Lars Madej
[email protected]
Vad är omkrets?
Har jordklotet en omkrets?
Vad är area?
Har jordklotet en area?
Vad är volym?
Vi börjar med något alla känner till:
◦ Rektangel
◦ Omkrets = summan av sidornas längder
◦ Area = basen x höjden … Varför då?
◦ Volym =
Parallellogram
◦ (OBS! En parallellogram – flera parallellogrammer)
◦ Omkrets = summan av sidornas längder
◦ Area = basen x höjden … Varför då?
En rektangel är en parallellogram
En parallellogram är inte nödvändigtvis en
rektangel
Varför då?
Hur definierar vi parallellogram resp
rektangel?
◦ Parallellogram: fyrhörning med parvis parallella
sidor
◦ Rektangel: Fyrhörning med fyra räta vinklar
Vad är en kvadrat?
◦ En kvadrat är en fyrhörning med fyra räta vinklar
och alla sidor lika långa
Är en kvadrat en rektangel eller är en
rektangel en kvadrat?
◦ En kvadrat är en rektangel(med alla sidor lika långa)
Vad är en romb?
◦ En romb är en fyrhörning med parvis parallella sidor
och där alla sidor är lika långa
◦ Dvs en parallellogram med lika långa sidor
Alla figurer vi hittills gått igenom är
parallellogrammer!
◦ Än så länge kan alltså arean alltid beräknas med
Arean = basen x höjden
Vad är en triangel?
Arean av en triangel
Aha! Dubbla triangeln utgör en parallellogram
Triangelns area måste alltså vara
Prova själv med olika trianglar!
𝑏𝑎𝑠𝑒𝑛 ×ℎö𝑗𝑑𝑒𝑛
2
Parallelltrapets
Har två parallella sidor (de andra två kan se ut
hur som helst)
Kan delas upp som två trianglar med gemensam
höjd!
Formeln kan skrivas A =
, där 𝑎 och 𝑏 är
2
baserna i respektive triangel
ℎ(𝑎+𝑏)
Vad är en cirkel?
En cirkel är mängden av punkter i planet som
ligger på samma avstånd, cirkelns radie, till
en given punkt, cirkelns mittpunkt.
Observera att cirkeln endast är linjen!
Förhållandet mellan cirkelns omkrets och
dess diameter är konstant.
𝑂𝑚𝑘𝑟𝑒𝑡𝑠
𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
OBS! Detta är en definition!
𝜋=
Som konsekvens får vi alltså att
◦ 𝑂 =𝜋∙𝑑
𝑑
Area (av cirkelskivan) = ?
𝑑
𝑟
𝑟
𝜋 ∙ 𝑑 = 𝜋 ∙ 2𝑟
𝐴=
𝜋∙2𝑟∙𝑟
2
= 𝜋𝑟 2
𝑑
Vi vill mäta innehållet (3D)
Hur många kuber av en viss storlek får plats
◦ T.ex. 1 𝑐𝑚3 , 1 𝑑𝑚3 , 1 𝑚3
Tänk på samma sätt:
◦ Vilket samband finns mellan figurerna?
Prisma – parallella basytor. Basytorna är
polygoner och kanterna är parallellogram.
Rätblock – parvis parallella kanter som har rät
vinkel mot varandra (tänk: skokartong)
Kub – Rätblock där kanterna är kvadrater
Prismor
Rätblock
Kub
OBS! Ett tvärsnitt parallellt med basytorna är
kongruent med basytorna
Ett klot inskrivet i en cylinder
Pyramid – Polygon som basyta, sidoytorna är
trianglar som möts i en punkt (konens spets)
(cirkulär) kon – basytan är en cirkelskiva,
smalnar av till konens spets.
Rak cirkulär kon
OBS! Ett tvärsnitt parallellt med basytan är
likformigt med basytan, har dock (såklart)
mindre area
Om kroppen ”är likadan hela vägen från
botten till toppen” (dvs tvärsnittsarean av ett
snitt parallellt med basytan har alltid samma
area som basytan oavsett på vilken höjd detta
snitt görs) så får vi formeln
Ex: Rätblock, cylinder, prisma
𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚 = 𝐵𝑎𝑠𝑎𝑟𝑒𝑎 × ℎö𝑗𝑑𝑒𝑛
OBS! Måste mäta i samma enhet
◦ T.ex. om basarean mäts i 𝑐𝑚2 så måste höjden
mätas i 𝑐𝑚.
Det ryms 3 pyramider i ett rätblock med
samma basarea och samma höjd som
pyramiden (även kallad kon)
Det ryms 3 (cirkulära) koner i en cylinder med
samma basarea och samma höjd som konen
Kan visas med t.ex. laboration med vatten i
ihåliga volymmodeller
Dvs samma volymberäkning som tidigare,
men delat med tre!
Volymen av ett klot då?
𝑉=
4𝜋𝑟 3
3
, där 𝑟 är klotets radie
Det ryms faktiskt 1,5 klot i en cylinder som
precis omsluter klotet. Dvs cylindern har
samma radie som klotet och cylinderns höjd
är lika stor som klotets diameter. Förläng med 2
Basyta är en cirkel
𝑉=
𝐶𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟𝑛𝑠 𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚
1,5
=
d=2r
𝜋𝑟 2 𝑑
1,5
Höjd = diameter
=
𝜋𝑟 2 2𝑟
1,5
=
2𝜋𝑟 3
1,5
=
Flytta fram 2
och lägg samman
alla r till en potens
4𝜋𝑟 3
3
Vilka typer av (2D-)figurer begränsar
kroppen?
Räkna ut dess area!
Cirkulär kon och klot är lite klurigt
◦ Det går att förklara formlerna. Vi går inte in på det i
detalj, men:
Formeln för konens mantelarea kräver att vi räknar
med area av cirkelsektor (begränsningsarean är sedan
mantelarea plus bottenarea). Kan du lösa detta själv?
Klotets begränsningsarea kräver en hel del jobb, så vi
lämnar det! (Vi kan ju titta på hur Archimedes tänkte)
Varje punkt på klotet kan projiceras på (föras
rakt ut åt sidan till) cylinderns vägg.
Punkten i ”toppen” respektive ”botten” kan vi
glömma eftersom en punkt har area 0.
Alltså har klotet samma area som cylinderns
mantel!
