ENDIMENSIONELL ANALYS
A1 (FMAA01)
20160107 kl. 0813
SVAR
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
y = (3=11)x + 13=11.
x = 1=2.
a6 .
p
2=2.
54.
3.
30 .
Grafen till y = x2 ser ut så här:
p
i) 3
7.
j) Lösningarna är x = 0 och x = 1.
2. a) x = =4 + k=2 där k 2 Z.
b) Lösningarna är x = 0 och x =
3.
3. a) Se kurslitteraturen.
b) Uppgiften kan lösas på många sätt. Till exempel så här:
Genom att betrakta vertikal- och alternatvinklar nner vi att 4EP B är
likformig med 4CP D. Eftersom CD = 4BE och BC = 2BE kan vi sätta
ut längder x, y och z enligt gur.
B
x
E
y
z
A
P
2
4
x
4
y
C
Pythagoras sats på
5
z
4
x
D
4EBC ger
1
x2 = x2 + (2x)2 = (5y)2 = 25y2 ; så y2 = x2 :
Pythagoras sats på
5
4BCD ger
4
x2 = (2x)2 + (4x)2 = (5z )2 = 25z 2 ; så z 2 = x2 :
20
5
Alltså följer det att y + z = x , och omvändningen till Pythagoras sats
ger att vinkeln \BP E är rät.
2
2
2
4. a) B, C och D.
b) B och D.
c) Graferna till inverserna ser ut så här:
B
D
d) Endast funktionen i B är monoton.
5. a) Uttrycket är ungefär ln 2+ln 5+ 12 ln 2+eln(2=5) , som enligt tabellen ungefär
blir 0:69 + 1:61 + 0:5 0:69 + 2=5 = 3:045 3:05.
b) Det gäller att jx 1j < 1 () 0 < x < 2 och 2jx 1j < jx + 2j ()
0 < x < 4. Implikationen som skulle visas följer direkt, och det är också
klart att implikationen åt andra hållet ej är sann.
För den intresserade ger vi även följande lösning till implikationen: Antag
att jx 1j < 1. Med omvända triangelolikheten får vi
jx + 2j = j3 + x
1
j 3 jx
j > 3jx
1
j jx
1
j
jx
1 =2
1
j:
6. a) Detta följer av additionsformlerna för cosinus och sinus,
+ ) sin cos + sin cos =
+ ) cos cos sin sin tan + tan cos cos (tan + tan )
=
cos cos (1
tan tan )
1
tan tan sin(
+ ) =
tan(
cos(
=
b) Genom att lösa ut tan från den identitet vi vill visa så ser vi att det är
tillräckligt att visa att om , och tillhör intervallet (0; =2) så är
tan
=
+ tan tan tan tan
1
=
+ );
tan(
där den sista likheten kommer från additionsvinkeln i a)-uppgiften.
Men eftersom = ( + ), tan(=2 x) = 1= tan x och tan( x)
tan x så är
tan
= tan =2 ( =2 + + )
= 1= tan( =2 + + )
= 1= tan(=2
( + ))
=
tan( + );
och vi är klara.
=
