Hur man löser linjära ekvationsystem

Hur man löser linjära ekvationsystem
Mikael Forsberg
January 28, 2004
1
Linjära ekvationssystem
Låt oss börja med enkelt linjärt ekvationssystem:
(
x+y
=1
2x − y = 2
Hur löser man ett sådant ekvationssystem. Ja, i detta fall är det ju enkelt att
lösa ut, tex x ur den första ekvationen ( x = 1 − y ) och sätta in detta i den
andra ekvationen (2 − 2y − y = 2 vilket ger −3y = −1.)
Denna metod generaliserar sig inte så väldigt bra till system med fler ekvationer och variabler. Redan vid tre ekvationer i tre variabler så lönar det
sig att vara mer metodisk. Låt oss se i ovanstående exempel hur denna metod
fungerar.
Strategin är att använda första ekvationen för att eliminera första variabeln
i den andra ekvationen. För att åstadkomma detta måste vi multiplicera den
första ekvationen med två och subtrahera resultatet från ekvation två. Vi får
då:
(
x+y
=1
2x − y = 2
Hur löser man ett sådant ekvationssystem. Ja, i detta fall är det ju enkelt att
lösa ut, tex x ur den första ekvationen ( x = 1 − y ) och sätta in detta i den
andra ekvationen (2 − 2y − y = 2 vilket ger −3y = 0.)
Denna metod generaliserar sig inte så väldigt bra till system med fler ekvationer och variabler. Redan vid tre ekvationer i tre variabler så lönar det
sig att vara mer metodisk. Låt oss se i ovanstående exempel hur denna metod
fungerar.
Strategin är att använda första ekvationen för att eliminera första variabeln
i den andra ekvationen. För att åstadkomma detta måste vi multiplicera den
första ekvationen med minus två och addera resultatet till ekvation två. Vi får
då:
(
x+y =1
−3y
=0
1
Om vi jämför detta med föregående metod så ser vi att andra ekvationen är
precis resultatet vi fick efter den första metoden. Faktum är att denna metod
egentligen renodlar den första och gör den mer systematisk. Och detta kommer
vi kunna generalisera.
Låt oss bara göra en not till innan vi tacklar större ekvationssystem. Observera att vi egentligen inte utnyttjar variablerna utan enbart de siffror som
står framför variablerna. Detta leder till att vi kan skriva färre tecken, vilket
leder till substansiellt mindre att skriva. Genom att ta bort variablerna så får
följande representera ovanstående ekvationssystem:
1 1 1
2 −1 2
Vi kommer att ägna en hel del tid åt detta så med tiden kommer detta att
kännas helt naturligt för oss.
Låt oss nu titta på ett system med tre ekvationer och tre obekanta och se
hur man generaliserar nämnda metod för ett sådant system.


=1
x + 2y + z
2x − y + 3z = 2


−x + y + z = 1
Huvudstrategin är alltså att först eliminera x i den andra och tredje ekvationen. Detta gör vi genom att använda en lämplig multipel av den första
ekvationen. I vårt fall multiplicerar vi den första ekvationen med −2 och adderar
resultatet till den andra. För den tredje ekvaition en räcker det med att addera
den första raden till den tredje. Resultatet av dessa två operationer blir då som
följer:


x + 2y + z = 1
−5y + z
=0


3y + 2z
=2
Nu gäller det att eliminera y från den tredje ekvationen. Om vi multiplicerar
den andra ekvationen med 35 och adderar resultatet till den tredje så får vi
följande system.


x + 2y + z = 1
−5y + z
=0

 13
=2
5 z
Ur detta kan vi nu läsa att z = 10
13 . För att få reda på värdena för x och y så
behöver vi nu bara att sätta in detta värde på z först i ekvation två för att få
reda på y och sedan både y och z i ekvation ett för att få x.
2
2
Ekvationssystemens matrisform och Gausselimination.
Låt oss nu göra om föregående exempel med


x + 2y + z
2x − y + 3z


−x + y + z
matriser. Systemet
=1
=2
=1
svarar mot följande matris

1
2
 2 −1
−1 1
1 3 1

1
2
1
Vi utför radoperationer för att få nollor under den ettan som står i rad 1
och kolumn 1. Vi tar därför och multiplicerar (en kopia av) rad 1 med -2 och
adderar resultatet till rad 2. Vi tar ( en kopia av) rad 1 och adderar till rad 3.
Vi har därför fått


1 2 1 1
0 −5 1 0
0 3 22
Nästa steg är att eliminera trean som står under −5. Detta gör vi genom att
multiplicera rad 2 med 35 och addera resultatet till rad 3. Vi har nu fått


1 2
1 1
0 −5 1 0
13 2
0 0
5
Nu snyggar vi till det hela genom att multiplicera den sista raden med
får följdaktligen


1 2 1 1
0 −5 1 0 
0 0 1 10
13
5
13
och
Nu kan vi, om vi vill, tillbakatolka matrisen som ett ekvationssystem och lösa
ut x, y och z. Detta gör man i sådana på samma sätt som i förra avsnittet.
I stället ska vi återsubstituera i matrisen, dvs använda rad 3 för att få nollor
ovanför diagonalen. För att åstadkomma detta tar vi −1 gånger tredje raden
och adderar till rad 2 och 1:
3 

1 2 0 13
0 −5 0 − 10 
13
0 0 1 10
13
Vi dividerar rad 2 med −5:

1
0
0
0 0 1
2
1
0
3
3
13
2 
13
10
13

och adderar −2 gånger den andra

1
0
0
raden till rad till rad 1:
1
0 0 − 13
2 
1 0 13
10
0 1 13
Överför vi detta system till ekvationssystem så har vi fått

1

 x = − 13
2
y = 13


10
z = 13 .
Denna succesiva eliminations metod kallas Gausselimination efter Karl Friedrich
Gauss (1777-1855), tysk matematiker, en av tidernas största.
Operationerna, t.ex. att multiplicera en rad med ett tal och addera till en
annan rad kallas för en radoperation.
4