Föreläsning 10

Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 10
Innehåll: Trigonometriska funktioner
Satser om trianglar
Kapitel 8.4, T.3-T.4
1. Definition av de trigonometriska funktionerna
2. Samband mellan de trigonometriska funktionerna
3. Ekvationslösning
4. Satser om trianglar
5. Halva och dubbla vinkeln
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- definiera de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln.
- de grundläggande trigonometriska sambanden (trigonometriska ettan och hur man får sinus ur cosinus)
- formulera och bevisa areasatsen, sinusssatsen och cosinussatsen för
trianglar
- formulera och härleda de trigonometriska formlerna för dubbla och
halva vinklen
c
a
β
γ
α
b
bc sin α
2
Bevis: beräkna höjden med hjälp av sinusfunktionen
sin α
sin β
sin γ
Sinussatsen:
=
=
a
b
c
Bevis: areasatsen! (alt: dra höjder)
2
2
2
Cosinussatsen: a = b + c − 2bc cos α
Bevis: Pythagoras sats 2 gånger + lite algebra
Areasatsen: Arean =
Halva och dubbla vinkeln
Definition av de trigonometriska funktionerna
Betrakta nedanstående triangel.
x
1
tan x
sin x
x
1
x
cos x
2 sin x
Areasatsen medför att
Anmärkning Tangens är inte definierad för ±π/2 och är π-periodisk
istället för 2π-periodisk som sinus och cosinus är.
Anmärkning Om en linje lutar α (radianer) relativt x-axlen, så är dess
riktningskoefficient tan α.
Anmärkning Röd triangel ≤ cirkelsektor ≤ Rätvinklig triangel (areor)
⇒
1
x
1
sin x
sin x ≤ ≤ tan x ⇔ cos x ≤
≤ 1.
2
2
2
x
Relevant då | x | är litet. Medför att
1
1
sin 2x = 2 sin x cos x
2
2
och cosinussatsen att
(2 sin x )2 = 1 + 1 − 2 cos 2x
2
x + sin x = 1,
sin x
,
cos x
1
1 + tan2 x =
,
cos2 x
cos( π2 − x ) = sin x och sin( π2 − x ) = cos x
cos( π2 + x ) = − sin x men sin( π2 + x ) = cos x
sinus är en udda och cosinus en jämn funktion
2. tan x =
4.
5.
6.
Ekvationslösning
A och O här är att rita figur! Lös
sin x =
1
,
2
cos x =
1
,
2
tan x = 1,
Exempel Att mäta höjden på ett berg...
sin2 x =
1 − cos 2x
.
2
andra och tredje följer ur trigonometriska ettan. Tillsammans med
Självklara samband direkt ur definitionen ovan (VV-fall för triangel)
3.
⇔
Den första ger första likheten i
sin 2x = 2 cos x sin x
Samband mellan de trigonometriska funktionerna
1.
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − sin2 = 2 cos2 x − 1;
sin x
→ 0 då x → 0.
x
cos2
⇔
cos 2x = sin 5x.
ger detta formlerna för dubblan vinkeln. Vi får också formlerna för
halva vinkeln:
sin2
x
1 − cos x
=
,
2
2
cos2
x
x
1 + cos x
= 1 − sin2 =
.
2
2
2
Exempel Lös ekvationen cos 2x = 1 + sin x.
Att fundera på till nästa gång
1. Ett högt berg står vid stranden vid Atlanten. Du mäter dess höjd
(över havet) på toppen till h m. Hur kan du nu genom att bestämma en vinkel bestämma jordens omkrets? Vilken är vinkeln och
vilken formel får man för jordradien?
2. Beräkna sin π8 .
3. Varför är arcsin x + arccos x = π2 ? Vad gäller för arctan x +
arccot x? (Rita en figur som förklarar det då 0 < x < π/2.)
Epilog: komplex exponentialfunktion
Denna diskussion tillhör egentligen B2-kursen.
Punkter i planet kan också uppfattas som komplexa tal. Komplexa
tal innebär att man definierar ett sätt att multiplicera talpar ( x, y):
( x, y) ↔ z = x + iy. Multipliceras med räkneregeln i2 = −1.
Man inför eiθ som det komplexa tal som uppkommer om man roterar 1 θ radianer moturs:
eiθ
sin θ
θ
cos θ
Klart att
eiθ = cos θ + i sin θ.
En rotation θ följt av en annan rotation ω ger en total rotation på θ + ω,
så
ei(θ +ω ) = eiθ eiω
(egentligen andra ordningen i högerledet, men ordning spelar ingen
roll). Denna formel innehåller additionsformlerna för sin x och cos x
som vi ska ägna nästa föreläsning åt.
Om z = x + iy istället ligger på cirkeln med radien r kan vi skriva
x + iy = reiθ .
Kallas polär form av komplexa tal, men används också annars på formen
( x, y) = (r cos θ, r sin θ ).
Notera att r =
p
x2 + y2 och x är vinkeln ovan.
Exempel I växelströmssammanhang har spänningen formen
v(t) = V0 cos(ωt + φ)
där φ kallas fas och ω = 2π f kallas vinkelfrekvens. Men
v(t) = Re(V0 ei(ωt+φ) ) = Re(Veiωt )
där V = V0 eiφ är den komplexa spänningen. Sedan räknar man med
V (jobbar i fasrummet) och när man är klar går man tillbaka till den
ursprungliga formen (tidsrummet).
Det kan vara värt att repetera lite komplexa tal redan nu, även om
det tillhör andra delkursen, eftersom “många reella upptäckter går
genom det komplexa”.