Längd: En meter (m) är den sträcka som ljuset tillryggarlägger i

Att mäta, hur mäter vi och vilka referenser använder vi?



SI systemet (Système International d'Unités) som är ett metriskt system. Detta system
är internationellt vedertaget inom forskarvärlden och är det som lärs ut i större delen
av världen.
Systemet skiljer sig åt från de engelska och amerikanska systemen, där tex avstånd
mäts i ”foot” och tryck mäts i blad annat ”inch of water”
SI systemet har 7 grundenheter.
Enhetens namn
Längd
Tid
Massa
Temperatur
Ström
Materiemängd
Ljusstyrka

Enhet
Meter
Sekund
Kilogram
Kelvin
Ampere
Mole
Candela
Enhetens symbol
m
s
kg
K
A
Mol

Beteckning
l
t
M
T
I
n
cd
För att bestämma storleken på en enhet så använder man sig av prefix. Varje prefix
skiljs åt av en viktfaktor 10, vilket benämns multiplikationsfaktor.
Faktor
1024
…
109
106
103
…
10-2
10-3
…
10-24
Prefix
yotta…
gigamega
kilo
…
centimilli
…
yocto-
Symbol
Y
…
G
M
k
…
c
m
…
y
Exempel:
En hårddisk i en dator rymmer 300 Gbyte, vilket är 300 000 000 000 byte.
Klockfrekvensen på Pentium processorn i en dator ligger på 2.5 GHz, vilket är
2 500 000 000 Hz = 2 500 000 000 s-1
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
SI systemets 7 grundenheter
Längd: En meter (m) är den sträcka som ljuset tillryggarlägger i absolut vakuum
under en 1/299 792 458 sekund.
Massa: En kilogram (kg) är lika med massan av den internationella kilogramprototypen
Tid: En sekund (s) är den tid det tar för 9 192 631 770 perioder av den strålning, som
motsvaras av övergången mellan två hyperfinnivåer I grundtillståndet hos grundämnet cesium
133.
Elektrisk ström: En ampere (A) är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den
genomflyter två parallella raka ledare med oändlig längd och försumbart cirkulärt tvärsnitt
och placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa
ledare en kraft som är lika med 2*10-7 newton för varje meter ledare.
Termodynamisk temperatur: En kelvin (K) är bråkdelen 1/273,16 av den termodynamiska
temperaturen vid vattnets trippelpunkt.
Ljusstyrka: En candela (cd) är ljusstyrkan i en given riktning från en källa, som utsänder
monokromatisk strålning med frekvensen 540*1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna
riktning är 1/683 watt per steradian.
Materiemängd: En mol (mol) är materiemängden i ett system innehållande lika många
systemelement som det finns atomer i 0,012 kilogram kol 12.
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
Kombinationer av enheter.
Kraft
Tryck:
Arbete, Energi
Effekt
Potential difference
Frekvens
Area
Newton, N N = kg  m/s2
Pascal, Pa Pa = N / m2 = (kgm/s2)m2 = kg/(ms2)
Joule, J
J = Nm
Watt, W
W = J/s =N*m/s
Volt, V
W/A = Nm/(As)
Hertz, Hz
Hz = s-1
Kvadratmete m2
Engelska och Amerikanska systemen.
1 inch = 0,08333 foot = 1,57810-5 mile = 2,540 cm
Inom den internationella vetenskapen så används uteslutande SI systemet med
tillhörande prefix.
Kul att veta:
Inom olika yrken av så används fortfarande gamla enheter. En rörmokare kan fortfarande
prata om ”tum” och ”kvart tum (1/4 tum)” och en snickare säger att han slår upp 2*4 tums
regler när han bygger väggar. Det säljs också mycket produkter baserade på gamla mått, t.ex.
inom försäljning av gas/vatten rör så finns det en hel uppsättning produkter som allt är baserat
på ”tum” och ”inch”.
Dock, sakta men säkert så fasas SI systemet in, även hos traditionella engelsmän och
amerikaner.
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
Rätlinjig och likformig rörelse, hastighet och acceleration i
en dimension
Förflyttning: x  x2  x1 ; där x1 och x2 är två godtyckliga positioner.
Medelhastighet: vavg 
x x2  x1
; t = tids intervall

t
t 2  t1
Medelacceleration: aavg 
v2  v1 v

t 2  t1
t
Ekvationer för rörelse med konstant acceleration, där v0 är den initiella (start) hastigheten
och x0 är start positionen vid tidpunkten t=0s.
v  vo  at
x  x0  vo t 
1 2
at
2
Saknas
x-x0
1
Saknas
v
2
Genom att eliminera t, a och v0 ur ovanstående formler så kan man erhålla följande:
v 2  vo  2ax  x0 
2
x  x0 
Saknas
t
3
1
v0  v t
2
Saknas
a
4
1 2
at
2
Saknas
v0
5
x  x0  vt 
Vid konstant acceleration är medel accelerationen och den momentana accelerationen
(instantaneous acceleration) vid en viss tidpunkt lika stora.
Kinematiska ekvationer på differentialform
Då tids intervallet, t, närmar sig 0 så följer:
x dx

Hastigheten: v  lim
t 0 t
dt
Accelerationen: a  lim
t  0
v dv

t dt
Genom att kombinera 1 och 2 så erhåller vi
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
6
7
dv d  dx  d 2 x
  
dt dt  dt  dt 2
dvs. andra derivatan av positionen x(t) med avseende på tiden.
Accelerationen: a 
8
Ekvation 1 och 2 kan också skrivas om till:
vdt  dx
6b
adt  dv
7b
Kombinera 6b med 7b så erhåller vi:
vdv  adx
9
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
Vektorer

