Om Luftmotståndet Kandidatexamensarbete i Mekanik

Om Luftmotståndet
Kandidatexamensarbete i Mekanik vid KTH
John Samuelson
Fabian Sardh
[email protected]
[email protected]
Handledare: Gunnar Maxe och Hanno Essén
16 ma j 2012
2
The history of the mathematical investigation of the path described by a projectile in a resisting medium... is somewhat curious
- Francis Bashworth,
(1873)
A Mathematical Treatise on the Motion of Projectiles
Innehåll
Bakgrund
6
Resultat
7
Introduktion till luftmotståndet
8
Härledning av standardmotståndet
8
Beskrivning av pro jektilbanan med standardmotståndet
10
Luftmotståndets verkan vid praktisk tillämpning
15
Optimala vinkeln
18
Godtyckligt fartberoende n
18
n = 2
21
Kastlängdens beroende av projektilmassan
24
Given utgångsfart
25
Given utgångsrörelsemängd
26
Given kinetisk utgångsenergi
27
Appendix
30
Luftmotståndets verkan vid praktisk tillämpning
Härledning av
ds
ρ = − dθ
30
32
4
L=
v02
g
sin (2θ0 ), T =
2v0
g
sin(θ0 )
och
y(t) = v0 sin(θ0 )t − 21 gt2
33
Optimal utgångsvinkel för normalt till starkt motstånd
34
Optimal vinkel för starkt motstånd
35
Kastparabler för olika massor
37
Kastlängd som funktion av massa vid given utgångsrörelsemängd 38
Kastlängd som funktion av massan vid given utgångsenergi
40
Bakgrund
I detta arbete utreder vi luftmotståndets inverkan på en partikel som är så
liten/har den geometriska formen att strömningsmekaniska fenomen kan bortses
ifrån. Ett övergripande mål är att läsaren efter att ha tagit sig igenom denna
uppsats skall inse att luftmotstånd
inte
är försumbart, i motsats till vad många
läroböcker i mekanik och fysik vill ge intryck av.
Vi börjar med att härleda det vi kallar för standardmotståndet, dvs det luftmotstånd som är riktat omvänt mot hastighetsvektorn och proportionellt mot farten
i kvadrat. Efter det beräknar vi kastbanan för en partikel där luftmotståndet är
inräknat. Utifrån det löser vi sedan ett räkneexempel där vi jämför kastbanan
med den som erhålls om man försummar luftmotståndet. Därefter diskuteras
optimala utgångsvinkeln för kast med olika typer av motstånd och styrka med
extra fokus på standardmotståndet. Sist utreder vi hur partikelns massa påverkar räckvidden vid kast/uppskjutning med given utgångsfart, rörelsemängd
samt kinetisk energi.
6
Resultat
Tidigt i arbetet insågs att luftmotstånd inte är försumbart utan kommer ha
en högst påtaglig inverkan på projektilbanan för en partikel som skär genom
luften. Det hör till allmänbildningen att den optimala utgångsvinkeln är
45o ,
vilket vi kan bekräfta stämmer för standardmotståndet med realistisk styrka.
Detta stämmer dock inte för väldigt starkt motstånd eller andra fartberoenden,
största optimala utgångsvinkeln är
47o
och sjunker sedan hyfsat linjärt med
ökande motstånd. Till vår stora förvåning fann vi att för mycket små massor
ökar kastlängden vid given utgångsrörelsemängd och utgångsenergi med massan,
men sjunker sedan efter en viss massa
mcrit . Alltså nns en optimal massa mcrit
om man vill ha så lång räckvidd som möjligt vid uppskjutning av projektiler
där utgångsrörelsemängden eller utgångsenergin är given, vilket är fallet för de
esta avfyrningsanordningar.
7
Introduktion till luftmotståndet
Härledning av standardmotståndet
Den vanligaste typen av luftmotstånd modelleras bäst som motriktad hastighetsvektorn och proportionell mot
v2 .
Vi kommer i fortsättningen kalla denna
typ av motstånd för standardmotståndet. Vi kommer senare i delen om optimala utgångsvinkeln även diskutera andra typer av motstånd där luftmotståndet
är proportionellt mot
vn
för godtyckligt
motståndet är proportionellt mot
n.
Vi ska nu härledda varför standard-
v2 .
Vi tänker oss en projektil som färdas genom luften. Om man utesluter strömningsmekaniska fenomen uppstår en kraft på partikeln pga. de luftmolekyler
som partikeln krockar med under färden. Om luften är homogen kommer denna
kraft verka tangentiellt motsatt rörelseriktningen, eftersom stötarna med luftmolekyler kommer ta ut varandra i alla andra riktningar. Vi har alltså att
Fd = −Fd et ,
där
et
utgör tangentialvektorn. För att beräkna
Fd
tänker vi oss att projektilen
är stilla och lufter rör sig mot bollen. Eftersom luften är homogen har vi att
m = ρV = ρAL,
ρ är densiteten, A tvärsnittssarean mot rörelseriktningen och vi låter L = ds
ds är sträckan luften rör sig under en innitessmal tid dt. Under tiden dt
kommer då ρAds luft hunnit krocka med vår projektil och dess rörelsemängd
där
där
kommer att ha ändrats,
dp = αρAdsv,
där
och
α är en konstant
v luftens fart.
⇒
i intervallet
1<α<2
som beror på stötarnas elasticitet
αρAdsv
ds
dp
=
== αρAv
= αρAv 2 .
dt
dt
dt
ρ och A är materialkonstanter som beror på partikeln och luften ifråga så vi kan
klumpa ihop konstanterna som αρA = k . Vi har alltså
dp
= kv 2 .
dt
Via newtons andra lag
F = ṗ ⇔ Fd =
dp
dt får vi slutligen
8
Fd =
dp
= kv 2
dt
⇒ Fd = −Fd et = −kv 2 et .
Vår formel är härledd.
9
Beskrivning av projektilbanan med standardmotståndet
En projektil med massa
m,
utgångsfart
v0
och utgångsvinkel
θ0
mot horison-
talplanet, påverkas under sin luftfärd av två krafter; gravitationskraften och
luftmotståndet. Som förra avsnittet visade är detta luftmotstånd ständigt riktat motsatt projektilens rörelseriktning, förutsatt att det inte blåser, och är
proportionellt mot farten i kvadrat. Så om vi uttrycker luftmotståndet som
där
v
är farten och
k
kv 2 ,
luftmotståndskoecienten, och gravitationskomponenten
mg sin(θ),
längs med projektilbanan som
et : m
får vi
dv
= −mg sin(θ) − kv 2 .
dt
(1)
Gravitationskraften har dock ytterligare en komponent, dess normalkomponent,
mot projektilbanan
en .
