Längd: En meter (m) är den sträcka som ljuset tillryggarlägger i
advertisement
Att mäta, hur mäter vi och vilka referenser använder vi? SI systemet (Système International d'Unités) som är ett metriskt system. Detta system är internationellt vedertaget inom forskarvärlden och är det som lärs ut i större delen av världen. Systemet skiljer sig åt från de engelska och amerikanska systemen, där tex avstånd mäts i ”foot” och tryck mäts i blad annat ”inch of water” SI systemet har 7 grundenheter. Enhetens namn Längd Tid Massa Temperatur Ström Materiemängd Ljusstyrka Enhet Meter Sekund Kilogram Kelvin Ampere Mole Candela Enhetens symbol m s kg K A Mol Beteckning l t M T I n cd För att bestämma storleken på en enhet så använder man sig av prefix. Varje prefix skiljs åt av en viktfaktor 10, vilket benämns multiplikationsfaktor. Faktor 1024 … 109 106 103 … 10-2 10-3 … 10-24 Prefix yotta… gigamega kilo … centimilli … yocto- Symbol Y … G M k … c m … y Exempel: En hårddisk i en dator rymmer 300 Gbyte, vilket är 300 000 000 000 byte. Klockfrekvensen på Pentium processorn i en dator ligger på 2.5 GHz, vilket är 2 500 000 000 Hz = 2 500 000 000 s-1 Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg SI systemets 7 grundenheter Längd: En meter (m) är den sträcka som ljuset tillryggarlägger i absolut vakuum under en 1/299 792 458 sekund. Massa: En kilogram (kg) är lika med massan av den internationella kilogramprototypen Tid: En sekund (s) är den tid det tar för 9 192 631 770 perioder av den strålning, som motsvaras av övergången mellan två hyperfinnivåer I grundtillståndet hos grundämnet cesium 133. Elektrisk ström: En ampere (A) är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två parallella raka ledare med oändlig längd och försumbart cirkulärt tvärsnitt och placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa ledare en kraft som är lika med 2*10-7 newton för varje meter ledare. Termodynamisk temperatur: En kelvin (K) är bråkdelen 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen vid vattnets trippelpunkt. Ljusstyrka: En candela (cd) är ljusstyrkan i en given riktning från en källa, som utsänder monokromatisk strålning med frekvensen 540*1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian. Materiemängd: En mol (mol) är materiemängden i ett system innehållande lika många systemelement som det finns atomer i 0,012 kilogram kol 12. Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Kombinationer av enheter. Kraft Tryck: Arbete, Energi Effekt Potential difference Frekvens Area Newton, N N = kg m/s2 Pascal, Pa Pa = N / m2 = (kgm/s2)m2 = kg/(ms2) Joule, J J = Nm Watt, W W = J/s =N*m/s Volt, V W/A = Nm/(As) Hertz, Hz Hz = s-1 Kvadratmete m2 Engelska och Amerikanska systemen. 1 inch = 0,08333 foot = 1,57810-5 mile = 2,540 cm Inom den internationella vetenskapen så används uteslutande SI systemet med tillhörande prefix. Kul att veta: Inom olika yrken av så används fortfarande gamla enheter. En rörmokare kan fortfarande prata om ”tum” och ”kvart tum (1/4 tum)” och en snickare säger att han slår upp 2*4 tums regler när han bygger väggar. Det säljs också mycket produkter baserade på gamla mått, t.ex. inom försäljning av gas/vatten rör så finns det en hel uppsättning produkter som allt är baserat på ”tum” och ”inch”. Dock, sakta men säkert så fasas SI systemet in, även hos traditionella engelsmän och amerikaner. Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Rätlinjig och likformig rörelse, hastighet och acceleration i en dimension Förflyttning: x x2 x1 ; där x1 och x2 är två godtyckliga positioner. Medelhastighet: vavg x x2 x1 ; t = tids intervall t t 2 t1 Medelacceleration: aavg v2 v1 v t 2 t1 t Ekvationer för rörelse med konstant acceleration, där v0 är den initiella (start) hastigheten och x0 är start positionen vid tidpunkten t=0s. v vo at x x0 vo t 1 2 at 2 Saknas x-x0 1 Saknas v 2 Genom att eliminera t, a och v0 ur ovanstående formler så kan man erhålla följande: v 2 vo 2ax x0 2 x x0 Saknas t 3 1 v0 v t 2 Saknas a 4 1 2 at 2 Saknas v0 5 x x0 vt Vid konstant acceleration är medel accelerationen och den momentana accelerationen (instantaneous acceleration) vid en viss tidpunkt lika stora. Kinematiska ekvationer på differentialform Då tids intervallet, t, närmar sig 0 så följer: x dx Hastigheten: v lim t 0 t dt Accelerationen: a lim t 0 v