ANDRA BASER ÄN TIO – EXTRAMATERIAL TILL
Matematikens grunder
för lärare
2014–05–05 Henrik Hast
A n de r s M å ns s on
38994_andra_baser.indd 1
2016-02-12 09:15
Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson.
Till Tallära-kapitlet: Andra baser än tio
Till Geometrikapitlet: Konstruktion av plana geometriska figurer och Avbildningar
Tanken är boken Matematikens grunder för lärare ska vara en bok som lärarutbildningarna
runt om i Sverige vill använda. Är därför tacksam för återkoppling på boken, om saker som
läsare och lärarutbildningspersonal anser borde funnits i boken, borde ändras , borde tas
bort, etc. Vänd er då till förlaget, se under rubriken Kontakt.
Anders Månsson
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering,
utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera
för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access
kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet
hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller
Bonus Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken
kopieringsskyddad.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av
allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i
upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till
upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteratur har både digital och traditionell
bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
© Författaren och Studentlitteratur 2015
www.studentlitteratur.se
Studentlitteratur AB, Lund
38994_andra_baser.indd 2
2016-02-12 09:15
25 januari 2016 – sida 1 – # 1
ANDRA BASER ÄN TIO
Anta att det finns utomjordiskt liv och att de precis som vi har två händer,
men bara fyra fingrar på varje hand, dvs. åtta fingrar totalt (se figur 0.1).
FIGUR 0.1
Har de en matematik som liknar vår, använder de antagligen bara åtta
siffror, nämligen siffrorna 0 till 7. Talen vi kallar åtta, nio och tio, skriver
de 10, 11 respektive 12 (se figur 0.2).
FIGUR 0.2
Utomjordingarna räknar alltså i en annan bas, nämligen basen åtta. Vi
människor räknar i basen tio (dvs. A som vi införde på sidan 54 i boken).
Datorer räknar i basen två med siffrorna 0 och 1. På samma sätt som
vi människor inte använder¹ siffran A, använder utomjordingarna inte
siffran 8 och datorer använder inte siffran 2. Vi, utomjordingarna och
datorerna använder istället sifferkombinationen 10 för att beteckna basen.
För oavsett vilken bas man räknar i, betecknar man basen med 10. Men 10
representerar alltså olika tal för oss, utomjordingarna och datorerna. För
att undvika missförstånd kan man när det behövs indexera tal med basen
man använder. T.ex. är 238 talet 23 i basen åtta. Finns inget index som
visar basen, antar vi att den är underförstådd, vanligtvis basen tio (dvs. A).
Allt det vi gått igenom för tiosystemet, gäller också för andra baser.
Exempelvis är
3
2
4 361sju = 4⋅10sju
+3⋅10sju
+6⋅10sju +1 = 4⋅1 000sju +3⋅100sju +6⋅10sju +1.
1 Ibland gör vi det, t.ex. om vi räknar i en bas som är större än tio.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
1
25 januari 2016 – sida 2 – # 2
Här har vi skrivit basen sju med bokstäver för att göra det mer läsligt.
I figur 0.3 visas hur ”10-högarna”, ”100-högarna” och ”1 000-högarna”
ser ut i basen sju.
FIGUR 0.3
10sju , 100sju och 1 000sju .
För en sifferkombination med n siffror i en godtycklig bas gäller:
n−1
n−2
n−3
abc. . .wx yz bas = a ⋅ 10bas
+ b ⋅ 10bas
+ c ⋅ 10bas
3
2
+ . . . + w ⋅ 10bas
+ x ⋅ 10bas
+ y ⋅ 10bas + z,
(1)
eller
n − 1 st
abc. . .wx yz bas
n − 2 st
n − 3 st
³·µ
³·µ
³·µ
= a ⋅ 10. . .0bas + b ⋅ 1 0. . .0 bas + c ⋅ 10. . .0bas
+ . . . + w ⋅ 1 000bas + x ⋅ 100bas + y ⋅ 10bas + z. (2)
Observera att man bara använder siffror som är mindre än basen. Till
exempel är 45fem eller 172sex inte tillåtna sifferkombinationer. Notera att
en sifferkombination representerar olika tal i olika baser. Exempelvis är
45sex = 4 ⋅ 6 + 5 = 29, medan 45sju = 4 ⋅ 7 + 5 = 33.