Eftersom den verkar vinkelrätt mot rörelseriktningen
utgör den en centripetalkraft med radien
där
ρ = ρ(t),
ρ
som motsvarar projektilens rörelse
eftersom denna radie är föränderlig längs projektilbanan,
en :
Där vi kan skriva
ρ
mv 2
= mg cos(θ).
ρ
som (se appendix)
ρ=−
Låt längden av projektilbanan vid tiden
ρ=−
Vi utnyttjar detta i
(2)
ds
.
dθ
t
vara
s(t).
Kedjeregeln ger
ds dt
dt
·
= −v .
dt dθ
dθ
(2),
v2
v
dθ
= − dt = −v
= g cos(θ),
dt
dt
−v dθ
dθ
vilket i sin tur ger
dt = −
Detta insatt i
(1)
v
dθ.
g cos(θ)
ger
10
m dv
= −mg sin(θ) − kv 2
v
− g cos(θ)
dθ
⇔
dv
sin(θ)
k
v3
=v
+
·
dθ
cos (θ) mg cos(θ)
dv cos(θ) − v sin(θ)dθ =
Observera nu att dierentialen av
v cos(θ)
k 3
v dθ.
mg
(3)
är
d [v cos(θ)] = dv cos(θ) + vd [cos(θ)] = dv cos(θ) − v sin(θ) dθ,
så vi kan skriva om
(3)
som
d [v cos(θ)] =
k 3
v dθ
mg
k 3
d [v cos(θ)]
mg v dθ
=
v 3 cos3 (θ)
v 3 cos3 (θ)
d [v cos(θ)]
3
[v cos(θ)]
=
k
dθ
·
.
mg cos3 (θ)
(4)
Detta uttryck är integrerbart eftersom VL är ekvivalent med
v cos(θ),
dx
x3 , där
x =
och kan då integreras som
Integration av båda leden i
(4)
1
dx
= − 2 + C.
3
x
2x
med
dθ
cos3 (θ)
=
1/2 sin(θ)
cos2 (θ)
+ 1/2 ln tan
π
4
+
θ
2
ger
−1/2
2
[v cos(θ)]
=
k
mg
π θ
1/2 ln tan
+
+
− 1/2C
cos2 (θ)
4
2
1/2 sin(θ)
k tan(θ)
2 = − mg cos(θ) + ln tan
[v cos(θ)]
1
Med
11
π
2
+θ
2
+ C.
(5)
π
tan
2
+θ
2
1 − cos( π2 ) cos(θ) − sin( π2 ) sin(θ)
1 − cos( π2 + θ)
1 + sin(θ)
=
=
=
π
π
π
sin( 2 + θ)
sin( 2 ) cos(θ) + cos( 2 ) sin(θ)
cos(θ)
= sec(θ) + tan(θ)
kan vi skriva om
(5);
1
=−
2
[v cos(θ)]
Eftersom vi har att
stanten
k
[tan(θ) sec(θ) + ln {sec(θ) + tan(θ)}] + C.
mg
v = v0
när
θ = θ0
(6)
kan vi även bestämma integrationskon-
C,
C=
v02
1
k
+
[tan(θ0 ) sec(θ0 ) + ln {sec(θ0 ) + tan(θ0 )}]
2
cos (θ0 ) mg
Om vi nu sätter in detta i
(6) och förenklar får vi farten som funktion av vinkeln,
v(θ) = rh
h
sec(θ)
sec(θ0 )
v0
i2
+
k
mg
tan(θ0 ) sec(θ0 ) − tan(θ) sec(θ) + ln
n
sec(θ0 )+tan(θ0 )
sec(θ)+tan(θ)
Med detta uttryck kan vi bestämma projektilens bana i termer av
y(θ) och t = t(θ), vilket vi senare kan använda för att
y(x) eller y = y(t). Vi utnyttjar återigen kedjeregeln;
oi .
x = x(θ), y =
y=
numeriskt beräkna
dx
dx ds
=
· .
dθ
ds dθ
Partikelbanans geometri med derivatorna
ds
och
dx
ger oss även att
dx
dx
v2
= −ρ
= −ρ cos(θ) = − ,
dθ
ds
g
där det sista steget kommer ifrån ekv
(2).
Vi har även att
dy
dy ds
dy
=
·
= −ρ
= −ρ sin(θ) = −ρ cos(θ) tan(θ),
dθ
ds dθ
ds
eller
12
(7)
dy
v2
= − tan(θ),
dθ
g
(8)
och ett sista samband;
v2
dt
dt ds
dt
1
ρ cos(θ)
v
g
=
·
= −ρ
= −ρ = −
=−
= − sec(θ).
dθ
ds dθ
ds
v
v cos(θ)
v cos(θ)
g
(9)
De nödvändiga ekvationerna(7)−(9) gör att projektilbanan kan beskrivas i form
x(θ), y(θ)
t(θ).
av
och
t(θ).
(7) − (9)
Integration av
x(θ) = −
y(θ) = −
1
g
t(θ) = −
1
g
ger oss slutligen
x(θ), y(θ)
och
θ
v 2 (u) du
θ0
θ
v 2 (u) tan(u) du
θ0
1
g
θ
v(u) sec(u) du
θ0
Med hjälp av dessa samband bestämmer vi senare hur långt, hur högt och hur
länge partikeln färdas i luften. Ovanstående uttryck kan även användas för att
beräkna båglängden
s(φ),
ρ=
φ
⇒ s(φ) = −
θ0
1
=−
g
1
ρ dθ = −
g
φ
θ0
h
sec(θ0 )
v0
i2
+
k
mg
φ
θ0
−
=
1−
v 2 (u)
1
du = −
cos(u)
g
φ
v 2 (u) sec(u) du
θ0
sec3 (θ)
h
n
oi dθ
0 )+tan(θ0 )
tan(θ0 ) sec(θ0 ) − tan(θ) sec(θ) + ln sec(θ
sec(θ)+tan(θ)
φ
θ0
ds
v2
=−
g cos(θ)
dθ
kv02 cos2 (θ0 )
mg
v02 cos2 (θ0 )
g cos3 (θ)
h n
o
sec(θ)+tan(θ)
ln sec(θ
+
0 )+tan(θ0 )
sin(θ)
cos2 (θ)
−
sin(θ0 )
cos2 (θ0 )
i dθ.
