Matte
KONVENT
5
Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik
Ma
te
ma
tik
Länktips:
Mattecentrum.se
Matteboken.se
Formelsamlingen.se
Pluggakuten.se
I samarbete med arbetsgivarorganisationen
Innehåll:
Pluggtips
Formelsamling
Kursprov
Så lyckas du med det nationella provet
För att få ut så mycket som möjligt av kvällens mattekonvent vill vi uppmuntra
dig att ställa många frågor till volontärerna. De finns på plats idag för din
skull och de vill hjälpa till! Självklart kan du ställa vilka mattefrågor du vill;
de behöver inte handla om en specifik uppgift på övningsprovet.
Här följer några pluggtips från oss på Mattecentrum:
Rita upp problemet:
Inget förklarar ett problem så bra som en figur och det mesta går att rita.
Ska du räkna ut måtten på en hage? Rita hagen! Ska du lösa en trigonometrisk
ekvation? Rita enhetscirkeln!
Ta problemet steg för steg:
De flesta av oss kan inte hålla massor av steg i huvudet samtidigt så ha för vana
att alltid skriva ner alla delar i din uträkning så blir det färre slarvfel och både
du, läraren och volontärerna kan lättare följa med i hur du har tänkt.
Jobba med grundteknikerna:
Inom matematiken bygger de mer avancerade metoderna ofta på grundtekniker
som man har lärt sig i tidigare mattekurser eller kapitel så se till att öva lite
extra på exempelvis prioriteringsreglerna, ekvationslösning och andra
grundtekniker om de mer avancerade metoderna känns knepiga.
Prata matte:
Hjälp dig själv och andra genom att diskutera problemen tillsammans.
Genom att prata matte övar du på allt möjligt: din egen förståelse, hur
problem kan attackeras på flera olika sätt, ditt matematiska språk och
ditt mattesjälvförtroende. Kan du förklara en metod för en kompis så vet
du att du själv behärskar den. Pratar du matte övar och förbereder du dig
även inför det muntliga nationella provet!
Kvalitet istället för kvantitet:
Tänk kvalitet istället för kvantitet. Ägna hellre en hel lektion åt att verkligen
försöka förstå Pytaghoras sats än att räkna ut hypotenusan i 30 olika trianglar
utan att förstå vad du faktiskt gör.
Tips för att lösa en specifik uppgift
1
2
3
Läs uppgiften noggrant! Förstår du uppgiften? Vad frågas
det efter egentligen? Det kan vara något som ska räknas ut
eller något som ska ställas upp för att sedan räknas ut.
Om inte, vad är det du inte förstår? Är det vissa ord i
uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber
dig att använda? Kolla upp de delar som du inte förstår genom
att slå upp orden, bäddra bakåt i boken för att fräscha upp minnet
eller fråga en volontär!
Innan du börjar lösa uppgiften, ställ dig frågan: Förstår jag
vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften?
Om inte, kolla upp liknande uppgifter och titta på hur
lösningsmetoderna är där.
När du vet vilken metod som ska användas till den uppgift
du sitter med kan du ställa dig själv följande frågor:
Förstår jag metoden som används? Förstår jag varför just
denna metod används till denna typ av problem?
Om inte, gå tillbaka till avsnittet med den metoden
i boken och frächa upp minnet eller fråga en volontär.
Räknat klart och svaret är galet? Då ska du felsöka svaret!
Gå noggrant igenom uträkningarna för att se om du gjorde några
räknefel och ställ dig än en gång frågorna i de första två punkterna
för att försäkra dig om att du verkligen har förstått frågan och
använt rätt räkneoperationer. Känns uträkningen och metoden
fortfarande rätt, räkna om uppgiften på en helt ny sida utan att
tjuvkika på den gamla uträkningen!
Fortfarande fel svar och svaret är detsamma som du fick första
gången du räknade? Då har du troligtvis inte gjort
ett slarvfel, utan använder fel metod. Gå tillbaka och kolla
hur liknande uppgifter har lösts. Känner du att du ändå
inte kommer vidare på egen hand, fråga en volontär!
Läs mer ingående tips på matteboken.se!
1(8)
Formler till nationellt prov i matematik, kurs 5
Algebra
Regler
(a b) 2
a 2 2ab b 2
(a b)3
a 3 3a 2b 3ab2
b3
(a b)2
a 2 2ab b2
(a b)3
a3
b3
a3
b3
(a b)(a 2
ab b2 )
a3
b3
(a b)(a 2
ab b2 )
(a b)(a b)
a 2 b2
x2
Andragradsekvationer
p
2
x
n
( a b) n
Binomialsatsen
k 0
ax 2 bx c
0
px q
p
2
3a 2b 3ab2
2
q
n n k k
a b
k
n n
a
0
b 2 4ac
2a
b
2a
x
0
n n 1
a b
1
n n 2 2
a b ...