Exempel 0.1
2
432fem i basen tio är 4 ⋅ 10fem
+ 3 ⋅ 10fem + 2 = 4 ⋅ 52 + 3 ⋅ 5 + 2 = 117.
2
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
25 januari 2016 – sida 3 – # 3
Exempel 0.2
Vi ska uttrycka 789 i basen sex. Eftersom 63 < 789 < 64 kommer
sifferkombinationen att bli fyrsiffrig. Första siffran är 3, eftersom
3 ⋅ 63 < 789 < 4 ⋅ 63 . Det återstår 789 − 3 ⋅ 63 = 141 av 789. Andra
siffran är 3, eftersom 3 ⋅ 62 < 141 < 4 ⋅ 62 . Det återstår 141 − 3 ⋅ 62 = 33
av 141. Tredje siffran är 5, eftersom 5 ⋅ 6 < 33 < 6 ⋅ 6. Det återstår
33−5⋅6 = 3 av 33, dvs. den fjärde siffran är 3. Alltså är 789 = 3 353sex .
Räkna i en annan bas än tio
Att räkna i en godtycklig bas fungerar på samma sätt som i basen tio (dvs.
A). Skillnaden är att man använder en annan uppsättning av siffror, och
andra additions- och multiplikationstabeller. Exempelvis använder man
i basen fem bara siffrorna 0, 1, 2, 3, 4. När man adderar eller subtraherar
tal, t.ex. 125 + 4 och 125 − 3, kan det vara en fördel att använda en tallinje
som i figur 0.4.² Figuren visar att 125 + 4 = 215 och att 125 − 3 = 4.
FIGUR 0.4
För att multiplicera kan man använda definition (1.7) på sidan 16 i
boken, dvs. multiplikation som ”upprepad addition”. Division är enligt
(1.22) på sidan 27 i boken definierad utifrån multiplikation, så också
här kan man använda upprepad addition. För större uträkningar kan
man använda räknealgoritmerna för de fyra räknesätten. Proceduren
och logiken i räknealgoritmerna för en godtycklig bas, är samma som
för basen tio. Man kan såklart också göra om talen till basen tio, göra
uträkningarna i basen tio och därefter göra om till den ursprungliga
basen. Men då försvinner delvis meningen med att räkna i andra baser.
För anledningen till att vi gör det i denna bok, är för att det hjälper oss
att förstå hur tiosystemet fungerar.
2 Notera att man inte behöver indexera en siffra med basen.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
3
25 januari 2016 – sida 4 – # 4
Exempel 0.3
Nedanför visas additions- och multiplikationstabellen i basen fem.
+
1
2
3
4
⋅
1
2
3
4
1
2
3
4
10
1
1
2
3
4
2
3
4
10
11
2
2
4
11
13
3
4
10
11
12
3
3
11
14
22
4
10
11
12
13
4
4
13
22
31
Multiplikationstabellen har vi här konstruerat genom att använda
upprepad addition, t.ex. 2 ⋅ 3 = 3 + 3 = 11fem .
Exempel 0.4
Produkten 4 ⋅ 13nio kan räknas ut med upprepad addition, t.ex.
13nio + 13nio + 13nio + 13nio
= 10nio + 10nio + 10nio + 10nio + 3 + 3 + 3 + 3
= 40nio + 13nio = 53nio .
Man kan också använda räkneregel (1.10) på sidan 18 i boken:
4 ⋅ (10nio + 3) = 4 ⋅ 10nio + 4 ⋅ 3 = 40nio + 13nio = 53nio .
