Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Definition. Polynom är uttrycket av typen a n x n + + a1 x + a0 , eller kortare n ∑a x k =0 k k , ( där n är ett icke-negativt heltal). Definition. Låt P( x ) = an x n + + a1 x + a0 vara ett polynom där an ≠ 0 , då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad ( P( x )) . Alltså är polynomets grad lika med högsta förekommande exponent i uttrycket a n x n + + a1 x + a0 . Exempel. Polynomet P1 ( x ) = 5 x 3 + x 2 − 4 har grad 3, P2 ( x ) = x 4 + 3x 2 − 4 har grad 4, P3 ( x ) = 5 x − 2 har grad 1 och P4 ( x ) = 8 har grad 0. Definition. Låt P( x ) = an x n + + a1 x + a0 vara ett polynom. Lösningar till ekvationen P( x ) = 0 dvs. an x n + + a1 x + a0 = 0 (ekv1) kallas polynomets nollställen. Definition. En ekvation av typen an x n + + a1 x + a0 = 0 kallas för algebraisk ekvation. Definition. Rationell funktion är kvoten av två polynom, dvs uttrycket av typen an x n + + a1 x + a0 . bk x k + + b1 x + b0 En rationell funktion är definierad endast om nämnaren är skild från 0. an x n + + a1 x + a0 Eventuella nollställen till (den rationella) funktionen f ( x ) = får vi ur bk x k + + b1 x + b0 ekvationen täljaren=0, dvs. genom att lösa ekvationen an x n + + a1 x + a0 = 0 . x+3 är en rationell funktion. x2 − 4 x+3 Funktionen f ( x ) = 2 är definierad om x ≠ ±2 . x −4 Från ekvationen "täljaren=0" dvs. x + 3 = 0 får vi nollstället x = −3 . Exempel. f ( x) = 1 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Uppgift1. Bestäm nollställen till följande polynom b) P( x ) = x 3 + 9 x c) P( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x d) P( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 a) P( x ) = x 3 − 9 x e) P( x ) = x 3 − 3x 2 + 10 x − 30 Lösning a) Nolställen till polynomet P( x ) = x 3 − 9 x får vi genom att lösa (den algebraiska) ekvationen x 3 − 9 x = 0 . Vi faktoriserar polynomet och därefter löser enklare ekvationer, faktor(k) = 0. x 3 − 9 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 9) = 0 ⇔ x ( x − 3)( x + 3) = 0 . Alltså är x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3 polynomets nollställen. Svar a) x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3 Lösning b) x 3 + 9 x = 0 ⇔ x ( x 2 + 9) = 0 ⇔ x = 0 eller x 2 + 9 = 0 Från x 2 + 9 = 0 har vi x 2 = −9 ⇔ x = ± − 9 ⇔ x = ±3 . Svar b) x1 = 0 , x2 = 3 , x3 = −3 Lösning c) x 3 − 5 x 2 + 6 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 5 x + 6) = 0 ⇔ x = 0 eller x 2 − 5 x + 6 = 0 2 Vi har x1 = 0 och x − 5 x + 6 = 0 ⇔ x2,3 2 25 5 p p − 6 ... = − ± − q ⇔ x2 , 3 = ± 4 2 2 2 Efter förenkling x2 = 2 , x3 = 3 . Svar c) x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 3 Lösning d) För att lösa x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 inför vi substitutionen x 2 = y och löser ekvationen y 2 − 5 y + 4 = 0 som ger y1 = 1, y 2 = 4. Från x 2 = 1 har vi x1, 2 = ±1 . Från x 2 = 4 har vi x3, 4 = ±2 . Svar d) x1 = 1 , x2 = −1 , x3 = 2 , x4 = −2 Lösning e) Den här gången faktoriserar vi polynomet genom att gruppera första två och sista två termer x 3 − 3x 2 + 10 x − 30 = x 2 ( x − 3) + 10( x − 3) = ( x − 3)( x 2 + 10) . Alltså x 