1 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet BASER OCH KOORDINATER Vektorer i ett plan. Vektorer i rummet 1. BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betraktar vektorer som ligger på en rät linje L ( eller är parallella med L). Låt e1 vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e1 ett koordinataxel. e1 v O P A x-axeln En vektor v som ligger på L (eller är parallell med L) är också parallell med e1 och därför finns det ett tal x så att v = xe1 . Vi säger att e1 är en basvektor för alla vektorer som ligger på L (eller är parallella med L). 2. BASER OCH KOORDINATER FÖR VEKTORER SOM LIGGER I ETT PLAN Vi betraktar vektorer som ligger i ett givet plan som vi betecknar α . SATS 1. Låt e1 och e2 vara två skilda från nollvektorn och dessutom icke-parallella vektorer som ligger i planet. Varje vektor v i planet kan skrivas som en linjär kombination av e1 och e2 (*) v = x1e1 + x2e2 där x1 och x2 är entidigt bestämda tal. Bevis: Vi parallellförflyttar e1 , e2 och v så att de startar i samma punkt O. Vi betecknar → → → e1 = OA , e2 = OB och v = OP ( se figuren nedan). Genom punkten P drar vi linjerna parallella med e1 och e2 samt betecknar med M, N deras skärningspunkter med linjerna som går genom punkterna OA och OB. P N v B e2 O e1 A M → → Vi ser att v = OM + ON → → → Eftersom OM || e1 och ON || e2 så finns det ett tal x1 så att OM = x1e1 → och ett tal x2 så att ON = x2e2 → → Därför v = OM + ON = x1e1 + x2e2 . Därmed har vi visat att det finns tal x1 och x2 sådana att 2 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet (*) v = x1e1 + x2e2 Vi har kvar att bevisa entydighet. Låt v = y1e1 + y2e2 en godtycklig representation av v som en linjär kombination av e1 och e2 . Då har vi x1e1 + x2e2 = y1e1 + y2e2 ⇒ ( x1 − y1 )e1 = ( y2 − x2 )e2 . Eftersom e1 och e2 är icke- parallella och skilda från nollvektorn är detta möjligt endast om x1 = y1 och x2 = y2 . Vi har därmed bevisat entydighet i (*). ---------------------------------------------------Anmärkning: I samband med baser och basvektorer använder vi följande terminologi: • Vi säger att ovanstående e1 och e2 utgör en bas i planet α och att talen x1 och x2 är v :s koordinater i basen e1 , e2 . • Vektorerna x1e1 och x2 e2 kallas v :s komposanter i basen e1 , e2 . • Vi säger att planet α spänns upp av vektorerna e1 och e2 . (Om P är en punkt i planet → α då kan motsvarande vektor OP skrivas som en linjär kombination av e1 och e2 , → OP = x1e1 + x2e2 .) • Vi säger också att alla vektorer som ligger i planet bildar ett tvådimensionellt vektorrum (rummet har 2 basvektorer). Beteckning: → Vektorn OP = x1e1 + x2e2 , när basen e1 , e2 är känd, anges oftast med endast koordinater på följande sätt: → OP = ( x1 , x2 ) Koordinatsystem i ett plan En punkt O och två basvektorer (icke-parallella och ej nollvektorer) som ligger i planet och som vi betecknar ex och e y , definierar ett ( parallellt) koordinat system i planet med två axlar: x-axeln går genom O och har riktningsvektor ex och y-axeln går genom O och har riktningsvektor e y . 3 av 9 Baser och koordinater i 3D-rummet y-a xe ln Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR P(x,y) y v B ey O A ex x x-axeln → Låt P vara en given punkt i planet. Vektor OP , som har en entydlig framställning, → OP = xe x + ye y , kallas punktens ortvektor. Tal (x,y) kallas punktens koordinater. → Alltså, punkten P och punktens ortvektorn OP har samma koordinater. Beteckning: Att punkten P har koordinater (x,y) skrivs i kursböcker på följande två sätt: P=(x,y) eller P(x,y) ----------------------------------Koordinater för en vektor mellan två givna punkter. Om A= (x1,y1) och B= (x2,y2) är två punkter i planet A B O då gäller → → → → → AB = AO + OB = OB − OA =( x2 ex + y2 e y ) − ( x1ex + y1e y ) = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y → Alltså AB = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y eller kortare → AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) [ alltså, ändpunktens koordinater – startpunktens kordinater] → Exempel: A=(1,3), B=(–1,2) ⇒ AB = (−2, − 1) 4 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet 3. BASER OCH KOORDINATER FÖR GEOMETRISKA VEKTORER I 3D-RUMMET För att bilda en bas i 3D-rummet ( tre-dimensionella rummet) behöver vi tre vektorer → ex , e y , ez som är skilda från 0 och som inte är parallella med ett gemensamt plan ( man säger ofta de ”inte ligger i samma plan” ) . z-axe ln Då kan varje v skrivas på exakt ett sätt som en linjär kombination av ex , e y och ez ( se nedanstående figur). P v ez ex ey y-axeln ln xe x-a O R Q Vi ser detta om vi parallell förflyttar ex , e y , ez och v så att de har en gemensam start punkt O. Den rätta linje genom P ( v :s ändpunkt) som är parallell med ez måste skära planet O ex e y ( xy-planet) i en punkt Q ( eftersom ex , e y , ez är ej parallella med något gemensamt plan). Linjen genom Q, parallell med e y , skär x axeln i punkten R. Då gäller → → → v = OR + RQ + QP . → → → Men eftersom OR || ex , RQ || e y , QP || ez finns det tal x, y , z så att → → → OR = xex , RQ = ye y QP = zez . Därför v = xex + ye y + zez ( Entydighet bevisas som i 2D fallet.) Koordinatsystem i 3D-rummet En punkt O och tre basvektorer (icke-parallella med något gemensamt plan och skilda från → 0 ) ex , e y , ez definierar ett (parallellt) koordinat system i planet med tre axlar: x-axeln går genom O och har riktningsvektor ex , y-axeln går genom O och har riktningsvektor e y och z-axeln går genom O och har riktningsvektor ez . 5 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet → Koordinater för en punkt P definieras som koordinater med vektorn OP (punktens ortvektor). → Alltså OP = xex + ye y + zez ⇔ P = ( x, y, z ) Koordinater för en vektor mellan två givna punkter. A B O Om A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) är två punkter i rummet då gäller → → → → → AB = AO + OB = OB − OA =( x2ex + y2e y + z2ez ) − ( x1ex + y1e y + z1ez ) = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y + ( z 2 − z1 )ez → Alltså AB = ( x2 − x1 )ex + ( y2 − y1 )e y + ( z2 − z1 )ez eller kortare → AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) → Exempel: A=(1,2,3), B=(4,2,2) ⇒ AB = (3, 0, − 1) . ÖVNINGAR: Uppgift 1. Uttryck u , v och − v i nedanstående figur som linjära kombinationer av basvektorer e1 och e2 och bestäm deras koordinater. e2 u O v e1 -v Svar: u = −2e1 + e2 , koordinater x1 = −2, x2 = 1 v = 1.5e1 + 2e2 , koordinater x1 = 1.5, x2 = 2 − v = −1.5e1 − 2e2 , koordinater x1 = −1.5, x2 = −2 Uppgift 2. Uttryck v i nedanstående figur som en linjär kombination av basvektorer e1 och e2 och bestäm vektorns koordinater. 6 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet e2 e1 O v Lösning: Vi parallell förflyttar vektorn v så att startpunkt hamnar i punkten O: e2 e1 O v Nu har vi v = 1.5e1 − 1.5e2 , koordinater x1 = 1.5, x2 = −1.5 Uppgift 3. Bestäm koordinater för w = 10v − 2u i basen e1 och e2 om v :s koordinater är 2 och 1 samt u :s koordinater är 1.5 och -2.5 i samma bas. Lösning: v = 2e1 + e2 , u = 1.5e1 − 2.5e2 w = 10v − 2u = 10(2e1 + e2 ) − 2(1.5e1 − 2.5e2 ) = 20e1 + 10e2 − 3e1 + 5e2 = 17e1 + 15e2 Därmed är w : s koordinater i basen e1 och e2 x1 = 17, x2 = 15 . Uppgift 4. Bestäm p och q så att u = ( p + 1)e1 + 2e2 och v = 3e1 + (q − 5)e2 blir lika vektorer. Lösning: ( Vi använder att koordinater är entydigt bestämda för en given bas) u = v ⇔ { p + 1 = 3 och 2 = q − 5} ⇔ p = 2, q = 7 Svar: p = 2, q = 7 Uppgift 5. Avgör om u och a) u = 2e1 + e2 , v är parallella där v = 2e1 + 2e2 b) u = 2e1 + e2 , v = 8e1 + 4e2 Lösning: a) u och v är parallella om det finns ett tal k så att v = k u . 