Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten för teknik
Linnéuniversitetet
Linjära avbildningar I
Innehåll
En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner
Avbildningar
Linjära avbildningar
Några exempel på linjära avbildningar i planet
Några exempel på linjära avbildningar i rummet
Ett exempel på en icke-linjär avbildning
2(25)
En liten tillbakablick: Ortogonala projektioner
Avsikten med denna föreläsning är att vi ska börja titta på så kallade
linjära avbildningar. Med hjälp av linjära avbildningar kan man bilda
nya vektorer utifrån gamla, genom att t.ex. rotera, spegla eller
projicera dem.
För att bl.a. kunna handskas med projektioner av vektorer, ska vi
inleda med att härleda en formel, som man ibland kallar för
projektionsformeln. Denna formel finns inte omnämnd vid detta namn
i boken, men man kan ana den i exempel 7 i kapitel 4.
Problemet är följande: Vi vill projicera en vektor x ortogonalt mot en
annan vektor v 6= 0. Resultatet y av projektionen kommer då att
uppfylla y = λv för något tal λ, eftersom y och v är parallella.
Frågan är hur vi räknar ut detta λ. Eftersom det rör sig om en
ortogonal projektion, kommer vi (givetvis) förutsätta att vi använder
oss av en ON-bas.
x
y
v
3(25)
För att luska ut hur λ i formeln y = λv kan tänkas se ut, börjar vi
med att sätta
u = x − y.
Då är u den blå vektorn i figuren nedan. Denna vektor är ortogonal
mot v, så med hjälp av räknelagarna för skalärprodukt får vi
0 = u · v = (x − y) · v = x · v − y · v ⇐⇒ y · v = x · v.
Vi vet ju att y = λv, eftersom y och v är parallella. Om vi i
vänsterledet till ekvationen y · v = x · v därför ersätter y med λv så
får vi, med ytterligare lite hjälp av några räkneregler för
skalärprodukt, att
λv · v = x · v ⇐⇒ λ(v · v) = x · v ⇐⇒ λ =
x·v
.
|v|2
Vi har funnit ett uttryck för λ som enbart innehåller x och v (de två
vektorer som är givna redan från början).
x
u=x−y
v
y
4(25)
Sats (Projektionsformeln)
Om y är den ortogonala projektionen av en vektor x på en annan
vektor v 6= 0, så är y = λv, där
λ=
x·v
.
|v|2
Exempel
Bestäm den ortogonala projektionen y av x = (1, −1, 2) på vektorn
v = (1, 3, −1).
Lösning.
Eftersom
λ=
x·v
1 · 1 + (−1) · 3 + 2 · (−1)
−4
=
=
,
2
2
2
2
|v|
1 + 3 + (−1)
11
4
4
4
v = (− 11
, − 12
så ger projektionsformeln y = − 11
11 , 11 ). Lägg märke till
att y och v pekar i motsatta riktningar (vilket beror på att vinkeln
mellan x och v är trubbig).
5(25)
Avbildningar
