LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg SVAR OCH ANVISNINGAR ALGEBRA 2007-01-08 11 1. 10 10 . 2. a 1 (3 b). 2 3. x 2 . 4. x 2 . 3 5. 2 2 2 2 3 3 144. 6. 18. 7. 2 ( x 6) 2 98 . 1 8. . 2 9. x 9 eller x 3 . 10. 35 . 35 11. x 4 7 x 2 0 x 2 ( x 2 7) 0. Svar: Ekvationen har rötterna 0 , 7 och 7 . 12. Förlänger man den andra termen med 2 i får man realdelen till Svar: Talet blir rent imaginärt om b 1. 1 ( 2 2b). 5 13. Polynomdivision ger 3x 4 6 x 3 5x 2 x 12 ( x 1) k ( x) r ( x) . Svar: k ( x) 3x 3 9 x 2 14 x 15 kvoten och r ( x) 27 resten . 14. (3 x ) 2 3 3 x 4 0 Sätt t 3 x och vi får t 2 3t 4 0 t 4 eller 1 1) 3 x 4 Denna ekvation saknar lösning. 2) 3 x 1 x 0. Svar: x 0. Var god vänd! 15. Med z x iy och därmed z x iy får vi 2i ( x iy ) 3( x iy ) 12 13i 3x 2 y i (2 x 3 y ) 12 13i Jämförelse av realdel och imaginärdel ger Svar: z x iy 2 3i. 16. 10 x 20 2 x (1) ( Kvadrering ) 10 x 20 (2 x) 2 x 2 14 x 24 0 x 12 eller 2 . En kontroll i ekv. (1) ger att bara x 2 duger. Svar: x 2 . x4 ( x 4)( x 5) 2 ln( x 5) 2 ln 3 (1) ln ln 3 x3 x 3 ( x 4)( x 5) 9 Detta ger andragradsekvationen x3 x 2 7 x 7 eller 7 . En kontroll i ekv. (1) ger att logaritmerna är definierade för båda rötterna. Svar: x 7 eller 7 . 17. ln 2 1 ( x 3)( x 1) x 0 0 x x x Teckenschema ger Svar: 0 x 3 eller x 1. 18. 2 Sätt f ( x) 19. sin 2 x 4 cos x 4 0 Sätt t cos x och vi får cos 2 x 4 cos x 3 0 2 t 4t 3 0 t 3 eller 1 . 1) cos x 3 Denna ekvation saknar lösning. 2) cos x 1 x n 2 , n Z . Svar: x n 2 , n Z . 20. cos x cos 2 x 2 sin x cos x sin x 2 sin x cos x sin x tan x sin x sin 2 x cos 2 sin x x 2 sin x cos x 2 cos x Klart. SLUT! ( x 3)( x 1) 0 x