Institutionen för Fysik och Astronomi
Tentamen i Matematik D
2010-03-29
för T ekniskt/Naturv et enskapligt Basår
lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström
Skrivtid: 9.00-13.00
• Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling
• Fullständiga och utförliga lösningar skall lämnas till alla 16 uppgifter.
• Glöm inte att skriva namn och personnummer på varje sida.
• Total poängsumma är 40p. För godkänt krävs normalt 20 poäng. Har 4 bonuspoäng
uppnåtts krävs således 16 tentapoäng för godkänt.
1. Några basårsstudenter satt på en sten S på stranden och tittade på en brygga Ö på en ö
ute i viken. De beslöt att utnyttja sina matematiska kunskaper för att beräkna avståndet
mellan stenen och bryggan. De mätte därför upp en sträcka SP längs stranden till 100 m.
Sedan uppskattade de vinkeln SPÖ till 30° och vinkeln PSÖ till 135° med hjälp av en
!
kompass. Vilket resultat bör!de ha kommit fram till?
(2p)
!
!
!
Lösning: Sträckan SP=100m, SPÖ=30°,PSÖ=135°, SÖ=?
Den tredje vinkeln, PÖS=180°-30°-135°=15°
SÖ
SP
=
sin(SPÖ) sin(PÖS)
SÖ
100
=
sin(30°) sin(15°)
100sin(30°)
SÖ =
sin(15°)
Svar: SÖ=50/sin(15°) m vilket är ca 193 m.
Vi väljer sinussatsen:
!
2. Beräkna den minsta vinkeln i en triangel med sidorna 20 cm, 25 cm, och 12 cm.
Lösning: Den minsta vinkeln ligger mittemot den minsta sidan. Vi använder oss av
cosinussatsen och får då:
12 2 = 20 2 + 25 2 " 2 # 20 # 25 # cos(x)
(2p)
20 2 + 25 2 "12 2
(2 # 20 # 25)
cos(x) = 0.881
x = 28,24°
(Egentligen är det x=±28,24°, men vi är bara intresserade i lösningar mindre än 180°.)
Svar: Den minsta vinkeln i triangeln är ungefär 28°.
cos(x) =
!
3. Lös fullständigt ekvationen cos 3x =
3
. Svara i grader.
2
3
cos(3x) =
! 2
3
) + n # 360°
2
3x = ±30° + n # 360°
Lösning:
3x = 30° + n # 360°och
3x = 330° + n # 360°
x = 10° + n #120°och
x = 110° + n #120°
3x = ± cos"1 (
Svar: x=10°+n120° och x=110°+n120°
!
(2p)
4. I figuren nedan har man ritat en halv enhetscirkel. Bestäm med hjälp av figuren:
a) cos" # sin " + 1
b) vinkeln " . Svara i radianer.
(3p)
!
!
Lösning: En punkts koordinater på enhetscirkeln är lika med x=cosv och y=sinv.
Därav följer från figuren att cosv=0.34 och sinv=0.94
a) cosv-sinv+1=0.34-0.94+1=0.4
Svar: cosv-sinv+1 =0.4
b) cosv=0.34 därav följer att v=cos-1(0.34) vilket ger v=1.22 radianer.
Svar: vinkeln v=1.22 radianer
5. Visa att (2 " sin x)(2 + sin x) + (2 " cos x)(2 + cos x) = 7 .
Lösning:
(2 " sin x)(2 + sin x) + (2 " cos x)(2 + cos x) = 7
(3p)
!VL :
4 " sin 2 x + 4 " cos 2 x
= 8 " (sin 2 x + cos 2 x)
=7
Svar: VL=7 och det är lika med HL=7 vilket som skulle visas.
!
6. Visa att y = 2e 5x + 4 x är en lösning till differentialekvationen y " # 5y = 4 # 20x .
Lösning:
y " = 10e 5x + 4
Visa : y " # 5y = 4 # 20x
!
!
VL :
y " # 5y =
10e 5x + 4 # 5(2e 5x + 4 x) =
10e 5x + 4 #10e 5x # 20x =
4 # 20x
Svar: VL=4-20x och det är lika med HL vilket som skulle visas.
!
(3p)
7. Kurvan i figuren nedan är av typen y = B + Asin kx . Bestäm kurvans ekvation.
Vinkeln mäts i radianer.
(3p)
!
Lösning: A=30
B=50
K: kx=2π för x=20. Därav följer att k=2π/20=π/10
Svar: y=50+30sin(πx/10)
8.
!
!
Bestäm f "(x) då f (x) = 10cos(0.2x) " 5sin(2x) .
Lösning:
f "(x) = 10 # 0.2 # ($sin(0.2x)) $ 5 # 2 # cos(2x)
"
$10cos(2x)
! f (x) = $2sin(0.2x)
!
9. Undersök om ekvationen sin x = 0.42 har några lösningar i intervallet 720° < x < 900°.
Arbeta med hela grader.
(3p)
Lösning:
sin x = 0.42
!
!
x = 25° + n " 360°
x = 180° # 25° + n " 360° = 155° + n " 360°
I intervallet finns det då följande lösningar:
x = 25° + 2 " 360° = 745°
x = 155° + 2 " 360° = 875°
Svar: x=745° och x=875° är de lösningar som ligger i det angivna intervallet.
!
(2p)
10. Kurvan y = xe x går genom origo. Bestäm ekvationen för tangenten i denna punkt.
Lösning:
y = xe x
!
!
!
x
x
! y " = xe + e ( produktregeln)
y "(x = 0) = 0 + e 0 = 1
tan gent : y = kx + m
y'(x = 0) = k
k =1
Origo : (0,0)
Enpunktsformel :
y # y1 = k(x # x1 )
y # 0 = 1(x # 0)
y=x
Svar: Tangentens ekvation är y=x.
1
11. Derivera y =
.
cos(2x)
Lösning:
Vi skriver om: y = [cos(2x)]"1
Nu använder vi kedjeregeln:
!
y " = #1(cos(2x))#2 $ 2 $ (#sin(2x))
2sin(2x)
y'= ! 2
cos (2x)
(2p)
12. Kurvan y = f (x) har en terrasspunkt i punkten (-2,-1).
Vad vet vi då om f "(#2) och om f ""(#2) ?
(2p)
Lösning:
Terrasspunkt: f "(#2) =0 för att det finns en tangent i denna punkt med lutning noll och
!
f ""(#2) =0 för att det inte sker någon teckenväxel av derivatan i en terraspunkt.
!
!
13. Bestäm samtliga primitiva funktioner F(x) till f (x) = "4e"0.2x .
!
Lösning:
f (x) = "4e"0.2x
"4e"0.2x
F(x) =
+C
"0.2
F(x) = 20e"0.2x + C
!
(3p)
!
!
(2p)
"
2
14. Beräkna integralen
# sin(2x)dx genom användning av primitiv funktion.
(3p)
0
Lösning:
"/2
# sin(2x)dx =
0
!
$cos(2x)
[
]=
2
$cos(") $cos(0)
$
=
2
2
$($1) $(1)
$
=
2
2
0.5 + 0.5 = 1
Svar: Integralen är lika med 1 areaenhet.
!
15. När nybyggaren Ulla Svensson från Sverige byggde sin gård i USA fanns inte många
lagar för reglering av äganderätten till marken. Hennes gård var rektangulär och längden
var dubbelt så stor som bredden enligt figuren nedan. Därefter började Ulla flytta ut
gårdens gränser, hela tiden med bibehållna proportioner. Utökningen gjordes så att x i
figuren hade en genomsnittlig ökningstakt av 100 meter per år. Hur stor är ökningstakten
av gårdens area vid den tidpunkt då x är 500 meter?
(2p)
!
!
Lösning:
Dx/dt=100 m/år, dA/dt=?, då x=500 m
A=2x*x=2x2
dA dA dx
=
dt dx dt
dA
= 4x
dx
dA
= 4 x "100
dt
dA
m2
km 2
= 2 "10 5
= 0.2
dt
år
år
!
16. Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan y = x " x 2 och linjen y = "2 ( den
arean som är streckat i figuren). Integrationsgränserna får tas direkt ur figuren. Endast
numeriskt svar ger ingen poäng.
(3p)
!
!
Lösning:
Den övre funktionen är y=x-x2 och den undre funktionen är y=-2. Den undre integrationsgränsen
är x=-1 och den övre integrationsgränsen är x=2.
2
A=
# [(x " x
2
) " ("2)]dx
"1
2
=
# (x " x
2
+ 2)dx
"1
x2 x3
" + 2x]
2
3
4 8
1 ("1)
= ( " + 4) " ( "
" 2)
2 3
2
3
4 8
1 1
= " +4" " +2
2 3
2 3
3 9
= " +6
2 3
= 1.5 + 3
= 4.5
Svar: Arean av det skuggade området är lika med 4.5 a.e.
=[
!
Lycka till!
(Tentamensresultatet anslås på Ångströmlab och på Studentportalen inom en vecka.)