2
n n
b
n
Aritmetik
Prefix
T
G
M
k
tera
giga
mega
kilo
12
9
10
Potenser
10
x y
a a
a
x x
Absolutbelopp
15-10-19
10
x y
10
ax
ay
(ab)
a b
Logaritmer
6
x
ax
b
x
h
hekto
3
10
ax
a
b
2
d
c
m
deci
centi
milli
-1
-2
-3
10
y
(a x ) y
x
1
an
y 10 x
x lg y
y
lg x lg y
lg xy
lg x lg y
a
a
om a
0
a om a
0
10
ex
10
mikro
10
a xy
n
x
ln y
lg
x
y
-6
n
p
nano
piko
-9
10-12
10
a
x
1
ax
a0 1
a
lg x p
p lg x
© Skolverket
2(8)
Funktioner
Räta linjen
y
kx m
ax by c
Andragradsfunktioner
k
y2
x2
y
y1
x1
a
0
0 , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner
y
ax 2 bx c
Exponentialfunktioner
C xa
y
C ax
a 0 och a 1
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse
för ett stickprov
s
( x1 x ) 2
( x2
x ) 2 ... ( xn
n 1
x)2
Lådagram
Normalfördelning
Täthetsfunktion
för normalfördelning
15-10-19
f ( x)
1
e
2
1 x
2
2
© Skolverket
3(8)
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition
Derivator
f (a)
lim
h
0
f ( a h)
h
x
a
f ( x) f ( a )
x a
Derivata
x n där n är ett reellt tal
nx n
ax ( a > 0)
a x ln a
ln x ( x 0 )
1
x
ex
ex
e kx
k ekx
1
x
1
1
x2
cos x
cos x
sin x
tan x
1 tan 2 x
k f (x)
k f (x)
f (x) g (x)
f (x) g (x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x)
g ( x)
15-10-19
lim
Funktion
sin x
Kedjeregeln
f (a)
( g ( x)
0)
1
cos 2 x
( g ( x))2
Om y f ( z) och z g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y f ( g ( x)) att
dy dy dz
y f ( g ( x)) g ( x) eller
dx dz dx
© Skolverket
4(8)
Primitiva
funktioner
Funktion
Primitiva funktioner
k
kx C
x n (n
xn 1
C
n 1
1)
1
x
ln x C
ex
ex
e kx
e kx
k
C
ax
ln a
C
a x (a
0, a 1)
sin x
(x
0)
C
cos x C
cos x
sin x C
Komplexa tal
Representation
z
Argument
arg z
Absolutbelopp
z
x iy
x2
r
Om z
Räknelagar
z1z2
15-10-19
r (cos v i sin v) där i 2
tan v
v
Konjugat
de Moivres formel
reiv
1
y
x
y2
x iy så z
x iy
r1r2 (cos(v1 v2 ) i sin(v1 v2 ))
z1
z2
r1
(cos(v1 v2 ) i sin(v1 v2 ))
r2
zn
(r (cos v i sin v))n
r n (cos nv i sin nv)
© Skolverket
5(8)
Geometri
Triangel
Parallellogram
A bh
bh
2
A
Parallelltrapets
h( a b)
2
A
Cirkel
A πr 2
O
Cirkelsektor
b
v
2πr
360
A
v
πr 2
360
2πr
πd 2
4
πd
Prisma
V
Bh
br
2
Cylinder
Pyramid
V πr 2h
Mantelarea
V
Bh
3
A 2πrh
Kon
Klot
πr 2 h
3
Mantelarea
V
A πrs
V
4πr 3
3
A 4πr 2
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC
och DEF är
likformiga.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
a
d
b
e
15-10-19
c
f
© Skolverket
6(8)
Topptriangel- och
transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
DE
AB
CD
AC
CD
AD
CE
BE
AD
BD
AC
BC
CE
och
BC
Vinklar
u v 180
Sidovinklar
w v
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v
w
Likbelägna vinklar
u
w
Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab
u
cd
2v
Pythagoras sats
a 2 b2
c2
Avståndsformeln
d
( x2 x1)2 ( y2
15-10-19
Mittpunktsformeln
y1)2
xm
x1 x2
och ym
2
y1
y2
2
© Skolverket
7(8)
Trigonometri
Definitioner
a
c
b
c
a
b
sin v
cos v
tan v
Enhetscirkeln
sin v
y
cos v
x
tan v
y
x
Sinussatsen
sin A
a
sin B
b
Cosinussatsen
a2
b2
Areasatsen
T
ab sin C
2
Trigonometriska
formler
sin C
c
c 2 2bc cos A
sin 2 v cos 2 v 1
sin(u v) sin u cos v cos u sin v
sin(u v) sin u cos v cos u sin v
cos(u v) cos u cos v sin u sin v
cos(u v) cos u cos v sin u sin v
sin 2v
2 sin v cos v
cos 2 v sin 2 v (1)
cos 2v
a sin x
Cirkelns
ekvation
15-10-19
2 cos 2 v 1
(2)
1 2 sin 2 v
(3)
b cos x
( x a)2 ( y b)2
c sin( x
v) där c
a 2 b 2 och tan v
b
a
r2
© Skolverket
8(8)
Exakta
värden
Vinkel v
(grader)