Exempel 0.5
Divisionen 102fyra /3 kan man göra t.ex. genom att gissa en kvot,
pröva om den stämmer och korrigera utifrån det man får. Anta att
vi gissar på 10fyra . Eftersom
3 ⋅ 10fyra = 10fyra + 10fyra + 10fyra = 30fyra ,
4
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
25 januari 2016 – sida 5 – # 5
var 10fyra för lite. Därför gissar vi på ett större tal, t.ex. 20fyra :
3 ⋅ 20fyra = 20fyra + 20fyra + 20fyra = 100fyra + 20fyra = 120fyra ,
vilket var för mycket. Vi prövar därför en mindre kvot, t.ex. 12fyra :
3 ⋅ 12fyra = 12fyra + 12fyra + 12fyra
= 10fyra + 10fyra + 10fyra + 2 + 2 + 2
= 10fyra + 10fyra + 10fyra + 10fyra + 2
= 100fyra + 2 = 102fyra ,
vilket var korrekt, dvs. 102fyra /3 = 12fyra .
Exempel 0.6
Nedanför visas exempel på räknealgoritmerna i basen 7.
1 1
2/ 2/ 2/ /1 /1 /1
10 10
4/ 3/ 5
−2 5 6
1 46
445
+3 6 4
1 1 42
1 1
1
6
+5 2
63
5 05 2 / 6=5 65
−4 2
5 5
−5 1
42
−4 2
0
1
1
5
5
4
2
0
1
0
1
3 ⋅ 45 6
4
0
0
4
UPPGIFTER: ANDRA BASER ÄN TIO (FACIT SIDAN 9)
1. Uttryck talet i basen tio:
a)
10fem
b) 10sex
c)
e)
12tolv
f) 102tre
g) 234fem
h)
100 111två
i)
7A2tolv
j)
ABC D
l)
KL M
BADfemton
k)
10tretton
d) 11elva
2. Uttryck talet 100 A i alla baser fr.o.m. 2 t.o.m. E.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
5
25 januari 2016 – sida 6 – # 6
3. Uttryck talet a) 123 i basen 4 b) 567 i basen 8.
4. Gör en additions- och multiplikationstabell för baserna 3, 8 och 12.
5. Räkna ut i angiven bas (dvs. utan att göra om till basen tio):
a)
d)
4+5+6
ABtolv − 7
i bas 7
g) 10 110två + 11 101två
b)
e)
12åtta − 4
11sex − 4 + 13sex − 5
c) 2Atretton − B
f) 5 − 12sju
6. Förklara varför följande gäller för en godtycklig bas b:
a) 10bk = 1000. . .00 b
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
b)
10bm
⋅ 10bn
k st
= 10bm+n
c) 10b ⋅100b = 1 000b , 1 000b ⋅10b = 10 000b , 100b ⋅100b = 10 000b ,
etc. Dvs. det är samma antal nollor i högerledet som i vänsterledet.
d) 5 ⋅ 1 000b = 5 000b , 73b ⋅ 100b = 7 300b ,
etc.
416b ⋅ 100b = 41 600b ,
e) 300b + 20b = 320b , 5 000b + 600b = 5 600b ,
4 050b , etc.
4 000b + 50b =
f) 12åtta +34åtta = 46åtta , 324elva +123elva = 447elva , 403nio +213nio =
616nio , etc. Dvs. hur kommer det sig att man får summan genom
att addera siffrorna var för sig? Vad händer om siffrornas summor
blir lika stor som eller större än basen?
g) 54nio − 12nio = 42nio , 324elva − 123elva = 201elva , 456sju − 321sju =
135sju , etc. Dvs. hur kommer det sig att man får differensen genom
att subtrahera siffrorna var för sig? Vad händer om siffran i den
första termen är mindre än siffran i den andra termen?
7. Förklara varför man kan uttrycka ett tal på följande sätt:
a) 37b = 30b +7, 534b = 500b +30b +4, 3 042b = 3 000b +40b +2,
etc.
b) 50b = 5 ⋅ 10b , 300b = 3 ⋅ 100b , A 000b = A ⋅ 1 000b , etc.
8. För att räkna ut summor som t.ex. 40sex + 50sex eller 400sex + 500sex
kan man använda additionstabellen i basen 6, bara man lägger på
riktigt antal nollor i slutet av siffersumman. Eftersom 4 + 5 = 13sex har
vi att 40sex + 50sex = 130sex och 400sex + 500sex = 1 300sex . Principen är
densamma för multiplikation. Eftersom 4⋅5 = 32sex , får vi 40sex ⋅50sex =
3 200sex och 40sex ⋅ 500sex = 32 000sex . Förklara varför man kan göra
på det här sättet.