7 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet v = k u ⇔ 2e1 + 2e2 = k (2e1 + e2 ) ⇔ {2 = 2k och 2 = k} där båda ekvationer måste satisfieras. Men, första ekvationen ger k=1 som är motsägelse med k=2 i andra ekvationen och därmed finns inget k som satisfierar v = k u . Detta medför att u och v är inte parallella b) v = k u ⇔ 8e1 + 4e2 = k (2e1 + e2 ) ⇔ {8 = 2k och 4 = k} ⇔ k = 4 . Alltså v = 4 u dvs är parallella vektorer. Svar a) nej, b) ja Uppgift 6. Låt v = 2ex + e y − ez , u = ex − 2e y + ez vara två vektorer i 3D rummet med basen ex , e y , ez . Bestäm w = 10v + 3u . Lösning: w = 10(2ex + e y − ez ) + 3(ex − 2e y + ez ) = 23ex + 4e y − 7ez Uppgift 7. Låt u = (1,2,3) , v = (1,1,1) vara två vektorer i 3D rummet (i någon bas t ex ex , e y , ez ). Bestäm a) u + v , b) u − v c) 5u d) − 10v e) 5u − 10v Svar: a) u + v = (2,3,4) b) u − v = (0,1,2) c) 5u = (5,10,15) , d) − 10v = (−10,−10,−10) e) 5u − 10v = 5u + (−10v ) = (−5,0,5) Uppgift 8. Bestäm p och q om möjligt så att u och v (definierade nedan med koordinater i en given bas) blir lika vektorer om . a) u = ( p, 3, 3) och v = (3, q + 1, p ) b) u = ( p, 3, 2) och v = (3, q + 1, p ) Lösning: a) Systemet med tre ekvationer p = 3 q = 2 p = 3 har exakt enlösning p= 3 och q= 2. ( Då blir u = v = (3,3,3) b) Systemet med tre ekvationer p = 3 q = 2 p = 2 saknar lösning, eftersom p=3 (den första ekvationen) och p=2 (den tredje ekv. ) är en motsägelse. Svar a) p= 3 och q= 2 b) Det finns inte sådana p,q att u och v blir lika. 8 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet Uppgift 9. Bestäm p om möjligt så att u och v (definierade nedan med koordinater i en given bas) blir parallella. a) u = ( p, 3, 3) och v = (8,4,4) b) u = ( p, 3, 2) och v = (8,4,3) Lösning: a) ( u och v parallella) ⇒ det finns k så att och ( p, 3, 3) = k (8,4,4) . Härav system : p = 8k 3 = 4k ⇒ k=3/4 och därför p= 6. 3 = 4k Då blir u = (6, 3, 3) uppenbart parallell (proportionella koordinater) med v = (8,4,4) b) Den här gånger från ( p, 3, 3) = k (8,4,3) får vi systemet p = 8k 3 = 4k 3=k som saknar lösning. Svar: a) u och v är parallella om p= 6. b) Det finns inte någon p så att u och v blir parallella vektorer. Uppgift 10. Låt A = (1,1,1) , B = (2,4,8) vara två punkter i rummet (där koordinater är givna i ett koordinatsystem O, ex , e y , ez ). Bestäm koordinater för punkten P som ligger på sträckan AB och delar AB i förhållandet 2:3. Lösning: A B P O Lägg märke till att en punkt och tillhörande ortvektor har samma koordinater. → → → 2 → 2 → → 3 → 2 → Vi har OP = OA+ AB = OA+ (OB − OA) = OA+ OB 5 5 5 5 → 1 2 3 Därför OP = (1,1,1) + (2,4,8) = (7, 11, 19) , 5 5 5 → P har samma koordinater som OP . 7 11 19 Alltså P = ( , , ) . 5 5 5 Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) och B= (x2,y2, z2) vara två punkter i rummet och S mittpunkten på sträckan AB. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem O, ex , e y , ez ) Visa att mittpunkten ges av S = ( x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 , , ). 2 2 2 9 av 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Baser och koordinater i 3D-rummet Lösning: A S B O Vi har → 1 → 1 → 1 → 1 → → AB = OA+ (OB − OA) = OA+ OB 2 2 2 2 x + x y + y2 z1 + z2 1 1 = ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( 1 2 , 1 , ), 2 2 2 2 2 x + x y + y2 z1 + z2 och därmed S = ( 1 2 , 1 , ) 2 2 2 vad skulle bevisas. → → OS = OA+ Uppgift 10. Låt A= (x1,y1, z1) , B= (x2,y2, z2) C= (x3,y3, z3) och vara tre punkter i rummet och T tyngdpunkten för triangeln ABC. (Koordinater är givna i ett koordinatsystem O, ex , e y , ez ) Visa att tyngdpunkten ges av T = ( x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 , , ). 3 3 3 Lösning: C T A1 B A O → → → → OT = OA+ AT = OA+ → 2 → 2 → → AA1 = OA+ ( AO + OA1 ) 3 3 → → → 2 1 → = OA+ [− OA + (OB + OC )] 3 2 1 → 1 → 1 → 1 1 1 = OA+ OB + OC = ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) + ( z1 + z2 + z3 ) 3 3 3 3 3 3 x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z 2 + z3 =( , ) , 3 3 3 x + x + x y + y2 + y3 z1 + z2 + z3 Alltså T = ( 1 2 3 , 1 , ) vad skulle bevisas. 3 3 3