FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och vinklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans ”trigonon” (tre vinklar) och ”métron” (mått). Trigonometri har använts under de senaste 2000 åren inom astronomi, lantmäteri och navigation. Används numera också inom t ex ellära och optik. Säkert minns du från M1a att den rätvinkliga triangeln har två kateter. Eftersom det är viktigt att man vet vilken som är vilken av dessa kateter, kallas de närliggande respektive motstående katet, och då utgår man från en av de spetsiga vinklarna. Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet. Den katet som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet. usa oten hyp v närliggande katet motstående katet ! sin v = cos v = tan v = motstående katet hypotenusa = närliggande katet hypotenusa motstående katet närliggande katet a c = = b c a v c b a b EXEMPEL 1 Bestäm den sida som är markerad med x. Definitionen av cosinus ger x cos34° = 7,1 x = 7,1 · cos 34° (cm) 7,1 34° x x ≈ 5,9 svar: Sidan är 5,9 cm. 7 Trigonometri 213 FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber EXEMPEL 2 Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader. (cm) 15 v 31 Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v. tan v = 31 15 v ≈ 64° (64, 17…) svar: 64° EXEMPEL 3 I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och motstående sida 21,6 cm enligt figuren. Beräkna triangelns omkrets och area. 76° 21,6 cm Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur. 10,8 a 10,8 a= sin38° sin38° = b 38° a 10,8 cm a ≈ 17,54... Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas. Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm. Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd. 10,8 b 10,8 b= tan38° tan38° = b ≈ 13,82 Triangelns area är 13,82 ⋅ 21,6 ≈ 149 2 svar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2. 214 7 Trigonometri FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 152 Beräkna de markerade vinklarna. Svara i hela grader. a) b) 11 v 5 c) 5 5 v 3 2 d) 7 9 v v 153 Beräkna den sida som är markerad med x. Avrunda till två värdesiffror. a) b) 15 cm 27° c) 31 dm x x x 42° 35° d) 17 cm x 19° 23 m 154 I en rätvinklig triangel är kateterna 36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel. 155 Titta på rektangeln. (m) a) Beräkna vinkeln v i hela grader. 23,5 15,1 v b) Beräkna rektangelns area i hela m . 2 156 a) omkrets 157 B Triangeln ABC är likbent. Beräkna med två värdesiffror triangelns b) area. (cm) A 37° 37° 10,2 C Utgå från en vinkel x. Förklara varför sin x och cos x inte kan bli större än 1, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst. 7 Trigonometri 215 FÖRDJUPNING 158 M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber Beräkna triangelns area med två värdesiffror. (cm) 8,2 41° 11,4 159 160 Rita, utan att använda gradskiva, en rätvinklig triangel som har en vinkel 58°. Förklara hur du tänker. Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen nedan? Svara med en decimal. y y Q P 5 le 4 le x 37° 161 80° x Beräkna husgavelns area. (m) 31° 4,5 9,2 162 En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen nedan. Vid två punkter A och B mäter man vinkeln till fyrens topp. Avståndet mellan A och B är 530 m. a) Beräkna avståndet från B till fyren, dvs BC. b) Beräkna hur högt över vattenytan som fyrens top ligger, dvs CT. T 3,5° 5,6° B C 216 7 Trigonometri 530 m A FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 8VEKTORER Man brukar skilja på skalärer och vektorer. En vektor är en storhet som har både storlek och riktning. Exempel på vektorer är kraft, hastighet och acceleration. En skalär en storhet som har en storlek, men saknar riktning. Exempel på skalärer är temperatur, area och energi. En vektor markeras med ett streck ovanför beteckningen, t ex kraften F . Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning. Är några av dessa vektorer lika? Ja u = v eftersom de är lika till både storlek och riktning. u B v AB w A Här ska vi utgå från två parallella vektorer, nämligen de två krafterna F 1 = 3 N och F 2 = 2 N. Hur blir det då dessa krafter adderas? F1 = 3 N F2 = 2 N F1 = 3 N F2 = 2 N R = F1 + F2 = 5 N Bilden ovan visar att vi adderar vektorerna genom att låta dessa ”bita varandra i svansen” ! Resultatet av additionen kallas resultant och betecknas ofta R . Låt oss nu addera en positiv och en negativ vektor, nämligen F 1 = 3 N och F 2 = –2 N. De här vektorerna har motsatt riktning och olika storlek. När vi adderar vektorerna placerar vi den andra vektorn där den första vektorn slutar. F1 = 3 N R –F2 R = F1 + (–F2) = 1 N Summan av vektorerna, dvs resultanten R = 1 N. 8 Vektorer 217 FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber Till sist ska vi addera två vektorer som inte är parallella. Vi konstruerar resultanten genom att rita en parallellogram och dess diagonal, enligt bilden. Nu gäller att diagonalen = resultanten. E xempel 1 F Bilden visar vektorn F . 