1 KRAFTER, MOMENT och JÄMVIKT

Krafter och moment
1
Krafter och moment
1.1
Inledning
Förståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är
grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten.
Gravitationskraften är en kraft som en kropp påverkar andra kroppar med i dess
omgivning. Två partiklar med massorna m och M attraherar varandra med kraften
F enligt Newtons gravitationslag:
m
M
F
r
F G
mM
r2
(1.1)
där r är avståndet mellan partiklarna och G  6.673 1011 Nm2/kg2. Om vi antar
att jorden är cirkelrund, M står för jordens massa och att partikeln med massan m
befinner sig på jordens yta, dvs. r är avståndet från jordens yta till dess
medelpunkt, kan vi teckna ett uttryck för tyngdkraften:
F  mg
(1.2)
där g  GM r2  9.81 m/s2. Dvs. alla föremål på jorden påverkas av en
tyngdkraft som är proportionell mot dess massa.
Elastiska krafter uppstår när en kropp är i kontakt med ett elastiskt medium av
något slag. Kraftens storlek beror på mediets elastiska deformation. Det enklaste
exemplet är en kropp som är fäst i ena ändan av en elastisk fjäder. Fjädern har en
viss naturlig längd (l) då den är ospänd. Om man förlänger fjädern en sträcka 
strävar den efter att återta sin naturliga längd genom att påverka kroppen med en
kraft P :
P
P  k
(1.3)
l
För en ideal fjäder gäller att kraften P kommer att vara direkt proportionell mot
förlängningen . Proportionalitetskonstanten k kallas fjäderkonstant eller styvhet.
1-1
Krafter och moment
Andra exempel på kontaktkrafter som uppstår när kroppar är i kontakt är t.ex. en
kropp som hänger i en lina eller en kropp som glider eller vilar på ett lutande plan.
Rn
Rf
S
F
F
I det första exemplet vill tyngdkraften F dra kroppen
nedåt men kontaktkraften S i linan håller den kvar.
Kroppen på ett lutande plan påverkas av
tyngdkraften F nedåt, kontaktkraften Rn vinkelrätt
planet och friktionskraften Rf parallellt det lutande
planet. Beroende på storleken på friktionen och
vinkeln på lutningen kommer kroppen att glida eller
vara i vila.
En kraft kan vara koncentrerad, s.k. punktkraft, eller fördelad över en viss yta eller
volym. Exempel på fördelade krafter är
trycket på en yta som utövas på en kropp
nedsänkt i en vätska eller gravitationen som
påverkar varje liten del av ett materiellt
system. Ofta kan man approximera en
fördelad kraft som t.ex. gravitationen genom
att summera alla fördelade krafter till en punktformig tyngdkraft som angriper i
masscentrum av kroppen
1.1.1 Koncentrerade krafter
Innan vi går in och studerar system av krafter är det nödvändigt att undersöka
egenskaperna av en enskild punktkraft. Betrakta fästet för en kabel i Figur 1.1
Figur 1.1 Kabelfästet påverkas av en punktkraft P.
1-2
Krafter och moment
En punktkraft har en storlek (P), riktning i rummet och en angreppspunkt (A). En
kraft kan i matematiska termer beskrivas som en vektor med komponenter i x och
y riktningen:

y
P  Px
P
Py
Py

P  P  Px2  Py2

(1.4)
Px  P cos 
x
Py  P sin 
Px
I fortsättningen kommer vi att använda fet stil, t.ex. P, när vi använder
vektorbegreppet för krafter medan motsvarande skalära storhet, P, avser vektorns
belopp P  P . En direkt följd av att krafter kan beskrivas matematiskt som
vektorer är att vi kan använda vektoralgebra. Om vi försummar kroppens egen
deformation, dvs. vi betraktar en stel (odeformerbar) kropp kan vi definiera ett
antal tillåtna elementaroperationer för kraftvektorer:
Två krafter med gemensam angreppspunkt får adderas enligt parallellogramlagen.
Omvänt gäller också att krafter får delas upp i komposanter längs två valfri
riktningar:
R
F1
R  F1  F2
F2
(1.5)
där summan R kallas resultanten till F1 och F2.
En kraft kan förskjutas längs sin verkningslinje utan att dess totala verkan på en
stel kropp förändras. T.ex. från punkten a till b.
F
F
b
a
b
a
Om två lika stora krafter, men motsatt riktade krafter, F och -F, har gemensam
verkningslinje kan dessa adderas med resultanten noll. Omvänt kan två lika stora
motriktade krater med gemensam verkningslinje införas utan att totalpåverkan
förändras.
F
-F
a
b
-F
F
a
1-3
b
Krafter och moment
Exempel 1.1
Beräkna resultanten (R) av kraften P och T
som angriper i punkten B i strukturen i Figur
1.2.
Figur 1.2 Exempel 1.1
Grafisk lösning
Parallellogrammet i Figur 1.3 är konstruerat
så att 1 cm motsvarar 400N. Vinkel  fås ur:
BD
6sin 60