Denna integral kan (smått otroligt) beräknas exakt relativt lätt. Kalla nämnaren
f (θ),
13
sec(θ) + tan(θ)
sin(θ)
sin(θ0 )
kv02 cos2 (θ0 )
ln
+
−
f (θ) = 1 −
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (θ) cos2 (θ0 )
⇒
⇔−
df (θ)
2kv02 cos2 (θ0 )
=−
dθ
mg cos3 (θ)
m
v02 cos2 (θ0 )
dθ =
df (θ).
mg cos3 (θ)
2k
Detta gör att vi nu kan skriva om uttrycket för
s(φ) =
m
2k
φ
θ0
s(φ)
som
df (θ)
m
m
=
(ln {f (θ)}) |θ=φ
[ln {f (φ)} − ln {f (θ0 )}] .
θ=θ0 =
f (θ)
2k
2k
1
1 Paul
J. Nahin,
Mrs. Perkins's Electric Quilt
14
, 2009, p. 121-135
Luftmotståndets verkan vid praktisk tillämpning
För att illustrera luftmotståndets inverkan på en partikel, i detta fall en golfboll,
skall vi först räkna på ett fall där vi försummar luftmotståndets inverkan. Låt
oss säga att en golfspelare gör ett utslag från tee. Antag att bollen lämnar tee
och landar på green utan höjdskillnad. Det är relativt enkelt att beräkna hur
långt golfbollen färdas, hur lång tid den benner sig i luften, och hur högt över
marken den når. Vi beräknar dessa parametrar på en symmetrisk partikelbana
i vakuum. Detta innebär att golfbollens utgångsfart är densamma som den fart
den slår ned på green med. Eftersom partikelbanan är symmetrisk kommer
nedslagsvinkeln mot horisontalplanet vara den negativa utgångsvinkeln.
Den högst uppmätta hastigheten för en golfboll är
328
km/h.2 Låt oss beräkna
hur långt, hur högt och hur länge denna rekordboll kan tänkas ha färdats om
dess utgångsvinkel antas vara
60o .
Naturligtvis kommer denna maxfart vara i
utgångsläget eftersom kinetiska energin då är som störst innan luftmotståndet
hunnit inverka eller gravitationen omvandlat en del till potentiell energi, så
328
km/h. Låt
L
T
sin (2θ0 ), T =
vara kastlängden och
appendix) visar att
L=
v02
g
v0 =
tiden i luften. En enkel beräkning (se
2v0
g
sin(θ0 ) och y(t) = v0 sin(θ0 )t− 21 gt2
i vakuum,
L=
v02
(328/3,6)2
sin(2θ0 ) =
sin(120o ) = 732.1
g
9, 82
T =
m
2 · 328/3,6
2v0
sin(θ0 ) =
sin(60o ) = 16.1 s.
g
9, 82
Eftersom vi beräknar en symmetrisk projektilbana i vakuum kommer denna
golfboll nå sin maximala höjd över markytan då
H = y|t=T/2 = v0
t=
T
2,
1 T2
v2
v2
v2
T
sin(θ0 ) − g
= 0 sin2 (θ0 ) − 0 sin2 (θ0 ) = 0 sin2 (θ0 )
2
2 4
g
2g
2g
H=
v02
(328/3,6)2
sin2 (θ0 ) =
sin2 (60o ) = 317
2g
2 · 9, 82
m
Innan vi gör om samma beräkningar med luftmotstånd inräknat kan vi reektera
lite över resultatet. Bollen färdas alltså
732
m och även om detta var ett rekord
så är en typisk utgångshastighet för en golfboll vid ett driverslag
∼ 270 km/h, vil-
ket innebär att de esta golfbanor har för korta hål, ett vanligt golfhål överstiger
sällan 600 meter och då är tanken inte att man ska nå green direkt. Beräkningarna med luftmotståndet kan därför väntas ge ett mycket annorlunda resultat.
2 http://en.wikipedia.org/wiki/Golf
15
Partikelbana
Vakuum
med luftmotstånd
Kastlängd i horsontell riktning [m]
732.1
314.7
Maxhöjd över utgångspunkt [m]
317
184.7
Tid i luften [s]
16.1
12.1
Figur 1: Banan för golfbollen i vakuum samt med luftmotstånd.
Innan vi kan göra dessa beräkningar behöver vi dock veta lite mer om bollen
i fråga. En godkänd golfboll får ej överstiga45, 93 gram, dess k-värde sätts till
k = 10−4
kgs2/m2 samt utgångsvinkeln och utgångsfarten som tidigare θ = 60o
0
respektive v0 =328 km/h. I gur 1 har vi golfbollens bana i vakuum respektive i
luft med huvudvärderna kastlängd, maxhöjd och tid i luft.
Som vi ser är det en påtaglig skillnad mellan banorna i vakuum och i luft.
57% då man tar med verkan från luftmotstånd och
42%. Tiden i luften påverkas dock mindre och minskar
Kastlängden reduceras med
maxhöjden reduceras med
med
25%.
Detta eftersom luftmotståndet trycker partikeln nedåt på vägen upp,
och minskar därmed tiden i luften, men verkar uppåt på vägen ned och ökar då
tiden i luften. Den dämpande eekten på vägen upp är dock dominerande då
farten i x-led,
ẋ,
är större under uppgången än nedgången varför farten och då
även motståndet blir större under uppgången.
Vi avslutar detta avsnitt med att beräkna partikelns tillryggalagda sträcka från
utgångspunkten till zenit, dvs
s(0). Denna analys är intressant ur två avseenden
- dels kan vi jämföra denna med motsvarande båglängd i vakuum, dels kan vi
räkna ut detta exakt mha. uttrycket för
s(θ)
vi härledde i förra avsnittet och
jämföra resultatet med det värde vi får ur en numerisk beräkning. På så vis får
vi även en uppfattning om precisionen i de numeriska algoritmer vi använder.
16
Som tidigare härlett gäller att
s(φ) =
S
S = s(0),
Låt nu
m
[ln {f (φ)} − ln {f (θ0 )}] .
2k
beteckna den tillryggalagda sträckan från uppskjutet till zenit, dvs.
S = s(0) =
m
[ln {f (0)} − ln {f (θ0 )}] .