3 − 3x 2 + 10 x − 30 = 0 ⇔ ( x − 3)( x 2 + 10) = 0 ⇔ x1 = 3 , x2 = i 10 , x3 = −i 10 Svar e) x1 = 3 , x2 = i 10 , x3 = −i 10 ================================================================= Följande formler använder vi ofta vid faktorisering av ett polynom: i) x 2 − a 2 = ( x − a )( x + a ) ii) x 2 + a 2 = ( x − ai )( x + ai ) 2 iii) x 2 + px + q = ( x − x1 )( x − x2 ) { där x1, 2 = − 2 p p ± −q } 2 2 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR iv) x 3 − a 3 = ( x − a )( x 2 + ax + a 2 ) v) x 3 + a 3 = ( x + a )( x 2 − ax + a 2 ) Anmärkning: I formeln iv) kan man fortsätta och faktorisera vidare uttrycket x 2 + ax + a 2 i komplexa faktorer ( enligt formel iii). Samma gäller för formel v) vi) x 4 − a 4 = ( x 2 − a 2 )( x 2 + a 2 ) = ( x − a )( x + a )( x 2 + a 2 ) { = ( x − a )( x + a )( x − ai )( x + ai ) om vi vill ha komplexa faktorer} vii) x n − a n = ( x − a )( x n −1 + x n −2 a + xa n −2 + a n −1 ) (Mer om faktorisering av ett polynom kommer i andra delen av den här stencilen) Uppgift 2. Faktorisera följande polynom i reella faktorer a) x 2 − 4 f) x 3 − 8 b) x 2 − 5 g) x 3 + 1 c) 2 x 2 − 10 x + 12 d) x 2 + x − 12 h) x 3 + 2 i) x 4 − 4 x 2 + 6 x + 12 e) 5 x 2 + 5 x − 30 j) x 5 − 1 Svar a) ( x − 2)( x + 2) b) x 2 − 5 = x 2 − ( 5 ) 2 = ( x − 5 )( x + 5 ) c) 2 x 2 − 10 x + 12 = 2( x 2 − 5 x + 6) = 2( x − x1 )( x − x2 ) = 2( x − 2)( x − 3) d) x 2 + x − 12 = ( x − x1 )( x − x2 ) = ( x + 4)( x − 3) e) 5 x 2 + 5 x − 30 = 5( x 2 + x − 6) = 6( x + 3)( x − 2) f) x 3 − 8 = x 3 − 2 3 = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) g) x 3 + 1 = x 3 + 13 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) h) x 3 + 2 = x 3 + ( 3 2 ) 3 = ( x + 3 2 )( x 2 − x 3 2 + 3 4 ) i) x 4 − 4 x 2 + 6 x + 12 = x 2 ( x 2 − 4) + 6( x + 2) = x 2 ( x − 2)( x + 2) + 6( x + 2) = = ( x + 2)(x 2 ( x − 2) + 6) = ( x + 2)( x 3 − 2 x 2 + 6) j) x 5 − 1 = ( x − 1)( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) Uppgift 3. Faktorisera följande polynom i linjära faktorer. Faktorerna får innehålla komplexa tal. a) x 2 + 4 b) x 2 + 5 c) x 2 − 2 x + 2 Lösning: a) x 2 + 4 = x 2 + 2 2 = ( x + 2i )( x − 2i ) b) Först vi löser ekvationen x 2 − 2 x + 2 = 0 ⇒ x1 = 1 + i, x2 = 1 − i Nu har vi x 2 − 2 x + 2 = ( x − x1 )( x − x2 ) = ( x − 1 − i ) ( x − 1 + i ) Svar a) ( x + 2i )( x − 2i ) b) ( x − 1 − i ) ( x − 1 + i ) 3 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polynomdivision: Definition: Om för polynomen P (x ) , Q (x ) , K (x ) och R (x ) gäller (*) R( x ) P( x ) = K ( x) + Q( x) Q( x) där grad ( R ( x )) < grad (Q ( x )) så kallar vi K (x ) för kvoten och R (x ) för restterm vid division av P (x ) med Q (x ) . Sambandet (*) kan också skrivas som (**) P ( x ) = Q ( x ) K ( x ) + R( x ) ------------------------------------------------------------------Om R( x ) = 0 säger vi att polynomet P (x ) är delbart med Q (x ) . Då gäller P( x ) = Q ( x ) K ( x ) Exempel. Utför divisionen 2x2 + 6x + 8 x+2 dvs bestäm kvoten och resten. Kontrollera resultat. Lösning: STEG 1. Vi delar först termen med största exponenten i täljaren ( i vårt fall 2x 2 ) med termen som har största exponenten i nämnaren ( i vårt fall x ). Alltså 2x 2 / x = 2 x . Därefter beräknar vi 2 x gånger ( x + 2) och subtraherar produkten 2 x ( x + 2) = 2 x 2 + 4 x från polynomet P(x)= 2 x 2 + 6 x + 8 och får REST1= ( 2 x 2 + 6 x + 8) − ( 2 x 2 + 4 x ) = 2 x + 8 . Detta utförs enklast med hjälp av en tabell ( 2x 2 + 6x + 8 ) / ( x + 2 ) = 2x − (2 x 2 + 4 x ) ← rest1 2x + 8 STEG 2. Vi delar rest1 med nämnaren (x+2) på samma sätt som i STEG 1 dvs vi delar termen med största exponenten i rest 1, ( i vårt fall 2 x ) med största exponenten i nämnaren ( i vårt fall x). 4 termen som har Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Alltså vi delar 2 x / x = +2. Vi adderar +2 i kvoten och därefter subtraherar (x+2)*2=2x+8 Vi gör detta direkt i tabellen : ( 2x2 + 6x + 8 ) / ( x + 2 ) = 2x + 2 − (2 x 2 + 4 x ) ← rest1 2x + 8 -( 2 x + 4 ) 4← rest2 Vi kan inte fortsätta eftersom resten 4 har mindre grad än nämnaren x+2. Därmed blir kvoten = 2 x + 2 och resten = 4. Alltså vi kan skriva dvs P( x ) R( x ) = K ( x) + Q( x) Q( x) 2x2 + 6x + 8 4 = 2x + 2 + x+2 x+2 Anmärkning: Ett annat sätt att tolka resultat är att skriva P( x ) = Q ( x ) K ( x ) + R( x ) dvs 2 x 2 + 6 x + 8 = ( 2 x + 2)( x + 2) + 4 . Kontroll. Vi kontroller resultat genom att beräkna högerledet i resultatet: Högerledet= 2 x + 2 + = 4 2x + 2 x + 2 4 2x + 2 4 = + ⋅ = + = 1 1 x+2 x+2 x+2 x+2 2x2 + 2x + 2x + 4 4 2x2 + 4x + 8 + = x+2 x+2 x+2 Svar. 4 2x2 + 6x + 8 = 2x + 2 + x+2 x+2 Uppgift 4. Utför divisionen a) = vänsterledet. P( x ) och bestäm om polynomet P (x ) är delbart med Q (x ) . Q( x) x3 − 4x2 + 6x − 9 x2 − x + 3 b) 2 x3 + 6x 2 + 8x − 5 x2 + 2x + 3 Lösning: a) ( x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9 ) / ( x 2 − x + 3 ) = x − 3 − ( x 3 − x 2 + 3x ) − 3x 2 + 3x − 9 ← rest 1 5 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR − ( −3 x 2 + 3 x − 9 ) 0 ← rest 2 Resten R = 0. Med andra ord är polynomet P (x ) = x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9 delbart med Q (x ) = x 2 − x + 3 . x3 − 4x2 + 6x − 9 Vi kan skriva =x−3 x2 − x + 3 eller ( x 3 − 4 x 2 + 6 x − 9) = ( x 2 − x + 3)( x − 3) . b) ( 2 x 3 + 6 x 2 + 8 x − 5) /( x 2 + 2 x + 3) = 2 x + 2 − (2 x 3 + 4 x 2 + 6 x ) 2 x 2 + 2 x − 5 ← rest 1 − ( 2 x 2 + 4 x + 6) − 2 x − 11 ← rest 2 Svar. − 2 x − 11 2 x3 + 6x 2 + 8x − 5 = 2x + 2 + 2 . 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 Polynomet P (x ) = 2 x 3 + 6 x 2 + 8 x − 5 är INTE delbart med Q (x ) = x 2 + 2 x + 3 eftersom resten R = − 2 x − 11 är skild från 0. FAKTORISERING AV ETT POLYNOM Låt P (x ) vara ett polynom. Efter att vi utför polynomdivision och delar P (x ) med ( x − a ) kan vi skriva P( x ) = ( x − a ) K ( x ) + R . Då uppenbart gäller ⇔ { P( x ) = ( x − a ) K ( x ) } ⇔ { P( a ) = 0 }. { P (x ) är delbart med ( x − a ) ] } ⇔ {R=0} Faktorsatsen. Ett polynom P (x ) är delbart med ( x − a ) om och endast om P ( a ) = 0 . Med andra ord: Ett polynom P (x ) är delbart med ( x − a ) om och endast om a är ett nollställe till P (x ) . Uppgift 5. Bestäm om talet a är ett nollställe till polynomet P (x ) där a) P ( x ) = x 3 − 6 x + 4 , a=2 b) P ( x ) = x 3 − 6 x + 4 , a = 1 6 