BASER OCH KOORDINATER Vektorer i ett plan. Vektorer i rummet

1 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet
BASER OCH KOORDINATER
Vektorer i ett plan. Vektorer i rummet
1. BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE

Vi betraktar vektorer som ligger på en rät linje L ( eller är parallella med L). Låt e1 vara en
icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn

e1 ett koordinataxel.
e1
v
O
P
A
x-axeln


En vektor v som ligger på L (eller är parallell med L) är också parallell med e1 och därför
finns det ett tal x så att


v = xe1 .

Vi säger att e1 är en basvektor för alla vektorer som ligger på L (eller är parallella med L).
2.
BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER I ETT PLAN
Vi betraktar vektorer som ligger i ett givet plan som vi betecknar α .


SATS 1. Låt e1 och e2 vara två skilda från nollvektorn och dessutom icke-parallella
vektorer som ligger i planet.



Varje vektor v i planet kan skrivas som en linjär kombination av e1 och e2



(*)
v = x1e1 + x2e2
där x1 och x2 är entidigt bestämda tal.
Bevis:
 

Vi parallellförflyttar e1 , e2 och v så att de startar i samma punkt O. Vi betecknar
→
→


 →
e1 = OA , e2 = OB och v = OP ( se figuren nedan). Genom punkten P drar vi linjerna


parallella med e1 och e2 samt betecknar med M, N deras skärningspunkter med linjerna
som går genom punkterna OA och OB.
P
N
v
B
e2
O
e1
A
M
→
→

Vi ser att v = OM + ON
→
→
→



Eftersom OM || e1 och ON || e2 så finns det ett tal x1 så att OM = x1e1
→

och ett tal x2 så att ON = x2e2
→
→



Därför v = OM + ON = x1e1 + x2e2 .
Därmed har vi visat att det finns tal x1 och x2 sådana att
2 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet



(*)
v = x1e1 + x2e2
Vi har kvar att bevisa entydighet. Låt



v = y1e1 + y2e2



en godtycklig representation av v som en linjär kombination av e1 och e2 .
Då har vi






x1e1 + x2e2 = y1e1 + y2e2 ⇒ ( x1 − y1 )e1 = ( y2 − x2 )e2 .


Eftersom e1 och e2 är icke- parallella och skilda från nollvektorn är detta möjligt endast
om x1 = y1 och x2 = y2 .
Vi har därmed bevisat entydighet i (*).
---------------------------------------------------Anmärkning:
I samband med baser och basvektorer använder vi följande terminologi:


• Vi säger att ovanstående e1 och e2 utgör en bas i planet α och att
 

talen x1 och x2 är v :s koordinater i basen e1 , e2 .


 

• Vektorerna x1e1 och x2 e2 kallas v :s komposanter i basen e1 , e2 .


• Vi säger att planet α spänns upp av vektorerna e1 och e2 . (Om P är en punkt i planet
→


α då kan motsvarande vektor OP skrivas som en linjär kombination av e1 och e2 ,
→


OP = x1e1 + x2e2 .)
• Vi säger också att alla vektorer som ligger i planet bildar ett tvådimensionellt
vektorrum (rummet har 2 basvektorer).
Beteckning:
→
 


Vektorn OP = x1e1 + x2e2 , när basen e1 , e2 är känd, anges oftast med endast koordinater på
följande sätt:
→
OP = ( x1 , x2 )
Koordinatsystem i ett plan
En punkt O och två basvektorer (icke-parallella och ej nollvektorer) som ligger i planet och


som vi betecknar ex och e y , definierar ett ( parallellt) koordinat system i planet med två
axlar:

x-axeln går genom O och har riktningsvektor ex och

y-axeln går genom O och har riktningsvektor e y .
3 av 9
Baser och koordinater i 3D-rummet
y-a
xe
ln
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
P(x,y)
y
v
B
ey
O
A
ex
x
x-axeln
→
Låt P vara en given punkt i planet. Vektor OP , som har en entydlig framställning,
→


OP = xe x + ye y , kallas punktens ortvektor.
Tal (x,y) kallas punktens koordinater.
→
Alltså, punkten P och punktens ortvektorn OP har samma koordinater.
Beteckning:
Att punkten P har koordinater (x,y) skrivs i kursböcker på följande två sätt:
P=(x,y) eller P(x,y)
----------------------------------Koordinater för en vektor mellan två givna punkter.
Om A= (x1,y1) och B= (x2,y2) är två punkter i planet
A
B
O
då gäller
→
→
→
→
→






AB = AO + OB = OB − OA =( x2 ex + y2 e y ) − ( x1ex + y1e y ) = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y
→


Alltså AB = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y
eller kortare
→
AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 )
[ alltså, ändpunktens koordinater – startpunktens kordinater]
→
Exempel: A=(1,3), B=(–1,2) ⇒ AB = (−2, − 1)
4 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet
3. BASER OCH KOORDINATER FÖR GEOMETRISKA VEKTORER I 3D-RUMMET
För att bilda en bas i 3D-rummet ( tre-dimensionella rummet) behöver vi tre vektorer
→
  
ex , e y , ez som är skilda från 0 och som inte är parallella med ett gemensamt plan (
man säger ofta de ”inte ligger i samma plan” ) .
z-axe
ln
 