2k
Eftersom
sin(θ0 )
kv02 cos2 (θ0 )
sec(θ) + tan(θ)
sin(θ)
f (θ) = 1 −
−
ln
+
,
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (θ) cos2 (θ0 )
har vi att
f (θ0 ) = 1 −
sin(θ0 )
kv02 cos2 (θ0 )
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
sin(θ0 )
−
ln
+
= 1,
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (θ0 ) cos2 (θ0 )
och
f (0) = 1 −
sec(0) + tan(0)
sin(0)
sin(θ0 )
kv02 cos2 (θ0 )
ln
+
−
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (0) cos2 (θ0 )
kv02 cos2 (θ0 )
1
sin(θ0 )
=1−
ln
−
.
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (θ0 )
Alltså blir
S,
kv02 cos2 (θ0 )
1
sin(θ0 )
m
ln 1 −
ln
−
S=
2k
mg
sec(θ0 ) + tan(θ0 )
cos2 (θ0 )
√
m
kv02
1
√
= {θ0 = 60 } =
−2 3
= 267.1089 m ≈ 267.1 m.
ln 1 −
ln
2k
4mg
2+ 3
o
267.1 m. När vi räknar ut detta
267.0218 ≈ 267.0 m. Vid kast i vakuum får vi med matlabs
quad 485.1 m. Den numeriska båglängden avviker 0.1 m från den riktiga, alltså
mindre än 0.04%.
Den analytiskt beräknade båglängden blir alltså
värde numeriskt får vi
17
Optimala vinkeln
Godtyckligt fartberoende n
En klassisk fråga inom kastteori är vilken den optimala utgångsvinkeln är om
man strävar efter att kasta så långt som möjligt. Denna vinkel kommer härefter
θopt . Utan hänsyn till luftmotstånd är
45o . Med luftmotstånd inblandat blir dock problemet ett helt annat, vilket
att benämnas som den optimala vinkeln
svaret
utreds i detta avsnitt. Vi har härlett att luftmotstånd i allmänhet är proportionellt mot farten i kvadrat. Det är dock ur matematisk synvinkel intressant att
undersöka även andra fartberoenden, dvs då luftmotståndet är proportionellt
mot
vn
för godtyckligt
n,
även om dessa inte har någon riktig teoretisk motive-
ring. För stora och långsamma kroppar är dock linjärt beroende, dvs
3 Låt
k
hygglig empirisk approximation.
m
n = 1,
en
vara proportionalitetskonstanten, och
partikelns massa. Då gäller
n−1
v − mgy
m dv
dt = −kv
(10)
k n−1
v
v − gy.
m
(11)
⇔
dv
dt
=−
tg
v
v0 och hastigheten som u = v0 . Notera att
både tiden och hastigheten nu är dimensionslösa. Ekv (11) övergår då till
Låt oss nu skala om tiden som
T =
du
dT
där
λ=
= −λun−1 u − y
kv0n
mg .
Denna dierentialekvation löses i allmänhet numeriskt, men i fallet för svagt
motstånd, dvs. lågt värde på parametern
λ, är en analytisk lösning möjlig. Den-
na uträkning är dock extremt komplicerad och har därför uteslutits, se referens
4. Man kommer fram till att avvikelsen från
mot
λ.
45o , δθ = θopt − π/4, är proportionell
n. Resultatet ser vi i gur 2.
Vi plottar därför δθ/λ mot fartberoende
Som framgår av gur 2 är optimala vinkeln mindre än
annars större. För standardluftmotståndet
något mindre än
45o
n = 2
45o
vid
n < 3.4 = ncrit ,
är alltså optimala vinkeln
för svagt motstånd. Innan vi fortsätter ska vi se på kast-
parabeln för lite olika värden på
n
och
λ
vid utgångsvinkeln
φ0 = 30o ,
se gur
3.
Ur den numeriska analysen är det två särskilt intressanta observationer vi vill
lyfta fram. Den första observationen är att för
motstånd
3 H.
(λ > 1)
Essén,
n < ncrit
och ganska starkt
blir nedgången från höjdpunkten väldigt mycket brantare
Basic Mechanics - the science and its applications, 1993, s. 93-95
18
n. På y-axeln avvikelse från
δθ, delat på den dimensionslösa motståndskoecienten λ (i guren uttryckt
som k ), som är proportionell mot avvikelsen för svagt motstånd.
Figur 2: Optimal vinkel i radianer som funktion av
π/4,
φ0 = 30o och motståndsparametrar
(n, λ) = (0.5, 3.3), (2, 10), (8, 600), (15, 10000). λ är i guren kallad för k .
Figur 3: Kastparablar för utgångsvinkeln
19
1
2 och
λ = 3.3 sker ∼ 85% av föryttningen i xn = 2, λ = 10 är motsvarande sira ∼ 66%. Den
o
att största optimala utgångsvinkeln är ∼ 47 , men för n < ncrit där
o
vinkeln var mindre än 45 kunde vinkeln bli ganska mycket mindre.
än uppgången, t.ex. för
n=
led innan höjdpunkten. För
andra är
optimala
Detta kommer vi att undersöka närmre i nästa avsnitt.
4 R.Prince
45o ,
4
& Romano, Aim high and go far - optimal projectile launch angles greater than
Am. J. Phys.
66 (2) 1998
20
Figur 4: Optimal utgångsvinkel i grader mot motståndskoecienten
dardmotstånd
k
för stan-
n = 2.
n = 2
Vi vill lägga lite extra tid på standardmotståndet
n = 2. I gur 4 har vi optimala
k.
utgångsvinkeln plottad mot motståndskoecienten
45o (±0.1) för normalt motstånd
−2
(∼k ∈ (10
, 10−1 )) börja sjunka.
Som vi ser ligger optimal utgångsvinkel kring
(∼k
−5
∈ (10
, 10
−2
)) för att sedan vid starkt
Vi ser små oregelbundenheter i lutningen i guren till vänster som beror av den
felmarginal som hör ihop med numeriska metoder (Eulers metod), vid förbättrad
precision blir kurvan allt slätare.
Vid mycket starkt motstånd, då motståndskoecienten går upp mot
k ∈ (10−1 , 100 )
(guren till höger), ser vi att optimala utgångsvinkeln sjunker rejält och går mot
37o
för
k > 1.
