2 NEWTONS LAGAR

Newtons lagar
2
NEWTONS LAGAR
2.1
Inledning
Ordet kinetik används ofta för att beteckna
läran om kroppars rörelse under inflytande av
krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare
område där även kinematiken ingår.
I kinematiken i föregående avsnitt presenterades några metoder att matematiskt
beskriva rörelse. Vi definierade begreppen
hastighet och acceleration, och beskrev dessa
m h a vektorer. De grundläggande begreppen
för kinematiken var tiden, rummet och punkten.
I detta avsnitt skall vi introducera Newtons
lagar och besvara frågor som
• Varför rör sig kroppen som den gör?
• Hur rör sig kroppen när den påverkas av
krafter?
Att förstå Newtons lagar är en ganska lätt
uppgift. Dessa är enkla att skriva upp och
är inte särskilt komplexa. Deras enkelhet är
emellertid skenbar. De kombinerar definitioner, observationer från naturen, delvis intuitiva begrepp, och några antaganden om
rummets och tidens egenskaper.
Newtons lagar är inte självklara. I Aristoteles idevärld, antogs att man behövde en
kraft för att få en kropp i likformig rörelse.
Denna idé accepterades i tusentals år eftersom den ansågs intuitivt korrekt.
Det är viktigt att förstå vilka delar av Newtons lagar som är baserade på experiment och
vilka delar som är definitioner.
2.1.1
Newtons första lag
2–1
För att beskriva rörelse måste vi introducera
ett koordinatsystem, och tröghetslagen kan
även uttryckas m h a begreppet inertialsystem.
• Med ett inertialsystem förstås ett koordinatsystem i vilket en isolerad kropp
(vilken ej påverkas av några krafter) rör
sig med konstant hastighet längs en rät
linje.
Valet av inertialsystem beror på problemet.
Ibland kan ett system fixt i jorden tjäna som
ett inertialsystem. För astronomiska objekt
kan man använda ett system fixt i universums
tyngdpunkt. Ett inertialsystem kan röra sig
med konstant hastighet i förhållande till ett
annat system.
• Det är alltid möjligt att finna koordinatsystem i vilket en isolerad kropp rör sig
längs en rät linje
2.1.2
Newtons andra lag
Antag att vi drar en kropp med ett snöre
längs ett friktionsfritt bord. Kroppen kommer då att accelerera, med konstant acceleration. Om vi ersätter kroppen med en annan
större eller mindre kropp kommer accelerationen att ändras. Accelerationen beror på en
egenskap hos kroppen, vilket vi kallar massa.
m
-S
Om vi antar att den första kroppen har
Newtons första lag kallas även tröghetslagen massan m1 så får vi
och kan formuleras på följande sätt:
m2 = m1 a1 /a2
1. Tröghetslagen En kropp förblir i sitt
tillstånd av vila eller likformig rörelse om För andra kroppar med olika massor får vi
den inte av verkande krafter tvingas att
ändra detta tillstånd.
mk = m1 a1 /ak
Newtons lagar
2–2
Det visar sig experimentellt att a1 /ak blir 3. Reaktionslagen
oberoende av hur vi åstadkommer accelerTvå kroppars ömsesidiga verkningar på
ationen dvs mk /m1 är också lika. Massa
varandra är alltid lika stora och riktade
definierad på detta sätt är alltså en inneåt motsatt håll.
boende egenskap hos den kropp vi accelererar.
Detta innebär att
• Massan hos en kropp är ett mått på motståndet hos kroppen för rörelseändring.
• krafter mellan kroppar uppträder alltid
När vi drar i snöret påverkar vi kroppen med
en kraft och detta leder till en acceleration
a. Accelerationen vilken är följden av flera
krafter är vektorsumman av accelerationerna
producerade av varje enskild kraft separat.
Newtons andra lag, eller accelerationslagen,
uttrycker proportionalitet mellan kraft och
acceleration
2. Accelerationslagen
En kropp som påverkas av kraften F får
en acceleration a sådan att
F = ma
där konstanten m är kroppens (tröga)
massa.