0
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
tan v
0
30
π
6
1
2
45
π
4
1
60
π
3
3
2
1
2
2
1
3
2
1
2
1
3
90
π
2
120
2π
3
3
2
1
2
1
0
3 Ej def.
3
135
3π
4
1
2
1
2
150
5π
6
1
2
3
2
1
1
3
180
π
0
1
0
Mängdlära
A
B
A\B
xx
A och x B
A
A och x B
xx
B
AC
xx
A eller x B
x x G och x
A
Talteori
a b(mod c) om differensen a b är delbar med c
Kongruens
Om a1 b1 (mod c) och a2 b2 (mod c) gäller att
1.
a1 a2 b1 b2 (mod c)
2.
a1 a2 b1 b2 (mod c)
Om a b (mod c) gäller att
3.
m a m b (mod c) för alla heltal m
4.
an
b n (mod c) för alla heltal n 0
Aritmetisk
summa
sn
n
a1 an
där an
2
Geometrisk
summa
sn
a1
kn 1
där an
k 1
a1 (n 1) d
a1 k n
1
Kombinatorik
Permutationer
P(n, k )
Kombinationer
C (n, k )
15-10-19
n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
n
k
P(n, k )
k!
n!
där 0 k
(n k ) !
n!
där 0 k
k!(n k )!
n
n
© Skolverket
!
!
!
!
!
Kursprov!Matte!5!!
!
Det! här! provet! är! gjort! av! Mattecentrum! på! grund! av! att! denna! kurs! är! så! ny! att! inga! gamla! kursprov! finns.! Därför!
reflekterar!innehållet!inte!nödvändigtvis!hur!det!riktiga!provet!blir!att!se!ut.!!
Se!istället!detta!som!en!möjlighet!att!repetera!och!upptäckta!vad!du!behöver!träna!mer!på.!Inga!poäng!är!utsatta.!Istället!
är!vissa!uppgifter,!som!kanske!tar!mer!tid!än!andra,!markerade!med!(#).!
Lycka&till!&
Uppgift!1!
a)!Ange!alla!delare!till!talet!30.!
b)!Vilka!av!dessa!är!triviala!delare?!
c)!Vilka!av!talen!är!primtal?!
Uppgift!2!
Bestäm!det!minsta!naturliga!talet!!!som!uppfyller!
37 + ! ≡ 4'()*+'5)!
!
Uppgift!3!(#)!
Bevisa,!med!hjälp!av!induktion,!att!summan!av!de!!!första!udda!talen!är!lika!med!!. .!Med!andra!ord!att:!
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 2! − 1 = !. !
Uppgift!4!
Låt!mängden!A!vara!definierad!som!4 = ℕ ∩ 7: 7 ≤ 5 .!
Mängden!ℕ!representerar!mängden!av!alla!naturliga!tal!0,1,2,3,4,5, …!
Ange!sant!eller!falskt!för!följande!påståenden:!
.
a)! ∈ 4!
>
b)!{2,3} ⊆ 4!
c)!−1 ∈ 4!
d)! 4 = 5!
e)!∅ ⊆ 4!
1!(12)!
!
!
!
!
Uppgift!5!
Lotto!är!ett!spel!där!du!ska!välja!7!tal!av!35.!Om!du!får!alla!rätt!(de!behöver!inte!vara!i!någon!specifik!ordning)!vinner!
du!högsta!vinsten.!
A.! Hur!många!olika!lottorader!finns!det?!
!
