Polynom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Definition

Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER
Definition. Polynom är uttrycket av typen
a n x n +  + a1 x + a0 , eller kortare
n
∑a x
k =0
k
k
,
( där n är ett icke-negativt heltal).
Definition. Låt P( x ) = an x n +  + a1 x + a0 vara ett polynom där an ≠ 0 , då kallas n för
polynomets grad och ibland betecknas n = grad ( P( x )) . Alltså är polynomets grad lika med
högsta förekommande exponent i uttrycket a n x n +  + a1 x + a0 .
Exempel. Polynomet P1 ( x ) = 5 x 3 + x 2 − 4 har grad 3,
P2 ( x ) = x 4 + 3x 2 − 4 har grad 4,
P3 ( x ) = 5 x − 2 har grad 1 och P4 ( x ) = 8 har grad 0.
Definition. Låt P( x ) = an x n +  + a1 x + a0 vara ett polynom. Lösningar till ekvationen
P( x ) = 0 dvs. an x n +  + a1 x + a0 = 0 (ekv1) kallas polynomets nollställen.
Definition. En ekvation av typen an x n +  + a1 x + a0 = 0 kallas för algebraisk ekvation.
Definition. Rationell funktion är kvoten av två polynom, dvs uttrycket av typen
an x n +  + a1 x + a0
.
bk x k +  + b1 x + b0
En rationell funktion är definierad endast om nämnaren är skild från 0.
an x n +  + a1 x + a0
Eventuella nollställen till (den rationella) funktionen f ( x ) =
får vi ur
bk x k +  + b1 x + b0
ekvationen täljaren=0, dvs. genom att lösa ekvationen an x n +  + a1 x + a0 = 0 .
x+3
är en rationell funktion.
x2 − 4
x+3
Funktionen f ( x ) = 2
är definierad om x ≠ ±2 .
x −4
Från ekvationen "täljaren=0" dvs. x + 3 = 0 får vi nollstället x = −3 .
Exempel.
f ( x) =
1
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift1. Bestäm nollställen till följande polynom
b) P( x ) = x 3 + 9 x c) P( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x d) P( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4
a) P( x ) = x 3 − 9 x
e) P( x ) = x 3 − 3x 2 + 10 x − 30
Lösning a) Nolställen till polynomet P( x ) = x 3 − 9 x får vi genom att lösa (den algebraiska)
ekvationen x 3 − 9 x = 0 .
Vi faktoriserar polynomet och därefter löser enklare ekvationer, faktor(k) = 0.
x 3 − 9 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 9) = 0 ⇔ x ( x − 3)( x + 3) = 0 .
Alltså är x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3 polynomets nollställen.
Svar a) x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3
Lösning b) x 3 + 9 x = 0 ⇔ x ( x 2 + 9) = 0 ⇔ x = 0 eller x 2 + 9 = 0
Från x 2 + 9 = 0 har vi x 2 = −9 ⇔ x = ± − 9 ⇔ x = ±3 .
Svar b) x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3
Lösning c) x 3 − 5 x 2 + 6 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 5 x + 6) = 0 ⇔ x = 0 eller x 2 − 5 x + 6 = 0
2
Vi har x1 = 0 och x − 5 x + 6 = 0 ⇔ x2,3
2
25
5
p
 p
− 6 ...
= − ±   − q ⇔ x2 , 3 = ±
4
2
2
2
Efter förenkling x2 = 2 , x3 = 3 .
Svar c) x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 3
Lösning d) För att lösa x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 inför vi substitutionen x 2 = y och löser ekvationen
y 2 − 5 y + 4 = 0 som ger y1 = 1, y 2 = 4. Från x 2 = 1 har vi x1, 2 = ±1 . Från x 2 = 4 har vi x3, 4 = ±2 .
Svar d) x1 = 1 , x2 = −1 , x3 = 2 , x4 = −2
Lösning e) Den här gången faktoriserar vi polynomet genom att gruppera första två och
sista två termer x 3 − 3x 2 + 10 x − 30 = x 2 ( x − 3) + 10( x − 3) = ( x − 3)( x 2 + 10) .
