Uppgift 1. Jämvikt
En 20m lång horisontell, homogen balk med massan m=400kg är fastsatt med tre stag som
alla kan ta upp både drag och trycklaster. Balken är också utsatt för en yttre kraft, F=1000N.
Nedan ses en friläggning av balken där krafterna T 1 , T 2 och T 3 är krafterna i de tre stagen.
Problemet är ett två dimensionellt vilket gör att vi kan ställa upp tre jämviktsekvationer för
balken enligt:
T2
T1
30°
30°
T3
45°
O
10m
45°
l
F
mg
↑
→
O
๐1 cos 30° + ๐2 cos 30° + ๐3 cos 45° − ๐น cos 45° − ๐๐ = 0
๐น sin 45° − ๐1 sin 30° + ๐2 sin 30° + ๐3 sin 45° = 0
๐1 cos 30° ⋅ 10 − ๐3 cos 45° ⋅ ๐ + ๐น cos 45° ⋅ 10 = 0
Sätt upp ett ekvationssystem på matrisform , Ax=b, utifrån jämviktsekvationerna ovan. Skriv
en egendefinierad funktion som utifrån detta ekvationssystem beräknar krafterna T 1 , T 2 och
T 3 . Indata till funktionen ska vara F, m och l och utdata ska vara en vektor T bestående av T 1 ,
T 2 och T 3 .
a) Beräkna krafterna T 1 , T 2 och T 3 , för fallen l=5m och l=10m.
b) Rita hur krafterna T 1 , T 2 och T 3 beror på l där 5≤ l ≤10 m. Rita alla krafterna i samma
figur med olika färg på linjerna samt lämpliga namn på axlarna.
c) För en ingenjör är det intressant att veta i vilket stag de största krafterna uppkommer
för dimensionering. Skriv ett program som letar upp i vilket stag den största tryck eller
drag-kraften finns som funktion av l, där 5≤ l ≤10 m. Programet ska beräkna i vilket
intervall respektive stag är högst belastat samt rita en graf som visar absolutbeloppet
av kraften i det högst belastade staget som funktion av l. För att tydligt se vilket stag
som är högst belastat för olika värden på l ska grafen ska ha samma färger för de olika
stagen som innan.
Uppgift 2. Stabilitet
En rak homogen balk med massan m=10 kg och längden l=5m är försedd med ett hjul i varje
ände och lutad mot en vägg och golv, samt fastsatt med en fjäder enligt figuren nedan.
Fjädern har fjäderkonstanten k=40N/m och är osträckt när x=0. För att bestämma balkens
möjliga jämviktslägen studeras systemets totala potentiella energi V, vilket ges av ekvationen:
1
1
๐ = ๐๐ 2 sin 2๐ + ๐๐๐ cos ๐
2
2
θ
l
k
x
a) Plotta potentiella energin V, som funktion av vinkeln θ, för 0≤ θ ≤ 80°.
b) Jämvikt för systemet fås i de lägen där derivatan av den potentiella energin, dV/dθ, är
lika med 0. Beräkna och plotta dV/dθ numeriskt, som funktion av θ, och hitta var
derivatan är lika med 0 för 0≤ θ ≤ 80°. Problemet ska inte lösas grafiskt utan värdena
på θ ska fås direkt av programmet.
c) Beräkna maximala och minimala värdet på den potentiella energin inom detta intervall
samt för vilken respektive vinkel θ, detta gäller. Resultatet ska jämföras och
kommenteras med det från uppgift b).