I dina tidigare matematikstudier har du säkert sysslat en hel del med
funktioner. En funktion är en regel som talar om hur man ska räkna
ut ett tal utifrån ett redan givet tal, ofta med hjälp av en formel.
Exempel på funktioner är f1 (x) = sin x, f2 (x) = x2 + 1 och
f3 (x) = ln(x + 2). Här säger de olika reglerna (formlerna) att vi, för
varje reellt tal x, ska
f1 : Beräkna sinus av x
f2 : Kvadrera x och addera sedan 1 till resultatet
f3 : Addera 2 till x och beräkna sedan (den naturliga) logaritmen av
resultatet.
Ett annat namn för funktioner är avbildningar, fast ibland betraktar
man sådana som mer generella än vad funktioner är. Om man håller
på med funktioner, är det nämligen ofta underförstått att man
arbetar med tal; man matar in ett tal i funktionen, och funktionen
svarar genom att mata ut ett tal. När det gäller avbildningar behöver
det inte vara just tal som utgör in- och utdata; för vår del kommer
det att vara vektorer i rummet eller i planet.
6(25)
Definition (Avbildning, Bild)
Med en avbildning F av rummets vektorer, avser vi en regel som till
varje vektor u ordnar en entydigt bestämd vektor F (u) i rummet.
Vektorn F (u) kallas för bilden av vektorn u genom F .
I definitionen ovan kan vi även ersätta ”rummet” med ”planet”, så
alltså vi även kan tänka oss avbildningar av planets vektorer.
Exempel på avbildningar av rummets vektorer skulle kunna vara
• Spegla varje vektor i rummet i ett givet plan
• Rotera varje vektor i rummet ett halvt varv runt en given rät linje
• Projicera varje vektor i rummet ortogonalt mot ett givet plan.
Om vi har givet en avbildning F och känner koordinaterna för en
vektor u (i en given bas), så vill vi smidigt kunna räkna ut vilka
koordinater som bilden F (u) har. För s.k. linjära avbildningar visar
det sig att sambandet mellan koordinaterna för u och F (u) kan
uttryckas med hjälp av en matris.
7(25)
Om X är en kolonnmatris med tre element (d.v.s. en 3 × 1-matris),
och om A är en 3 × 3-matris, så kommer Y , där
Y = AX ,
att liksom X vara en kolonnmatris med tre element. Detta kan vi
utnyttja, för att definiera en avbildning F av rummets vektorer, på
följande vis:
Låt x = (x1 , x2 , x3 ) vara en vektor i rummet, och låt X vara
motsvarande kolonnmatris. Vi definierar bilden F (x) som den vektor
y = (y1 , y2 , y3 ) som svarar mot kolonnmatrisen Y = AX , där A är en
given 3 × 3-matris.
8(25)
Exempel
Vi definierar en avbildning F av rummets vektorer med hjälp av
matrisen