Alltså x 3 − 3x 2 + 10 x − 30 = 0 ⇔ ( x − 3)( x 2 + 10) = 0 ⇔ x1 = 3 , x2 = i 10 , x3 = −i 10
Svar e) x1 = 3 , x2 = i 10 , x3 = −i 10
=================================================================
Följande formler använder vi ofta vid faktorisering av ett polynom:
i) x 2 − a 2 = ( x − a )( x + a )
ii) x 2 + a 2 = ( x − ai )( x + ai )
2
iii) x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 )
{ där x1, 2 = −
2
p
 p
±   −q }
2
2
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
iv) x 3 − a 3 = ( x − a )( x 2 + ax + a 2 )
v) x 3 + a 3 = ( x + a )( x 2 − ax + a 2 )
Anmärkning: I formeln iv) kan man fortsätta och faktorisera vidare uttrycket x 2 + ax + a 2 i
komplexa faktorer ( enligt formel iii). Samma gäller för formel v)
vi) x 4 − a 4 = ( x 2 − a 2 )( x 2 + a 2 ) = ( x − a )( x + a )( x 2 + a 2 )
{ = ( x − a )( x + a )( x − ai )( x + ai ) om vi vill ha komplexa faktorer}
vii) x n − a n = ( x − a )( x n −1 + x n −2 a +  xa n −2 + a n −1 )
(Mer om faktorisering av ett polynom kommer i andra delen av den här stencilen)
Uppgift 2. Faktorisera följande polynom i reella faktorer
a) x 2 − 4
f) x 3 − 8
b) x 2 − 5
g) x 3 + 1
c) 2 x 2 − 10 x + 12 d) x 2 + x − 12
h) x 3 + 2
i) x 4 − 4 x 2 + 6 x + 12
e) 5 x 2 + 5 x − 30
j) x 5 − 1
Svar
a) ( x − 2)( x + 2)
b) x 2 − 5 = x 2 − ( 5 ) 2 = ( x − 5 )( x + 5 )
c) 2 x 2 − 10 x + 12 = 2( x 2 − 5 x + 6) = 2( x − x1 )( x − x2 ) = 2( x − 2)( x − 3)
d) x 2 + x − 12 = ( x − x1 )( x − x2 ) = ( x + 4)( x − 3)
e) 5 x 2 + 5 x − 30 = 5( x 2 + x − 6) = 6( x + 3)( x − 2)
f) x 3 − 8 = x 3 − 2 3 = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
g) x 3 + 1 = x 3 + 13 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)
h) x 3 + 2 = x 3 + ( 3 2 ) 3 = ( x + 3 2 )( x 2 − x 3 2 + 3 4 )
i) x 4 − 4 x 2 + 6 x + 12 = x 2 ( x 2 − 4) + 6( x + 2) = x 2 ( x − 2)( x + 2) + 6( x + 2) =
= ( x + 2)(x 2 ( x − 2) + 6) = ( x + 2)( x 3 − 2 x 2 + 6)
j) x 5 − 1 = ( x − 1)( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
Uppgift 3. Faktorisera följande polynom i linjära faktorer. Faktorerna får innehålla komplexa
tal.
a) x 2 + 4 b) x 2 + 5 c) x 2 − 2 x + 2
Lösning:
a) x 2 + 4 = x 2 + 2 2 = ( x + 2i )( x − 2i )
b) Först vi löser ekvationen x 2 − 2 x + 2 = 0 ⇒ x1 = 1 + i, x2 = 1 − i
Nu har vi x 2 − 2 x + 2 = ( x − x1 )( x − x2 ) = ( x − 1 − i ) ( x − 1 + i )
Svar a) ( x + 2i )( x − 2i ) b) ( x − 1 − i ) ( x − 1 + i )
3
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Polynomdivision:
Definition: Om för polynomen P (x ) , Q (x ) , K (x ) och R (x ) gäller
(*)
R( x )
P( x )
= K ( x) +
Q( x)
Q( x)
där grad ( R ( x )) < grad (Q ( x ))
så kallar vi K (x ) för kvoten och R (x ) för restterm vid division av P (x ) med Q (x ) .
Sambandet (*) kan också skrivas som
(**) P ( x ) = Q ( x ) K ( x ) + R( x )
------------------------------------------------------------------Om R( x ) = 0 säger vi att polynomet P (x ) är delbart med Q (x ) . Då gäller P( x ) = Q ( x ) K ( x )
Exempel. Utför divisionen
2x2 + 6x + 8
x+2
dvs bestäm kvoten och resten.