En vektor, A , har både en storlek och en riktning. Storleken bestäms av beloppet av vektorn,
A A.
Storheter med storlek, A  A , och riktning kallas för vektorer.
Ex: Förflyttningsvektor, kraft
Storheter som endast har storlek (magnitud) kallas för skalärer.
Ex: massa, längd, temperatur
A
O
M
Vektorn A  OM
Vektorer kan adderas och subtraheras. Följande gäller:
s  ab
Addition
ab ba
Commutative lag
a  b c  a  b  c
Associative lag
 
d  a b  a  b
Vektor subtraktion
Då man adderar vektorer i två och tre dimensioner så underlättas detta genom att införa ett
koordinatsystem. Man kan välja olika koordinatsystem, det vanligaste är det kartesiska
koordinatssystemet.
Det kartesiska koordinatsystemet byggs av de tre axlarna x, y och z där origo väljs i
skärningspunkten mellan de tre axlarna. Axlarna ritas på ett sådant sätt att de bildar ett höger
system. Ett höger system kännetecknas av att enhetsvektorerna:
xˆ  yˆ  zˆ
yˆ  zˆ  xˆ
zˆ  xˆ  yˆ
och
xˆ  xˆ  1
yˆ  yˆ  1
zˆ  zˆ  1
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
Där x̂ , ŷ och ẑ är enhetsvektorer och är ortogonala mot varandra med magnituden 1.
Enhetsvektorer kan också beskrivas med bokstäverna i, j och k, dvs. iˆ , ĵ och k̂ , beroende
på vilken litteratur man läser. Jag kommer att använda beteckningar av x,y och z. Andra
läroböcker använder ê x , ê y och êz för att beteckna att det är (e=) enhetsvektorer och att de
ligger i X, Y respektive Z- axeln. Engelsmän använder variabeln u (engelska ”unit”) för att
beskriva att det är enhetsvektorer. Det är bara att acceptera att vi alla har förkärlek till olika
saker.
Komponenter av vektorer
En vektor i ett tredimensionellt kartetsiskt koordinatsystem kan sålunda delas upp i tre delar,
där varje del består av en storlek och en riktning, enhetsvektor, se figur nedan.
Z
Y
ŷ
A
ẑ
x̂
X
Vektorn A kan sålunda projiceras på X, Y respektive Z axeln och därmed delas upp till 3
olika vektorer, där varje vektor ligger utmed X, Y eller Z axeln. Sålunda gäller:
A  a x xˆ  a y yˆ  a z zˆ
Där ax, ay och az är delkomponeter (kallas också delmagnituder eller skalärkomponenter)
Magnituden på vektorn A kan då skrivas som A  A  a x  a y  a z
2
2
2
Om vi tittar på samma problem i två dimensioner så har vi följande utseende.

A
Y
ay

ax
X
Där ax = A*cos  och ay= A*sin , A  A .
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
Lite vektoranalys
Vektorer kan multipliceras med varandra på två olika sätt, skalär produkt och vektorprodukt.
Skalär produkt


Låt A och B vara två vektorer. Då gäller


 


C  A  B  A  B  cos  där  är vinkeln mellan A och B och A  A och B  B .
Observera att C har sitt maxima vid =0 grader (vektorerna är parallella med varandra) och
sitt minima då =90 grader (då vektorerna är ortogonala mot varandra).
Detta innebär skalärprodukten av två vektorer genererar en skalär, C, som inte är en vektor.
Räkneregler:
   
A B  B  A

 
 
  
 
 
A B  C  A B  AC

 
A  A  A2
 
Om A  A  0 så medför det att A=0
Om x̂ och ŷ är två enhetsvektorer och xˆ  yˆ så gäller
xˆ  yˆ  1 (cos =1)
xˆ  xˆ  0 (cos =0)
Permutation med x,y,z gäller.
Detta ger att:

A  a x xˆ  a y yˆ  a z zˆ , B  bx xˆ  b y yˆ  bz zˆ
A  B   ax xˆ  a y yˆ  az zˆ    bx xˆ  by yˆ  bz zˆ   axby  axbz  a y bx  a y bz  az bx  az by
Vektor produkt (kryss produkt)



ˆ  ay y
ˆ  a z zˆ och B  bx xˆ  b y yˆ  bz zˆ , då
Låt A och B vara två vektorer där A  a x x
gäller:
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg
xˆ
  
 
C  A  B   B  A  (a x xˆ  a y yˆ  a z zˆ )  bx xˆ  b y yˆ  bz zˆ   a x
ay
az 
bx
by
bz

xˆ
ay
az
by
bz
 yˆ

ax
az
bx
bz
 zˆ
ax
ay
bx
by
yˆ
zˆ
 a ybz  azby xˆ  axbz  azbx  yˆ  axby  a ybx zˆ

Vektorprodukten av två vektorer genererar en tredje vektor, C , med tre olika
delkomponenter, cx, cy och cz. där
c x  a y bz  a z b y
c y  a x bz  a z bx
c z  a x b y  a y bx

Magnituden på C kan då beräknas antingen via
1
C  C  cx  c y  cz
2
2
2
eller
2




C  C  A  Bˆ  ab sin  , där a  A , b  B och  är vinkeln mellan
vektorerna.
 


Tex om A och B är två parallella vektorer så är A  B  0
Snyggt.
Föreläsning 1
Kp1-3, TFYY97 Mekanik för KB 2006
Föreläsare: Urban Forsberg