Uppsala universitet

Uppsala universitet
Matematiska institutionen
Anna-Lisa Dyrelius
Funktionslära ML
Några lösta uppgifter 5
Tangenter och normaler
1.
Bestäm ekvationen för den tangent till kurvan y  x 2  8 x som är parallell med
linjen 4 x  y  3  0 .
Lösning:
Linjen: 4 x  y  3  0

y  4 x  3

k  4
y
10
8
6
4
2
0
-2 -2 0
2
4
6
8
10
x
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
Kurvan: y  x 2  8 x  y   2 x  8
Derivatan ska ha värdet -4   4  2 x  8  x  2
Tangeringspunkten har alltså x  2 .
Motsvarande y-koordinat y (2)  2 2  8  2  12
Linjens ekvation med enpunktsformen:
y  12  4( x  2)  y  12  4 x  8  y  4 x  4
Svar: Tangentens ekvation är y  4 x  4
2.
Bestäm ekvationerna för de tangenter till kurvan y   x 3  2 x 2  1 som är
parallella med linjen x  y  5  0 .
Lösning:
Linjen: x  y  5  0  y  x  5  k  1
Kurvan: y   x 3  2 x 2  1  y   3x 2  4 x
Derivatan ska ha värdet 1  1  3x 2  4 x  3 x 2  4 x  1  0  x 2 
4
1
x 0
3
3
2 1
1
2
4 3
 x 
 x1  1 , x 2 


3 3
3
3
9 9
Tangeringspunkterna är alltså x1  1 y1  y (1)  1  2  1  0
1
1
1 2
22
y2  y( )     1  
och x 2 
3
3
27 9
27
 x
Tangenternas ekvationer med enpunktsformen:
1) y  0  1( x  1)  y  x  1
22
1
9 22
31
 yx
 1( x  )  y  x 

2) y 
27
3
27 27
27
31
Svar: Tangenternas ekvationer är y  x  1 och y  x 
27
3.
x3
 2 x 2 i den punkt där x = 2.
2
(En normal är en linje som är vinkelrät mot tangenten i punkten.)
Bestäm ekvationen normalen till kurvan y 
Lösning:
y
x3
 2x 2
2
2
 y  3x  4x
2
Tangentens riktningskoefficient är ktangent = y ( 2)  3  2  4  2  2
1
Normalen är vinkelrät mot tangenten  knormal =
2
3
2
Tangeringspunktens y-koordinat: y (2) 
 2  4  4
2
1
1
Normalens ekvation med enpunktsformen: y  4  ( x  2)  y  x  1  4
2
2
1
y  x 5
2
1
Svar: Normalens ekvation är y  x  5
2
Tolkningar av derivata. Några övningar.
1.
En kropp som faller har efter t s fallit f(t) meter. Vad betyder det att
a) f (4)  78
b) f ' (4)  40
2.
En kran till en vattentank öppnas. Efter t timmar är vattenvolymen V(t) liter.
a) Vad betyder det att V (0)  400000 och V ' (0)  1400
b) Vad betyder det att V ( 2)  400000 och V ' ( 2)  1200
3.
Kostnaden att tillverka q enheter av en vara är T(q) kr. Vad betyder det att
T(20) = 50000 och T ' (20)  1500
4.
En bil håller hastigheten v(t) m/s. När t =5 dyker ett hinder upp.
Vilket alternativ är bäst? Motivera!
a) v (5)  30 och v (5)  2 b) v(5)  30 och v (5)  2
b) v (5)  15 och v (5)  2 d) v(5)  15 och v (5)  2
Bestämning av max- och minpunkter och kurvritning
1.
Bestäm med hjälp av derivata eventuella max- min- och terrasspunkter till följande
funktioner och rita grafen.
a) f ( x)  x 3  3x 2
c) f ( x)  x 4  4 x 3
2.
b) f ( x )  3x  x 3
Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella max- min- och
terrasspunkter. Bestäm också för uppg a) funktionens största och minsta värde i det
angivna intervallet.
a) f ( x)  3 x 3  9 x intervall 0  x  1
b) f ( x )  2 x 3  9 x 2  12 x
Svar 1a) Maxpunkt i (-2,4), minpunkt i (0,0)
b) Minpunkt i (-1,-2) , maxpunkt i (1,2)
c) Terrasspunkt i (0,0), minpunkt i (3,-27)
2a) inga max- min- eller terrasspunkter, största värde 12, minsta värde 0
b) maxpunkt (-2, -4), minpunkt (-1,-5)