Kontrollera resultat.
Lösning:
STEG 1.
Vi delar först termen med största exponenten i täljaren ( i vårt fall 2x 2 ) med termen som
har största exponenten i nämnaren ( i vårt fall x ). Alltså 2x 2 / x = 2 x .
Därefter beräknar vi 2 x gånger ( x + 2) och subtraherar produkten 2 x ( x + 2) = 2 x 2 + 4 x från
polynomet P(x)= 2 x 2 + 6 x + 8 och får REST1= ( 2 x 2 + 6 x + 8) − ( 2 x 2 + 4 x ) = 2 x + 8 .
Detta utförs enklast med hjälp av en tabell
( 2x 2 + 6x + 8 ) / ( x + 2 ) = 2x
− (2 x 2 + 4 x )
← rest1
2x + 8
STEG 2.
Vi delar rest1 med nämnaren (x+2) på samma sätt som i STEG 1
dvs vi delar termen med största exponenten i rest 1, ( i vårt fall 2 x ) med
största exponenten i nämnaren ( i vårt fall x).
4
termen som har
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Alltså vi delar 2 x / x = +2. Vi adderar +2 i kvoten och därefter subtraherar (x+2)*2=2x+8
Vi gör detta direkt i tabellen :
( 2x2 + 6x + 8 ) / ( x + 2 ) = 2x + 2
− (2 x 2 + 4 x )
← rest1
2x + 8
-( 2 x + 4 )
4← rest2
Vi kan inte fortsätta eftersom resten 4 har mindre grad än nämnaren x+2.
Därmed blir kvoten = 2 x + 2 och resten = 4.
Alltså vi kan skriva
dvs
P( x )
R( x )
= K ( x) +
Q( x)
Q( x)
2x2 + 6x + 8
4
= 2x + 2 +
x+2
x+2
Anmärkning: Ett annat sätt att tolka resultat är att skriva P( x ) = Q ( x ) K ( x ) + R( x )
dvs 2 x 2 + 6 x + 8 = ( 2 x + 2)( x + 2) + 4 .
Kontroll. Vi kontroller resultat genom att beräkna högerledet i resultatet:
Högerledet= 2 x + 2 +
=
4
2x + 2 x + 2
4
2x + 2
4
=
+
⋅
=
+
=
1
1
x+2 x+2
x+2
x+2
2x2 + 2x + 2x + 4
4
2x2 + 4x + 8
+
=
x+2
x+2
x+2
Svar.
4
2x2 + 6x + 8
= 2x + 2 +
x+2
x+2
Uppgift 4. Utför divisionen
a)
= vänsterledet.
P( x )
och bestäm om polynomet P (x ) är delbart med Q (x ) .
Q( x)
x3 − 4x2 + 6x − 9
x2 − x + 3
b)
2 x3 + 6x 2 + 8x − 5
x2 + 2x + 3
Lösning:
a) ( x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9 ) / ( x 2 − x + 3 ) = x − 3
− ( x 3 − x 2 + 3x )
− 3x 2 + 3x − 9 ← rest 1
5
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
− ( −3 x 2 + 3 x − 9 )
0
← rest 2
Resten R = 0. Med andra ord är polynomet P (x ) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9 delbart med
Q (x ) = x 2 − x + 3 .
x3 − 4x2 + 6x − 9
Vi kan skriva
=x−3
x2 − x + 3
eller ( x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9) = ( x 2 − x + 3)( x − 3) .
b) ( 2 x 3 + 6 x 2 + 8 x − 5) /( x 2 + 2 x + 3) = 2 x + 2
− (2 x 3 + 4 x 2 + 6 x )
2 x 2 + 2 x − 5 ← rest 1
− ( 2 x 2 + 4 x + 6)
− 2 x − 11 ← rest 2
Svar.
− 2 x − 11
2 x3 + 6x 2 + 8x − 5
= 2x + 2 + 2
.
2
x + 2x + 3
x + 2x + 3
Polynomet P (x ) = 2 x 3 + 6 x 2 + 8 x − 5 är INTE delbart med Q (x ) = x 2 + 2 x + 3 eftersom
resten R = − 2 x − 11 är skild från 0.
