Uppgift 1) Ett företag som tillvärkar batterier har tillverkningen

TENTAMEN
16 april 04
Matematik 2 , kurskod: 6H2324
KTH SYD, Media 2004
Lärare : Armin Halilovic
Skrivtid: 8:15-12:15
Hjälpmedel: Miniräknare
Bedömning: Varje uppgift bedöms med 0-4 poäng.
Tentamen består av 8 uppgifter á 4 poäng (+ eventuella bonuspoäng max 8) För att få full
poäng på en uppgift krävs en fullständig lösning samt ett korrekt svar.
För att få godkänt betyg (3) fordras minst 16 poäng, betyg fyra (4 ) minst 25 poäng och betyg fem
(5) minst 30 poäng.
Uppgift 1 )
a)Bestäm alla heltal x  Z och y  Z
som satisfierar ekvationen
5x +6y = 50
b) Bestäm alla naturliga tal x  N , y  N och z  N som satisfierar systemet:
4x + 5y + 2z = 42
x + y + z= 10
Uppgift 2 )
a) Bevisa följande formel
a  b mod m och c  d mod m
b) Bestäm resten då
medför (implicerar)
(1713  1311)4
divideras med 6
Uppgift 3) Visa med induktion att för alla naturliga tal n  1 gäller
n
a)
 (2k  3)  n
2
 4n
k 1
n
b) 15  7 n är delbart med 8
Uppgift 4)
Låt C= {-1,0,1,2,3,4}
Vi betraktar relationerna R1, R2 som definieras nedan
R1  {( x, y)  C  C | x  y  5} , R2  {( x, y)  C  C | x  y  3}
R3  {( x, y )  C  C | x 2  y  0}
a) Rita graferna till R1 , R2, R3
b) Avgör om någon av relationerna är en funktion.
c) Bestäm för varje funktion om den är injektiv och förklara varför.
a  c  b  d mod m
Uppgift 5)
a) Bestäm imaginärdelen Im(z) då z =
1 i 4 9
i i .
1 i

i
b) Bestäm argumentet av w då w  i 5  (e 3 ) 7 (1  i)16
c) Rita upp de punkter z  x  iy i det komplexa planet som satisfierar relationerna


 arg( z ) 
4
2
och
4| z|5 .
Uppgift 6) Lös följande differentialekvationer
x2  x  3
a)
y 
cos y
1
2
y
x
x
Uppgift 7)
Lös differentialekvationen
y ( x)  8 y ( x)  12 y( x)  4e x
Uppgift 8) 200 gram av ett radioaktivt ämne reduceras till 170 efter ett år.
a) Efter hur många år har 200 gram av ämnet reducerats till 30 gram.
b) Bestäm ämnets halveringstid.
b) y  
Lösningar och svar:
Uppgift 1 )
a)Bestäm alla heltal x  Z och y  Z
som satisfierar ekvationen
5x +6y = 50
b) Bestäm alla naturliga tal x  N , y  N och z  N som satisfierar systemet:
4x + 5y + 2z = 42
x + y + z= 10
Lösning 1 a) :
i) Vi kollar först om ekvationen har lösningar. För detta använder vi följande sats om
diofantiska ekvationer och heltalslösningar:
Teorem: Låt a, b, c vara heltal. den diofantiska ekvationen
ax  by  c
har heltalslösningar (d v s x  Z och y  Z ) då och endast då d | c (c är delbart med d) där
d  största gem. delare till a och b.
I vår ekvation gäller
d=SGD(a,b)= SGD(5,6)=1 och därför är c delbart med d.
Detta betyder att ekvationen har (oändligt många) heltalslösningar.
ii) Alla lösningar får man med formeln
b
a
x  x0  n  ,
y  y0  n  ,
n  0,1,2,...
d
d
där x 0 , y 0
är en lösning (vilket som helst).
En lösning kan man få med hjälp av Euklides algoritm, men det är enklare att skriva
ekvationen på formen
x =(50-6y)/5,
och substituera några (heltal) y värden tills man får heltal x.
T ex om y=0 då är x= 10
eller om y=5 då x=4
Om vi väljer till ex. x=4 och y=5 som en lösning då är alla lösningar:
x  4  6n
n  0,1,2,...
y  5  5n
Svar 1 a)
x  4  6n
, nZ
y  5  5n
b) Bestäm alla naturliga tal x  N , y  N och z  N som satisfierar systemet:
4x + 5y + 2z = 42
x + y + z= 10
Lösning:
I b delen (till skillnad från del a) söker vi här endast de naturliga lösningar ( 0 eller positiva
hel tal) för x, y och z.
Först eliminerar vi en variabel t ex x från den andra ekvationen:
x  10  y  z
(*)
substituerar vi i den första ekv. och får:
4(10  y  z )  5 y  2 z  42 ,  ( efter förenkling)
y  2 z  2 eller
y  2  2z
(**)
Vi substituerar z  0, 1... i (**) och beräknar y och därefter x med hjälp av (*)
z=0  y=2  x= 8 ( en lösning eftersom alla tillhör N)
z=1  y=4  x= 5
( en lösning eftersom alla tillhör N)
z=2  y=6  x= 2
( en lösning eftersom alla tillhör N)
z=3  y=8  x= -1
( ej lösning eftersom x är ett negativt heltal d v s tillhör inte N)
Om vi fortsätter med z >3 då får vi x negativt.
Alltså har ekvationen exakt tre lösningar:
Svar 1b) Tre lösningar: (8,2,0) , (5,4,1), (2,6,2)
2) b) resten är 0
3) Lösning b)
Vi betecknar uttrycket med f (n) .
Alltså f (n)  15 n  7 n .
Induktionsbas: n=1
f (1)  8 är delbart med 8
Induktionssteg:
Vi antar att f(p) är delbart med 8 dvs
f ( p)  15 p  7 p  8k .
Då gäller
f ( p  1) 
15 p 1  7 p 1  15 *15 p  7 * 7 p 
(8  7) *15 p  7 * 7 p  8 *15 p  7 * (15 p  7 p ) 
( enligt antagande) = 8 *15 p  7 * 8k  8 * (15 p  7k )
är delbart med 8.
Enligt matematisk induktion gäller påståendet för alla n  1
4)
R1={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} är en injektiv funktion.
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1.5
2
2.5
3
3.5
4
R2=
{(0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (1,3), (2,3), 3,3), (4,3), (2,2), (3,2), (4,2), (3,1), (4,1), (4,0)}
R2 är inte någon funktion.
4
3
2
1
1
2
3
4
R3= {(-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }
R3 är en funktion men inte injektion (koordinaten 1 har två originalen -1 och 1.
4
3
2
1
-1
-0.5
5) a) -1, b)
6) a) sin y 
0.5
1
1.5
2
5
c) se bilden nedan
6
x3 x2

 3x  C
3
2
b) y  Cx  2
7) y  C1e  2 x  C 2 e 6 x 
8) a) t a  11.67 år
b) t b  4.265 år
4 x
e
21