    67, 4
 13 
 12 
A  tan 1    67, 4
 5
Sinus, cosinus & tangens
sin 60 
cos 60 
sin 2 60 
cos 2 60 
Enhetscirkeln
Enhetscirkeln
(cos
 ,sin
(0,8;0,
6)  )

Enhetscirkeln
Hur stor är vinkeln?
Vinkeln är c:a 36,9°
Enhetscirkeln
NpMa3c ht 2012
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
sin v 
3
5
cos v 
4
5
tan v 
3
4
TRIGONOMETRI
Definitioner
sin v 
a motstående katet

b
hypotenusa
cos v 
c närliggande katet

b
hypotenusa
tan v 
a motstående katet

c närliggande katet
EXAKTA VÄRDEN
Från formler till Matematik 4
TVÅSPECIELLA TRIANGLAR
1
2
1
sin 30 
2
cos 45 
3
2
cos 60 
sin 45 
sin 60 
1
2
3
cos 30 
2
1
2
1
tan 45   1
1
1
tan 30 
3
tan 60 
3
 3
1
EXAKTA VÄRDEN
OBS!
Finns i formelhäftet!!
ENHETSCIRKELN
ENHETSCIRKELN
ENHETSCIRKELN
sin v
 tan v
cos v
ENHETSCIRKELN
Hur kan vi visa följande formler?
sin(v)   sin v
cos(v)  cos v
sin(v  180)   sin v
cos(v  180)   cos v
Vi tar hjälp av räknaren
Vilka vinklar?
sin v  0, 256 14,8 och 165, 2
cos v  0,966
15, 0 och  15, 0 (eller 345)
tan v  0, 268 15
TRIGONOMETRISKA ETTAN
cos v  sin v  1
2
2
2
cos v  sin v  1
2
2
cos v  1  sin v
2
2
sin 2 v  1  cos 2 v
cos v  1  sin v
2
sin v  1  cos v
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
Hur matar man in sin 30 i räknaren?
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
cos v  1  sin v
2
2
cos v  1  sin v
2
cos2 v  1  sin v 1  sin v 
2
2
TRIGONOMETRISKA ETTAN
sin v  1  cos v
sin 2 v  12  cos 2 v
2
sin 2 v  1  cos v 1  cos v 
2
EXEMPEL: UPPGIFT 1229
1  tan x
1

sin x  cos x cos x
Visa att detta
gäller
EXEMPEL: UPPGIFT 1230
cos x
cos x

 2 tan x
1  sin x 1  sin x
cos x
cos x


1  sin x 1  sin x
cos x 1  sin x 
cos x 1  sin x 
=


1

sin
x
1

s
i
n
x
1

sin
x
1

sin
x


 


VL=


cos x 1  sin x   cos x 1  sin x 

1  sin x 1  sin x 
cos x 1  sin x  1  sin x  

1  sin 2 x
cos x  2sin x  2sin x


 2 tan x  HL
cos 2 x
cos x
Visa att detta
gäller
ADDITIONS- OCH
SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR SINUS
sin((40  30))  sin(40) cos(30)  cos(40) sin(30)
Hur kan man kontrollera detta?
ADDITIONS- OCH
SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR COSINUS
cos((40  30))  cos(40) cos(30)  sin(40) sin(30)
Hur kan man kontrollera detta?
FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN
FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN
Uppgift 1232
sin x cos x
2
sin x cos x
cos
x

cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x
sin x
tan x
cos x

1  tan 2 x cos 2 x sin 2 x

2
cos x cos 2 x
Uppgift 1232
Börja med att dividera både täljare och nämnare med cos 2 x
sin x cos x
sin x
tan x
cos 2 x
cos x


2
2
2
2
cos x  sin x cos x sin x 1  tan 2 x

cos 2 x
cos 2 x cos 2 x
Kommentar
sin x
 tan x
cos x
sin 2 x
 tan 2 x
2
cos x
cos 2 x
1
cos 2 x
sin x cos x
sin x cos x
cos 2 x

cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x
sin x
tan x
cos x

2
1  tan 2 x cos x sin 2 x

cos 2 x cos 2 x
Uppgift 1233
tan 2 x

Vad har hänt
1  cos x
sin 2 x
här?
2
 cos x 
1  cos x
sin 2 x
1  cos 2 x



cos2 x  1  cos x  cos 2 x  1  cos x 
VL=
1  cos2 x
1  cos x


2
cos x  1  cos x 
1  cos x
1  cos x 1  cos x 
1  cos x


cos2 x  1  cos x 
1  cos x
1  cos x


cos2 x
1
cos x



2
cos x cos 2 x
1
1


 HL
2
cos x cos x
12  cos2 x  1  cos x 1  cos x  (Konjugat)
Uppgift 1236
sin x
 sin x
tan x  sin x cos x
VL=


sin 3 x
sin 3 x
Bryter nu ut sin x i båda täljare och nämnare
 1

1
sin x 
 1
1
 cos x   cos x
sin 2 x
sin x  sin 2 x 
Skriver nu om ettan i täljaren som
cos x
och ställer på gemensamt bråkstreck (täljaren) och skriver
cos x
om nämnaren enligt trigonometriska ettan.
1  cos x
cos x
1  cos2 x 
Nu förlänger jag hela bråket med cos x och tar sedan hjälp av konjugatregeln.
 1  cos x 
cos x 