Sammanfattningsvis kan vi alltså konstatera att vid litet luftmotstånd ligger
optimala vinkeln runt
45o
motstånd. För
n < ncrit
n > ncrit kommer
47o för starkt
o
och går mot 37 inom
för samtliga fartberoenden. För
optimala vinkeln ligga en liten bit över
45o
till ett maxvärde av
sjunker optimala vinkeln rejält
fysikaliskt rimliga gränser för motståndskoecienten. För att se detta som mer
än bara resultatet av en numerisk analys ska vi försöka tolka fysikaliskt. Vår första observation kan förklaras i och med att för stora
n är luftmotståndet extremt
starkt i början men avtar sedan n-kvadratiskt med sjunkande fart, om farten
t.ex. minskar med
10%
så minskar luftmotståndet med en faktor
0.9n .
Detta
gör att luftmotståndet snabbt blir försumbart i jämförelse med gravitationen
och projektilbanan blir lik den i vakuum. Alltså ligger eekten av luftmotståndet för stora
n
gömd i början av banan. För små
n,
säg
n < ncrit ,
verkar
däremot luftmotståndet mer kontinuerligt under hela färden och man får den
assymmetriska banan med den branta nedfarten vi kunde observera tidigare
.
> 45o för stora n, ty om vi säger
att luftmotståndet verkar från v0 till vtrans där vtrans (n) är den fart som är så
liten att luftmotståndet kan försummas för givet n så kommer vinkeln φ att ha
Detta förklarar även att optimala vinkeln är
21
tyngts ned
δφG .
Detta pga. gravitationen vid den tidpunkt då
v = vtrans .
Efter
denna tidpunkt blir kastbanan lik den utan luftmotstånd, där optimala utgångsvinkeln är
h,
45o − δφh ,
där
δφh
kommer av att utgångspunkten här är på höjden
och då blir optimala vinkeln lite mindre än
45o ,
nämligen
2
,
δφh = 12 gh/vtrans
vi härleder detta senare i samma avsnitt. Men samtidigt har vinkeln böjts ned
δφG
pga. gravitationen, så vår optimala vinkel är
nu vilken som är störst av
δφG
δφh .
δφG =
och
τ
Låt
45o + δφG − δφh .
Frågan är
vara tiden det tar för projekti-
√ gτ
, eftersom y-komponenten av
2vtrans
hastighetsvektorn kommer att ha ändrats gτ . Alltså är
len att gå in i
vtrans ,
då kommer
δφh
=
δφG
Låt
a
=√
h
.
2τ vtrans
beteckna medelaccelerationen. Eftersom det rör sig om ett kort tidsinter-
h
vall kan
skrivas som
1
2
2 aτ
⇒
Där
gh
2
2vtrans
√ gτ
2vtrans
aτ
sin (45o ) =
2
aτ
√
2 2
δφh
aτ 2
aτ
=
=
δφG
4τ vtrans
4vtrans
ju är den ungefärliga skillnaden mellan
v0
och
vtrans ,
dvs den fart par-
tikeln förlorat under motståndsfasen. För svagt motstånd är
aτ v0 ≈ vtrans
v0 ≈ vtrans
och
så
δφh
aτ
vtrans
1
=
= ⇒ δφh δφG ,
δφG
4vtrans
4vtrans
4
vilket betyder att optimala vinkeln är
> 45o .
Detta går i linje med observerade
n > ncrit och litet λ fås optimal vinkel > 45o . För n > ncrit , λ stort
δφh
41 ⇒ δφh δφG , och den optimala vinkeln < 45o .
v0 och δφ
G
resultat, för
är
vtrans
2
. Vi påstod att optimala
δφh = 12 gh/vtrans
vinkeln φ0 = 45 −δφh vid kast i vakuum från höjden h. Detta skall nu härledas.
Låt oss nu återgå till frågan varför
o
Matematiskt blir problemet


ma = −mgey
r(0) = (0, h)

v(0) = v ( √1 , √1 )
0
2
2
Uppdelning i ortogonalitetsvektorer
ex
och
ey
ger med integration och begyn-
nelsedata
(
x(t) = cos(φ0 )v0 t
y(t) = − 12 gt2 + sin(φ0 )v0 t + h
22
Vi söker nu tiden för nedslaget
y(t0 ) = 0 ⇔
2v0
t20 −
t0 ;
sin(φ0 )
2h
v0 sin(φ0 )
t0 −
= 0 ⇒ t0 =
±
g
g
g
⇒ x(t0 (φ0 )) = v0 cos(φ0 )
där
x(t0 (φ0 ))
v0 sin(φ0 )
+
g
s
s
(v0 sin(φ0 ))2
2h
+
2
g
g
2h
(v0 sin(φ0 ))2
+
2
g
g
!
,
alltså är kastlängden. Vi söker nu maxvärdet för detta map..
∂x
= −v0 sin(φ0 )
∂φ0
+v0 cos(φ0 )
v0 sin(φ0 ) +
φ0 ,
!
p
v02 sin(φ0 )2 + 2hg
+
g
v 2 cos(φ0 ) sin(φ0 )
v0 cos(φ0 )
+ p0 2
g
g v0 sin(φ0 )2 + 2hg
!
= 0,
vilket ger


s
1
.
φ0 = arcsin  1
hg
+
2
2v 2
0
Antar vi nu att höjden är liten i förhållande till kastet i övrigt så gäller
v02
g
⇔
hg
v02
h
1. MacLaurin-utveckla map.. hg
,
v02
φ0 = f (0) + f 0 (0)
En enkel kalkyl visar att
φ0 = arcsin
1
√
2
f (0) = arcsin
hg
+ O(gh/v0 )2 .
v02
√1
2
och
1
− gh/v02 + O(gh/v0 )2 ≈
2
Vilket betyder att optimala vinkeln är
liten relativt totala kastbanan,
h
v02
f 0 (0) = − 12
hg
1
v02
∼ 45o − 21 gh/v02
g .
23
så vi får att
1
≈ 45o − gh/v0
2
då utgångshöjden är
Kastlängdens beroende av
projektilmassan
Vi har nu undersökt hur optimala utgångsvinkeln beror på luftmotståndskoecienten och luftmotståndets fartberoende. Vi lade speciell vikt vid fallet
n=2
vilket är standardmotståndet. En intressant fråga som kvarstår är vid givet
motstånd, utgångsvinkel och utgångsfart, hur kommer kastlängden
L
bero på
projektilens massa?
Innan vi börjar, rent spontant, så borde större massa betyda längre kastlängd
vid en given utgångsfart. Men vid en given rörelsemängd känns det inte lika
självklart längre, ej heller vid en given utgångsenergi. Dessa frågor ska vi söka
svar på i denna sektion. Vi antar en utgångsfart
v0
och plottar kastlängden som
funktion av massan. Vi gör sedan samma sak för en given utgångsrörelsemängd
p0
och sist för en given kinetisk utgångsenergi
E0 .