−1
4
0
1 .
A =  3 −2
2
0 −2
Här ges bilden till vektorn x = (1, 2, −5) genom F av
F (x) = (7, −6, 12), eftersom

   
−1
4
0
1
7
 3 −2
1  2 = −6 .
2
0 −2
−5
12
Vektorn x = (3, 1, 2) har å sin sida bilden F (x) = (1, 9, 14) (verifiera
detta!).
9(25)
Med anknytning till föregående exempel: Låt x1 och x2 vara två
vektorer i rummet, och X 1 , X 2 motsvarande kolonnmatriser. Då får vi
F (x1 + x2 ) genom att beräkna matrisprodukten A(X 1 + X 2 ). Enligt
en räknelag för matrisräkning gäller
A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 .
Här är AX 1 och AX 2 de kolonnmatriser som svarar mot F (x1 )
respektive F (x2 ). Matrisekvationen ovan kan alltså även skrivas
F (x1 + x2 ) = F (x1 ) + F (x2 ).
(1)
Vidare: Om x är en vektor i rummet med motsvarande
kolonnmatris X , och om λ är ett godtyckligt reellt tal, så fås F (λx)
genom att beräkna matrisprodukten A(λX ). Men
A(λX ) = λAX ,
där högerledet kan tolkas som λF (x). Alltså har vi även att
F (λx) = λF (x).
(2)
Avbildningar med egenskaperna (1) och (2) är av speciellt intresse. . .
10(25)
Linjära avbildningar
Definition (Linjär avbildning)
En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det
(i) för alla vektorer x1 och x2 i rummet (planet) gäller
F (x1 + x2 ) = F (x1 ) + F (x2 ),
(ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller
F (λx) = λF (x).
Varje linjär avbildning F uppfyller F (0) = 0. I boken visas detta
genom att sätta λ = 0 i formeln F (λx) = λF (x), men vi kan också
visa detta genom att sätta x1 = x2 = 0 i formeln
F (x1 + x2 ) = F (x1 ) + F (x2 ):
F (0 + 0) = F (0) + F (0).
Vänsterledet är här lika med F (0). Alltså är F (0) + F (0) = F (0) och
nu följer F (0) = 0 genom att subtrahera båda leden med F (0).
11(25)
Några exempel på linjära avbildningar i planet
Om inget annat sägs, utgår vi ifrån att det koordinatsystem
(O, e1 , e2 ) som används är ortonormerat.
Exempel (Ortogonal projektion på en rät linje)
Betrakta den räta linje L i planet som på
L
normalform har ekvationen 2x1 + 3x2 = 0.
(Lägg märke till att denna linje går genom
origo O.)
P (x) = (y1 , y2 )
Låt P vara den avbildning av planets vekO
torer som projicerar varje vektor ortogonalt på L.
x = (x1 , x2 )
Antag att x = (x1 , x2 ) är en vektor i planet, och att P (x) = (y1 , y2 )
är resultatet av att x projiceras ortogonalt på L. Vi letar efter ett
samband mellan (y1 , y2 ) och (x1 , x2 ).
Ett sådant samband kan vi hitta genom att använda
projektionsformeln som vi härledde inledningsvis; vi kan helt enkelt
se P (x) som den ortogonala projektionen av x på en riktningsvektor
till L.
b
12(25)
Vi behöver alltså en riktningsvektor till L för att komma vidare. En
sådan är enkel att läsa av, om ekvationen för linjen är skriven på
parameterform: Genom att i ekvationen 2x1 + 3x2 = 0 sätta t.ex.
x2 = 2t och sedan lösa ut x1 , får vi
x1 = −3t
x2 = 2t,
så en riktningsvektor för L ges alltså av v = (−3, 2).
Projektionsformeln ger nu att P (x) = λv, där
λ=
−3x1 + 2x2
x·v
=
.
|v|2
13
På koordinatform får vi därmed
−3x1 + 2x2
1
(y1 , y2 ) = λ(−3, 2) =
(−3, 2) =
(9x1 − 6x2 , −6x1 + 4x2 ).
13
13
Vi får ett linjärt samband mellan (y1 , y2 ) och (x1 , x2 ) enligt
(
6
9
x1 − 13
x2
y1 = 13
1
x1
9 −6
y1
.
⇐⇒
=
6
4
x2
4
y2
13 −6
y2 = − 13
x1 + 13
x2
Sambandet mellan x och P (x) kan alltså beskrivas med hjälp av en
matris, så P är därmed en linjär avbildning.
13(25)
Exempel (Spegling i en rät linje) S(x) = (y1 , y2 )