På!stryktipset!ska!du!istället!välja,!för!13!matcher,!om!de!slutar!med:!att!lag!A!vinner,!att!lag!B!vinner,!eller!om!det!blir!
oavgjort.!Tre!alternativ!för!varje!match.!Här!spelar!alltså!ordningen!roll.!
B.! Är!det!störst!sannolikhet!att!få!7!rätt!på!lotto!eller!13!rätt!på!stryktipset?!
Uppgift!6!
Förklara!vad!som!menas!med!följande!grafteoretiska!begrepp:!
A.! Vandring!
B.! Väg!
C.! Eulerväg!
D.! Stig!
E.! Hamiltonstig!
F.! Hamiltoncykel!
Uppgift!7!
Rita!en!graf!med!minst!5!noder!som!har!en!Eulerkrets.!
Uppgift!8!
Lös!differentialekvationen!!!
DE
DF
= 37 + 2!med!villkoret!G(0) = 1.!
Uppgift!9!(#)!
Hitta!den!allmänna!lösningen!till!den!inhomogena!differentialekvationen!!!G H − 8G = 67.!Svara!exakt.!
Uppgift!10!
Nedan!finns!två!rekursivt!definierade!talföljder.!Beräkna!några!element!i!följden!och!avgör!om!det!är!en!aritmetisk!
eller!geometrisk!talföljd.!Beräkna!sedan!summan!av!de!10!första!talen.!
a)!KL = 2,''''''KM = KMNL + 3!
b)!KL = 3,''''''KM = 2KMNL !
2!(12)!
!
!
!
!
Uppgift!11!
För!att!se!om!ett!tal!är!delbart!med!6!räcker!det!med!att!bekräfta!att!det!är!delbart!med!2!och!3.!Förklara!varför!det!är!
så.!
Uppgift!12!
Om!K ≡ 13'()*+'14),!och!O ≡ 11'()*+'14),!bestäm!minsta!positiva!heltal!!!som!uppfyller:!
KO' ≡ !'()*+'14)!
Uppgift!13!(#)!
Bevisa!att!!> − !'är!delbart!med!3!för!alla!! ∈ ℕ.!
Uppgift!14!(#)!
Anta!att!en!tjuv,!som!försöker!knäcka!ditt!Facebook\lösenord,!kan!testa!100!000!olika!lösenord!varje!sekund.!
A.! Om!ditt!lösenord!bara!består!av!siffrorna!0\9,!hur!långt!måste!det!vara!för!att!tjuven!inte!ska!kunna!hinna!
testa!alla!möjligheter!inom!en!rimlig!tid?!En!säker!”rimlig!tid”!kan!till!exempel!vara!10!år!eller!längre.!
!
B.! Om!lösenordet!får!bestå!av!siffror,!våra!29!stora!bokstäver!och!våra!29!små!bokstäver,!hur!långt!behöver!då!
lösenordet!vara!för!att!tjuven!inte!ska!hinna!testa!alla!möjligheter!inom!en!rimlig!tid?!
En!säker!”rimlig!tid”!kan!till!exempel!vara!10!år!eller!längre.!
Uppgift!15!
En!människa!har!mellan!0!och!200!000!hårstrån!på!huvudet.!Förklara!vad!Dirichlets!lådprincip!är,!och!använd!den!för!
att!bevisa!att!minst!två!personer!på!jorden!har!lika!många!hårstrån!på!huvudet.!
Uppgift!16!
Bestäm!en!partikulärlösning!till!differentialekvationen!
G H + '7G = sin 7 + cos 7 + 1!
!
!
!
!
!
!
!
3!(12)!
!
!
!
!
Uppgift!17!(#)!
Newtons!avsvalningslag!ser!ut!som!följer:!
+U
+V
= W(U − U0 )!
Där!U!är!ett!föremåls!temperatur!efter!V!minuter,!UX !är!omgivningens!temperatur!och!W!är!en!konstant.!Låt!i!det!här!
fallet!W = −0,07.!
!
A.! En!pizza!tas!ut!ur!ugnen!och!är!då!175!grader.!Den!ställs!på!ett!bord!i!ett!22!grader!varmt!rum.!Hur!lång!
tid!tar!det!innan!pizzan!är!75!grader!varm?!!
!
B.! Anta!att!rummet!alltid!har!samma!temperatur.!Förklara!i!ord!vad!uttrycket!betyder:!!
lim ](V) = U0 !
V→∞
Uppgift!18!(#)!
En!art!fåglar!är!utrotningshotade!och!biologer!är!därför!intresserade!av!att!försöka!förstå!hur!många!av!den!fågelarten!
som!kommer!finnas!i!framtiden.!