3F a) Rita vektorn 3 F . –2F b) Rita vektorn –2 F . E xempel 2 u1 = 3 m/s a) Bilden visar två vektorer u1 och u2 . u2 = 4 m/s 3 m/s Konstruera grafiskt u1 + u2 . Vi ser att summan (resultanten) blir diagonalen i en rektangel. 4 m/s b) Beräkna summan algebraiskt. Summan beräknas med Pythagoras sats. u2 = 32 + 42 ⇒ u = 5 svar: u = 5 m/s 218 8 Vektorer FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 163 Utgå från krafterna F1 = 24 N och F2 = 10 N. Hur stor blir krafternas summa om krafterna a) har samma riktning b) har motsatt riktning c) är vinkelräta? 164 Här gäller att F = 6 N. Ange följande vektorers storlek. 2F a) 3 F b) c) 4 F + F 3 165 Nedan ser du två vektorer u1 och u2 . Bestäm genom att rita på rutat papper. a) u1 + u2 . b) 2 u1 + u2 . u1 u2 166 Addera de tre vektorerna grafiskt och rita den resulterande vektorn. u1 u3 u2 167 Utgå från två krafter som är 3 N och 5 N. Vilken blir det största respektive den minsta möjliga resultanten? Motivera! 168 Beräkna x då summan av de vinkelräta vektorerna F 1 = x och F 2 = 50 blir 130. 8 Vektorer 219 FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 9VEKTORER och trigonometri När man använder vektorer i t ex fysiken, är vektorns riktning ofta angiven med en vinkel. E xempel 1 En basebollspelare skjuter med en vinkel på 42º med utgångshastigheten 25 m/s. Bestäm hastighetens komposanter i x-led och y-led. höjd y v = 25 m/s v = 25 m/s vy utslagsvinkel x 40° Vi placerar vektorn i ett koordinatsystem och beräknarhöjd komposanterna. v = 25 m/s vx cos42° = ger vx = 25 · cos 42° ≈ 19 25 utslagsvinkel sin 42° = vy 25 ger vy = 25 · sin 42° ≈ 17 längd y v = 25 m/s vy x 40° vx längd svar: vx ≈ 19 m/s vy ≈ 17 m/s E xempel 2 Bestäm vinkeln a mellan resultanten R och komposanten Fx. Svara i hela grader. 8N 5 cos a = ⇒ a ≈ 51,3 8 a svar: a ≈ 51° 5N I följande uppgifter är det lämpligt att avrunda till 2 värdesiffror. 169 Beräkna komposanterna i x-led och y-led. y v = 30 m/s 41° 220 x 9 Vektorer och trigonometri vx FÖRDJUPNING M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber 170 Bestäm vinkeln a mellan en kraft F = 50 N och komposanten Fy = 30 N, när du vet att Fx = 40 N. 171 En kraft F kan delas upp i två komposanter, Fx och Fy enligt figuren. Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN? 172 F Fy 32° Fx Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning. F1 = 25 N F2 = 45 N 173 En bil åker nerför en brant backe med 15 graders lutning. Hastighetsmätaren visar 90 km/h. Dela upp hastigheten i en horisontell och en vertikal komposant. 174 En kraft med storleken 640 N delas upp i två mot varandra vinkelräta komposanter. Vinkeln mellan kraften och den ena komposanten är 29º. Beräkna komposanterna. 175 En kraft är uppdelad i två mot varandra vinkelräta komposanter. Den ena komposanten är 85 N och bildar vinkeln 63º med kraften. Beräkna resultantens storlek och den andra komposantens storlek. 176 Bestäm resultanten till storlek och riktning. y 13 N 55° x 35° 28 N 9 Vektorer och trigonometri 221 FACIT M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber hypotenusans längd. Här är alltså nämnaren större än täljaren, och svaret blir alltid mindre än 1. Vad gäller tanx, kan kvoten bli t ex 3/1 eller 7/2 osv. 158 31 cm2 ⇒ motstående katet ska vara 1,6 gånger större än närliggande katet. Rita en triangel där t ex närliggande katet = 2 cm och motstående katet = 1,6 · 2 cm = 3,2 cm. 160 P ≈ (3,2; 2,4) 161 54 m2 170 53° 171 Fx ≈ 12 kN Fy ≈ 7,4 kN 171 51 N riktad 29° snett 173 vx ≈ 87 m/s vy ≈ 23 m/s 175 190 N och 170 N b) 86 m 176 31 N riktad 10° nedåt 8VEktorer 163 a) 34 N b) 14 N 164 a) 18 N b) 4 N c) 26 N 169 vx ≈ 23 m/s vy ≈ 20 m/s 174 560 N och 310 N 162 a) 880 m 9VEKTORER OCH trigonometri uppåt Q ≈ (0,9; 4,9) =3N+5N=8N då krafterna har samma riktning. Minsta resultanten =5N–3N=2N då krafterna har motsatt riktning. 168 x = 120 159 Utgå från tan 58° ≈ 1,6 167 Största resultanten c) 30 N 165 a) u1 a) 34° 153 a) 6,8 cm c) 25 cm b) 53° b) 16° u1 + u2 b) 272 m2 156 a) 23 cm b) 20 cm2 längsta sidan i en triangel. Både i sinx och cosx dividerar vi med 248 2u1 FACIT 166 u1 u2 u3 u1 + u2 + u3 u2 2u1 + u2 157 Hypotenusan är alltid den 155 a) 40° b) 25 dm d) 7,9 m 154 23° b) 7trigonometri 152 a) 27° u2