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR c) P( x ) = x 3 + 3x 2 + i + 3 , a =i Svar: a) Ja eftersom P ( 2) = 0 , b) Nej eftersom P(1) = −1 ≠ 0 c) Ja eftersom P(i ) = 0 . Uppgift 6. Talet x1 = 1 är en lösning till ekvationen x 3 − 3x + 2 = 0 . a) Bestäm alla lösningar. Lösning: Polynomet x 3 − 3x + 2 är delbart med x − 1 ( enligt faktorsatsen). Polynomdivisionen ger a) ( x 3 − 3x + 2 ) / ( x − 1 ) = x 2 + x − 2 − ( x3 − x2 ) x 2 − 3x + 2 ← rest 1 − ( x 2 − x) − 2 x − 2 ← rest 2 − ( −2 x − 2 ) 0 ← rest 3 Vi har kvar andragradsekvationen x2 + x − 2 = 0 x2,3 = −1 1 −1 3 ± + 2 ⇒ x2,3 = ± ⇒ x2 = 1 och x3 = −2 . 2 4 2 2 Svar: x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = −2 . ---------------------------------------------------------------------------------------Följande sats kan vi använda för att finna eventuella heltalslösningar till en algebraisk ekvation. Sats om heltalslösningar. Om den algebraiska ekvationen an x n + + a1 x + a0 = 0 har heltalskoefficienter och en heltalslösning x1 = k ( dvs k är ett hel tal) då är den konstata koefficienten a0 delbart med k. Bevis. Om x1 = k är en heltalslösning då gäller an k n + + a1k + a0 = 0 som vi kan skriva som an k n + + a1k = −a0 . Vänster ledet är delbart med k (notera att alla koefficienter a j är enligt antagande hela tal och att k finns i varje term). Därmed är också a0 delbart med k. Uppgift 7. Bestäm om följande ekvationer (med heltalskoefficienter) har heltalslösningar . Lös ekvationer om så är fallet. 7 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR a) x 3 − 8 x + 3 = 0 , b) x 3 − 6 x − 5 = 0 c) 2 x 3 + 3x 2 + 2 x + 3 = 0 Lösning a) . Eventuella heltalslösningar är faktorer i den konstanta termen 3 dvs finns bland ± 1 ± 3 . Vi testar alla fyra och inser att x1 = −3 är en lösning till x 3 − 8 x + 3 = 0 . Polynomdivision ger ( x 3 − 8 x + 3) /( x + 3) = x 2 − 3x + 1 . Från x 2 − 3x + 1 = 0 har vi x2,3 = 3 5 ± 2 2 Svar a) x1 = −3 , x2,3 = 3 5 ± 2 2 Svar b) x1 = −1 , x2,3 = 1 21 ± 2 2 Lösning c) Ingen av faktorer ± 1 ± 3 uppfyller ekvationen implicerar att ekvationen inte har någon heltalslösning. Anmärkning: Vi kan faktorisera ekvationen genom att gruppera första två termer: x 2 ( 2 x + 3) + ( 2 x + 3) = 0 ⇔ ( 2 x + 3)( x 2 + 1) = 0 Härav x1 = −2 / 3 och x2,3 = ±i (men ingen heltalslösning) Algebras fundamental sats. Varje polynom P (x ) av grad ≥ 1 har minst en (reell eller komplex) rot. Med hjälp av den här satsen och faktorsatsen drar vi slutsatsen att varje polynom kan faktoriseras i linjära faktorer enligt följande: an x n + a2 x 2 + a1 x + a0 = an ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xn ) där xk är polynomets nollställen ( reella eller komplexa). Uppgift 8. Låt P ( x ) = 10 x 3 + 50 x 2 + 60 x a) Bestäm polynomets nollställen. b) Faktorisera polynom i linjera faktorer. Lösning: Vi får nollställen från 10 x 3 + 50 x 2 + 60 x = 0 Vi kombinerar faktorisering och formeln för andragradsekvationer: 8 (F1) Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Först bryter vi ut 10 x och får ekvationen 10 x ( x 2 + 5 x + 6) = 0 Härav först x1 = 0 och ( från andragradsekvationen x 2 + 5 x + 6 = 0 ) x 2 = −3 , x 3 = −2 . Faktorisering: P( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 10( x − 0)( x + 3)( x + 2) Svar. a) x1 = 0 , x2 = −3 , x3 = −2 . b) P( x ) = 10( x − 0)( x + 3)( x + 2) ----------------------------------------------------------Polynom med reella koefficienter. Om polynomets koefficienter ak är reella tal då eventuella komplexa nollställen förekommer i konjugerade par xk = a + bi , xk +1 = a − bi Om vi önskar faktorisering i reella faktorer då grupperar vi motsvarande konjugerade par: ( x − ( a + bi ))( x − ( a − bi )) = ( x − a − bi )( x − a + bi ) = ( x − a ) 2 − (bi ) 2 = ( x − a ) 2 + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2 Alltså för att få en reell faktorisering, ersätter vi ( x − ( a + bi ))( x − ( a − bi )) i F1 med andragradspolynomet x 2 − 2ax + a 2 + b 2 . Uppgift 9. Låt P( x ) = x 3 − 4 x 2 + 5 x a) Bestäm polynomets nollställen b) Faktorisera polynom i linjära faktorer c) Faktorisera polynom i reella faktorer ( som då får innehålla andragradspolynom) Lösning: a) x 3 − 4 x 2 + 5 x = 0 ⇒ x ( x 2 − 4 x + 5) = 0 ⇒ x1 = 0 , x2 = 2 + i , x3 = 2 − i b) Faktorisering i linjära faktorer: P ( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 1( x − 0)( x − ( 2 + i ))( x − ( 2 − i )) = x ( x − 2 − i )( x − 2 + i ) c) Faktorisering i reella faktorer ( som då kan innehåller andragradspolynom) har vi redan fått i början av uppgiften : x ( x 2 − 4 x + 5) Svar. a) x1 = 0 , x2 = 2 + i , x3 = 2 − i b) P( x ) = x ( x − 2 − i )( x − 2 + i ) c) P ( x ) = x ( x 2 − 4 x + 5) 9 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Uppgift 10. Det komplexa talet z1 = 2 + i är en lösning till ekvationen. 2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15 = 0 Bestäm alla lösningar. Lösning: (Ekvationen har reella koefficienter och z1 = 2 + i är en lösning ) ⇒ z 2 = 2 − i är också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med ( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 2 − i )( z − 2 + i ) = ( z − 2) 2 − i 2 = z 2 − 4 z + 5 . Polynomdivisionen ger ( 2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15) /( z 2 − 4 z + 5) = ( 2 z + 3) dvs ( 2 z 3 − 5z 2 − 2 z + 15) = ( z 2 − 4 z + 5)( 2 z + 3) . Den tredje lösningen får vi ur −3 ( 2 z + 3) = 0 ⇒ z 3 = 2 Svar. z1 = 2 + i , z 2 = 2 − i , z 3 = −3 / 2 Uppgift 11. Det komplexa talet z1 = 1 + i är en lösning till ekvationen 2 z 3 − 5z 2 + 6 z − 2 = 0 . Bestäm alla lösningar. Lösning: (Ekvationen har reella koefficienter och en komplex lösning z1 = 1 + i ) ⇒ z 2 = 1 − i är också en lösning till ekvationen. Därför är ekvationen delbart med ( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − 1 − i )( z − 1 + i ) = ( z − 1) 2 + 1 = z 2 − 2 z + 2 (2 z 3 − 5 z 2 + 6 z − 2) /( z 2 − 2 z + 2) = 2 z − 1 . Den tredje roten får vi ur 2 z − 1 = 0 ⇒ z3 = 1 . 