Version A TENTAMEN Datum: 31 maj 06 Kurs: MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000 , TEN 1 (Matematik) Skrivtid: 13:15-17:15 Kurskod 6H3000, 6L3000 Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst. Poängfördelning och betygsgränser: För betyg 3, 4, 5 krävs 9, 13 respektive 16 poäng. För komplettering krävs 8 poäng. Lärare: Niclas Hjälm, Ulf Djupedal och Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic Denna tentamenlapp får ej behållas. Uppgift 1) ( 3 poäng) a) (1p) Bestäm Re w om w 1 i 4000 i . 1 i (1p) b) (1p) Bestäm alla lösningar till ekvationen 100 2z 60 är z ett komplex tal. c) (1p) Rita i det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal z som satisfierar 1 z z 4 ( z betecknar z-konjugat) Uppgift 2) ( 3 poäng) z1 2 i är en lösning till ekvationen Bestäm alla lösningar 2 z 3 5 z 2 2 z 15 0 Uppgift 3) ( 3 poäng) Betrakta ekvationen: y 1 y 2 a) (1p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen . b) (1p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y f (x) . c) (1p) Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y (0) Var god vänd! 1 . 2 Uppgift 4) ( 3 poäng) Lös följande differentialekvationer a) (1p) y ( x) y ( x) x 1 b) (1p) y ( x) c) (1p) y( x) cos x y ( x) sin x cos x , 1 1 y ( x) 3 , x x x0 Uppgift 5) ( 3 poäng) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation med avseende på y(t) y (t ) 5 y (t ) 6 y (t ) 5 sin t 5 cos t a) (2p) Bestäm den allmänna lösningen för y(t) b) (1p) Bestäm den lösning som satisfierar y (0) 0 , y (0) 1 Uppgift 6) ( 3 poäng) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om 1 L=1 H , R= 6 , C= F och 8 u (t ) 8 cos t 13 sin t V då i(0)=1A och i (0) 1 . ( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna ekvationen 1p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. ) Lycka till! Facit: Uppgift 1) ( 3 poäng) a) (1p) Bestäm Re w om w 1 i 4000 i . 1 i Lösning: 1 i 4000 1 i 1 i 1 2i 1 2i i 1 1 1 i 1 1 i 2 1 i 1 i 1 i 2 1 i Re( w) 1 Svar a: Re( w) 1 w b) (1p) Bestäm alla lösningar till ekvationen 100 60 2z är z ett komplex tal. Lösning: 2 z100 6 0 z100 3 z100 3ei z 100 1 100 3 e ( 2 k ) i 100 1 k 0, 1, 2,..., 99 ( 2 k ) i Svar b: z100 3100 e 100 k 0, 1, 2,..., 99 c) (1p) Rita i det komplexa tal planet mängden av alla komplexa tal z som satisfierar 1 z z 4 ( z betecknar z-konjugat) Lösning: 1 | z | 2 4 1 | z | 2 Svar c: Uppgift 2) ( 3 poäng) z1 2 i är en lösning till ekvationen Bestäm alla lösningar 2 z 3 5 z 2 2 z 15 0 Lösning: (Ekvationen har reella koefficienter och z1 2 i är en lösning ) z 2 2 i är också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med ( z z1 )( z z 2 ) ( z 2 i)( z 2 i) ( z 2) 2 i 2 z 2 4 z 5 . Polynomdivisionen ger (2 z 3 5z 2 2 z 15) /( z 2 4 z 5) (2 z 3) dvs (2 z 3 5z 2 2 z 15) ( z 2 4 z 5)(2 z 3) Den tredje lösningen får vi ur (2 z 3) 0 z3 3 2 Svar: z1 2 i , z 2 2 i z 3 3 / 2 Uppgift 3) ( 3 poäng) Betrakta ekvationen: y 1 y 2 a) (1p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen . b) (1p) Skriv lösningen på explicit form d v s på formen y f (x) . Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y (0) c) (1p) 1 . 2 Lösning: a) y 1 y 2 ( Anmärkning: Vi delar ekvationen med 1 y 2 om uttrycket är skilt från 0. Substitutionen y 1 , y 0 i ekvationen visar att de två konstanta funktioner är lösningar) y 1 y2 1 y 1 y2 dx 1dx arcsin y x C Svar a: Den allmänna lösningen är arcsin y x C (Ekvationen har även två singulära lösningar y 1 ) b) Svar b: y sin( x C ) c) 1 sin( 0 C ) C 2 6 y sin( x 6 ) Svar c: y sin( x 6 ) Uppgift 4) ( 3 poäng) Lös följande differentialekvationer a) (1p) y ( x) y ( x) x 1 Svar a: y ( x ) Ce x x 1 1 y ( x) 3 , x0 x x C 1 Svar b: y ( x ) 2 x x y( x) cos x y ( x) sin x cos x , c) (1p) b) (1p) Svar c: y ( x) y( x) Ce sin x sin x 1 Uppgift 5) ( 3 poäng) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation med avseende på y(t) y (t ) 5 y (t ) 6 y (t ) 5 sin t 5 cos t a) (2p) Bestäm den allmänna lösningen för y(t) b) (1p) Bestäm den lösning som satisfierar y (0) 0 , y (0) 1 Svar a: Svar b: y( x) C1e 2t C 2 e 3t sin t y ( x) sin t Uppgift 6) ( 3 poäng) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om 1 L=1 H , R= 6 , C= F och 8 u (t ) 8 cos t 13 sin t V då i(0)=1A och i (0) 1 . ( Bedömning för upp6: korrekt ställd ekvation 1p; korrekt lösning för den allmänna ekvationen 1p; korrekt lösning för begynnelsevärdesproblemet 1p. ) Svar: i (t ) sin t cos t