Projektilens rörelseekvation;
dv
dt
=−
k
vv − gy.
m
(12)
Denna ekvation är ekvivalent med
ẍex + ÿey = −
Av ortogonaliteten i
ex
och
(
ey
kp 2
ẋ + ẏ 2 (ẋex + ẏey ) − gey .
m
(13)
kan denna ekvation delas upp som
p
k
ẍ = − m
ẋ2 + ẏ 2 ẋ
p
k
ÿ = − m
ẋ2 + ẏ 2 ẏ − g
(14)
Detta bildar ett autonomt, icke linjärt, andra ordningens dierentialekvationssystem i två dimensioner, vilket löses enklast med Eulers metod (eller den ex-
5
trapolerade RK4) , med begynnelsevillkoren


x (0) = y (0) = 0
ẋ (0) = v0 cos (φ0 )


ẏ (0) = v0 sin(φ0 )
Vi har med andra ord tre parametrar som skall ges rimliga värden:
k
där vi låter variera
5 Boyce
& DiPrima,
(15)
v0 , φ0
och
m.
Elementary Dierential Equations and Boundary Value Problems,
2010, s. 16-26
24
Figur 5: Kastparablar för olika massor med samma utgångsfart och luftmotstånd.
Efter diskussionen i förra avsnittet kan vi med gott samvete sätta
vi låter
−3
k = 10
φ0 = 45o och
. Notera att vi även här kunde skala om tids- och hastighets-
variabeln som vi gjorde i förra sektionen, vi avstår dock från det här eftersom
vi här är intresserade av tidsantiderivatan av
v.
Given utgångsfart
I gur 5 visas kastparabeln för
m = 0.005, 0.05, 0.5, 5
och
v0 = 10 m/s.
Som vi ser betyder större massa att vi kommer längre med given utgångsfart.
Den matematiska förklaringen till detta nns i ekv
cienten är
k/m
(12)
där motståndskoe-
och alltså omvänt proportionell mot massan vilket betyder att
större massa genererar mindre motstånd, vilket givetvis ger längre kast om begynnelsevärdena
(15)
är likadana, vilket de är vid given utgångshastighet. Det
inses lätt att i vakuum blir alla banor identiska eftersom
försvinner
m
k =0
i
(12)
och då
helt och hållet ur problemet. Den fysikaliska förklaringen bakom
detta fenomen är att vid given utgångsfart blir
(15)
lika för alla så utgången
för samtliga partiklar är identisk och skillnaden ligger bara i hur partiklarna
påverkas i färden. Då kommer de med större massa (vid given form, alltså högre
densitet) påverkas mindre av luftmotståndet eftersom de kommer stöta sig med
25
Figur 6: Kastparabeln för olika massor med samma utgångsrörelsemängd
p=
1kgm/s
luften på samma sätt, så den tappar lika mycket rörelsemängd, men eftersom
massan är större krävs det en mindre förändring i farten för att uppnå denna
ändring (p
= mv ⇒ dp = mdv ).
Alltså tappar tyngre partiklar mindre fart än
lättare partiklar, och de når på så sätt längre.
Given utgångsrörelsemängd
Låt oss nu undersöka hur kastlängden beror av given utgångsrörelsemängd.
Som vi ser i gur 6 får vi ett kanske ganska oväntat resultat: för relativt stora
massor fås större kastlängd ju mindre massan är, men vid en viss punkt verkar
det vända och vi får ett motsatt förhållande. Det verkar alltså nnas en optimal massa för vilken kastlängden blir så stor som möjligt! Numerisk analys (se
appendix) visar på en kraftig peak i intervallet
0.05 > m > 0.01
tittar därför närmare på detta i gur 7 där vi plottar
[kg] och vi
kastlängden mot massan
för rådande parametervärden.
Som vi ser får vi en tämligen slät och symmetrisk kurva med tydlig topp kring
m = 0.025
kg. Vid given rörelsemängd
massa kring
25
p = 1
kgm/s vill man alltså ha en
gram för att komma så långt som möjligt. Innan vi går in på
26
Figur 7: Kastlängd som funktion av massan vid given utgångsrörelsemängd.
diskussionen om orsaken till detta fenomen ska vi titta på samma fall fast då
den kinetiska utgångsenergin är given,
Ek = 50
J.
Given kinetisk utgångsenergi
Vi får här ett liknande fenomen som det vi upplevde för given utgångsrörelsemängd, fast toppen verkar komma något senare, se gur 8. Detta bekräftas
också av en numerisk analys (se appendix) där det framgår att det även där
nns en peak, om än inte lika kraftig, i intervallet
0.1 > m > 0.05.
Vi plottar
kastlängden mot massan inom detta intervall i gur 9.
Precis som i fallet vid given utgångsrörelsemängd ser vi här att kurvan har sitt
maxvärde kring
m = 0.07
kg, vi kallar detta värde
mcrit .
Detta resultat är sär-
skilt intressant då det har en mer praktisk tillämpning, ty när vi skjuter/slungar
iväg en projektil med någon typ av kastmekanism, som drivs av exempelvis en
fjäder, en gas eller en motvikt, kommer arbetet på projektilen av maskinen vara
6 Det betyder att olika projektiler
ideellt sett lika stort för alla olika partiklar.
som skjuts iväg av en viss kastmekanism kommer ha samma kinetiska utgångsenergi. Detta resultat visar alltså att det nns en optimal massa, om man vill
6 Young,
Hugh D. & Freedman, Roger A.
University Physics with Modern Physics, 2008,
s. 222-224
27
Figur 8: Kastparabeln för olika massor med samma kinetiska utgångsenergi
Ek = 50
J
Figur 9: Kastlängd som funktion av massan vid given kinetisk utgångsenergi.
