Det är bara att räkna

”Det är bara att räkna”
Pesach Laksman
Författaren diskuterar hur fel det kan bli vid mekaniskt räknande och
efterlyser mer satsning på kvalitet och förståelse. Artikeln inleds med en
kommentar till Per Häggmarks "En ohanterlig parallellogram" i Nämnaren nr 1 - 2000 s. 57, därefter följer fler exempel på "omöjliga uppgifter"
och en diskussion av vådan av att räkna utan att förstå.
En ohanterlig parallellogram
Jag blev berörd av Per Häggmarks artikel
med titeln ”En ohanterlig parallellogram”
av två skäl. Det ena var att jag, påverkad
av min tjugoåriga praktik på en grundskola, ville försöka finna ett enkelt sätt att visa
att problemets förutsättningar är omöjliga.
Jag återger problemet för de läsare som inte
har möjlighet att bekanta sig med ovannämnda artikeln: ”Sidorna i en parallellogram är 3 respektive 1 längdenheter. Diagonalerna skär varandra under 45° vinkel.
Beräkna parallellogramens area.” Den här
uppgiften hade studenter i Budapest fått på
sitt examensarbete.
att visa var felet ligger. Den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna uppnår sitt största
värde om en parallellogram återigen får
rektangelns skepnad. Om vinkeln mellan
diagonalerna är α blir vinkeln mellan den
ena diagonalen och den långa sidan α/2.
α
α/2
1
3
π/8 tan 22,5°
22,5°
1
1
α
3
Om man löser problemet algebraiskt efter
konstens regler får man som resultat 4 areaenheter. Att detta är omöjligt visas tydligt
i Häggmarks artikel, men här följer ett alternativt sätt att resonera: En parallellogram med givna sidor uppnår sin maximala area när den är en rektangel. En rektangel
med sidorna 3 och 1 längdenheter har arean 3 areaenheter, dvs lösningen 4 areaenheter kan inte vara korrekt. Det går även
Pesach Laksman är adjunkt i matematik och kemi på Köpingeskolan i Trelleborg.
Nämnaren nr 3, 2000
Vi har att tan α/2 = 1/3, se figur 2. Samtidigt kan vi konstatera att π/8 < tan 22,5°,
se figur 3. I och med 1/3 < π/8, ger detta
tan α/2 < tan 22,5°. Därifrån får vi α < 45°,
eftersom α ligger i första kvadranten. Den
parallellogram som beskrivs i problemet
existerar alltså inte, på grund utav att den
givna vinkeln inte kan anta ett så stort värde som 45°.
En ohanterlig trapets
Det andra skälet till min reaktion var de
ord som avslutar den ovannämnda artikeln,
nämligen ”En händelse som denna kan
naturligtvis inte inträffa i vårt land.”. Påståendet har säkert en lätt ironisk under37
ton! Här vill jag i alla fall ge ytterligare ett
exempel på en omöjlig problemställning.
I en högstadieskola gavs till elever följande uppgift En parallelltrapets area är
72 cm2 och dess omkrets 36 cm. De två icke
parallella sidorna är 8 cm och 12 cm. Beräkna höjden!.
b
8
h
12
a
Löser man uppgiften enligt h = 2A/(a + b),
får man h = 2·72 /(36 – (8 +12)) = 9 cm.
En av eleverna påpekade i sin lösning
att höjden inte kan vara längre än någon
av de icke parallella sidorna. Det visade
sig att det inte var ett krokben avsett för
eleverna utan en missbedömning av läraren och följaktligen fick samtliga elever
med lösningen 9 cm full utdelning för sina
ansträngningar! Egentligen så är det inte
så dumt med uppgifter av denna typ eftersom dessa prövar elevernas vakenhet. Tyvärr så är undervisning i de flesta fall mekanisk, där eleven förväntas lösa uppgifter efter på förhand gjord mall.
Problem ur vardagslivet
Jag fick tillfälle att åhöra ett samtal som
rörde sig om att handla böcker. Samtalet
pågick en vecka före den förestående bokrean år 2 000. Det blev konstaterat att
böckerna var billiga. Någon yttrade att det
avgår 25% moms. Jag kunde inte låta bli
att korrigera det felaktiga påståendet till
20%. ”Jaså”, tillade någon annan, ”men vi
får 10% rabatt.”. Tredje personen i sällskapet utropade med viss tillfredsställelse
”Då blir det 30% lägre pris.”. Samtalet
pågick varken i ett klassrum eller i en korridor mellan några elever. En elev får inte
en extra rabatt på redan realiserad vara,
ännu mindre dra av momsen. Samtalet pågick i ett lärarrum. Visserligen var det inte
38
matematiklärare, men ändå framstår situationen för mig som lite skrämmande. Tänk
vilket rabalder det skulle ha blivit om lärarna istället inte hade kunnat stava eller hade
trott att Franska Revolutionen utkämpades
1917.
Det misslyckande som upplevs av oss
matematiklärare idag är tydligen inget
unikt och förekom redan på farfars tid. Man
kan ställa sig frågan ”Varför är det så?”.
Det är nog svårt att hitta ett uttömmande
svar. En liten del av befolkningen har kanske speciell matematiktalang, men hur
skall man kunna få de andra att uppleva
den skönhet som detta ädla ämne skänker?