A.! Enkelt!uttryckt!observerar!de!följande:!ju!fler!fåglar!som!finns,!desto!fler!föds.!Alltså!är!tillväxthastigheten!
proportionell!mot!antalet!fåglar.!Ställ!upp!en!differentialekvation!som!beskriver!detta.!
B.! Bestäm!den!allmänna!lösningen!till!ovanstående!(homogena)!differentialekvation.!
C.! Låt!tidsvariabeln!V!representera!antal!år!efter!2004.!Utgå!från!tiden!V = 0!år!2004,!då!det!fanns!30!fåglar.!!År!
2014!fanns!det!200!av!dessa!fåglar.!Bestäm!en!lösning!till!differentialekvationen!som!uppfyller!dessa!villkor.!
D.! Enligt!denna!modell,!hur!många!fåglar!kommer!det!finnas!år!2024?!
E.! Enligt!denna!modell!kommer!det!år!2204!finnas!] 200 = 955'677'952'713'412'736,!alltså!nästan!en!
triljon,!fåglar.!Är!det!rimligt?!Varför/varför!inte?!
Uppgift!19!
Utveckla!uttrycket! 27 + 2G _ !med!hjälp!av!binomialsatsen.!
Uppgift!20!
Talet!12!har!delarna!1, 2, 3, 4, 6, 12.!Summan!av!alla!delare!till!ett!tal!kan!skrivas!med!funktionen!`(!)!som!uttalas!
”sigma!n”.!I!det!här!fallet!är!
` 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28!
!
Vi!ser!alltså!att!` 12 > 12.!
!
A.! Förklara!varför!det!alltid!gäller!att!` ! ≥ !.!
B.! Det!är!inte!alltid!sant!att!` ! − ! ≥ !.!Hitta!ett!motexempel!som!visar!det.!
4!(12)!
!
!
!
!
Lösningsförslag!och!facit!
Uppgift'1'
A.! Delarna!är:!1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30!
B.! Triviala!delare!är!1!och!talet!självt,!alltså:!1, 30!
C.! 2, 3, 5.!(Kom!ihåg!att!1!inte!är!ett!primtal.)!
Uppgift'2'
Vi!kan!räkna!ut!att!37 ≡ 2'()*+'5),!så!vi!kan!skriva!uppgiften!som:!
37 + ! ≡ 2 + ! ≡ 4'()*+'5)!
Och!från!2 + ! ≡ 4'()*+'5)'ser!vi!att!! = 2.!
Uppgift'3'
Vårt!basfall!är!! = 1,!för!vilket!vi!får!1 = 1.!
Vår!induktionshypotes:!Anta!att!påståendet!är!sant!för!ett!heltal!! = c:!
def = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2c − 1) = c . = gef !
!
Induktionssteget!(! = c + 1):!
!
defhL = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2c − 1 + 2 c + 1 − 1 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2c − 1 + (2c + 1)'
fi
gefhL = c + 1
.
.
= c + 2c + 1!
!
Från!induktionshypotesen!vet!vi!att:!
defhL = c . + (2c + 1)!
Vilket!ju!är!precis!lika!med!gefhL .!Alltså!är!påståendet!bevisat!för!alla!heltal!! ≥ 1.!
Uppgift'4'
Mängden!4 = {0,1,2,3,4,5}.!
A.! Falskt,!4!innehåller!endast!heltal.!
B.! Sant,!{2,3}!är!en!delmängd.!
C.! Falskt,!4!innehåller!inga!negativa!tal.!
D.! Falskt,!det!finns!6!element!i!4.!
E.! Sant,!den!tomma!mängden!är!en!delmängd!till!alla!mängder.!
5!(12)!
!
!
!
!
Uppgift'5'
a)!Antalet!möjliga!Lottorader!är!en!kombination!av!7!tal!från!35!möjliga:!
>_
j
= 6'724'520!
b)!Antalet!möjliga!stryktipsrader:!3L> = 1'594'323.!
Eftersom!6724520' > '1594323!betyder!det:!
k e*VV*lm!nV =
1
1
<
= k pVqGWVmcnlm!nV !
6724520 1594323
!
Så!sannolikheten!är!större!att!vinna!på!stryktipset.!
Dessutom,!eftersom!det!finns!mer!information!tillgänglig!vid!stryktipsets!matcher!(information!om!lagen,!spelarna,!
deras!senaste!matcher!etc.)!så!kan!oddsen!vara!ännu!bättre.!I!Lotto!finns!ingen!sådan!information!att!tillgå.!
Uppgift'6'
A.! Vandring:!En!förflyttning!i!en!graf!från!hörn!till!hörn!längs!en!eller!flera!kanter.!
B.! Väg:!En!vandring!där!ingen!kant!passeras!mer!än!en!gång.!
C.! Eulerväg:!En!väg!som!passerar!var!och!en!av!kanterna!i!grafen!exakt!en!gång.!
D.! Stig:!En!vandring!där!inget!hörn!passeras!mer!än!en!gång.!
E.! Hamiltonstig:!En!stig!där!varje!hörn!i!grafen!besöks!exakt!en!gång.!
F.! Hamiltoncykel:!En!Hamiltonstig!som!påbörjas!och!avslutas!i!samma!hörn.!
Uppgift'7'
En!Eulerkrets!är!en!Eulerväg!som!börjar!och!slutar!i!samma!hörn.!Här!är!ett!exempel!med!sex!hörn!hämtat!från!
matteboken.se,!men!det!finns!oändligt!många!möjligheter:!!
!
Det!viktigaste!är!att!alla!hörn!har!jämn!grad.!
6!(12)!
!
!
!
!
Uppgift'8'
Genom!att!integrera!båda!sidor!får!vi!
G 7 ='
37 + 2 +7 =
37 .
+ 27 + r!
2
Sedan!kan!vi!beräkna:!
G 0 =
3 ∙ 0.
+ 2 ∙ 0 + r = r!
2
Eftersom!vi!vet!G 0 = 1!vet!vi!alltså!att!r = 1!och!svaret!är:!
G 7 =
37 .
+ 27 + 1!
2
Uppgift'9'
Den!homogena!lösningen!är!Gt = ru vF .!
Ansätt!partikulärlösningen!till!Gf = 47 + w,!derivatan!blir!då!G′f = 4.!Insättning!i!ekvationen!ger:!
4 − 8 47 + w = 67!
4 − 847 − 8w = 67!
Vilket!ger!följande!två!ekvationer:!
−84 = 6!
4 − 8w = 0!
Detta!ger!4 =
N>
y
!och!w =
N>
>.
!
Fullständig!allmän!lösning!ges!då!av:!
3
3
G = Gt + Gf = ru vF − 7 − !
4
32
där!r!är!en!konstant.!!
Uppgift'10'
A.!Detta!är!en!aritmetisk!talföljd,!eftersom!differensen!mellan!varje!element!till!nästa!är!konstant!3.!
Första!elementet:!KL = 2.!
För!att!få!fram!värdet!på!ett!element!kan!vi!använda!följande!formel:!KM = KL + (! − 1)+!!
Tionde!elementet!är!då:!KLX = 2 + 9 ⋅ 3 = 29!
Summan!av!en!aritmetisk!talföljd!fås!av!följande!formel:!
nM =
M {| h{}
.
nLX =
!
!
!
7!(12)!
!
!!
! KL + KLX
10(2 + 29)
=
= 155!
2
2
!
!
!
B.!Detta!är!en!geometrisk!talföljd,!eftersom!kvoten!mellan!varje!element!och!det!föregående!är!konstant!2.!
Första!elementet:!KL = 3.!
Kvoten:!W = 2.!
Summan!av!en!geometrisk!talföljd!fås!av!följande!formel:!
nM =
KL (W M − 1)
!
W−1
nLX =
KL (W M − 1) 3(2LX − 1)
=
= 3069!
W−1
2−1
!
Uppgift'11'
Ett!tal!som!är!delbart!med!2!och!3!är!också!delbart!med!2 ∙ 3 = 6.!!
Vi!kan!också!skriva!det!mer!matematiskt!utförligt!såhär:!
Om!talet!!!är!delbart!med!2!betyder!det!att!!!är!en!multipel!av!2,!alltså!! = 2K!för!något!tal!K.!
På!samma!sätt,!om!!!är!delbart!med!3,!betyder!det!att!! = 2K!är!en!multipel!av!3.!Eftersom!2!självklart!inte!är!delbart!
med!3,!måste!det!vara!K!som!är!delbart!med!3,!och!kan!skrivas!K = 3O!för!något!tal!O.!
Alltså!kan!vi!skriva!talet!!!som:!
! = 2 ∙ 3 ∙ O = 6O!
Detta!är!en!multipel!av!6!och!därför!är!!!delbart!med!6,!med!andra!ord:!
! ≡ 0'()*+'6)!
Uppgift'12'
Enligt!räknereglerna!för!kongruenser!kan!vi!skriva:!