FAKTORISERING AV ETT POLYNOM
Låt P (x ) vara ett polynom. Efter att vi utför polynomdivision och delar P (x ) med ( x − a )
kan vi skriva
P( x ) = ( x − a ) K ( x ) + R . Då uppenbart gäller
⇔ { P( x ) = ( x − a ) K ( x ) } ⇔ { P( a ) = 0 }.
{ P (x ) är delbart med ( x − a ) ] } ⇔ {R=0}
Faktorsatsen. Ett polynom P (x ) är delbart med ( x − a ) om och endast om P ( a ) = 0 .
Med andra ord: Ett polynom P (x ) är delbart med ( x − a ) om och endast om a är ett
nollställe till P (x ) .
Uppgift 5. Bestäm om talet a är ett nollställe till polynomet P (x ) där
a) P ( x ) = x 3 − 6 x + 4 ,
a=2
b) P ( x ) = x 3 − 6 x + 4 , a = 1
6
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
c) P( x ) = x 3 + 3x 2 + i + 3 ,
a =i
Svar: a) Ja eftersom P ( 2) = 0 ,
b) Nej eftersom P(1) = −1 ≠ 0 c) Ja eftersom P(i ) = 0 .
Uppgift 6. Talet x1 = 1 är en lösning till ekvationen x 3 − 3x + 2 = 0 .
a) Bestäm alla lösningar.
Lösning: Polynomet x 3 − 3x + 2 är delbart med x − 1 ( enligt faktorsatsen).
Polynomdivisionen ger
a) ( x 3 − 3x + 2 ) / ( x − 1 ) = x 2 + x − 2
− ( x3 − x2 )
x 2 − 3x + 2 ← rest 1
− ( x 2 − x)
− 2 x − 2 ← rest 2
− ( −2 x − 2 )
0
← rest 3
Vi har kvar andragradsekvationen
x2 + x − 2 = 0
x2,3 =
−1
1
−1 3
±
+ 2 ⇒ x2,3 =
± ⇒ x2 = 1 och x3 = −2 .
2
4
2 2
Svar: x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = −2 .
---------------------------------------------------------------------------------------Följande sats kan vi använda för att finna eventuella heltalslösningar till en algebraisk
ekvation.
Sats om heltalslösningar. Om den algebraiska ekvationen an x n +  + a1 x + a0 = 0 har
heltalskoefficienter och en heltalslösning x1 = k ( dvs k är ett hel tal) då är den
konstata koefficienten a0 delbart med k.
Bevis. Om x1 = k är en heltalslösning då gäller an k n +  + a1k + a0 = 0 som vi kan
skriva som an k n +  + a1k = −a0 . Vänster ledet är delbart med k (notera att alla
koefficienter a j är enligt antagande hela tal och att k finns i varje term). Därmed är också
a0 delbart med k.
Uppgift 7. Bestäm om följande ekvationer (med heltalskoefficienter) har heltalslösningar .
Lös ekvationer om så är fallet.
7
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
a) x 3 − 8 x + 3 = 0 ,
b) x 3 − 6 x − 5 = 0 c) 2 x 3 + 3x 2 + 2 x + 3 = 0
Lösning a) . Eventuella heltalslösningar är faktorer i den konstanta termen 3 dvs finns
bland ± 1 ± 3 . Vi testar alla fyra och inser att x1 = −3 är en lösning till x 3 − 8 x + 3 = 0 .
Polynomdivision ger ( x 3 − 8 x + 3) /( x + 3) = x 2 − 3x + 1 .
Från x 2 − 3x + 1 = 0 har vi x2,3 =
3
5
±
2 2
Svar a) x1 = −3 , x2,3 =
3
5
±
2 2
Svar b) x1 = −1 , x2,3 =
1
21
±
2
2
Lösning c) Ingen av faktorer ± 1 ± 3 uppfyller ekvationen implicerar att ekvationen inte
har någon heltalslösning.
Anmärkning: Vi kan faktorisera ekvationen genom att gruppera första två termer:
x 2 ( 2 x + 3) + ( 2 x + 3) = 0 ⇔ ( 2 x + 3)( x 2 + 1) = 0
Härav x1 = −2 / 3 och x2,3 = ±i (men ingen heltalslösning)
Algebras fundamental sats. Varje polynom P (x ) av grad ≥ 1 har minst en (reell eller
komplex) rot.