Om kroppen påverkas av flera krafter har vi
ma =
X
i
m ai =
X
Fi = F
i
• Krafter uppstår från växelverkan mellan system eller kroppar. Det är denna
växelverkan vilken är fysikaliskt relevant
och orsakar krafter.
• En isolerad kropp växelverkar inte med
andra kroppar och påverkas inte av några
krafter.
I praktiken avtar växelverkan med avståndet
r mellan kropparna. Gravitationskraften och
Coulombkraften dör ut som 1/r 2 . De flesta
krafter avtar mycket fortare t ex som 1/r 7 .
2.1.3
Newtons tredje lag
Att en kraft är resultatet av växelverkan mellan två system uttrycks explicit i Newtons
tredje lag (reaktionslagen), vilken lyder:
parvis.
• Om en kropp b utövar en kraft F ab på en
kropp a då måste det finnas en kreft F ba
vilken verkar på kropp b från a. Newtons
tredje lag säger att F ba = −F ab .
-
'$
&%
b
a
F ab F ba
En kraft utan en motsvarande motkraft existerar inte. Detta uttrycker egentligen konservering av rörelsemängd. Newtons tredje
lag kan användas för att utröna om en kropp
är isolerad eller inte. Om en kropp accelereras
av en yttre kraft, då måste det finnas en lika
och motriktad kraft på en annan kropp.
Newtons andra lag F = ma gäller endast i ett inertialsystem. Existensen av inertialsystem är ej trivialt. Låt oss betrakta
två olika koordinatsystem och låt r(t) och
r 0 (t) beteckna lägevektorerna till en kropp.
0
z
H
Y
HHHr (t) 6
r(t) HHH z
1
6 y
R(t) x
-y
0
0
x
Då är
r(t) = r0 (t) + R(t)
0
Newtons lagar
2–3
antag att xyz-systemet är ett inertialsystem
Speciellt gäller att för att förstå rörelser i
där Newtons andra lag gäller, dvs
planetsystemet kan jordens yta inte användas
som referenspunkt. Däremot gäller att för
ma(t) = F .
fenomen på jordytan är ett koordinatsystem
Men från sambandet mellan koordinaterna får fixt i jordytan approximativt ett inertialsystem.
vi
a(t) = a0 (t) + A(t)
där A(t) betecknar accelerationen för det pri- 2.2
made systemets origo, dvs
Tillämpningar på Newtons lagar.
ma0 (t) = F − mA(t)
För att lösa problem med användning av
Newtons lagar bör man arbeta enligt följande
Om A(t) = 0 ser vi att även x0 y 0 z 0 är ett
schema.
inertialsystem, dvs ett system vilket rör sig
likformigt m a p ett annat inertialsystem är
1. Frilägg ett system i sina beståndsdelar,
också ett inertialsystem.
dvs behandla varje kropp som ingår i
Ibland vill vi använda ett icke-inertialproblemet för sig.
system. Vi kan då införa fiktivkrafter där
F app = F + F f iktiv
med
F f iktiv = −mA(t)
Fiktiva krafter är användbara i vissa fall, men
måste användas med försiktighet.
Att inertialsystem existerar där Newtons lag håller bevisas av att dessa lagar kan förutsäga planeters banor i solsystemet med hög precision.
Koordinatsystemet i detta fall är Kopernikus system med
solen och stjärnorna som fixa referenspunkter. Framgången med den mekaniska teorin för
planetbanorna är ett av det bästa beviset på
att Newtons lagar är korrekta. Vi säger därför
att systemet med origo i solens centrum är ett
inertialsystem.
Astronomiska tester av mekanikens lagar är
överlägsna laboratorieexperiment. Dels kan
planeternas rörelse fastslås med hög precision,
dels är kraftlagen känd, och dels har planeterna observerats under 4000 år.
Nu vet vi att vår galax roterar kring sitt
centrum. Det innebär att solen är accelererad
m a p galaxcentrat. Denna acceleration är
ca 10−7 av jordens acceleration relativt solen.
Om vi därför är intresserade av rotationen i
vår galax måste vi lägga ett koordinatsystem
i galaxens centrum, vilket då blir ett inertialsystem för denna rörelse.