Jag har en känsla av att man lätt faller i en
opportunistisk grop, och när ens elever inte
förstår en frågeställning, visar man dem
bara hur man bär sig åt vid lösning av en
viss sorts problem. Det sättet att lära sig
på ger kortvarigt goda resultat men är förödande på långt sikt och ger knappast beredskap då problemställningarna varieras.
Algoritmer
Redan i de tidigaste skolklasserna lär man
barn algoritmer, utan förståelse för dessas
uppbyggnad. Det vore mer befogat att bekanta elever med de olika huvudräkningsknepen och vänta med det andra tills behovet uppstår och eleverna blir kapabla att
förstå hur och varför en algoritm fungerar
som den gör. Jag måste berätta här om ett
extremt fall då en elev i årskurs 7 skulle
utföra subtraktionen 10 – 4. Eleven ställde
upp en algoritm samt konstaterade att 4 inte
gick att dra från 0, varpå hon strök ettan
och skrev 10 ovanför nollan. Uppgiften
förblev densamma, dvs att subtrahera 4
från 10.
Två långa och två korta sidor
I min tjugoåriga praktik har jag aldrig träffat en enda elev som har kunnat definiera
begreppen rektangel eller kvadrat. För de
flesta är dessa helt distinkta geometriska
figurer. Om man låter eleverna beskriva en
Nämnaren nr 3, 2000
rektangel får man alltid som första svar:
”Det är något med två långa och två korta
sidor”. I sådana lägen ritar jag en fyrhörning med olika långa sidor där de två längsta sidor utgår från samma hörn. Eleverna
brukar bli rätt så frustrerade och korrigerar sin beskrivning med att de långa sidorna skall ligga mot varandra. Jag visar då
en sådan fyrhörning men med de längsta
sidorna olika långa, vilket inte heller utfaller till belåtenhet. ”De långa sidorna
måste vara lika långa och de korta med”.
Denna beskrivning leder till en parallellogram. Nu kommer det väsentliga – fyrhörningen bör ha räta vinklar. Man får dock
alltid tillägget ”Sidorna får inte vara lika
långa för då blir det en kvadrat.”. Där ödeläggs den korrekta definitionen därför att
vid inlärningen av dessa begrepp användes bilder och ej beskrivning. Jag brukar
kontra med att tvillingar enligt det resonemanget inte är syskon ty de är födda vid
samma födsel, men märker att betydande
del av klassen föredrar att stanna vid villfarelsen. Man skulle kunna undvika detta
genom korrekta definitioner från början:
En fyrhörning med endast räta vinklar kallas rektangel och En rektangel med lika
långa sidor heter kvadrat.
höjd, några få märker att dubbelt så lång
bas kräver hälften så lång höjd och hittar
därigenom paren 6cm – 7,12cm och
12cm – 3,56cm. Ytterst få har den abstrakta förståelsen att om man tar det minsta talet ur den ena gruppen måste man ta
den största ur den andra för att den erhållna produkten skall ha någon chans att vara
samma.
Matte-NO lärare
Exempel av den här typen kunde ges
många. Allt detta har sitt ursprung i missuppfattningen att matematik handlar om
räkning, och inte om resonemang. Idag talas det om matte-NO lärare medan skolan
behöver ”matte-matiklärare”. En matteNO lärare som inte hade matematik i sin
utbildning påstod att om man köper fyra
varor till kostnad av tre så får man antingen 25% eller 33% rabatt. Bonus och rabatt
var alltså samma sak. Man hör många
gånger att vi matematiklärare har det väldigt bra ty vi kan kliva in i klassrummet
och låta eleverna räkna. Att vi har ett gediget kunnande hör man däremot aldrig.
Med dessa exempel vill jag varna för det
lätta sättet att undervisa matematik. Visserligen blir eleverna glada för de korta
genomgångarna, men de svävar i stor
Höjd och bas
okunnighet. Algoritmflickans färdighet var
En stor del av dagens högstadieelever kan en belastning för henne. Många elever känberäkna arean av en triangel förutsatt att ner igen en del rektanglar, men utan att
en av sidorna ligger horisontellt. I annat kunna beskriva dessa för sina kamrater.
fall blir det svårt att bestämma vilken av Areaberäkning i en triangel är inte något
sidorna som är bas och vilken höjd man problem bara då triangeln är placerad på
skall välja. Vid några tillfällen testade jag ett speciellt sätt.
Matematik är ett ämne som bygger på
mina lärjungar genom att ge dem följande
logik. Jag tror att om vi glömmer detta så
uppgift:
straffar sig detta med att elever med goda
En triangels sidor är 6 cm, 8 cm och
förutsättningar upplever ämnet som tråkigt.
12 cm och dess höjder 3,56 cm, 5,33 cm
Samtidigt skulle man kunna reducera stofoch 7,12cm. Beräkna triangelns area!
fet för de andra eleverna men behålla den
Det är inte särskilt många elever som kla- höga kvaliteten.
Vi kan återkomma till lärarrummet. Tillrar detta. Men av dem som tar sig an uppgiften ser man tydligt olika kvaliteter på fredsställelsen hos läraren som hade utrolösningsmetoder. Den största gruppen ri- pat att det blir 30% lägre pris byttes till
tar helt enkelt den givna triangeln och hit- besvikelse när hon fick veta att endast 28%
tar på det sättet ett av de rätta paren bas – kunde sparas!
Nämnaren nr 3, 2000
39