6
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
25 januari 2016 – sida 7 – # 7
9. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
o)
q)
41åtta + 23åtta
b)
4 539 D + 2 231 D
d)
718C − 517C
f)
508 + 708
h)
100två + 100två
A00tolv + B00tolv
456tolv − 321tolv
4 539C − 2 231C
CBA D − BA0 D
50elva + 60elva
j)
3 000fem + 4 000fem
n)
888nio + 111nio
l) 220tre + 10tre
3 300fyra + 200fyra
999tio + 111tio
p) 88nio + 22nio
88 A + 22 A
r) 88B + 22B
10. Både räkna ut och svara i angiven bas:
a)
d)
g)
4178 + 368
1116 − 2226 + 3336
AB D + AC D + BC D
b) 417åtta − 36åtta
c)
e) 4 2345 + 3 3225
f)
233fyra + 321fyra
712B − 3A3B
11. Både räkna ut och svara i angiven bas, utan att använda en räknealgoritm:
a)
3 ⋅ 11fem
d)
1124
g) 11sex ⋅ 12sex
j)
m)
p)
s)
102tre ⋅ 211tre
11fem /2
100fyra /10fyra
4526 /4
b) 7 ⋅ 21åtta
e)
1125
h) 23nio ⋅ 74nio
c)
4 ⋅ A i bas B
f) 2227
i)
A4tolv ⋅ 4Btolv
k) 1 010två ⋅ 1 101två
l) 10åtta /4
q) 100elva /10elva
r) 220tretton /10tretton
n) 22nio /5
t)
AA C /A
o) 54sex /2
12. Både räkna ut och svara i angiven bas, genom att använda en räkne-
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
7
25 januari 2016 – sida 8 – # 8
algoritm:
a)
c)
e)
324åtta + 241åtta
6 563sju + 4 256sju
A 7BC E + 4 BBD E
g) 4 103fem − 2 334fem
i)
k)
m)
o)
q)
s)
u)
w)
y)
8
CBA D − BAC D
523nio ⋅ 34nio
4328 ⋅ 1218
2 201tre ⋅ 2 012tre
1 101 0112 ⋅ 1 010 0112
7789 /2
2 121tre /21tre
27 406C /261C
226 347B /385B
b)
546nio + 123nio
d)
3 574B + 1 A24B + A 1A5B
h)
1 011 001två − 111 111två
f) 3657 − 1237
j)
1234 ⋅ 3
34B ⋅ 45B
l)
n)
p)
5429 ⋅ 4189
A4B D ⋅ 58C D
r) 457 /3
t) 3537 /5
v) 591B /14B
x) 21 0138 /438
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
25 januari 2016 – sida 9 – # 9
FACIT
ANDRA BASER ÄN TIO
1. a) 5
f) 11
b)
6
g) 69
c)
13
d) 12
e) 14
h)
39
i) 1 130
j) 2 638
k) 1 845
l) 461
2. 1 100 1002 = 10 2013 = 1 2104 = 4005 = 2446 = 2027 = 1448 = 1219 =
100 A = 91B = 84C = 79 D = 72E
3. a) 1 3234
b) 1 0678
4.