2. Rita ut alla krafter vilka verkar på de
olika kropparna.
3. Inför ett koordinatsystem, och ställ upp
rörelseekvationerna.
4. Identifiera krafter och motkrafter
5. Inför eventuella tvång och randvillkor.
Enligt Newtons lagar är det endast krafter
vilka verkar på en kropp vilka påverkar dess
rörelse. Krafter från en kropp på andra kroppar påverkar de senares rörelse, men inte
kroppen själv.
Ex 2.3 Tre godsvagnar med massan M dras
med en kraft F av ett tåg. Friktionen är
försumbar. Finn krafterna på varje vagn.
För system vilka består av flera kroppar är accelerationerna ofta relaterade av
tvångsvillkor. Tvångsekvationerna kan ofta
finnas genom inspektion, men ofta måste man
göra ett geometriskt resonemang.
Ex 2.4 Två massor är förbundna med ett
rep över en trissa vilken accelerar uppåt med
accelerationen A. Beräkna accelerationen för
de båda massorna.
Newtons lagar
2.3
Fysikens kraftlagar.
Att förutsäga rörelsen från kända kraftlagar är en viktig del av fysiken och dess
tillämpningar. Det är också väsentligt att
härleda den kraft vilken orsakar en viss
rörelse. Ett exempel är Newtons härledning
av gravitationslagen från Keplers lagar för
planetrörelserna.
Så vitt vi vet finns det endast fyra fundamentalt skilda typer av växelverkan i universum:
• gravitation
• elektromagnetisk växelverkan
• svag växelverkan
• stark växelverkan
Gravitationen och den elektromagnetiska
växelverkan kan verka över långa avstånd
eftersom de avtar som 1/r 2 . Gravitationen
är emellertid alltid attraktiv medans elektriska krafter kan vara både attraktiva och
repulsiva. I stora system tar de elektriska
krafterna ut varandra och endast gravitationen återstår. Av detta skäl dominerar gravitationen den kosmiska skalan i universum.
I motsats till detta är världen i vår
närhet dominerad av elektriska krafter, eftersom de är mycket starkare än gravitationen
på en atomistisk skala. Elektriska krafter
bestämmer atomernas och molekylernas och
mera komplexa systems struktur.
Den svaga och starka växelverkan har
sådan kort räckvidd att de är betydelsefulla
endast på kärnavstånd 10−15 m. De är
försumbara på atomavstånd 10−10 m. Den
starka växelverkan är starkare än den elektromagnetiska växelverkan på kärnavstånd.
Den är det klister vilken binder samman
atomkärnan.
2–4
till mekanikens utveckling.
Denna lag
upptäcktes av Newton år 1666.
Betrakta två partiklar a och b med massor
Ma och Mb på avståndet r från varandra. Låt
F ba vara kraften på b från a och F ab kraften
på a från b, då är F ab = −F ba och
GMa Mb
|F ab | = |F ba | =
r2
där G är gravitationskonstanten
G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2
Gravitationskraften är en centralkraft dvs
riktad längs sammanbindningslinjen mellan
massorna
GMa Mb
F ba = −
r̂ ba ; r̂ba = rba /r
r2
rba = rb − ra ; r = |rba |
Betrakta nu partikel b.
Dess rörelseekvation blir
GMa Mb
GMa
Mb ab = −
r̂ ba ; ab = − 2 r̂ba
2
r
r
dvs accelerationen för partikel b är oberoende
av dess massa. Detta följer av antagandet att
mtrög = mtung
dvs att massan i Newtons andra lag är densamma som i gravitationslagen.
Man kan visa att för kraften från jorden på
en kropp utanför jordytan på avståndet r från
jordens centrum gäller
GMe m
F =−
r̂ ; r > Re
r2
där Me är jordens massa och Re dess radie.
På jordens yta är r = Re och accelerationen
på kroppen blir i detta fall
GMe
a = F /m = − 2 r̂ = −gr̂ = g
Re
där g är tyngdaccelerationen g = 9.8 m/s2.