K ∙ O ≡ 13 ∙ 11'()*+'14)!
Vi!kan!räkna!ut!13 ∙ 11 = 143:!
KO ≡ 143'()*+'14)!
Eftersom!143 ≡ 3'()*+'14)!är!rätt!svar!! = 3.!
Uppgift'13'
Vi!bevisar!detta!med!induktion.!Uppenbarligen!är!1> − 1 = 1 − 1 = 0!delbart!med!3,!eftersom!0!är!delbart!med!alla!
tal.!Det!utgör!vår!induktionsbas.!
Induktionshypotes:!Anta!att!påståendet!gäller!för!något!tal!! = c:!
3'|'c > − c!
Induktionssteg:!Låt!! = c + 1!och!förenkla!parenteserna:!
8!(12)!
!
!
!
!
c+1
>
− c + 1 = c > + 3c . + 3c + 1 − c − 1!
Termerna!+1!och!−1!tar!ut!varandra,!och!genom!att!flytta!om!termerna!får!vi:!
c > − c + 3c . + 3c!
Från!induktionshypotesen!vet!vi!att!c > − c!är!delbart!med!3.!Dessutom!är!de!andra!termerna!multipler!av!3!och!
därmed!också!delbara!med!3.!
Alltså,!eftersom!varje!term!är!delbar!med!3,!är!hela!uttrycket!delbart!med!3,!och!påståendet!är!bevisat!för!alla!heltal!
! ≥ 1.!
Uppgift'14'
”Rimlig!tid”!låter!vi!här!vara!minst!10!år,!alltså!60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365 ∙ 10 = 315'360'000!sekunder.!
Vi!kan!låta!U(!)!vara!en!funktion!som!ger!tiden!U!beroende!av!längden!på!lösenordet,!alltså!antal!tecken,!!.!
a)!I!det!här!fallet!är!
U ! =
10M
100'000
=
10M
= 10MN_ !
10_
Vi!vill!hitta!!!så!att!U > 315'360'000:!
10MN_ > 315'360'000!
! − 5 > log'(315'360'000)!
! > log 315'360'000 + 5 ≈ 13,5!
Alltså!behöver!lösenordet!vara!minst!14!tecken!långt.!
b)!I!det!här!fallet!finns!det!29 + 29 + 10 = 68!möjliga!tecken,!så!vi!har!
U ! =
68M
!
10_
Med!samma!olikhet,!U > 315'360'000!får!vi!uträkningen:!
68M
> 315'360'000!
10_
!' ⋅ log 68 > log'(315'360'000 ⋅ 10_ )!
!>
log'(315'360'000 ⋅ 10_ )
= 7,4!
log 68
Alltså!behöver!lösenordet!nu!endast!vara!minst!8!tecken!långt.!
(Att!det!tar!minst!10!år!att!testa!alla!möjligheter!betyder!dock!inte!att!lösenordet!nödvändigtvis!är!säkert,!förmodligen!
behöver!inte!alla!möjligheter!testas!innan!ditt!lösenord!kommer!upp.)!
9!(12)!
!
!
!
!
Uppgift'15'
Dirichlets!lådprincip:!Om!)!föremål!ska!placeras!i!!!lådor,!och!) > !,!så!kommer!minst!en!låda!att!innehålla!mer!än!
ett!föremål.!
I!det!här!fallet!utgörs!”lådorna”!av!antalet!hårstrån!på!huvudet.!Det!finns!alltså!! = 200'000!lådor.!”Föremålen”!är!
alltså!antalet!människor,!som!är!) ≈ 7 ⋅ 10Å .!Eftersom!) > !!måste!det!finnas!minst!ett!antal!hårstrån!som!flera!
människor!har.!
Uppgift'16'
En!korrekt!ansättning!är:!Gf = 4 sin 7 + w cos 7 + r!
för!konstanter!4, w, r.!Dess!derivata!är:!G′f = 4 cos 7 − w sin 7!
Insättning!i!differentialekvationen!ger:!
4 cos 7 − w sin 7 + 7 4 sin 7 + w cos 7 + r = sin 7 + cos 7 + 1!
4 cos 7 − w sin 7 + 74 sin 7 7w cos 7 + 7r = sin 7 + cos 7 + 1!
74 − w sin 7 + 4 + 7w cos 7 + 7r = sin 7 + cos 7 + 1!
Genom!att!matcha!koefficienter!i!vänster\!och!högerled!får!vi!följande!ekvationer:!
74 − w = 1!
4 + 7w = 1'!
