2125 a
cos 60° =
b
1
2
cos 60° =
−60° och 60° är motsatta vinklar.
För motsatta vinklar gäller att
cos(−v) = cos v
1
cos(−60°) = cos 60° =
2
Svar: cos(−60°) =
1
2
1
2
Vinklarna 30° och 60° är komplementvinklar.
För komplementvinklar gäller att
sin(90° − v) = cos v
sin 30° = cos(90° − 30°) = cos 60° =
Svar: sin 30° =
1
2
1
2
”cosinus för en vinkel är sinus för komplementvinkeln”
vilket också kan uttryckas
”co-sinus för en vinkel är sinus för co-vinkeln”
2226 a
b
𝜋 √3
sin =
3
2
π
π
− och är motsatta vinklar.
3
3
För motsatta vinklar gäller att
sin(−v) = −sin v
Vinklarna
𝜋
𝜋
√3
sin (− ) = −sin = −
3
3
2
cos
π
π π π
och − =
3
2 3 6
är komplementvinklar.
För komplementvinklar gäller att
π
cos ( − v) = sin v
2
𝜋
𝜋 √3
= sin =
6
3
2
Svar: cos
𝜋
√3
Svar: sin (− ) = −
3
2
𝜋 √3
=
6
2
2227 a
sin
b
7𝜋
1
=−
6
2
sin
7π
7π
och
är motsatta vinklar.
6
6
För motsatta vinklar gäller att
sin(−v) = −sin v
−
sin (−
7𝜋
1
=−
6
2
sin (−
5𝜋
)=
6
7𝜋
7𝜋
1
1
) = − sin
= − (− ) =
6
6
2
2
𝜋 7𝜋 3 ⋅ 𝜋 7𝜋
4𝜋
2𝜋
−
=
−
=−
=−
2
6
3⋅2
6
6
3
−
5𝜋
7𝜋
5𝜋 7𝜋 2𝜋 𝜋
− (− ) = −
+
=
=
6
6
6
6
6
3
sin (−
5𝜋
)
6
6𝜋 𝜋
1
+ )=−
6
6
2
𝜋
1
sin (𝜋 + ) = −
6
2
sin (
Svar: sin (−
7𝜋
1
)=
6
2
c
Då sinus är periodisk med 2π
subtraherar vi vinkeln med så många
multiplar av 2π att vinkeln hamnar
i intervallet 0 ≤ v < 2π
Prova med en multipel av 2π,
dvs 2π
19π
19π 6 ⋅ 2π
− 2π =
−
=
6
6
6
19π 12π 7π
−
=
6
6
6
sin
19π
7π
1
= sin
=−
6
6
2
Svar: sin
19𝜋
1
=−
6
2
2228 a
Vi vet att sin 30° =
1
2
−30° och 30° är motsatta vinklar.
För motsatta vinklar gäller att
sin(−v) = − sin v
1
VL = sin(−30°) = − sin 30° = − = HL v. s. v
2
b
Vi vet att sin 30° =
2229 a
1
2
Visa att
1
2
VL = sin 330° =
sinus är periodisk med 360°
= sin(330° − 360°) =
Om punkten P har vinklen v och vi adderar
180° till v kommer punkten att speglas i
origo. Vilket innebär att
sin(v + 180°) = − sin v
sin 330° = −
1
= sin(−30°) = − sin 30° = − = HL v. s. v.
2
b
Om punkten P har vinklen v och vi adderar
180° till v kommer punkten att speglas i
origo. Vilket innebär att
cos(v + 180°) = − cos v
2230 a
Visa att
sin(450° − v) = cos v
VL = sin(450° − v) =
då sinus är periodisk med 360°
subtraherar vi 360°
= sin(450° − v − 360°) =
sin(90° − v) =
För komplementvinklar gäller att
sin(90° − v) = cos v
= cos v = HL v. s. v.
b
Visa att
cos(v + 270°) = sin v
VL = cos(v + 270°) =
då cosinus är periodisk med 360°
subtraherar vi 360°
cos(v + 270° − 360°) =
cos(v − 90°) = cos(−(90° − v)) =
då cos(−v) = cos v fås
cos(90° − v) =
för komplementvinklar gäller att
cos(90° − v) = sin v
= sin v = HL v. s. v.
2231 a
Visa att
tan(180° − v) = −tan v
VL = tan(180° − v) =
då tangens är periodisk med 180°
subtraherar vi med 180°
= tan(180° − v − 180°) =
= tan(−v) =
sin v
tan v =
cos v
sin(−v)
=
=
cos(−v)
cos(−v) = cos v
−sin v
=
=
cos v
sin v
−
= − tan v = HL v. s. v.
cos v
b
Visa att
tan(90° − v) =
1
tan v
VL = tan(90° − v) =
sin v
tan v =
cos v
sin(90° − v)
=
=
cos(90° − v)
För komplementvinklar gäller att
sin(90° − v) = cos v
cos(90° − v) = sin v
cos v
=
=
sin v
dividera både täljare och nämnare med cos v
cos v
1
1
= cos v =
=
= HL v. s. v.
sin v
sin v tan v
cos v
cos v
2232 a, b
Börja med att spegla punkten
P = (cos v , sin v)
i linjen y = x
speglingen gör att koordinaterna
byter plats
P′ = (sin v , cos v)
P′ har också koordinaterna
P′ = (cos(90° − v) , sin(90° − v))
P′ = P′ ger
cos(90° − v) = sin v
sin(90° − v) = cos v
v. s. v
