Föreläsning 26/2 Funktioner besläktade med Bessel

Föreläsning 26/2
Funktioner besläktade med Bessel-funktionerna
Ulf Torkelsson
1
Neumann-funktioner och Hankel-funktioner
Exempel: En lång ihålig cylinder har innerradien a och ytterradien b. Cylindern är konstruerad
av ett material med den termiska diffusiviteten κ. Antag att inner- och yttersidorna av cylindern
hålls vid temperaturen 0, men att cylinderns inre till att börja med har en temperaturfördelning
f (ρ). Beräkna hur denna temperaturfördelning varierar med tiden.
Lösning: Temperaturen beror inte på ϕ eller z så vi kan skriva värmeledningsekvationen som
2
1 ∂T
∂ T
∂T
+
=κ
,
(1)
∂t
∂ρ2
ρ ∂ρ
och vi har randvillkoren att T (a, t) = T (b, t) = 0 och begynnelsevillkoret att T (ρ, 0) = f (ρ). Vi
ansätter en lösning på formen T (ρ, t) = P (ρ)F (t), vilket ger oss ekvationen
2
d P
1 dP
dF
= κF (t)
+
,
(2)
P (ρ)
dt
dρ2
ρ dρ
som vi kan skriva som
1 dF
1
=
κF (t) dt
P (ρ)
d2 P
1 dP
+
2
dρ
ρ dρ
= −λ2 .
(3)
Ekvationen för F (t) har lösningen
2
F (t) = e−κλ t ,
(4)
och den radiella ekvationen kan vi skriva som
ρ2
d2 P
dP
+ ρ2 λ2 P = 0,
+ρ
2
dρ
dρ
(5)
som då har lösningen
P (ρ) = a1 J0 (λρ) + b1 N0 (λρ) .
(6)
Därmed har vi lösningen
2
T (ρ, t) = e−κλ t [a1 J0 (λρ) + b1 N0 (λρ)] .
(7)
Randvillkoren ger oss nu att
a1 J0 (λa) + b1 N0 (λa)
=
0
(8)
a1 J0 (λb) + b1 N0 (λb)
=
0
(9)
För att dessa ekvationer skall ha en icke-trivial lösning för a1 och b1 så måste det gälla att determinanten för ekvationssystemet är 0
N0 (λa) J0 (λb) − N0 (λb) J0 (λa) = 0.
(10)
Denna ekvation har oändligt många rötter λ1 , λ2 ..... Enligt den första ekvationen i ekvationssystemet har vi
J0 (λa)
.
(11)
b1 = −a1
N0 (λa)
Därför kan vi skriva lösningen som
2
T (ρ, t) = Ae−κλ
2
[N0 (λa) J0 (λρ) − J0 (λa) N0 (λρ)] .
1
(12)
Vi kan nu skriva en allmän lösning till värmeledningsekvationen
T (ρ, T ) =
∞
X
2
Am e−κλm t T0 (λm ρ) ,
(13)
m=1
där
T0 (λm ρ) = N0 (λm a) J0 (λm ρ) − J0 (λm a) N0 (λm ρ)
(14)
Villkoret att f (ρ) = T (ρ, 0) ger oss att
∞
X
f (ρ) =
Am T0 (λm ρ) ,
(15)
m=1
och alltså ges Am av
Rb
Am = Rab
a
ρf (ρ) T0 (λρ) dρ
2
.
(16)
ρ [T0 (λm ρ)] dρ
Vi har redan sett att Bessels differentialekvation har två typer av lösningar, Besselfunktioner,
Jν (x) och Neumannfunktioner, Nν (x). Från dessa kan vi bilda Hankel-funktionerna
2
Hν(1)
=
Jν (x) + iNν (x)
(17)
Hν(2)
=
Jν (x) − iNν (x)
(18)
Laplaces ekvation och modifierade Bessel-funktioner
Antag nu att vi vill bestämma den elektriska potentialen Ψ inuti en cylinder med radien a och
höjden l. Potentialen är 0 på cylinderns ändytor, och V (φ, z) på dess mantelyta där ρ = a. Ψ ges
då av Laplaces ekvation
∂Ψ
1 ∂2Ψ ∂2Ψ
1 ∂
ρ
+ 2
+
= 0,
(19)
∇2 Ψ =
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
∂z 2
Som tidigare ansätter vi Ψ(ρ, ϕ, z) = P (ρ)Φ(ϕ)Z(z), men vi inför nu separationskonstanten −k 2 i
ekvationen för Z(z)
1 ∂2Z
= −k 2 ,
(20)
Z ∂z 2
så att den har lösningen
Zk (z) = c1 cos kz + c2 sin kz.