7r = 1'!
Vilket!ger!följande!lösningar:!
4=
4
3
1
''''w =
'''r = '!
25
25
7
En!partikulärlösning!är!alltså:!
Gf =
4
3
1
sin 7 +
cos 7 + !
25
25
7
Uppgift'17'
a)!Vi!har!att!UX = 22!och!W = −0,07!och!sätter!in!värdena!i!differentialekvationen:!
+U
+V
= −0,07(U − 22)!
Förenkling!ger:!
U H + 0,07U = 1,54!
En!korrekt!ansättning!till!partikulärlösningen!är!Uf = 4,!och!derivatan!är!U′f = 0.!Insättning!i!ekvationen!ger:!!!
0 + 0.074 = 1,54!
10!(12)!
!
!
!
!
Med!lösningen:!
4 = 22!
Den!homogena!lösningen!är!Ut = ru NX,XjÇ .!Lösningen!blir!alltså:!
U V = ru NX,XjÇ + 22!
Villkoret!U 0 = 175!ger!r = 153.!
Vi!ska!lösa!U V = 75:!
153u NX,XjÇ + 22 = 75!
u NX,XjÇ =
V=
É!
53
!
153
53
153
−0,07 ≈ 15!
Svar:!Det!tar!cirka!15!minuter!för!pizzan!att!svalna!till!75!grader.!
b)!När!tiden!går!mot!oändligheten!så!kommer!pizzans!temperatur!närmare!och!närmare!omgivningens!temperatur.!
Uppgift'18'
I!det!här!fallet!representerar!](V)!antalet!fåglar!vid!tiden!V!och!r!är!en!konstant.!
a)!
DÑ
DÇ
= r ∙ ](V)!
b)!Ekvationen!ovan!skrivs!om!till!] H V − r] V = 0!vilket!är!en!linjär!homogen!differentialekvation!av!första!
ordningen!och!därför!har!lösningen!] V = wu ÖÇ !för!konstanter!w!och!r.!
c)!Den!data!vi!har!är!alltså!] 0 = 30!och!] 10 = 200:!
] 0 = wu Ö⋅X = w = 30!
] 10 = 30u Ö⋅LX = 200!
u Ö⋅LX =
200
!
30
ln'
200
30
r=
10 ≈ 0,19!
Lösningen!är:!
] V = 30u X,LÅÇ !
d)!År!2024!är!20!år!efter!2004,!och!därmed!ska!vi!beräkna!] 20 :!
] 20 = 30u X,LÅ⋅.X ≈ 1341!
e)!Nej,!det!är!inte!rimligt.!En!matematisk!modell!som!gäller!för!vissa!omständigheter!och!tidsskalor!behöver!inte!alltid!
gälla.!Förmodligen!börjar!det!bli!ont!om!mat!för!dessa!enormt!många!fåglar!då!i!så!fall!föds!det!nog!inte!lika!många.!En!
annan!differentialekvation,!en!mer!sofistikerad!modell,!behövs.!
11!(12)!
!
!
!
!
Uppgift'19'
Enligt!binomialsatsen!är!utvecklingen:!
5
0
+
!
27
5
4
= 27
_
27
_
X
+
2G
y
2G
L
2G
X
5
1
+
+ 5 27
27
5
5
y
y
27
2G
2G
X
L
L
+
5
2
27
>
2G
.
2G
.
+
5
3
27
.
2G > '
2G _ !
+ 10 27
>
+ 10 27
.
2G
>
+ 5 27
L
2G
y
+ 27
X
2G _ !
= 327 _ + 5 ⋅ 167 y ⋅ 2G + 10 ⋅ 87 > ⋅ 4G . + 10 ⋅ 47 . ⋅ 8G > + 5 ⋅ 27 ⋅ 16G y + 32G _ !
= 327 _ + 1607 y G + 3207 > G . + 3207 . G > + 1607G y + 32G _ !
Uppgift'20'
a)!Eftersom!!!och!1!är!delare!till!varje!tal,!så!är!summan!av!alla!delare!åtminstone!! + 1!vilket!är!större!än!!.!
b)!Ett!primtal!c!är!bara!delbart!med!1!och!c,!så!vi!får:!` c − c = 1 + c − c = 1!
vilket!definitivt!är!mindre!än!c.!Det!finns!också!gott!om!motexempel!som!inte!är!primtal,!till!exempel!16:!
` 16 − 16 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 − 16 = 15 ≱ 16!
(Symbolen!≱!utläses!”inte!större!än!eller!lika!med”)!
12!(12)!
!