28
komma så långt som möjligt, för en given kastmekanism. Alltså kan man få
större räckvidd på t.ex. en granatkastare om man anpassar granaternas vikt på
rätt sätt.
p0
p0
och på samma sätt med given kinetisk utm
q
2E0
1
2
gångsenergi E0 = mv0 ⇒ v0 =
2
m . Alltså fås med minskande massa större
utgångsfart, vilket bidrar till längre kast. Men som vi kunde observera i fallet vid
Låt oss nu diskutera fysiken bakom detta. Vid given utgångsrörelsemängd
har vi att
p 0 = v0 m ⇒ v0 =
given utgångsfart är massan omvänt proportionellt mot luftmotståndets styrka
så mindre massa leder till starkare luftmotstånd vilket i sin tur betyder kortare kast. Vi har alltså en faktor, utgångsfarten, som minskar kastlängden med
ökande massa och en faktor, luftmotståndet, som ökar kastlängden med ökande
massa. Det är därför vi får fenomenet med en optimal massa, just vid denna
kritiska massa får vi en perfekt kompromiss mellan å ena sidan motståndet och
å andra sidan utgångsfarten.
29
Appendix
Luftmotståndets verkan vid praktisk tillämpning
Matlabkoden som användes i detta avsnitt:
function v2 = hast4(theta0,theta)
w = (sec(theta0)/(328/3.6))^2;
wt = tan(theta0)*sec(theta0);
wp = tan(theta0)+sec(theta0);
kmg = ((1*10^-4)/(45.93*10^-3*9.82));
v2 = (sec(theta))./sqrt((w+kmg.*(wt-tan(theta).*sec(theta)+log(wp./(sec(theta)+tan(theta)))))).*sec(theta);
end
function v2 = hast22(theta0,theta)
w = (sec(theta0)/(328/3.6))^2;
wt = tan(theta0)*sec(theta0);
wp = tan(theta0)+sec(theta0);
kmg =((1*10^-4)/(45.93*10^-3*9.82));
v2 = (sec(theta).^2)./(w+kmg.*(wt-tan(theta).*sec(theta)+log(wp./(sec(theta)+tan(theta)))));
end
function f = funk1(alfa,beta);
v0 = (328/3.6); k = 1*10^-4; m = 45.93*10^-3; g = 9.82; brak1 = (k*v0^2*(cos(alfa))^2)/(m*g);
brak2 = (sec(beta)+tan(beta))/(sec(alfa)+tan(alfa));
brak3 = sin(beta)/(cos(beta))^2;
brak4 = sin(alfa)/(cos(alfa))^2;
f = 1-(brak1*(log(brak2)+brak3-brak4));
end
clc, clear all, close all
m = 45.93*10^-3;
k = 1*10^-4; kmg = (1*10^-4/(45.93*10^-3*9.82)); %k/(m*g);
alfa = 60;
v0 = (328/3.6);
30
g = 9.82;
mg = m*g;
R = (v0^2/g)*sind(2*alfa)
T = ((2*v0)/g)*sind(alfa)
H = (v0^2/(2*g))*(sind(alfa))^2
t = (0:0.05:16.05);
yvakuum = -g/2.*t.^2.+v0.*sind(60).*t;
xvakuum = v0.*cosd(60).*t;
% Båglängd S = (m/(2*k))*(log(funk1(pi/3,0)))
xint = inline('hast(beta1)');
yint = inline('hast(beta1).*tand(beta1)');
% Längd, höjd och tid partikel färdas
x=[]; y=[]; t=[]; theta=[]; N=100; theta0=pi/3; thetaf= -1.29; %pi/2; h=(thetaftheta0)/N;
for i=1:N
theta(i)=theta0+(i-1)*h;
x(i) = (-1/g)*(quad(@(theta)hast22(theta0,theta),theta0,theta(i)));
y(i) = (-1/g)*(quad(@(theta)hast22(theta0,theta).*tan(theta),theta0,theta(i)));
t(i) = (-1/g)*(quad(@(theta)hast44(theta0,theta),theta0,theta(i)));
end
thetag = (180/pi)*theta;
Rvec = sqrt(x.*x+y.*y);
plot(thetag,t)
31
Härledning av
ds
ρ = − dθ
Bilden t.v. är hämtad ur Nicholas Apazidis bok
namik
Mekanik - statik och partikeldyAnalys i Flera Variabler sida
sida 147, den högra ur Persson och Böiers
210.
Låt
et vara tangentialvektorn som beror av båglängden s, så et = et (s). Om vi
∆β vara vinkeln utgående från origo mellan två punkter på kurvan belägna
låter
∆s
från varandra får vi ur kurvans geometri att
| ∆et |= 2 sin(
∆β
) ≈ ∆β.
2
Vi har även att
∆s = ρ∆β ⇒ ∆β =
⇒| ∆et |=
∆s
ρ
∆s
∆et
1
⇒|
|= .
ρ
∆s
ρ
Samtidigt framgår ur den övre bilden t.h. (där
h
betecknar
∆s
och
θ = −∆β
att
−
1
1
2 sin( 12 β)
∆β
| et (s + ∆s) − et (s) |
∆et
2β
2β
=
·
=
·
≈|
|
1
1
∆s
∆s
∆s
∆s
sin( 2 β)
sin( 2 β)
32
)
⇒
1
∆β
≈−
.
ρ
∆s
Där approximationen blir godtyckligt bra då
∆s, ∆β → 0
så
dβ
1
=− ,
ρ
ds
eller, om vi låter
β = θ,
ρ=−
L=
1 2
2 gt
v02
g
sin (2θ0 ), T =
L=d=
Då utgångshöjden
då
sin(θ0 )
och
y(t) = v0 sin(θ0 )t −
p
v cos(θ) v sin(θ) + v sin(θ)2 + 2gy0
g
y0 = 0
L=d=
2v0
g
ds
.
dθ
i detta fall förenklas ovanstående uttryck till,
v cos(θ)
v cos(θ)
(v sin(θ) + v sin(θ)) =
2v sin(θ),
g
g
2 sin(θ) cos(θ) = sin(2θ),
ger detta oss följande uttryck,
L=d=
v 2 sin(2θ)
,
g
33
v sin(θ) +
L
T =
=
v cos(θ)
Eftersom
y0 = 0
p
(v sin(θ)2 + 2gy0 )
.
g
faller även detta uttryck samman i överskådligare form,
T =
2v0
sin(θ)
g
1
y(t) = v sin(θ)t − gt2
2
eftersom vi är intresserade av den maximala höjden över marken och detta är en
symmetrisk partikelbana i vakuum nner vi denna genom att sätta
H = y(t =
T
2 ), ty denna punkt benner sig där halva tiden gått, på mitten av banan.