+1 2 3 4 5 6 7 ⋅1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 10 1 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 10 11 2 2 4 6 10 12 14 16
+1 2 ⋅12
3 4 5 6 7 10 11 12 3 3 6 11 14 17 2225
1 2 10 1 1 2
4 5 6 7 10 11 1213 4 4 101420243034
2 10 11 2 2 11
5 6 7 10 11 121314 5 5 12 17 24 31 3643
6 7 10 11 12131415 6 6 142230364452
7 10 11 1213141516 7 7 1625344352 61
+1 2 3 4 5 6 7 8 9AB ⋅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A
3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 3 3 6 9 10 13 16 19 2023 26 29
4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 4 4 8 10 14 18 20 24 2830 34 38
5 6 7 8 9 A B 10 11 1213 14 5 5 A 13 18 21 26 2B 3439 42 47
6 7 8 9 A B 10 11 121314 15 6 6 10 16 2026 30 36 4046 50 56
7 8 9 A B 10 11 12131415 16 7 7 12 19 242B36 41 48 535A65
8 9 A B 10 11 1213141516 17 8 8 14 20283440 48 5460 68 74
9 A B 10 11 121314151617 18 9 9 16 2330 3946 53 6069 76 83
A B 10 11 12131415161718 19 AA 18 263442 505A6876 84 92
B10 11 12131415161718191A B B1A293847 56 65 74 83 92 A1
5. a) 21sju
b) 6
g) 110 011två
c) 1Ctretton
d) A4tolv
e) 11sex
f) −4
k st
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
6. a) Enligt (1) är 1000. . .00b = 1 ⋅ 10bk = 10bk
b) Följer direkt från räkneregel (1.37) på sidan 42 i boken.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9
25 januari 2016 – sida 10 – # 10
facit
c) Följer av a) och b).
d) T.ex. 73b ⋅ 100b = (7 ⋅ 10b + 3) ⋅ 102b = 7 ⋅ 103b + 3 ⋅ 102b = 7300b
e) T.ex. 300b + 20b = 3 ⋅ 102b + 2 ⋅ 10b = 320b
f) T.ex. 12åtta + 34åtta = 1 ⋅ 10åtta + 2 + 3 ⋅ 10åtta + 4 = (1 + 3) ⋅ 10åtta +
(2 + 4) = 4 ⋅ 10åtta + 6 = 46åtta . Blir inte siffrornas summor mindre
än basen, blir det mer komplicerat, eftersom man då måste växla
siffrornas summor uppåt till siffror i högre tiopotenser.
g) T.ex. 54nio −12nio = 5⋅10nio +4−1⋅10nio −2 = (5−1)⋅10nio +(4−2) =
4⋅10nio +2 = 42nio . Är siffran i den första termen mindre än siffran
i den andra termen, blir det mer komplicerat, eftersom man då
måste växla siffror nedåt från högre tiopotenser.
7. a) T.ex. 534b = 5⋅102b +3⋅10b +4 = (5⋅102b +0⋅10b +0)+(3⋅10b +0)+4 =
500b + 30b + 4
b) T.ex. 300b = 3 ⋅ 102b + 0 ⋅ 10b + 0 = 3 ⋅ 102b = 3 ⋅ 100b
2
2
2
8. T.ex. 400sex +500sex = 4⋅10sex
+5⋅10sex
= (4+5)⋅10sex
= 13sex ⋅100sex =
1 300sex . Och t.ex. 40sex ⋅500sex = 4⋅10sex ⋅5⋅100sex = 4⋅5⋅10sex ⋅100sex =
32sex ⋅ 1 000sex = 32 000sex
9. a) 64åtta
b)
135tolv
c)
e)
201C
f) 11A D
g) 1408
h)
100elva
i)
j)
k)
1 900tolv
l) 1 000tre
n)
1 110nio
o) 1 110tio
q)
110 A
r)
d)
m)
2 308C
12 000fem
10 100fyra
p) 121nio
10. a) 4558
e)
13 1115
11. a) 33fem
1 000två
b) 361åtta
c)
f) 31A B
g) 279 D
AA B
1 220fyra
d)
b)
167åtta
c) 37B
e)
1215
f) 5147
g) 132sex
h)
1 833nio
i) 4 298tolv
j)
k) 10000010två
l) 2
n)
4
o) 25sex
p) 10fyra
q)
10elva
r) 22tretton
s)
t) 11C
d)
m)
10
6 76A D
1214
22 222tre
3
1126
2226
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
25 januari 2016 – sida 11 – # 11
facit
12. a) 565åtta
b) 670nio
c) 14 152sju
e) 11 59B E
f) 2427
g) 1 214fem
h)
i) 10B D
j)
k) 20 103nio
l) 1 3A9B
n) 250 1879
o) 12 220 112tre
p) 46C A32 D
q) 100010101100012
r) 147
s)
t) 527
u) 101tre
w) 106C
x) 3718
d)
m)
14 692B
1 1014
54 4728
3849
v) 43B
y)
11 010två
658B
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
11