Då kan varje v skrivas på exakt ett sätt som en linjär kombination av ex , e y och ez ( se
nedanstående figur).
P
v
ez
ex
ey
y-axeln
ln
xe
x-a
O
R
Q
  

Vi ser detta om vi parallell förflyttar ex , e y , ez och v så att de har en gemensam start punkt


O. Den rätta linje genom P ( v :s ändpunkt) som är parallell med ez måste skära planet
 
  
O ex e y ( xy-planet) i en punkt Q ( eftersom ex , e y , ez är ej parallella med något gemensamt

plan). Linjen genom Q, parallell med e y , skär x axeln i punkten R.
Då gäller
→
→
 →
v = OR + RQ + QP .
→
→
 → 

Men eftersom OR || ex , RQ || e y , QP || ez finns det tal x, y , z så att
→
 →
 →

OR = xex , RQ = ye y QP = zez .
Därför




v = xex + ye y + zez
( Entydighet bevisas som i 2D fallet.)
Koordinatsystem i 3D-rummet
En punkt O och tre basvektorer (icke-parallella med något gemensamt plan och skilda från
→
  
0 ) ex , e y , ez definierar ett (parallellt) koordinat system i planet med tre axlar:

x-axeln går genom O och har riktningsvektor ex ,

y-axeln går genom O och har riktningsvektor e y och

z-axeln går genom O och har riktningsvektor ez .
5 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet
→
Koordinater för en punkt P definieras som koordinater med vektorn OP (punktens
ortvektor).
→



Alltså OP = xex + ye y + zez ⇔ P = ( x, y, z )
Koordinater för en vektor mellan två givna punkter.
A
B
O
Om A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) är två punkter i rummet då gäller
→
→
→
→
→






AB = AO + OB = OB − OA =( x2ex + y2e y + z2ez ) − ( x1ex + y1e y + z1ez )



= ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y + ( z 2 − z1 )ez
→



Alltså AB = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y + ( z2 − z1 )ez
eller kortare
→
AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
→
Exempel: A=(1,2,3), B=(4,2,2) ⇒ AB = (3, 0, − 1) .
ÖVNINGAR:
 

Uppgift 1. Uttryck u , v och − v i nedanstående figur som linjära kombinationer av


basvektorer e1 och e2 och bestäm deras koordinater.
e2
u
O
v
e1
-v
Svar:

 
u = −2e1 + e2 , koordinater x1 = −2, x2 = 1



v = 1.5e1 + 2e2 , koordinater x1 = 1.5, x2 = 2



− v = −1.5e1 − 2e2 , koordinater x1 = −1.5, x2 = −2


Uppgift 2. Uttryck v i nedanstående figur som en linjär kombination av basvektorer e1 och

e2 och bestäm vektorns koordinater.
6 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet
e2
e1
O
v
Lösning:

Vi parallell förflyttar vektorn v så att startpunkt hamnar i punkten O:
e2
e1
O
v
Nu har vi



v = 1.5e1 − 1.5e2 , koordinater x1 = 1.5,
x2 = −1.5






Uppgift 3. Bestäm koordinater för w = 10v − 2u i basen e1 och e2 om v :s koordinater är 2

och 1 samt u :s koordinater är 1.5 och -2.5 i samma bas.

 



Lösning: v = 2e1 + e2 , u = 1.5e1 − 2.5e2





 
w = 10v − 2u = 10(2e1 + e2 ) − 2(1.5e1 − 2.5e2 )




= 20e1 + 10e2 − 3e1 + 5e2


= 17e1 + 15e2



Därmed är w : s koordinater i basen e1 och e2 x1 = 17,
x2 = 15 .






Uppgift 4. Bestäm p och q så att u = ( p + 1)e1 + 2e2 och v = 3e1 + (q − 5)e2 blir lika
vektorer.
Lösning: ( Vi använder att koordinater är entydigt bestämda för en given bas)
 
u = v ⇔ { p + 1 = 3 och 2 = q − 5} ⇔ p = 2, q = 7
Svar: p = 2, q = 7
Uppgift 5.

Avgör om u och

 
a) u = 2e1 + e2 ,

v är parallella där



v = 2e1 + 2e2

 



b) u = 2e1 + e2 , v = 8e1 + 4e2
Lösning:




a) u och v är parallella om det finns ett tal k så att v = k u .
7 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet


 


v = k u ⇔ 2e1 + 2e2 = k (2e1 + e2 ) ⇔ {2 = 2k och 2 = k} där båda ekvationer måste
satisfieras.
Men, första ekvationen ger k=1 som är motsägelse med k=2 i andra ekvationen och därmed




finns inget k som satisfierar v = k u . Detta medför att u och v är inte parallella

 



b) v = k u ⇔ 8e1 + 4e2 = k (2e1 + e2 ) ⇔ {8 = 2k och 4 = k} ⇔ k = 4 .