Optimal utgångsvinkel för normalt till starkt motstånd
clc;
clear all;
m = 1;
g = 9.8;
x = 0;
y = 0;
X = [];
Y = [];
Opt = [];
dt = 0.001;
count = 0;
Lengd = [];
K = (0.1:0.1:3);
for k = K
for 0 = (43:0.1:47)
dxdt = cosd(0);
dydt = sind(0);
34
for t = (0:dt:10)
dx2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*abs(dxdt);
dy2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*abs(dydt)-g;
x = x + dt*dxdt;
y = y + dt*dydt;
X = [X x];
Y = [Y y];
dxdt = dxdt + dt*dx2dt;
dydt = dydt + dt*dy2dt;
if y <= 0 break end plot(X,Y)
end
Lengd = [Lengd X(end)];
end [val,ind] = max(Lengd) opti = ind.*0.1 + 43;
%optimala vinkeln för varje k dop = opti - 45;
Opt = [Opt dop];
Lengd = [];
end
plot(K,Opt);
%hold on
%med = [];
%for i = (1:30)
%med = [med 0];
%end
%plot(K,med)
Optimal vinkel för starkt motstånd
clc;
clear all;
clf;
m = 1;
35
g = 9.8;
x = 0;
y = 0;
X = [];
Y = [];
Opt = [];
dt = 0.00001;
count = 0;
Lengd = [];
K = [10 100 1000 10000 100000];
for k = K
for 0 = (40:0.2:50)
dxdt = 10*cosd(0);
dydt = 10*sind(0);
x = 0;
y = 0;
for t = (0:dt:10)
dx2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*abs(dxdt);
dy2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*abs(dydt)-g;
x = x + dt*dxdt;
y = y + dt*dydt;
X = [X x];
dxdt = dxdt + dt*dx2dt;
dydt = dydt + dt*dy2dt;
if y <= 0
break
end
end
Lengd = [Lengd X(end)];
end
X = [];
36
[val,ind] = max(Lengd)
opti = ind.*0.2 + 40;
%optimala vinkeln fï¾½r varje k
Opt = [Opt opti];
Lengd = [];
end
semilogx(K,Opt)
hold on
plot(K,Opt,'*')
%hold on
%med = [];
%for i = (1:30)
% med = [med 0];
%end
%plot(K,med)
Kastparabler för olika massor
Detta är koden till kastparablerna för olika massor vid given fart. Koden för
olika massor vid given energi och rörelsemängd är snarlika, byt bara ut m och
v0 på passande sätt.
clc;
clear all;
clf;
v0 = 2000;
m = 0.0005;
g = 9.8;
0 = pi/4;
k = 10^-3;
x = 0;
y = 0;
X = [];
37
Y = [];
dxdt = v0*cos(0);
dydt = v0*sin(0);
dt = 0.0001;
for t = (0:dt:10)
dx2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dxdt;
dy2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dydt-g;
x = x + dt*dxdt;
y = y + dt*dydt;
X = [X x];
Y = [Y y];
dxdt = dxdt + dt*dx2dt;
dydt = dydt + dt*dy2dt;
if y <= 0
break
end
end
hold on
plot(X,Y,'-.')
Kastlängd som funktion av massa vid given utgångsrörelsemängd
Vid given utgångsrörelsemängd ck vi en kraftig peak i intervallet
0.01 [kg].
0.05 > m >
Nedan visas en graf där kastlängden är plottad mot massan. Som vi
ser får vi en peak någonstans väldigt tidigt. Zoomar vi in ser vi att peaken ligger
i det nämnda intervallet.
38
Matlabkoden till denna gur är samma den som låg bakom gur 7 fast med M
= (0.01:0.005:0.05);
clc;
clear all;
clf;
M = [0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.1 0.5 1 5]
g = 9.8;
0 = pi/4;
k = 10^-3;
x = 0;
y = 0;
X = [];
Y = [];
Lengd = [];
dt = 0.0001;
for m = M
v0 = m^-1;
39
dxdt = v0*cos(0);
dydt = v0*sin(0);
x = 0;
y = 0;
for t = (0:dt:10)
dx2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dxdt;
dy2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dydt-g;
x = x + dt*dxdt;
y = y + dt*dydt;
X = [X x];
Y = [Y y];
dxdt = dxdt + dt*dx2dt;
dydt = dydt + dt*dy2dt;
if y <= 0
break
end
end
Lengd = [Lengd X(end)];
end
plot(M,Lengd,'*')
hold on
plot(M,Lengd)
Kastlängd som funktion av massan vid given utgångsenergi
Precis som i fallet vid given rörelsemängd får vi, som vi ser, en peak, denna
gång i intervallet
0.1 > m > 0.05
även om den inte är lika kraftig.
40
Matlabkoden till denna gur och samma för centrerad graf i nämnda intervall
med M = (0.04:0.01:0.11);
clc;
clear all;
clf;
M = [0.0005 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 5]
g = 9.8;
0 = pi/4;
k = 10^-3;
x = 0;
y = 0;
X = [];
Y = [];
Lengd = [];
dt = 0.0001;
for m = M
v0 = 10/sqrt(m);
41
dxdt = v0*cos(0);
dydt = v0*sin(0);
x = 0;
y = 0;
for t = (0:dt:10)
dx2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dxdt;
dy2dt = -k/m*sqrt(dxdt^2+dydt^2)*dydt-g;
x= x + dt*dxdt;
y = y + dt*dydt;
X = [X x];
Y = [Y y];
dxdt = dxdt + dt*dx2dt;
dydt = dydt + dt*dy2dt;
if y <= 0
break
end
end
Lengd = [Lengd X(end)];
end
semilogx(M,Lengd,'*')
hold on
semilogx(M,Lengd)
42
Referenser
[1] Paul J. Nahin,
Mrs. Perkins's Electric Quilt, Princeton University Press, s.
121-135, 2009
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Golf
[3] H. Essén,
Basic Mechanics - the science and its applications, Teknisk Hög-
skolelitteratur i Sthlm AB THS, s. 93-95, 1993
[4] R.Prince & Romano, Aim high and go far - optimal projectile launch angles
greater than
45o ,
Am. J. Phys.
66 (2),
s. 109-113, 1998
Elementary Dierential Equations and Boundary Value
Problems, John Wiley & Sons, s. 16-26, 2010
[5] Boyce & DiPrima,
University Physics with Modern
Physics, Pearson Education, s.222-224, 2008
[6] Hugh D. Young & Roger A. Freedman,
[7] N. Apazidis,
Mekanik - Statik och partikeldynamik, Studentlitteratur, s. 147-
148, 2004
[8] A. Persson & L-C. Böiers,
Analys i era variabler, Studentlitteratur, s. 210-
211, 2005
43