dv t dt Genom att kombinera 1 och 2 så erhåller vi Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg 6 7 dv d dx d 2 x dt dt dt dt 2 dvs. andra derivatan av positionen x(t) med avseende på tiden. Accelerationen: a 8 Ekvation 1 och 2 kan också skrivas om till: vdt dx 6b adt dv 7b Kombinera 6b med 7b så erhåller vi: vdv adx 9 Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Vektorer En vektor, A , har både en storlek och en riktning. Storleken bestäms av beloppet av vektorn, A A. Storheter med storlek, A A , och riktning kallas för vektorer. Ex: Förflyttningsvektor, kraft Storheter som endast har storlek (magnitud) kallas för skalärer. Ex: massa, längd, temperatur A O M Vektorn A OM Vektorer kan adderas och subtraheras. Följande gäller: s ab Addition ab ba Commutative lag a b c a b c Associative lag d a b a b Vektor subtraktion Då man adderar vektorer i två och tre dimensioner så underlättas detta genom att införa ett koordinatsystem. Man kan välja olika koordinatsystem, det vanligaste är det kartesiska koordinatssystemet. Det kartesiska koordinatsystemet byggs av de tre axlarna x, y och z där origo väljs i skärningspunkten mellan de tre axlarna. Axlarna ritas på ett sådant sätt att de bildar ett höger system. Ett höger system kännetecknas av att enhetsvektorerna: xˆ yˆ zˆ yˆ zˆ xˆ zˆ xˆ yˆ och xˆ xˆ 1 yˆ yˆ 1 zˆ zˆ 1 Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Där x̂ , ŷ och ẑ är enhetsvektorer och är ortogonala mot varandra med magnituden 1. Enhetsvektorer kan också beskrivas med bokstäverna i, j och k, dvs. iˆ , ĵ och k̂ , beroende på vilken litteratur man läser. Jag kommer att använda beteckningar av x,y och z. Andra läroböcker använder ê x , ê y och êz för att beteckna att det är (e=) enhetsvektorer och att de ligger i X, Y respektive Z- axeln. Engelsmän använder variabeln u (engelska ”unit”) för att beskriva att det är enhetsvektorer. Det är bara att acceptera att vi alla har förkärlek till olika saker. Komponenter av vektorer En vektor i ett tredimensionellt kartetsiskt koordinatsystem kan sålunda delas upp i tre delar, där varje del består av en storlek och en riktning, enhetsvektor, se figur nedan. Z Y ŷ A ẑ x̂ X Vektorn A kan sålunda projiceras på X, Y respektive Z axeln och därmed delas upp till 3 olika vektorer, där varje vektor ligger utmed X, Y eller Z axeln. Sålunda gäller: A a x xˆ a y yˆ a z zˆ Där ax, ay och az är delkomponeter (kallas också delmagnituder eller skalärkomponenter) Magnituden på vektorn A kan då skrivas som A A a x a y a z 2 2 2 Om vi tittar på samma problem i två dimensioner så har vi följande utseende. A Y ay ax X Där ax = A*cos och ay= A*sin , A A . Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg Lite vektoranalys Vektorer kan multipliceras med varandra på två olika sätt, skalär produkt och vektorprodukt. Skalär produkt Låt A och B vara två vektorer. Då gäller C A B A B cos där är vinkeln mellan A och B och A A och B B . Observera att C har sitt maxima vid =0 grader (vektorerna är parallella med varandra) och sitt minima då =90 grader (då vektorerna är ortogonala mot varandra). Detta innebär skalärprodukten av två vektorer genererar en skalär, C, som inte är en vektor. Räkneregler: A B B A A B C A B AC A A A2 Om A A 0 så medför det att A=0 Om x̂ och ŷ är två enhetsvektorer och xˆ yˆ så gäller xˆ yˆ 1 (cos =1) xˆ xˆ 0 (cos =0) Permutation med x,y,z gäller. Detta ger att: A a x xˆ a y yˆ a z zˆ , B bx xˆ b y yˆ bz zˆ A B ax xˆ a y yˆ az zˆ bx xˆ by yˆ bz zˆ axby axbz a y bx a y bz az bx az by Vektor produkt (kryss produkt) ˆ ay y ˆ a z zˆ och B bx xˆ b y yˆ bz zˆ , då Låt A och B vara två vektorer där A a x x gäller: Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg xˆ C A B B A (a x xˆ a y yˆ a z zˆ ) bx xˆ b y yˆ bz zˆ a x ay az bx by bz xˆ ay az by bz yˆ ax az bx bz zˆ ax ay bx by yˆ zˆ a ybz azby xˆ axbz azbx yˆ axby a ybx zˆ Vektorprodukten av två vektorer genererar en tredje vektor, C , med tre olika delkomponenter, cx, cy och cz. där c x a y bz a z b y c y a x bz a z bx c z a x b y a y bx Magnituden på C kan då beräknas antingen via 1 C C cx c y cz 2 2 2 eller 2 C C A Bˆ ab sin , där a A , b B och är vinkeln mellan vektorerna. Tex om A och B är två parallella vektorer så är A B 0 Snyggt. Föreläsning 1 Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006 Föreläsare: Urban Forsberg