 0.866;   40.9
AD 3  6cos60
Genom att mäta i figuren kan man
approximativt bestämma storlek och riktning Figur 1.3 Exempel 1.1, grafisk
lösning
på R: R  525 N   49
tan  
Komposantuppdelning
Genom att dela upp krafterna i x och y
komponenter:
R x   Fx  P  T x
R x  800  600cos40.9  346N
R y   Fy  T y
R y  600sin 40.9  393N
Figur 1.4 Exempel 1.1, komponentuppdelning
Storlek och riktning fås sedan från:
R  R 2x  R 2y 
= tan -1
Ry
Rx
 3462   3932
 tan -1
 524N
393
 48.6
346
1-4
Krafter och moment
1.2
Moment
Från vardagslivet känner vi igen flera situationer där vi har nytta av en krafts
vridförmåga. T.ex. när du skruvar i en skruv eller använder en skiftnyckel.
Figur 1.5 Skiftnyckel utnyttjar kraftmoment när muttern dras åt
1-5
Krafter och moment
Det visar sig i praktiken att produkten av
kraften F och distansen d är avgörande för
förmågan att dra åt/lossa muttern i Figur 1.5.
En dubbelt så stor kraft, 2F, som appliceras
på halva avståndet d 2 ger alltså samma
vridförmåga. Momentet definieras alltså som:
M  Fd
(1.6)
där F är kraften och d är avståndet från
vridcentrum (0-axeln) vinkelrätt kraftens
verkningslinje. Avståndet d kallas också för
hävarm. Ett positivt moment strävar efter att
vrida kroppen moturs och ett negativt
moment medurs. Det finns en enkel tumregel
man kan använda för att definiera positiv
riktning på momentet:
Ta höger hand och låt tummen peka i den
positiva riktningen av momentaxeln (här 0 axeln) och fingrarna krökta runt axeln. Den
positiva momentriktningen sammanfaller med
fingrarnas krökning, se Figur 1.6.
Vi har tidigare sagt att det spelar ingen roll om
man betraktar verkan av en kraft eller verkan
Figur 1.6 Definition av moment
av dess komposanter. Resultatet blir
detsamma.
För att detta skall vara korrekt måste också följande princip enligt Varignon's
teorem gälla:
En krafts moment med avseende på en viss axel är lika med summan av
komposanternas moment.
1-6
Krafter och moment
Exempel 1.2
1m
Vi skall demonstrera Varignon's princip
genom att (a) beräkna kraftkomponenternas
moment och jämföra det med (b) den totala
kraftens moment i Figur 1.7.
A
1m
13
10 N
2

3
Kraftkomponenternas moment
Beräkna M  Fx y1  Fy x 1
  tan 1  2 3   33.7
Fx  F cos   10cos33.7  8.32 N
Fy  F sin   10sin 33.7  5.55 N
M  8.32  2  5.55  1  22.19 Nm
a)
x1
alternativt
3
F
13
30
M
2
13
Fx 
Fy
y1
30
20
N; Fy 
N
13
13
20
80
1
Nm
13
13
Fx
Totalkraftens moment
Beräkna M  Fd
d  4 sin 33.7  2.219 m
M  10  2.219  22.19 Nm
b)
F

alternativt
d
d  42
13 m
2
80
M  10

Nm
13
13
Vi ser att får samma resultat oavsett vilken
metod vi väljer. Observera att momentet
vrider moturs och är följaktligen positivt.

