Förberedelseuppgifter för
Lektioner i Signal- och Bildbehandling
Michael Felsberg 2005, uppdaterat av Maria Magnusson 2006-2007, 2016
För att förstå och lösa alla uppgifter på lektionerna behövs det en del kunskaper
från de tidigare matematikkurserna. Erfarenhetsmässigt vet vi att dessa ibland inte
är helt aktuella. Därför ger vi här några repetitionsuppgifter. Det viktigaste är att
ni känner till denitionerna och kan använda dem. Ni behöver inte lära er alla
utantill. De går att slå upp i tabellverk. Räkna gärna några av uppgifterna för att
kontrollera att ni kan använda komplexa tal. Om det är några uppgifter som ni
inte klarar så visar vi dem på första lektionen.
1
Komplexa Tal
Ett komplext tal z ∈ C består av två komponenter, realdel och imaginärdel,
z = Re{z} + i Im{z} ,
(1)
där både Re{z} och Im{z} är reella tal och i2 = −1. En viktig operation i den
komplexa algebran är konjugatet,
z ∗ = Re{z} − i Im{z} .
(2)
Absolutvärdet av ett komplext tal denieras av
Uppgifter
|z| =
p
Re{z}2 + Im{z}2 .
(3)
Använd (1), (2) och (3) för att bevisa följande.
z + z∗
2
z∗ − z
Im{z} = i
2
|z|2 = zz ∗
z∗
z −1 =
|z|2
Re{z} =
1
(4)
(5)
(6)
(7)
Im
z
Im{z}
|z|
ϕ
Re
Re{z}
Figur 1: Det komplexa talet z i det komplexa talplanet. Talet z kan skrivas som
z = Re{z} + i Im{z} eller z = |z|eiϕ eller z = |z| cos ϕ + i |z| sin ϕ.
2
Polära Koordinater
Man kan också representera komplexa tal i polära koordinater, se Fig. 1,
z = |z| exp(iϕ) = |z|eiϕ ,
(8)
där ϕ ∈ (−π; π] är argumentet av z . Vi behöver ofta Eulers formel,
exp(iϕ) = cos ϕ + i sin ϕ .
(9)
Ekvation (1), (8) och (9) ger
Re{z} = |z| cos ϕ ,
Im{z} = |z| sin ϕ .
(10)
(11)
Fig. 1 ger för vinkeln ϕ,
Im{z}
arctan
Re{z}
π
2
π + arctan Im{z}
Re{z}
ϕ = arg{z} =
Im{z}
−π
+
arctan
Re{z}
π
−2
obestämt
2
om Re{z} > 0
om Re{z} = 0 och Im{z} > 0
om Re{z} < 0 och Im{z} ≥ 0
om Re{z} < 0 och Im{z} < 0
om Re{z} = 0 och Im{z} < 0
om z = 0 .
(12)
En alternativ formel är
ϕ = arg{z} = 2 arctan
Uppgifter
Im{z}
|z| + Re{z}
.
Använd ovanstående formler för att bevisa följande.
|z1 ||z2 | = |z1 z2 |
z1 z2 = |z1 ||z2 | exp(i(ϕ1 + ϕ2 ))
exp(iϕ) + exp(−iϕ)
cos ϕ =
2
exp(iϕ) − exp(−iϕ)
sin ϕ =
2i
Re{z1 z2∗ }
|ϕ1 − ϕ2 | = arccos
om |z1 z2 | > 0
|z1 z2 |
3
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Additionsteorem för Trigonometriska Funktioner
Med hjälp av Eulers formel och de sista resultaten blir det ganska lätt att bevisa
några additionsteorem för trigonometriska funktioner,
cos(α + β)
sin(α + β)
cos(2α)
sin(2α)
=
=
=
=
sin α + sin β =
cos α + cos β =
cos α − cos β =
sin α sin β =
cos α cos β =
sin α cos β =
sin2 α =
cos2 α =
cos α cos β − sin α sin β
sin α cos β + cos α sin β
cos2 α − sin2 α
2 cos α sin α
α+β
α−β
2 sin
cos
2
2
α+β
α−β
2 cos
cos
2
2
α−β
α+β
sin
−2 sin
2
2
cos(α − β) − cos(α + β)
2
cos(α − β) + cos(α + β)
2
sin(α − β) + sin(α + β)
2
1 − cos 2α
2
1 + cos 2α
2
3
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
