Hur man löser linjära ekvationsystem Mikael Forsberg January 28, 2004 1 Linjära ekvationssystem Låt oss börja med enkelt linjärt ekvationssystem: ( x+y =1 2x − y = 2 Hur löser man ett sådant ekvationssystem. Ja, i detta fall är det ju enkelt att lösa ut, tex x ur den första ekvationen ( x = 1 − y ) och sätta in detta i den andra ekvationen (2 − 2y − y = 2 vilket ger −3y = −1.) Denna metod generaliserar sig inte så väldigt bra till system med fler ekvationer och variabler. Redan vid tre ekvationer i tre variabler så lönar det sig att vara mer metodisk. Låt oss se i ovanstående exempel hur denna metod fungerar. Strategin är att använda första ekvationen för att eliminera första variabeln i den andra ekvationen. För att åstadkomma detta måste vi multiplicera den första ekvationen med två och subtrahera resultatet från ekvation två. Vi får då: ( x+y =1 2x − y = 2 Hur löser man ett sådant ekvationssystem. Ja, i detta fall är det ju enkelt att lösa ut, tex x ur den första ekvationen ( x = 1 − y ) och sätta in detta i den andra ekvationen (2 − 2y − y = 2 vilket ger −3y = 0.) Denna metod generaliserar sig inte så väldigt bra till system med fler ekvationer och variabler. Redan vid tre ekvationer i tre variabler så lönar det sig att vara mer metodisk. Låt oss se i ovanstående exempel hur denna metod fungerar. Strategin är att använda första ekvationen för att eliminera första variabeln i den andra ekvationen. För att åstadkomma detta måste vi multiplicera den första ekvationen med minus två och addera resultatet till ekvation två. Vi får då: ( x+y =1 −3y =0 1 Om vi jämför detta med föregående metod så ser vi att andra ekvationen är precis resultatet vi fick efter den första metoden. Faktum är att denna metod egentligen renodlar den första och gör den mer systematisk. Och detta kommer vi kunna generalisera. Låt oss bara göra en not till innan vi tacklar större ekvationssystem. Observera att vi egentligen inte utnyttjar variablerna utan enbart de siffror som står framför variablerna. Detta leder till att vi kan skriva färre tecken, vilket leder till substansiellt mindre att skriva. Genom att ta bort variablerna så får följande representera ovanstående ekvationssystem: 1 1 1 2 −1 2 Vi kommer att ägna en hel del tid åt detta så med tiden kommer detta att kännas helt naturligt för oss. Låt oss nu titta på ett system med tre ekvationer och tre obekanta och se hur man generaliserar nämnda metod för ett sådant system. =1 x + 2y + z 2x − y + 3z = 2 −x + y + z = 1 Huvudstrategin är alltså att först eliminera x i den andra och tredje ekvationen. Detta gör vi genom att använda en lämplig multipel av den första ekvationen. I vårt fall multiplicerar vi den första ekvationen med −2 och adderar resultatet till den andra. För den tredje ekvaition en räcker det med att addera den första raden till den tredje. Resultatet av dessa två operationer blir då som följer: x + 2y + z = 1 −5y + z =0 3y + 2z =2 Nu gäller det att eliminera y från den tredje ekvationen. Om vi multiplicerar den andra ekvationen med 35 och adderar resultatet till den tredje så får vi följande system. x + 2y + z = 1 −5y + z =0 13 =2 5 z Ur detta kan vi nu läsa att z = 10 13 . För att få reda på värdena för x och y så behöver vi nu bara att sätta in detta värde på z först i ekvation två för att få reda på y och sedan både y och z i ekvation ett för att få x. 2 2 Ekvationssystemens matrisform och Gausselimination. Låt oss nu göra om föregående exempel med x + 2y + z 2x − y + 3z −x + y + z matriser. Systemet =1 =2 =1 svarar mot följande matris 1 2 2 −1 −1 1 1 3 1 1 2 1 Vi utför radoperationer för att få nollor under den ettan som står i rad 1 och kolumn 1. Vi tar därför och multiplicerar (en kopia av) rad 1 med -2 och adderar resultatet till rad 2. Vi tar ( en kopia av) rad 1 och adderar till rad 3. Vi har därför fått 1 2 1 1 0 −5 1 0 0 3 22 Nästa steg är att eliminera trean som står under −5. Detta gör vi genom att multiplicera rad 2 med 35 och addera resultatet till rad 3. Vi har nu fått 1 2 1 1 0 −5 1 0 13 2 0 0 5 Nu snyggar vi till det hela genom att multiplicera den sista raden med får följdaktligen 1 2 1 1 0 −5 1 0 0 0 1 10 13 5 13 och Nu kan vi, om vi vill, tillbakatolka matrisen som ett ekvationssystem och lösa ut x, y och z. Detta gör man i sådana på samma sätt som i förra avsnittet. I stället ska vi återsubstituera i matrisen, dvs använda rad 3 för att få nollor ovanför diagonalen. För att åstadkomma detta tar vi −1 gånger tredje raden och adderar till rad 2 och 1: 3 1 2 0 13 0 −5 0 − 10 13 0 0 1 10 13 Vi dividerar rad 2 med −5: 1 0 0 0 0 1 2 1 0 3 3 13 2 13 10 13 och adderar −2 gånger den andra 1 0 0 raden till rad till rad 1: 1 0 0 − 13 2 1 0 13 10 0 1 13 Överför vi detta system till ekvationssystem så har vi fått 1 x = − 13 2 y = 13 10 z = 13 . Denna succesiva eliminations metod kallas Gausselimination efter Karl Friedrich Gauss (1777-1855), tysk matematiker, en av tidernas största. Operationerna, t.ex. att multiplicera en rad med ett tal och addera till en annan rad kallas för en radoperation. 4