Med hjälp av den här satsen och faktorsatsen drar vi slutsatsen att varje polynom kan
faktoriseras i linjära faktorer enligt följande:
an x n +  a2 x 2 + a1 x + a0 = an ( x − x1 )( x − x2 )  ( x − xn )
där xk är polynomets nollställen ( reella eller komplexa).
Uppgift 8. Låt P ( x ) = 10 x 3 + 50 x 2 + 60 x
a) Bestäm polynomets nollställen.
b) Faktorisera polynom i linjera faktorer.
Lösning:
Vi får nollställen från 10 x 3 + 50 x 2 + 60 x = 0
Vi kombinerar faktorisering och formeln för andragradsekvationer:
8
(F1)
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Först bryter vi ut 10 x och får ekvationen
10 x ( x 2 + 5 x + 6) = 0
Härav först x1 = 0 och ( från andragradsekvationen x 2 + 5 x + 6 = 0 )
x 2 = −3 , x 3 = −2 .
Faktorisering:
P( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 10( x − 0)( x + 3)( x + 2)
Svar. a) x1 = 0 , x2 = −3 , x3 = −2 .
b) P( x ) = 10( x − 0)( x + 3)( x + 2)
----------------------------------------------------------Polynom med reella koefficienter. Om polynomets koefficienter ak är reella tal då
eventuella komplexa nollställen förekommer i konjugerade par
xk = a + bi ,
xk +1 = a − bi
Om vi önskar faktorisering i reella faktorer då grupperar vi motsvarande konjugerade
par:
( x − ( a + bi ))( x − ( a − bi )) = ( x − a − bi )( x − a + bi ) = ( x − a ) 2 − (bi ) 2
= ( x − a ) 2 + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2
Alltså för att få en reell faktorisering, ersätter vi ( x − ( a + bi ))( x − ( a − bi )) i F1 med
andragradspolynomet x 2 − 2ax + a 2 + b 2 .
Uppgift 9. Låt P( x ) = x 3 − 4 x 2 + 5 x
a) Bestäm polynomets nollställen
b) Faktorisera polynom i linjära faktorer
c) Faktorisera polynom i reella faktorer ( som då får innehålla andragradspolynom)
Lösning:
a) x 3 − 4 x 2 + 5 x = 0 ⇒ x ( x 2 − 4 x + 5) = 0
⇒ x1 = 0 , x2 = 2 + i , x3 = 2 − i
b) Faktorisering i linjära faktorer:
P ( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 1( x − 0)( x − ( 2 + i ))( x − ( 2 − i ))
= x ( x − 2 − i )( x − 2 + i )
c) Faktorisering i reella faktorer ( som då kan innehåller andragradspolynom) har vi redan
fått i början av uppgiften :
x ( x 2 − 4 x + 5)
Svar. a) x1 = 0 , x2 = 2 + i , x3 = 2 − i
b) P( x ) = x ( x − 2 − i )( x − 2 + i )
c) P ( x ) = x ( x 2 − 4 x + 5)
9
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift 10. Det komplexa talet z1 = 2 + i är en lösning till ekvationen.
2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15 = 0
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1 = 2 + i är en lösning ) ⇒ z 2 = 2 − i är
också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 2 − i )( z − 2 + i ) = ( z − 2) 2 − i 2 = z 2 − 4 z + 5 .
Polynomdivisionen ger
( 2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15) /( z 2 − 4 z + 5) = ( 2 z + 3)
dvs ( 2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15) = ( z 2 − 4 z + 5)( 2 z + 3) .
Den tredje lösningen får vi ur
−3
( 2 z + 3) = 0 ⇒ z 3 =
2
Svar. z1 = 2 + i , z 2 = 2 − i , z 3 = −3 / 2
Uppgift 11. Det komplexa talet z1 = 1 + i är en lösning till ekvationen
2 z 3 − 5z 2 + 6 z − 2 = 0 .
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och en komplex lösning z1 = 1 + i ) ⇒ z 2 = 1 − i är
också en lösning till ekvationen.
Därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 1 − i )( z − 1 + i ) = ( z − 1) 2 + 1 = z 2 − 2 z + 2
(2 z 3 − 5 z 2 + 6 z − 2) /( z 2 − 2 z + 2) = 2 z − 1 .
Den tredje roten får vi ur
2 z − 1 = 0 ⇒ z3 =
1
.