Tyngdaccelerationen minskar med höjden
över jordytan, och vi har g(r) = GMe /r 2 .
Vi definierar tyngden (weight) av en kropp
nära jordytan som den gravitationskraft
2.3.1 Gravitation, tyngd
vilken utövas av jorden. På jordytan blir
Gravitationen är den mest kända av de funda- tyngden
W = mg
mentala kraftlagarna, och är nära förbunden
Newtons lagar
2.3.2
2–5
Gravitationsfält
Gravitationskraften på partikel b från partikel
a är
GMa Mb
F ba = −
r̂ba
r2
Kvoten F ba /Mb kallas gravitationsfältet från
Ma. Vi har
G=
F ba
Mb
=−
GMa
r̂ba
r2
• viskositet mellan en kropp och en vätska.
Dessa krafter kan nu förklaras via fundamentala egenskaper hos materien.
Ex 2.10 Betrakta ett block med massa M
vilket dras av ett snöre med massa m, med en
kraft F .
Vilken kraft påverkar blocket från snöret?
0
F1 F1
F
m
I allmänhet om gravitationsfältet i en
M
punkt i rummet är G, så blir gravitationskraften på en massa M i den punkten
F = M G. Gravitationsfältet har dimension
Vi börjar med att frilägga blocket och
acceleration, dvs accelerationen på en massa snöret och ritar ut alla krafter på dessa.
M blir M a = M G, eller a = G. På jorden är Rörelsen sker i en dimension. Vi har då Newgravitationsfältet g .
tons ekvationer för blocket och snöret
2.3.3
Elektrostatisk kraft.
- M aM = F1 ;
-
mas = F − F10
Den elektrostatiska kraften F ba på en Eftersom snöret och massan rör sig som en
laddning qb från en laddning qa ges av kropp måste aM = as = a, och från NewCoulombs lag
tons tredje lag gäller F1 = F10 . Vilket ger
accelerationen a = F/(M + m). Detta ger
qa qb
F ba = k 2 r̂ba
F1 = M/(M + m)F ≈ F om m ≈ 0.
r
Vi tänker oss snöret som sammansatt av
Om qa och qb har samma tecken är kraften små sektioner vilka växelverkar via kontaktrepulsiv och om de har olika tecken är kraften krafter. Varje del drar de närliggande deattraktiv.
larna och dras själv av dessa. Storleken
Analogt med gravitationsfältet kan vi på krafterna mellan de olika delarna kallas
definiera det elektriska fältet E som den elek- spänning. Ett rep kan vara under stark
triska kraften på en kropp delat med dess spänning. Om spänningen är likformig så
laddning. Det elektriska fältet i punkten r blir kraften på varje del noll och delen är i
p g a en laddning q i origo är alltså
jämvikt. I allmänhet kan spänningen variera
längs repet, om detta t ex är accelererat.
q
E = k 2 r̂
r
2.3.5 Spänning
och
atomistiska
2.3.4 Kontaktkrafter
krafter
Med kontaktkrafter menar vi krafter vilka
överförs mellan kroppar via kortverkande
atomistiska eller molekylära växelverkningar.
Exempel är
• snörkrafter,
• friktionskrafter vid glidning
Kraften på varje element av repet är i jämvikt
noll. Om spänningen blir för stor kommer
repet att brista. Vi kan kvalitativt förstå
detta genom att betrakta repet från en atomistisk utgångspunkt.
I en idealiserad modell av repet har vi en
endimensionell kedja av molekyler. Antag att
Newtons lagar
2–6
kraften F verkar på molekyl 1 i ena ändan av
repet. Kraftdiagrammet för molekyl 1 och 2
blir
0.2
0.15
0.1
|
|
F • -F
1
0
F0
• -F
2
00
F 00
• -F
000
3
F(r)
0.05
2.3.6
Normal- och friktionskrafter
Kraften från en yta på en kropp i kontakt
med ytan kan delas upp i två komponenter, en
vinkelrät mot ytan och en tangentiell till ytan.
Den vinkelräta kraften kallas normalkraft och
den tangentiella friktionskraft.