Låt L vara samma räta linje i planet,
som i det förra exemplet, d.v.s. linjen
2x1 + 3x2 = 0.
Låt S vara den avbildning av planets
vektorer som speglar varje vektor i L.
2u
L
u = P (x) − x
O
b
x = (x1 , x2 )
I förra exemplet kom vi fram till att P (x), projektionen av x på L,
kan skrivas med hjälp av projektionsformeln som P (x) = λv, där v är
en riktningsvektor för linjen och λ = (x · v)/|v|2 . Sätt u = P (x) − x.
Då blir
S(x) = x + 2u = x + 2(P (x) − x) = 2λv − x.
Med samma riktningsvektor v = (−3, 2) som tidigare, så blir detta på
koordinatform
(y1 , y2 ) = 2λ(−3, 2) − (x1 , x2 ) = (−6λ − x1 , 4λ − x2 ),
där, precis som i exemplet med projektionen, λ =
−3x1 + 2x2
.
13
14(25)
Koordinaterna y1 och y2 blir därmed lika med
−3x1 + 2x2
− x1
13
1
1
(−6(−3x1 + 2x2 ) − 13x1 ) =
(5x1 − 12x2 )
=
13
13
y1 = −6λ − x1 = −6 ·
respektive
−3x1 + 2x2
− x2
13
1
1
(4(−3x1 + 2x2 ) − 13x2 ) =
(−12x1 − 5x2 ).
=
13
13
y2 = 4λ − x2 = 4 ·
På matrisform kan vi skriva detta som
1
y1
x1
5 −12
=
,
y2
x2
−5
13 −12
så även denna avbildning är linjär.
15(25)
Exempel (Sned projektion på en rät linje)
a = (1, 2)
Pa (x) = (y1 , y2 )
Låt som tidigare L vara den räta linjen
2x1 + 3x2 = 0, och låt a = (1, 2) vara
en vektor i planet. Vi definierar Pa som
O
den avbildning som projicerar vektorerx = (x1 , x2 )
na i planet på L, längs med vektorn a.
Vi har här vad man ibland kallar för en sned projektion; projektionen
är inte ortogonal. Därför kan vi inte använda projektionsformeln för
att plocka fram koordinaterna för Pa (x); den fungerar bara för
ortogonala projektioner.
b
I stället utnyttjar vi att (y1 , y2 ) måste vara skärningspunkten
mellan L och den räta linje som går genom punkten (x1 , x2 ) och har a
som riktningsvektor. En godtycklig punkt på denna linje har
koordinaterna (x1 , x2 ) + t(1, 2) = (x1 + t, x2 + 2t) för något värde
på t, och vi söker t så att denna punkt också ligger på L, d.v.s. så att
1
2(x1 + t) + 3(x2 + 2t) = 0 ⇐⇒ t = − (2x1 + 3x2 ).
8
16(25)
Detta ger att
1
1
y1 = x1 + t = x1 − (2x1 + 3x2 ) = (6x1 − 3x2 )
8
8
och
2
1
y2 = x2 + 2t = x2 − (2x1 + 3x2 ) = (−4x1 + 2x2 ).
8
8
Även här är det alltså frågan om en linjär avbildning, eftersom
sambandet mellan koordinaterna för Pa (x) och x kan skrivas på
matrisform
1
6 −3
x1
y1
.
=
x2
2
y2
8 −4
17(25)
Några exempel på linjära avbildningar i rummet
Vi kommer, liksom i fallet med avbildningar i planet, utgå från att vi
använder ett ortonormerat koordinatsystem (O, e1 , e2 , e3 ).
Exempel (Ortogonal projektion på ett plan)
Låt P vara den avbildning av rummets vektorer som projicerar varje
vektor i rummet ortogonalt mot planet x1 + 3x2 − x3 = 0. (Notera att
origo O ligger i planet.)
Vektorn u = x − P (x) är parallell med planets normalvektor n, så
u = λn för något tal λ, vilket ger
P (x) = x − u = x − λn.
Talet λ kan räknas ut med hjälp av projektionsformeln, eftersom u
kan tolkas som den ortogonala projektionen av x på n.
x
n
u = x − P (x) = λn
P (x)
18(25)
Av planets ekvation x1 + 3x2 − x3 = 0 framgår det att n = (1, 3, −1),
så ekvationen P (x) = x − λn blir på koordinatform
(y1 , y2 , y3 ) = (x1 , x2 , x3 ) − λ(1, 3, −1) = (x1 − λ, x2 − 3λ, x3 + λ).
Enligt projektionsformeln är λ =
x1 + 3x2 − x3
x·n
=
, vilket ger
2
|n|
11
1
x1 + 3x2 − x3
=
(10x1 − 3x2 + x3 ),
11
11
x1 + 3x2 − x3
1
y2 = x2 − 3λ = x2 − 3 ·
=
(−3x1 + 2x2 + 3x3 )
11
11
1
x1 + 3x2 − x3
y3 = x3 + λ = x3 +
=
(x1 + 3x2 + 10x3 ),
11
11
y1 = x1 − λ = x1 −
eller på matrisform
 

y1
10 −3
1
y2  =
−3
2
11
y3
1
3
Avbildningen är alltså linjär.
 
1
x1
3 x2  .
10
x3
19(25)
Låt v 1 = (2, 4, 3), v 2 = (1, 3, −1) och v 3 = (2, 0, 2). Vad är då P (v 1 ),
P (v 2 ) respektive P (v 3 ), d.v.s. hur ser den ortogonala projektionen på
planet x1 + 3x2 − x3 = 0 ut, för respektive vektor?
Koordinaterna för P (v 1 ) får vi genom matrismultiplikationen

   
 
10 −3
1
11
1
2
1 
1
11 = 1 ,
−3
2
3 4 =
11
11
1
3 10
44
4
3
så P (v 1 ) = (1, 1, 4). Denna vektor är alltså den skugga som v 1 kastar
på planet, då detta belyses ”rakt uppifrån”.
När det gäller v 2 så noterar vi att v 2 = n är normalvektor till planet.
Som sådan kan den inte någon skugga alls på planet, eftersom
projektionen ju är ortogonal. Alltså P (v 2 ) bör vara nollvektorn. Detta
bekräftas också av att

   
10 −3
1
1
0
1 
−3
2
3  3 = 0 .
11
1
3 10
−1
0
20(25)
Slutligen beräknar vi P (v 3 ), där v 3 = (2, 0, 2), på samma sätt; vi får

 
   
2
10 −3
1
2
22
1    
1 
−3
2
3 0 =
0 = 0 .
11
11
2
2
1
3 10
22
Vi noterar att P (v 3 ) = v 3 , d.v.s. v 3 är lika med sin egen skugga.
Hur kommer det sig?
Förklaringen är att v 3 är parallell med planet, och därmed ortogonal
mot den riktning som projektionen sker.
21(25)
Exempel (Spegling i ett plan)
Vi ska här studera den avbildning S som speglar varje vektor i samma
plan x1 + 3x2 − x3 = 0 som i föregående exempel.
Om u är den ortogonala projektionen av x på normalvektorn n, så är
S(x) + 2u = x, vilket ger
S(x) = x − 2λn,
där n = (1, 3, −1) och λ =
n
x1 + 3x2 − x3
(se föregående exempel).
11
x = (x1 , x2 , x3 )
u = λn
S(x) = (y1 , y2 , y3 )
22(25)
Ekvationen S(x) = x − 2λn blir på koordinatform
(y1 , y2 , y3 ) = (x1 , x2 , x3 ) − 2λ(1, 3, −1) = (x1 − 2λ, x2 − 6λ, x3 + 2λ),
och med uttrycket λ = (x1 + 3x2 − x3 )/11 insatt får vi efter litet
räkningar
1
x1 + 3x2 − x3
=
(9x1 − 6x2 + 2x3 )
11
11
x1 + 3x2 − x3
1
y2 = x2 − 6 ·
=
(−6x1 − 7x2 + 6x3 )
11
11
1
x1 + 3x2 − x3
=
(2x1 + 6x2 + 9x3 ),
y3 = x3 + 2 ·
11
11
y1 = x1 − 2 ·
d.v.s. på matrisform
 

 
y1
9 −6 2
x1
1
y2  =
−6 −7 6 x2  .
11
y3
2
6 9
x3
Med andra ord har vi att göra med ännu en linjär avbildning.
23(25)
Hur ser då spegelbilderna ut, av samma tre vektorer v 1 = (2, 4, 3),
v 2 = (1, 3, −1) och v 3 = (2, 0, 2), som vi tidigare projicerade
ortogonalt på samma plan?
Vi har att S(v 1 ) = (0, −2, 5), eftersom


 
  
9 −6 2
0
0
2
1 
1
−22 = −2 .
−6 −7 6 4 =
11
11
2
6 9
55
5
3
Vi skulle kunna räkna ut S(v 2 ) och S(v 3 ) på samma sätt, men kan
också föra ett geometriskt resonemang om vad resultatet måste bli.
Vektorn v 2 är ju normalvektor till planet. Med detta i åtanke, hur bör
dess spegelbild S(v 2 ) se ut?
När vi beräknade projektionen av v 3 på planet, fann vi att v 3 var lika
med sin egen skuggbild, eftersom v 3 är parallell med planet. Hur bör
därför dess spegelbild S(v 3 ) i samma plan se ut?
Verifiera slutsatserna genom att beräkna motsvarande
matrismultiplikationer.
24(25)
Ett exempel på en icke-linjär avbildning
De avbildningar vi hittills sett exempel på, har alla varit linjära,
eftersom de har kunnat beskrivas med hjälp av matriser, såtillvida att
y = F (x) motsvaras av Y = AX för någon matris A.
Här kommer ett exempel på en avbildning som inte är linjär:
Exempel (Translation av vektor)
Låt a 6= 0 vara en vektor i rummet (planet), och betrakta
avbildningen Ta , som för varje vektor x definieras av Ta (x) = x + a.
Avbildningen Ta är en s.k. translation.
Ta (x) = x + a
a
x
Om Ta vore linjär, skulle den ha avbildat nollvektorn på sig själv,
med det gör den inte: Ta (0) = 0 + a = a 6= 0.
25(25)