2
Svar. z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i , z 3 =
1
2
10
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Uppgift 12. z1 = i är en lösning till ekvationen
z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2 = 0 .
Bestäm alla lösningar.
Lösning:
(Ekvationen har reella koefficienter och z1 = i är en lösning ) ⇒ z 2 = −i är också en
lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med
( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − i )( z + i ) = z 2 − i 2 = z 2 + 1 .
Polynomdivisionen ger
( z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2) /( z 2 + 1) = z 2 + 3z + 2
Två lösningar till får vi ur
z 2 + 3z + 2 = 0 ⇒ z3 = −1, z4 = −2
Svar. z1 = i , z 2 = −i , z 3 = −1,
z 4 = −2
---------------------------------------------------------------Nollställen av högre multiplicitet.
Det kan hända att vi får några lika linjära faktorer termer i faktoriseringen
(F1)
an x n +  a2 x 2 + a1 x + a0 = an ( x − x1 )( x − x2 )  ( x − xn )
Om vi grupperar lika linjära faktorer då kan vi skriva (F1)
på ekvivalenta formen
a n x n + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = a n Π ( x − x j )
j
Kj
(F2)
Exponenterna Kj visar hur många gånger upprepas faktorn ( x − x j ) i formeln F1.
Vi säger att x j är en rot av multipliciteten Kj.
Om t ex Kj är 2 ( eller 3) då säger vi att x j är en dubbel rot ( trippel rot) till ekvationen..
Uppgift 13. Bestäm polynomets nollställen, faktorisera polynom i linjära faktorer, och
bestäm nollställenas multiplicitet, då
a) P (λ ) = λ3 + λ2 − 6λ b) P(λ ) = λ3 + 6λ2 + 9λ
Lösning:
a) λ3 + λ2 − 6λ = 0 ⇒ λ (λ2 + λ − 6) = 0 ⇒ λ1 = 0 , λ2 = 2 , λ3 = −3
Alltså har polynomet nollställena λ1 = 0 , λ2 = 2 och λ3 = −3 .
Faktorisering: P(λ ) = λ (λ − 2)(λ + 3)
Eftersom varje faktor λ , (λ − 2) och (λ + 3) förekommer exakt en gång i
faktoriseringen, ser vi att varje nollställen har multipliciteten 1.
b) λ3 + 6λ2 + 9λ = 0 ⇒ ⇒ λ (λ2 + 6λ + 9) = 0 ⇒ λ1 = 0 , λ2 = −3 , λ3 = −3
Alltså har polynomet nollställena λ1 = 0 , och λ2,3 = −3 ( dubbelrot).
11
Polynom
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Faktorisering: P(λ ) = λ (λ + 3)(λ + 3) = λ (λ + 3) 2
Härav ser vi att ekvationen har två olika rötter ( tre totalt om man räknar med deras
multipliciteter) :
Roten λ = 0 ( dvs λ1 = 0 ) har multipliciteten =1
medan roten λ = –3 ( dvs λ2,3 = −3 ) har multipliciteten = 2
Uppgift 14. Låt P(λ ) = λ3 + 3λ2 + 3λ + 1
Bestäm polynomets nollställen, faktorisera polynom i linjära faktorer, och bestäm
nollställenas multiplicitet.
Tipps: Man kan använda formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
Lösning: Om vi använder formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 med a = λ och b = 1
får vi
λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = (λ + 1) 3
[ Alternativt kan man finna en rot bland heltals delare ( +1 och -1) till den konstanta
termen ( dvs 1 ) i polynomet. ]
Härav får vi direkt att ekvationen P(λ ) = 0 har en trippelrot λ1, 2,3 = −1 .
Alltså λ = −1 är en rot med multipliciteten = 3
Svar:
λ1, 2,3 = −1 .
P(λ ) = (λ + 1) 3 .
Roten λ = −1 har den algebraiska multipliciteten = 3
Anmärkning: Man kan även definiera multipliciteten av en rot på fäljande ekvivalenta
sätt:
Definition. ( En ekvivalent definition för multipliciteten av ett nollställe)
Om xi är ett nollställe till polynomet P(x ) och
P( x )= ( x − xi ) K g ( x ) där g ( xi ) ≠ 0 ,för ett positive heltal K,
då säger vi att xi har multipliciteten K.
12