(21)
Detta påverkar inte ekvationen för Φ, men ekvationen för P (ρ) påverkas
∂
∂P
ρ
ρ
− ρ2 k 2 + m2 P = 0.
∂ρ
∂ρ
Om vi sätter kρ = x får vi den modifierade Besselekvationen
d2 P
1 dP
m2
+
− 1 + 2 P = 0.
dx2
x dx
x
(22)
(23)
Lösningarna, de modifierade Besselfunktionerna, kan ses som Besselfunktioner med imaginära argument. Vanligen skriver man dem som
Im (x)
Km (x)
= i−m Jm (ix)
π m+1 (1)
=
i
Hm (ix)
2
2
(24)
(25)
De modifierade Besselfunktionerna har de viktiga gränsfallen för reella m > 0 då x 1
x m
1
Im (x) →
Γ (m + 1) 2
− ln x2 + 0.5772..... m = 0
Km (x) →
Γ(m) 2 m
m 6= 0
2
x
(26)
(27)
och då x 1, m
1
1
x
Im (x) → √
e 1+O
x
2πx
r
π −x
1
Km (x) →
e
1+O
2x
x
3
(28)
(29)
Serieutveckling av Greens funktion för Laplaces ekvation
i cylindriska koordinater
I cylinderkoordinater ges Greens funktion för Laplaces ekvation av ekvationen
∇2x G (x, x0 ) = −
4π
δ (ρ − ρ0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (z − z 0 ) .
ρ
Vi skriver δ-funktionerna i ϕ- och z-led som inversa Fourier-transformer
Z ∞
Z
0
1
1 ∞
δ (z − z 0 ) =
eik(z−z ) dk =
cos k (z − z 0 ) dk,
2π −∞
π 0
och
δ (ϕ − ϕ0 ) =
∞
1 X im(ϕ−ϕ0 )
e
.
2π m=−∞
Analogt skriver vi Greens funktion med hjälp av inversa Fourier-transformer som
Z ∞
∞
0
1 X
G (x, x0 ) =
eim(ϕ−ϕ ) cos [k (z − z 0 )] gm (k, ρ, ρ0 ) dk.
2
2π m=−∞ 0
(30)
(31)
(32)
(33)
Vi kan nu sätta in dessa uttryck i Ekv. (30)
Z ∞
∞
dgm
1 X
im(ϕ−ϕ0 )
0 1 d
e
cos [k (z − z )]
ρ
dk −
2π 2 m=−∞ 0
ρ dρ
dρ
Z ∞
∞
X
0
m2
eim(ϕ−ϕ ) cos [k (z − z 0 )] gm (k, ρ, ρ0 ) dk −
2
2
2π ρ m=−∞ 0
Z ∞
∞
0
k2 X
eim(ϕ−ϕ ) cos [k (z − z 0 )] gm (k, ρ, ρ0 ) dk =
2π 2 m=−∞ 0
Z ∞
∞
0
4π
1 X
−
× 2
eim(ϕ−ϕ ) cos [k (z − z 0 )] δ (ρ − ρ0 ) dk.
ρ
2π m=−∞ 0
Vi ser nu att denna ekvation kan förenklas till
1 d
dgm
m2
4π
2
ρ
− k + 2 gm = − δ (ρ − ρ0 ) .
ρ dρ
dρ
ρ
ρ
(34)
(35)
Om ρ 6= ρ0 så är detta den modifierade Besselekvationen med lösningarna Im (kρ) och Km (kρ).