Figur 1.7 Exempel 1.2
Metod b) kan tyckas vara enklare att använda, men speciellt när man har flera
krafter är det ofta lättare och mer systematiskt att först dela upp varje kraft i sin
respektive x och y-komposant. Hävarmen för respektive komposant fås sedan
direkt ur angrepps-punktens koordinater (om momentaxeln går genom origo).
1-7
Krafter och moment
En speciellt typ av moment, ett s.k. rent moment (eng. couple) uppstår när man har
ett kraftpar av två lika stora motriktade krafter, se Figur 1.8.
Figur 1.8 Rent moment
Momentet med avseende på 0-axeln kan skrivas som:
M  F  a  d   Fa  Fd
(1.7)
dvs. momentets storlek beror endast på avståndet d mellan de motriktade
krafternas verkningslinjer. Däremot är resultatet oberoende av sträckan a till axel
0. Det betyder att ett motriktad kraftpar (med kraftsumman lika med 0) genererar
ett moment med samma storlek oberoende vilken axel som avses. Därför kan vi
representera ett kraftpar med ett rent moment alternativt ersätta kraftparet med
ett annat kraftpar någon annanstans i planet så länge momentsumman (Fd ) är lika
stor.
Ett exempel på hur rena moment kommer in strukturmekaniken är
momentbelastade balkar, se Figur 1.9. Ett kraftpar längst ut i änden av
konsolbalken ger upphov till ett rent moment M längs hela balken.
I ett snitt A-A är kommer vi att finna att momentet M belastar balken med en
fördelad kraft som kan representeras med ett oändligt antal kraftpar över
tvärsnittsytan. Den fördelade kraften (trycket) motsvarar den spänning som
uppstår över balktvärsnittet som balanserar momentet.
1-8
Krafter och moment
snitt A-A
F
A
M
F
A
Figur 1.9 Momentbelastad balk
1.3
System av krafter och moment
De flesta system av krafter och moment som påverkar en stel kropp kan man
förenkla. Betrakta Figur 1.10.
R
F2
F1
M1
a2
M
a1
Figur 1.10 Reduktion av krafter och moment.
Ett godtyckligt system av n stycken krafter och m stycken moment kan reduceras
till en kraftresultant R och en momentresultant M som verkar i en godtycklig
punkt 0 genom:
n
R   Fi  F1  F2
i 1
n
m
i 1
i 1
M   Fi ai   M i  F1a1 F2 a2  M 1
(1.8)
Observera att F1 och F2 är vektorer som adderas genom att först dela upp
krafterna i x och y komponenter innan resultantens komponenter kan beräknas, se
avsnitt 1.1.1.
1-9
Krafter och moment
Exempel 1.3
Ersätt krafterna i figur Figur 1.11 med
en kraft R och momentresultant M i
punkten A.
R x  4  6  2.5cos30  12.2 kN
R y  2.5sin 30  1.25 kN
R  12.22  1.252  12.3 kN
1.25
= tan -1
 5.9
12.2
M  5  6  0.7  4  1.2 
 2.17  1.4  1.25  0.6  16.3 kNm
R
M
Svar: Kraften R=12.3 kN med riktning
5.9o från x-axeln. Momentet M=16.3
kNm
Figur 1.11 Exempel 1.3
1-10