1  cos x
1  cos x
 cos x  


2
2
cos x 1  cos x  cos x 1  cos x  cos x 1  cos x 1  cos x 
1
1

=HL
cos x 1  cos x  cos x  cos2 x

EKVIVALENS
EKVIVALENS
3x  1  4  x  1

IMPLIKATION
IMPLIKATION
x 3 x 9
2
IMPLIKATION OCH EKVIVALENS
IMPLIKATION


MEDFÖR ATT…
EKVIVALENS
ÄR EKVIVALENT MED…
ELLER
OM OCH ENDAST OM…
IMPLIKATION OCH EKVIVALENS
IMPLIKATION
x  3  x  9
2
IMPLIKATION OCH EKVIVALENS
EKVIVALENS
x 3  5  x  2
IMPLIKATION OCH EKVIVALENS


MEDFÖR ATT…
ÄR EKVIVALENT MED…









ICKE
DIREKT BEVIS
PQ
INDIREKT BEVIS
P  Q  P  Q
Uppgift 1320
P : 3n  2 udda
P: 3n+2 jämnt
Q: n är udda
Q : n ärjämnt
Vi visar P  Q genom att visa P  Q
k = heltal
n  2k
3n  2  3  2k   2  2  3k  1
2  3k  1 är ett jämnt tal
Q.E.D.
Uppgift 1326
Uppgift 1326
a)
2b 2  a 2
2b 2 är delbart med 2. Då är a 2 det också.
2
Om a är jämnt, så är a det också. (Se 1314)
Uppgift 1326
b)
Om både a och b går att dela med 2 motsäger
det att a / b är förkortat så långt det går.
Uppgift 1327
a och b är heltal. Bevisa att a 2  4b  2.
Vi antar följande:
a 2  4b  2
a 2  2  4b
a 2  2 1  2b   2  2b  1
Detta betyder att a 2 och a är jämna tal.
c = heltal
Vi sätter nu a  2c , vilket ger oss
 2c 
2
 4b  2
4c 2  4b  2
2  2c 2  2b   2
2c 2  2b  1
2  c2  b   1
VL är ett jämnt tal och HL är 1 (udda). Detta leder till en motsägelse.
VAD ÄR DET FÖR FEL PÅ FÖLJANDE BEVIS?
MARKÖR
HÄR!
1.4 Trigonometriska ekvationer
Grundekvationer
Ekvationer som omformas med formler
GRUNDEKVATION FÖR SINUS
x1  v  n  360
x2  180  v   n  360
GRUNDEKVATION FÖR SINUS
DEGREES
SINUS
DEGREES
SINUS
60
0,866025
120
0,866025
420
0,866025
480
0,866025
780
0,866025
840
0,866025
1140
0,866025
1200
0,866025
1500
0,866025
1560
0,866025
1860
0,866025
1920
0,866025
2220
0,866025
2280
0,866025
2580
0,866025
2640
0,866025
2940
0,866025
3000
0,866025
3300
0,866025
3360
0,866025
GRUNDEKVATION FÖR COSINUS
x1,2  v  n  360
Uppgift 1419 a)
450° £ x £ 900°
Uppgift 1419 a)
450° £ x £ 900°
180
180
180
180
180
180
180
180
180
180
Uppgift 1419 b)
cos(4 x  11)  0, 42
?
1
4 x  11   cos (0, 42)
Vi får två fall. Vilka?
I
4 x  11  65  n  360
II
4 x  11  65  n  360
- 90° £ x £ 90°
Uppgift 1419 b)
I
4 x  11  65  n  360
4 x  54  n  360
x  14  n  90
Hur skall vi tänka nu?
- 90° £ x £ 90°
Uppgift 1419 b)
II
4 x  11  65  n  360 - 90° £
4 x  76  n  360
x  19  n  90
Hur skall vi tänka nu?
x £ 90°
Uppgift 1419 b)
x1  14  n  90
- 90° £ x £ 90°
x2  19  n  90
I
II
-76º
-19º
14º
71º
Svar: -76º, -19º, 14º & 71º,
Dubbla vinkeln för sinus
?
Dubbla vinkeln för cosinus
?
Hur ser denna graf ut?
Socrative