Antag nu att ψ1 (kρ), som är en lineärkombination av Im och Km , uppfyller randvillkoren för
3
Greens funktion för ρ < ρ0 och att ψ2 (kρ) uppfyller randvillkoren för ρ > ρ0 . Då leder symmetrin
för Greens funktion till att vi kan skriva den som
gm (k, ρ, ρ0 ) = ψ1 (kρ< ) ψ2 (kρ> ) ,
(36)
där ρ< är den mindre av ρ och ρ0 , medan ρ> är den större av de båda variablerna. Vi kan nu
använda villkoret att derivatan av Greens funktion är diskontinuerlig då ρ = ρ0
dgm 4π
dgm −
= k (ψ1 ψ20 − ψ10 ψ2 ) = − .
(37)
dρ +
dρ −
ρ
Lägg märke till att Ekv. (35) är av Sturm-Liouville-typ,
d
dy
p (x)
+ g (x) y = 0,
dx
dx
(38)
för vilka wronskianen W (ψ1 , ψ2 ) = ψ1 ψ20 − ψ10 ψ2 är proportionell mot 1/p(x). Därmed följer att
W [ψ1 (x) , ψ2 (x)] = −
4π
.
x
(39)
Om det inte finns några randytor, så måste gm (k, ρ, ρ0 ) vara ändlig för ρ = 0 och → 0 då ρ →
∞. Dessa villkor är uppfyllda om ψ1 (kρ) = AIm (kρ) och ψ2 (kρ) = Km (kρ). Vi kan använda
gränsformerna för Im och Km för små x för att bestämma A
x m Γ (m) (−m)
1
Γ (m + 1) 2
2
x
W [Im (x) , Km (x)] =
m
m
m
2
m
2
Γ (m) 2
−
=
x
xΓ (m + 1) x
2
x
1
Γ (m)
=− .
−m
xΓ (m + 1)
x
(40)
Alltså har vi A = 4π.
Vi har sett tidigare på kursen att Greens funktion för Laplace-ekvationen kan skrivas som
G (x, x0 ) =
1
.
|x − x0 |
(41)
Nu ser vi att denna funktion har utvecklingen
Z ∞
∞
0
2 X
1
=
eim(ϕ−ϕ ) cos [k (z − z 0 )] Im (kρ< ) K (kρ> ) dk =
0
|x − x |
π m=−∞ 0
(
)
Z
∞
X
1
4 ∞
0
0
cos [k (z − z )]
I0 (kρ< ) K0 (kρ> ) +
cos [m (ϕ − ϕ )] Im (kρ< ) Km (kρ> ) dk. (42)
π 0
2
m=1
Om x0 → 0 så försvinner alla termer utom m = 0 och vi erhåller
Z
1
2 ∞
p
=
cos kzK0 (kρ) dk.
π 0
ρ2 + z 2
(43)
Om vi nu i vänsterledet ersätter ρ2 med R2 = ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos(ϕ − ϕ0 ) så återfår vi |x − x0 |−1 .
Då kan vi jämföra högerledet med den föregående serieutvecklingen, och vi finner att
p
K0 k ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos (ϕ − ϕ0 ) =
I0 (kρ< ) K0 (kρ> ) + 2
∞
X
cos [m (ϕ − ϕ0 )] Im (kρ< ) Km (kρ> ) .
m=1
4
(44)
Om vi nu tar gränsen att k → 0 får vi
p
− ln k − ln ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos (ϕ − ϕ0 ) + ln 2 − 0.5772 =
m
∞
X
kρ<
2
1
Γ (m)
− ln k − ln ρ> + ln 2 − 0.5772 + 2
cos [m (ϕ − ϕ0 )] ,
Γ
(m
+
1)
2
2
kρ
>
m=1
(45)
som ger oss utvecklingen för Greens funktion i två dimensioner
ln
m
∞
X
1
1
1 ρ<
=
2
ln
+
2
cos [m (ϕ − ϕ0 )] .
ρ2 + ρ02 − 2ρρ0 cos (ϕ − ϕ0 )
ρ>
m
ρ
>
m=1
5
(46)