Krafter och moment
1.4
Övningsuppgifter
Uppgift 1.1
Bestäm kraftvektorns F komponenter,
Fx, Fy.
Svar: Fx  250 N, Fy  433 N
Uppgift 1.2
Kraften i linan som sitter mellan
punkten A och B är 9 kN. Sträckan
AC  10 m och sträckan BC  6 m.
Bestäm linans kraftkomponenter i x och
y riktningen om vikten är fäst 3 m från
punkten A.
Svar: Fx  7.72 kN, Fy  4.63 kN
Uppgift 1.3
Bestäm kraftkomposanterna normalt
(vinkelrätt), Pn , och tangentiellt (längs
med), Pt , axeln BC .
Svar: Pn  191 N, Pt  58.0 N
Tips: Dela först upp P i x och y
komposanter. Px och Py delas i sin tur
upp i komposanter normalt och
tangentiellt axeln BC . Addera bidragen
från Px och Py i normal respektive
tangentiell riktning.
1-11
Krafter och moment
Uppgift 1.4
Bestäm kraftkomposanterna normalt, Pn
, och tangentiellt, Pt , axeln OA .
Svar: Pn  6.84 N, Pt  7.30 N
Uppgift 1.5
Ersätt kraften i figuren med två krafter
F1 och F2 där F1 är riktad längs axeln aa och F2 har storleken 25 kN. Bestäm
kraften F1 till storlek och riktningen på
F2 , dvs. vinkeln till den horisontell
axeln. Obs! det finns två alternativa
lösningar.
F1  28.0 kN, = 76.1
Svar: alternativt
F1  8.03 kN, = 16.1
Uppgift 1.6
Vilken vinkel skall kraften F anbringas i
punkten C så att storleken i riktning
CA är 80% av storleken i riktning BC ?
Svar:   53.0
1-12
20 kN
Krafter och moment
Uppgift 1.7
Bestäm resultanten R av de två
krafterna 8 och 10 kN till storlek och
riktning.
Uppgift 1.8
Bestäm kraften T i vajern så att den
horisontella komponenten av T blir lika
stor men motriktad den horisontella
komponenten av kraften i kabeln (2500
N).
Bestäm resultanten av kraften i kabeln
(2500 N) och T till strolek och riktning.
Svar:
a) T  4700 N
b) R  4920 N vertikalt nedåtriktad
Uppgift 1.9
Bestäm momentet i centrum av
kugghjulet (punkt 0) från kraften på
kuggen (kraft F med storleken 40 N).
Svar: M 0  3.76 Nm (vrider medurs)
1-13
2500 N
T
Krafter och moment
Uppgift 1.10
Chauffören vrider ratten med en kraft
på 20 N, se figur. Bestäm momentet i
centrum av ratten (punkt 0).
Svar: M 0  2.86 Nm (vrider medurs)
Uppgift 1.11
En man som väger 90 kg står på en liten
gångbro vid punkt B. Du skall nu
ersätta mannen med två personer en vid
punkt A och en vid punkt C. Vad skall
personerna väga om effekterna på
gångbron (betraktat som en stel kropp)
skall vara oförändrade?
Tips1: Summan skall vara 90 kg
Tips2: Momentet vid godtycklig punkt
på gångbro skall vara lika stor som
mannen vid punkten B orsakar
Svar: mA  36 kg, mB  54 kg
1-14
Krafter och moment
Uppgift 1.12
Bestäm storlek och avstånd från toppen
av stången en kraft P måste ha för att
ersätta de båda krafterna i figuren.
Svar: P  500 N, y  0.4 m
Uppgift 1.13
Vid vilken vinkel  är momentet runt
punkten 0 som störst? Bestäm även
momentets storlek vid den vinkeln.
Tips: Momentet är som störst när
riktningen på kraften är vinkelrät
hävarmen från punkten 0 till
angreppspunken på kraften.
Svar:
  65.8 , M 0  59.2 Nm (medurs)
Uppgift 1.14
Ett fartyg har två propellrar som var för
sig utvecklar en kraft på 300 kN. Vid
manövrering av fartyget har en
propeller satts på full gas framåt och
den andra på full gas bakåt. Vilken kraft
P måste bogseringsbåtarna utveckla för
att fartyget skall stå still?
Svar: P  51.4 kN
1-15
Krafter och moment
Uppgift 1.15
Figuren visar en svängdörr sedd
uppifrån när två personer samtidigt går
igenom den. Personerna påverkar
svängdörren med varsin motriktad kraft.
Bestäm kraften F storlek om det
resulterande momentet vid centrum av
svängdörren M 0  15 Nm.
Svar: F  9.71 N
Uppgift 1.16
Figuren visar en fälgkors. Anta att man
anbringar kraften på 250 N enligt
figuren till höger. Hur stor blir
kontaktkrafterna (F) på bulten. Korset
överför momente till bulten via 4
kontaktpunkter.
Svar: P  3500 N
Uppgift 1.17
Ersätt alla 4 krafter och momentet i
figuren med en resultant R och ett
resulterande moment M i punkten 0.
Ange också riktningen på R i
förhållande till x axeln.
Svar:
R  148.3 N,   63.2
M  273.3 Nm
1-16
Krafter och moment
Uppgift 1.18
Vilken vinkel  (räknat från x-axeln)
och storlek skall kraften F ha om
resultanten av samtliga krafter är
vertikalt uppåtriktad med storleken
100N.
Svar: F  1190 N,   128.2
Uppgift 1.19
Ersätt alla krafter och momentet i
figuren med en resultant R. Ange
resultantens storlek och var den
angriper längs balken.
Svar: R  4 kN nedåt vid x  5 m
Uppgift 1.20
Ersätt alla krafter och momentet i
figuren med en resulterande kraft R och
moment M i punkten A.
Svar:
R  12.23 kN
M  16.28 kNm (medurs)
1-17