Normalkraften har samma ursprung som
spänningen i ett snöre. När vi lägger en kropp
på en yta, t ex ett bord, kommer molekylerna
|
|
0
|
|
−0.05
|
r0
r2
|
|
−0.1
I jämvikt är F = F 0 , F 0 = F 00 dvs F 00 =
F , F 000 = F etc. Vi ser att snöret förmedlar
kraften F . För att förstå hur detta sker,
behöver vi titta på naturen hos de interatomistiska krafterna.
Kvalitativt beror kraften på avståndet r
mellan två atomer eller molekyler. För små
avstånd är kraften repulsiv. Den blir noll
för r = r0 och är attraktiv för r > r0 . För
stora värden på r avtar kraften till noll. Här
är r0 ≈ 3 × 10−10 m. När det inte finns
någon yttre kraft F så ligger molekylerna
på avståndet r0 från varandra. I annat fall
skulle de intermolekylära krafterna leda till
att repet tänjes eller drar ihop sig. När vi
drar i repet till r = r2 blir kraften attraktiv och balanserar precis den yttre kraften
så att den totala kraften på varje molekyl
blir noll. Om snöret vore stelt som en metallstång kunde vi trycka ihop det till r = r1
där kraften blir repulsiv, och åter balanserar
den yttre kraften. Ändringen i längden beror
på lutningen av kurvan i r0 . Den attraktiva
intermolekylära kraften har ett maximum vid
F max . Om den yttre kraften är större än F max
kommer snöret att brista.
|
r1
|
|
−0.15
−0.2
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
r
i kroppen att utöva en nedåtriktad kraft
på molekylerna i bordet.
Molekylerna i
bordet rör sig nedåt tills repulsionen från
molekylerna i lagren nedanför balanserar den
yttre kraften. Normalkraften N är motriktad
till resultanten till alla krafter på ytan.
Friktion uppkommer när ytan av en kropp
rör sig över ytan av en annan kropp. Storleken på friktionen beror på ytans egenskaper
och den relativa hastigheten. Friktionen är
alltid motriktad den rörelse vilken skulle äga
rum om friktionen inte fanns. För många ytor
får man
|F | ≤ f |N |
där N är normalkraften och f är friktionskoefficienten eller friktionstalet. När en kropp
rör sig över en yta är friktionskraften riktad
motsatt den instantana hastigheten och har
storleken f N .
2.3.7
Hookes lag, fjäderkraft
Utsträckningen av en fjäder är proportionell
mot kraften
Fs = −kx
där k är en konstant kallad fjäderkonstanten
och x är fjäderns förlängning från jämviktsläget. Det negativa tecknet innebär att Fs
alltid försöker återställa fjädern till jämvikt.
En kraft vilken uppfyller Hookes lag kallas en
linjärt elastisk kraft. Hookes lag bryter samman vid stora förlängningar av fjädern.
Newtons lagar
2.3.8
2–7
Viskositet
En kropp vilken rör sig genom en vätska eller
en gas bromsas av krafter från viskositeten
hos vätskan. Till skillnad från friktionskrafter
har viskösa krafter ett enkelt hastighetsberoende och är proportionella mot kroppens
hastighet.
Viskositet uppstår eftersom en kropp vilken
rör sig i ett medium påverkar detta med
krafter vilka försöker motverka rörelsen. Från
Newtons tredje lag utövar vätskan en reaktionskraft på kroppen.
Vi kan skriva den viskösa kraften som
F v = −C v
där C är en konstant vilken beror på vätskan
och kroppens form. Rörelseekvationen blir
m
Nu är
dv
= −C v
dt
dv
dv̂
dv
v̂ + v
=
dt
dt
dt
eller
m
dv
dv̂
dv
v̂ + mv
=
= −Cvv̂
dt
dt
dt
Eftersom v̂ är en enhetsvektor är v̂˙ vinkelrät
mot v̂ , dvs
dv
m
= −Cv
dt
vilket ger lösningen
v(t) = v0 e−(C/m)t

2 NEWTONS LAGAR

Related documents

Products

Support

2 NEWTONS LAGAR

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib