Lösningsförslag till TEN1, version A , 31 maj 06, word-fil

Version
A
TENTAMEN
Datum: 31 maj 06
Kurs: MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000 ,
TEN 1 (Matematik)
Skrivtid: 13:15-17:15 Kurskod 6H3000, 6L3000
Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst.
Poängfördelning och betygsgränser:
För betyg 3, 4, 5 krävs 9, 13 respektive 16 poäng. För komplettering krävs 8 poäng.
Lärare: Niclas Hjälm, Ulf Djupedal och Armin Halilovic
Examinator: Armin Halilovic
Denna tentamenlapp får ej behållas.
Uppgift 1) ( 3 poäng)
a) (1p) Bestäm Re w om w 
1  i 4000
i
.
1 i
(1p)
b) (1p) Bestäm alla lösningar till ekvationen
100
2z
60
är z ett komplex tal.
c) (1p) Rita i det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal z som
satisfierar 1  z  z  4
( z betecknar z-konjugat)
Uppgift 2) ( 3 poäng) z1  2  i är en lösning till ekvationen Bestäm alla lösningar
2 z 3  5 z 2  2 z  15  0
Uppgift 3) ( 3 poäng)
Betrakta ekvationen:
y  1  y 2
a) (1p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen .
b) (1p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y  f (x) .
c) (1p)
Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y (0) 
Var god vänd!
1
.
2
Uppgift 4) ( 3 poäng)
Lös följande differentialekvationer
a) (1p)
y ( x)  y ( x)  x  1
b) (1p)
y ( x) 
c) (1p)
y( x)  cos x  y ( x)  sin x  cos x ,
1
1
y ( x)  3 ,
x
x
x0
Uppgift 5) ( 3 poäng)
Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare
kan beskrivas med följande ekvation med avseende på y(t)
y (t )  5 y (t )  6 y (t )  5 sin t  5 cos t
a) (2p) Bestäm den allmänna lösningen för y(t)
b) (1p) Bestäm den lösning som satisfierar y (0)  0 , y (0)  1
Uppgift 6) ( 3 poäng)
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om
1
L=1 H , R= 6  , C= F och
8
u (t )  8  cos t  13 sin t V då
i(0)=1A och i (0)  1 .
( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna
ekvationen 1p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. )
Lycka till!
Facit:
Uppgift 1) ( 3 poäng)
a) (1p) Bestäm Re w om w 
1  i 4000
i
.
1 i
Lösning:
1  i 4000 1  i 1  i
1  2i  1
2i
i


1 
1  1  i 1  1 i
2
1 i
1 i 1 i
2
1 i
Re( w)  1
Svar a: Re( w)  1
w
b) (1p) Bestäm alla lösningar till ekvationen
100
60
2z
är z ett komplex tal.
Lösning:
2 z100  6  0  z100  3  z100  3ei 
z
100
1
100
3
e
(  2 k ) i
100
1
k  0, 1, 2,..., 99
(  2 k ) i
Svar b: z100  3100 e 100
k  0, 1, 2,..., 99
c) (1p) Rita i det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal z som
satisfierar 1  z  z  4
( z betecknar z-konjugat)
Lösning:
1 | z | 2  4  1 | z | 2
Svar c:
Uppgift 2) ( 3 poäng) z1  2  i är en lösning till ekvationen Bestäm alla lösningar
2 z 3  5 z 2  2 z  15  0
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1  2  i är en lösning )  z 2  2  i är
också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z  z1 )( z  z 2 )  ( z  2  i)( z  2  i)  ( z  2) 2  i 2  z 2  4 z  5 .
Polynomdivisionen ger
(2 z 3  5z 2  2 z  15) /( z 2  4 z  5)  (2 z  3)
dvs
(2 z 3  5z 2  2 z  15)  ( z 2  4 z  5)(2 z  3)
Den tredje lösningen får vi ur
(2 z  3)  0  z3 
3
2
Svar: z1  2  i , z 2  2  i z 3  3 / 2
Uppgift 3) ( 3 poäng)
Betrakta ekvationen:
y  1  y 2
a) (1p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen .
b) (1p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y  f (x) .
Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y (0) 
c) (1p)
1
.
2
Lösning:
a)
y  1  y 2 
( Anmärkning: Vi delar ekvationen med 1  y 2 om uttrycket är skilt från 0.
Substitutionen y  1 , y   0 i ekvationen visar att de två konstanta funktioner är
lösningar)
y
1 y2

1
y
1 y2
dx   1dx 
arcsin y  x  C
Svar a: Den allmänna lösningen är arcsin y  x  C
(Ekvationen har även två singulära lösningar y  1 )
b) Svar b: y  sin( x  C )
c)
1

 sin( 0  C )  C  
2
6
y  sin( x 

6
)
Svar c: y  sin( x 

6
)
Uppgift 4) ( 3 poäng)
Lös följande differentialekvationer
a) (1p)
y ( x)  y ( x)  x  1
Svar a: y ( x )  Ce x  x
1
1
y ( x)  3 ,
x0
x
x
C 1
Svar b: y ( x )   2
x x
y( x)  cos x  y ( x)  sin x  cos x ,
c) (1p)
b) (1p)
Svar c:
y ( x) 
y( x)  Ce  sin x  sin x  1
Uppgift 5) ( 3 poäng)
Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare
kan beskrivas med följande ekvation med avseende på y(t)
y (t )  5 y (t )  6 y (t )  5 sin t  5 cos t
a) (2p) Bestäm den allmänna lösningen för y(t)
b) (1p) Bestäm den lösning som satisfierar y (0)  0 , y (0)  1
Svar a:
Svar b:
y( x)  C1e 2t  C 2 e 3t  sin t
y ( x)  sin t
Uppgift 6) ( 3 poäng)
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om
1
L=1 H , R= 6  , C= F och
8
u (t )  8  cos t  13 sin t V då
i(0)=1A och i (0)  1 .
( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna
ekvationen 1p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. )
Svar: i (t )  sin t  cos t