Linjär Algebra F3 Baser

Vektorer Baser och koordinater
Linjär Algebra
F3
Baser
Pelle
2016-01-25
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
räkneoperationer
Repetition
En vektor har en riktning och en längd men ingen startpunkt!
Vektorer kan adderas
v
u+v
=
+
och multipliceras med tal
2v
v
2·
=
−2v
v
−2·
v
u
u
=
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
på linjen i planet i rummet räkneregler bassatsen
Baser och koordinater på linjen
Givet en vektor e6= 0̄ på linjen ` kan varje vektor u på ` skrivas
u = xe,
där talet x är entydigt bestämt.
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
på linjen i planet i rummet räkneregler bassatsen
Baser och koordinater i planet
Givet två ickeparallella vektorer e1 , e2 i planet kan varje vektor u i
planet skrivas
u = x 1 e1 + x 2 e2 ,
där talen x1 och x2 är entydigt bestämda.
e1 , e2 kallas bas för planet
x1 och x2 kallas koordinater för u
Skriver kortare u = (x1 , x2 )
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
på linjen i planet i rummet räkneregler bassatsen
Baser och koordinater
Givet tre vektorer e1 , e2 , e3 i rummet som inte ligger i samma plan
kan varje vektor u i rummet skrivas
u = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 ,
där talen x1 , x2 och x3 är entydigt bestämda.
e1 , e2 , e3 kallas bas för rummet
x1 , x2 och x3 kallas koordinater för u
Skriver kortare u = (x1 , x2 , x3 )
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
på linjen i planet i rummet räkneregler bassatsen
Räkneregler
Om u = x1 e1 + x2 e2 och v = y1 e1 + y2 e2 så är
u + v = (x1 + y1 )e1 + (x2 + y2 )e2
och
λu = λx1 e1 + λx2 e2 .
Räkneregler för koordinater blir alltså
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )
och
λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Pelle
2016-01-25
Vektorer Baser och koordinater
på linjen i planet i rummet räkneregler bassatsen
Bassatsen
Bassatsen
(i) u, v är bas för planet ⇔ u, v är linjärt oberoende.
(ii) u, v, w är bas för rummet ⇔ u, v, w är linjärt oberoende.
(iii) Fler än 2 vektorer i planet är linjärt beroende.
Fler än 3 vektorer i rummet är linjärt beroende.
Pelle
2016-01-25