Geometriska vektorer - Division of Solid Mechanics

Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Geometriska vektorer – Några påpekanden
Geometriska vektorer karakteriseras av storlek och riktning och genom att de adderas
enligt parallellogramlagen. Välbekanta exempel är mekanikens storheter hastighet och
kraft. Du förutsätts ha kännedom om grundläggande egenskaper hos vektorer och om
operationer mellan vektorer, som skalärprodukt och kryssprodukt. En kort repetition,
och några påpekanden som är speciellt viktiga för en mekanikkurs, kan dock vara på
sin plats.
Koordinatsystem. Ortogonala högersystem xyz.
Om vi ritar ett ortogonalt koordinatsystem med axlarna x och y, så finns det två
alternativa riktningar för den tredje axelriktningen. Det är praxis att man väljer den
tredje riktningen enligt följande: om man ritar koordinatsystemet med x-axeln åt
höger och y-axeln uppåt så ska z-axeln vara riktad ut ur papprets plan, d.v.s. mot dig.
Detta är ett högersystem! Och vi befattar oss bara med ortogonala högersystem.
y
y
y
j
z
x
k
i
x
x
z
Figur 1. Om x och y är riktade enligt figur så är xyz ett högersystem om z pekar
ut ur planet, mot dig. I koordinatsystemet i mitten har tillhörande basvektorsystem i , j , k förts in. (Var basvektorsystemet placeras i koordinatsystemet är
egalt; det innehåller ju bara information om riktningar.) I koordinatsystemet till
höger pekar z in i planet och är således också ett högersystem.
Minnesreglerna för att beräkna kryssprodukter gäller för högersystem och använder
du dessa i ett vänstersystem kommer du att få ett teckenfel vilket betyder att den
beräknade vektorn får fel riktninga.
a
Teckenfel är inte ett litet fel i tekniska sammanhang.
1
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Basvektorer. Representation av en vektor.
Koordinatsystemet xyz definierar ett basvektorsystem med inbördes vinkelräta
vektorer. Vi ger basvektorerna längdenb 1 och betecknar dessa i , j , k . Om vi har ett
basvektorsystem (eller kortare, en bas) i , j , k kan vi representera en vektor i denna:
V  Vx i  Vy j  Vz k
(1.1)
där skalärerna Vx , Vy och Vz är vektorn V :s komponenter i den valda basen. Termerna
Vx i , Vy j och Vz k är vektorns komposanter i den valda basen och är som synes
vektorer.
Om vi väljer en annan bas i , j , k  så får vi en annan representation:
V  Vx i   Vy j   Vzk 
(1.2)
Observera att högerleden i (1.1) och (1.2) är två olika representationer av samma
vektor . Vektorn själv är alltså ett objekt som är oberoende av vilket koordinatsystem
man väljer för dess representation.
Skalärprodukt. Kryssprodukt.
Låt A  Ax i  Ay j  Az k och V  Vx i  Vy j  Vz k vara två vektorer.
Skalärproduktenc mellan dessa definieras:
A  V  A V cos ,   [0, ]
(1.3)
där  är vinkeln mellan vektorerna.
Om vi har vektorerna på komponentform i samma bas följer att
A V  AxVx  AyVy  AV
z z
(1.4)
och definitionen på en vektors längd (belopp); V  V  V , medför
V  Vx  Vy  Vz
2
2
2
(1.5)
Kryssprodukten mellan två vektorer definieras av
A  V  A V sin  en
(1.6)
b
En vektor V :s längd V definieras av skalärprodukten V 
c
Notera operatorn
 (dot product) som resulterar i en skalär.
2
V V
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
där en är en enhetsvektor som är vinkelrät mot och V och riktad så att A , V och en (i
den ordningen) bildar ett högersystem. Minnesregel: Låt höger hands tumme vara
A. Låt höger hands pekfinger vara V . Om du låter långfingret bli vinkelrät mot dessa
(och väljer det smärtfria alternativet) så indikerar långfingret riktningen på A  V . Se
Fig. 2!
Figur 2. Minneregel för riktningen på A  V .
Ordningen är viktig: V  A   A V . Vidare ser man ser direkt i (1.6) att beloppet av
en kryssprodukt blir
A  V  A V sin 
(1.7)
För vektorstorheter associerade med rotation och vridning så är kryssprodukter där
dessa ingård konstruerade så att komponenten K enligt A  V  Ken är positiv enligt
följande minnesregel: Låt höger hands tumme peka i basvektorns (koordinataxelns)
positiva riktning. Då ges positiv riktning av fingrarnas riktning:
en
Positiv vridningsriktning
Figur 3. Minneregel för positiv vridningsriktning kring en basvektor.
Exempelvis följande tidigare kända storheter, i gängse beteckningar: Kraftmoment M  r  F och
rörelsemängdsmoment H  r  mv .
d
3
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Exempel: Låt z-axeln peka ut ur papprets plan:
y
j
k
Låt vinkelhastighetsvektorn vara
(=kring positiv k - riktning) och
x
i
   k . Då gäller att   0 betyder rotation moturs
  0 rotation medurs (=kring negativ k - riktning). █
Exempel: Låt F  F j och r  ri . Kraftens vridande verkan (kraftmomentet) med
avseende på punkt A blir M A  r  F  Frk , d.v.s. en vridande verkan moturs om
själva komponenten F  0 . Är F  0 så är ju kraften riktad i negativ y -led och
kraftmomentet blir riktat medurs enligt resultatet av kryssprodukten ovan.
y
A
j
k
i
F
r
x
█
Vektorer: så ritar vi och det betyder det
När vi löser tal kommer vi ofta att definiera vektorer med en pil och en skaläre F :
F
Detta definierar vektorn F enligt följande: Själva pilen definierar en enhetsvektor eF
enligt
eF
så att
e
F  F eF
Så här gör de flesta läroböcker (inkl. Meriam) utan att påpeka det explicit.
4
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Vi ser att skalären F är vektorns komponent i pilens riktning. Om vi löser ett tal och
finner att F är negativ så betyder det att vektorn är riktad motsatt pilriktningen.
(Ibland ser man påståendet att F skall uppfattas som vektorns belopp, d.v.s. F . Detta
är en mindre lyckat påstående ur matematisk synvinkel eftersom F får vara negativ.
(Om vi ansätter ’fel’ riktning på en obekant kraft i en beräkning, kommer det att visa
sig genom att F att blir negativ.)
Exempel: Låt F vara en kraftkomponent:
j
F
i
Som du ser har vi ritat kraften genom att vi satt ut komponenten F (skalär!) i
anslutning till pilen. Enligt beteckningskonventionen ovan betyder detta att med
vektorn F menar vi F  Fi .
Låt F  10 N . Det betyder att F  10i N , d.v.s. en kraft riktad i i -led, d.v.s. åt höger:
10 N
j
i
Låt nu F  10 N . Det betyder att F  10i N , d.v.s. en kraft riktad i negativ i -led,
d.v.s. åt vänster:
10 N
j
=
10 N
i
█
För plana problem är storheter som t.ex. vinkelhastighet, vinkelacceleration och
kraftpar vektorer som är vinkelräta mot det plan som kroppen rör sig i. Om vi tar
vinkelhastighet som exempel:

5
(Vi använder dubbla spetsar för att
markera att vektorn är associerad
med vridning/rotation)
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Detta ritar vi så här på ett papper:

Exempel: Låt oss studera de två alternativ som finns att beskriva att en kropp roterar
med ett varv per sekund moturs.
Alt. 1: Vi låter   0 om rotationen sker moturs och får då:

  2
(d.v.s.
rad/s
Representationen av vektorn för detta val av positiv riktning beror på hur vi
orienterar basvektorsystemet:
rad/s
j
k
i
k
i
j
y
Med denna riktning på k :
   k  2 k rad/s
  2
y
x
x
Med denna riktning på k :
   k  2 k rad/s
  2
rad/s
6
)
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
Alt. 2: Vi låter   0 om rotationen sker medurs och får då:

  2
(d.v.s.
rad/s
)
Representationen av vektorn för detta val av positiv riktning och orientering av
basvektorsystemet:
y
k
i
k
i
y
Med denna riktning på k :
   k  2 k rad/s
  2
Med denna riktning på k :
   k  2 k rad/s
rad/s
j
j
  2
x
x
rad/s
Övertyga dig om att resultatet i samtliga fall är rörelse moturs.
█
Så gör vi i friläggningsfigurer
Vid friläggningen förs de krafter och kraftparsmoment som verkar på kroppen in i en
figur av kroppen. Vid lösande av specifika problem har man ofta kunskap om storlekar
och/eller riktningar hos vissa krafter. Andra vill man bestämma storleken på i önskade
riktningar. Därför är det fördelaktigt att låta friläggningsfiguren innehålla så mycket
7
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2013-10-09
känd information som möjligt. Därför förs vektorer in i figuren som en pil (med låst
riktning) och en skalär.
På föreläsningarna, där vi studerar allmänna problem förs ofta vektorer in med
vektorer med streck ovanför: Problemen vi studerar då är ju allmängiltiga och inte
kopplade till en speciell kraftbild. Är vi intresserade av att beräkna vektorkomponenters värden i ett specifikt problem går vi över till att använda vektorer i form av en
pil och tillhörande skalär enligt ovan.
Till sist en Varning: Meriam använder fetstilf för att markera det som markeras med
överstreck ovan. Tyvärr använder han överstreck i annan betydelse än här ovan,
nämligen för att markera att en storhet är associerad med masscentrum G. Exempelvis
betyder ekv. [4/1] på sidan 421, F  maG , och x i Table D/4 är inte en vektor, utan
masscentrums läge i x -led, alltså en skalär.
f
Som vi ju inte använder eftersom det fungerar så dåligt när man skriver på papper eller på tavlan.
8