Alltså v = 4 u dvs är parallella vektorer.
Svar a) nej, b) ja

  
 
 
Uppgift 6. Låt v = 2ex + e y − ez , u = ex − 2e y + ez vara två vektorer i 3D rummet med
  

 
basen ex , e y , ez . Bestäm w = 10v + 3u .




  

 
Lösning: w = 10(2ex + e y − ez ) + 3(ex − 2e y + ez ) = 23ex + 4e y − 7ez



Uppgift 7. Låt u = (1,2,3) , v = (1,1,1) vara två vektorer i 3D rummet (i någon bas t ex ex ,
 


 
 


e y , ez ). Bestäm a) u + v , b) u − v c) 5u d) − 10v e) 5u − 10v

 
 

Svar: a) u + v = (2,3,4) b) u − v = (0,1,2) c) 5u = (5,10,15) , d) − 10v = (−10,−10,−10)




e) 5u − 10v = 5u + (−10v ) = (−5,0,5)


Uppgift 8. Bestäm p och q om möjligt så att u och v (definierade nedan med koordinater
i en given bas) blir lika vektorer om .


a) u = ( p, 3, 3) och v = (3, q + 1, p )


b) u = ( p, 3, 2) och v = (3, q + 1, p )
Lösning:
a) Systemet med tre ekvationer
p = 3

q = 2
p = 3



har exakt enlösning p= 3 och q= 2. ( Då blir u = v = (3,3,3)
b) Systemet med tre ekvationer
p = 3

q = 2
p = 2

saknar lösning, eftersom p=3 (den första ekvationen) och p=2 (den tredje ekv. ) är en
motsägelse.
Svar a) p= 3 och q= 2

b) Det finns inte sådana p,q att u och

v blir lika.
8 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet


Uppgift 9. Bestäm p om möjligt så att u och v (definierade nedan med koordinater i en
given bas) blir parallella.


a) u = ( p, 3, 3) och v = (8,4,4)


b) u = ( p, 3, 2) och v = (8,4,3)
Lösning:


a) ( u och v parallella) ⇒ det finns k så att och ( p, 3, 3) = k (8,4,4) .
Härav system :
 p = 8k

 3 = 4k ⇒ k=3/4 och därför p= 6.
 3 = 4k



Då blir u = (6, 3, 3) uppenbart parallell (proportionella koordinater) med v = (8,4,4)
b) Den här gånger från ( p, 3, 3) = k (8,4,3) får vi systemet
 p = 8k

 3 = 4k
 3=k

som saknar lösning.


Svar: a) u och v är parallella om p= 6.


b) Det finns inte någon p så att u och v blir parallella vektorer.
Uppgift 10. Låt A = (1,1,1) , B = (2,4,8) vara två punkter i rummet (där koordinater är
  
givna i ett koordinatsystem O, ex , e y , ez ). Bestäm koordinater för punkten P som ligger på
sträckan AB och delar AB i förhållandet 2:3.
Lösning:
A
B
P
O
Lägg märke till att en punkt och tillhörande ortvektor har samma koordinater.
→
→
→
2 →
2 → →
3 → 2 →
Vi har OP = OA+ AB = OA+ (OB − OA) = OA+ OB
5
5
5
5
→
1
2
3
Därför OP = (1,1,1) + (2,4,8) = (7, 11, 19) ,
5
5
5
→
P har samma koordinater som OP .
7 11 19
Alltså P = ( , , ) .
5 5 5
Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) vara två punkter i rummet och S
  
mittpunkten på sträckan AB. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem O, ex , e y , ez )
Visa att mittpunkten ges av S = (
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
,
,
).
2
2
2
9 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Baser och koordinater i 3D-rummet
Lösning:
A
S
B
O
Vi har
→
1 → 1 →
1 →
1 → →
AB = OA+ (OB − OA) = OA+ OB
2
2
2
2
x + x y + y2 z1 + z2
1
1
= ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( 1 2 , 1
,
),
2
2
2
2
2
x + x y + y2 z1 + z2
och därmed S = ( 1 2 , 1
,
)
2
2
2
vad skulle bevisas.
→
→
OS = OA+
Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) , B= (x2,y2, z2) C= (x3,y3, z3) och vara tre punkter i
rummet och T tyngdpunkten för triangeln ABC. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem
  
O, ex , e y , ez )
Visa att tyngdpunkten ges av T = (
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3
,
,
).
3
3
3
Lösning:
C
T
A1
B
A
O
→
→
→
→
OT = OA+ AT = OA+
→
2 →
2 → →
AA1 = OA+ ( AO + OA1 )
3
3
→
→
→
2
1 →
= OA+ [− OA + (OB + OC )]
3
2
1 → 1 → 1 →
1
1
1
= OA+ OB + OC = ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) + ( z1 + z2 + z3 )
3
3
3
3
3
3
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z 2 + z3
=(
,
)
,
3
3
3
x + x + x y + y2 + y3 z1 + z2 + z3
Alltså T = ( 1 2 3 , 1
,
) vad skulle bevisas.
3
3
3