2 Svar. z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i , z 3 = 1 2 10 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Uppgift 12. z1 = i är en lösning till ekvationen z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2 = 0 . Bestäm alla lösningar. Lösning: (Ekvationen har reella koefficienter och z1 = i är en lösning ) ⇒ z 2 = −i är också en lösning till ekvationen och därför är ekvationen delbart med ( z − z1 )( z − z 2 ) = ( z − i )( z + i ) = z 2 − i 2 = z 2 + 1 . Polynomdivisionen ger ( z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 3z + 2) /( z 2 + 1) = z 2 + 3z + 2 Två lösningar till får vi ur z 2 + 3z + 2 = 0 ⇒ z3 = −1, z4 = −2 Svar. z1 = i , z 2 = −i , z 3 = −1, z 4 = −2 ---------------------------------------------------------------Nollställen av högre multiplicitet. Det kan hända att vi får några lika linjära faktorer termer i faktoriseringen (F1) an x n + a2 x 2 + a1 x + a0 = an ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xn ) Om vi grupperar lika linjära faktorer då kan vi skriva (F1) på ekvivalenta formen a n x n + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = a n Π ( x − x j ) j Kj (F2) Exponenterna Kj visar hur många gånger upprepas faktorn ( x − x j ) i formeln F1. Vi säger att x j är en rot av multipliciteten Kj. Om t ex Kj är 2 ( eller 3) då säger vi att x j är en dubbel rot ( trippel rot) till ekvationen.. Uppgift 13. Bestäm polynomets nollställen, faktorisera polynom i linjära faktorer, och bestäm nollställenas multiplicitet, då a) P (λ ) = λ3 + λ2 − 6λ b) P(λ ) = λ3 + 6λ2 + 9λ Lösning: a) λ3 + λ2 − 6λ = 0 ⇒ λ (λ2 + λ − 6) = 0 ⇒ λ1 = 0 , λ2 = 2 , λ3 = −3 Alltså har polynomet nollställena λ1 = 0 , λ2 = 2 och λ3 = −3 . Faktorisering: P(λ ) = λ (λ − 2)(λ + 3) Eftersom varje faktor λ , (λ − 2) och (λ + 3) förekommer exakt en gång i faktoriseringen, ser vi att varje nollställen har multipliciteten 1. b) λ3 + 6λ2 + 9λ = 0 ⇒ ⇒ λ (λ2 + 6λ + 9) = 0 ⇒ λ1 = 0 , λ2 = −3 , λ3 = −3 Alltså har polynomet nollställena λ1 = 0 , och λ2,3 = −3 ( dubbelrot). 11 Polynom Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Faktorisering: P(λ ) = λ (λ + 3)(λ + 3) = λ (λ + 3) 2 Härav ser vi att ekvationen har två olika rötter ( tre totalt om man räknar med deras multipliciteter) : Roten λ = 0 ( dvs λ1 = 0 ) har multipliciteten =1 medan roten λ = –3 ( dvs λ2,3 = −3 ) har multipliciteten = 2 Uppgift 14. Låt P(λ ) = λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 Bestäm polynomets nollställen, faktorisera polynom i linjära faktorer, och bestäm nollställenas multiplicitet. Tipps: Man kan använda formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 Lösning: Om vi använder formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 med a = λ och b = 1 får vi λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = (λ + 1) 3 [ Alternativt kan man finna en rot bland heltals delare ( +1 och -1) till den konstanta termen ( dvs 1 ) i polynomet. ] Härav får vi direkt att ekvationen P(λ ) = 0 har en trippelrot λ1, 2,3 = −1 . Alltså λ = −1 är en rot med multipliciteten = 3 Svar: λ1, 2,3 = −1 . P(λ ) = (λ + 1) 3 . Roten λ = −1 har den algebraiska multipliciteten = 3 Anmärkning: Man kan även definiera multipliciteten av en rot på fäljande ekvivalenta sätt: Definition. ( En ekvivalent definition för multipliciteten av ett nollställe) Om xi är ett nollställe till polynomet P(x ) och P( x )= ( x − xi ) K g ( x ) där g ( xi ) ≠ 0 ,för ett positive heltal K, då säger vi att xi har multipliciteten K. 12