Analysschema i matematik
För åren före årskurs 6
Förord
I Regeringsbeslut 1999-09-23 fick Skolverket i uppdrag att för det offentliga
skolväsendet utveckla ett material rörande matematisk begreppsbildning anpassat för åren före årskurs 6. Detta uppdrag har lett till utvecklingen av det analys­
schema avsett för användning främst i förskoleklass och grundskolans tidigare
del, som finns i denna publikation. Våren 2009 reviderades materialet till vissa
delar.
Materialet bygger på de mål att sträva mot i matematik som finns i kursplanen för grundskolan och de mål som barnet ska ha uppnått i slutet av årskurs 3
och 5. Analysschemat är utformat för att underlätta en pedagogisk dokumentation och baseras på bl a tankegångar kring matematik som fanns redan i Socialstyrelsens allmänna råd rörande innehåll och arbetssätt för de äldre förskolebarnen (1990). Syftet med materialet är att stödja arbetet med att analysera, men
inte bedöma, det kunnande som barnet visar i olika situationer och som kan
visas med ett spekt­rum av uttrycksformer.
Det är ett erbjudande till skolorna att använda materialet. Varje pedagog avgör själv hur många av de olika delarna i schemat hon/han vill fokusera och om
enstaka barn eller hela barngruppen ska uppmärksammas. Avsikten är att pedagogerna runt det enskilda barnet uppmärksammar och analyserar det kunnande
som kan kopplas till grundläggande matematisk begreppsförståelse som barnet
visar. Materialet är inte ett matematiskt utvecklingsschema som på något sätt
speglar en förväntad inlärningsgång.
Materialet är helt fritt från uppgifter, som barnen ska lösa. Däremot finns det
i materialet hänvisningar till Diagnostiska uppgifter i matematik – för användning
i de tidiga skolåren som också kallas Måns och Mia.
Materialet är utarbetat av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet (fd
Lärarhögskolan i Stockholm) på Skolverkets uppdrag. Projektledare för PRIMgruppen är Astrid Pettersson och ansvarig för utarbetandet av analysmaterialet
är Lisa Björklund Boistrup. I arbetet har deltagit yrkesverksamma förskollärare
och lärare, grupper med forskare specialiserade på de olika skolformerna samt
representanter från lärar- och förskollärarutbildningar.
Wolfgang Dietrich
Undervisningsråd
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
1
Innehåll
Materialets struktur
4
Allmän lärarinformation
5
Förfrågningar och synpunkter................................................................. 5
Läroplan och kursplan............................................................................ 5
Kunskapsområden................................................................................... 6
Citat ur styrdokumenten......................................................................... 7
Att arbeta med analys av barns kunskap
9
Att ta fram underlag för analys................................................................ 9
Att analysera den kunskap som barnet visar........................................... 10
Att dokumentera iakttagelser och analyser............................................. 11
Koppling till diagnostiska uppgifter
15
Kommentarer och exempel till analysschema
17
Mätning och rumsuppfattning.............................................................. 17
Sortering, tabeller och diagram............................................................. 24
Taluppfattning...................................................................................... 27
Kopieringsunderlag
37
Analysschema • Mätning och rumsuppfattning..................................... 39
Analysschema • Sortering, tabeller och diagram.................................... 41
Analysschema • Taluppfattning............................................................. 42
Lärarsynpunkter.................................................................................... 44
2
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Matematik finns runt omkring oss, också i situationer när vi
kanske inte tänker på det. Viktiga utgångspunkter vid utar­
betandet av analysschemat är att det matematiska innehållet
i olika verksamheter och situationer ska synliggöras. Därmed
ökar möjligheterna att uppmärksamma den matematiska be­
greppsförståelse som barn utvecklar. Syftet är att materialet
ska stödja lärare i att reflektera över och dokumentera den
matematiska begreppsutveckling som barn visar fram till och
med kursplanens mål att uppnå i årskurs 3 och 5.
Materialet är omfattande eftersom matematikämnet har många
infallsvinklar och delområden och eftersom det ska kunna an­
vändas för barn i olika åldrar. Givetvis behöver inte allt fyllas i
för varje barn. Hur omfattande analysen blir beror bl a på vilka
delar av matematiken som den enskilde läraren/arbetslaget
väljer att fokusera. När det gäller att ta fram underlag till analy­
sen kan flera olika yrkeskategorier vara delaktiga, såsom fritids­
pedagoger, slöjdlärare m fl.
Materialets struktur
I materialet används ordet barn genomgående för såväl elever i grundskola som i
förskoleklass. Vidare används ordet lärare för dem som analyserar barns kunskap
i matematik oberoende av skolform. Eftersom materialet är avsett att kunna an­
vändas av olika lärarkategorier kan en del ord som används upplevas som mer
eller mindre vardagliga.
Materialet har arbetats fram i samarbete med förskollärare/lärare, lärarutbildare och forskare. Det består av följande delar:
Allmän lärarinformation: Här belyses hur analysschemats olika delar kan relateras till målen i läroplanen samt till kursplanemålen för grundskolan.
Att arbeta med analys av barns kunskap: Här beskrivs hur läraren tar fram underlag, analyserar och dokumenterar.
Koppling till diagnostiska uppgifter: Under denna rubrik hänvisas till uppgifter
ur andra material som är användbara i första hand för skolbarn.
Kommentarer och exempel till analysschema: Här kommenteras analysschemats
olika delar samt vad analysen kan fokuseras på. Underrubrikerna har samma
ordningsföljd som rutorna i analysschemat.
Underlag för iakttagelser: Detta underlag kan användas när läraren vill göra en
helhetsbeskrivning i en viss situation.
Analysschema: Innehållet i analysschemat har strukturerats under rubrikerna
”Mätning och rumsuppfattning”, ”Sortering, tabeller och diagram” och ”Taluppfattning”. Syftet med denna indelning och strukturen vad gäller underrubrikerna är att materialet ska vara så lättanvänt som möjligt och är inte ett förslag
till undervisningsplan.
4
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Allmän lärarinformation
Förfrågningar och synpunkter
Frågor om materialet ställs till PRIM-gruppen, fax 08-618 35 71
e-post: [email protected]
Lisa Björklund Boistrup 08-120 765 98
Inger Stenström
08-120 765 82
Astrid Pettersson
08-120 765 90
Frågor av principiell karaktär ställs till Skolverket, 08-527 332 00.
Eventuella synpunkter på analysmaterialet kan lämnas på enkäten, sid 44
Läroplan och kursplan
Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94, samt Kursplanen i matematik för grundskolan har varit viktiga
utgångspunkter i arbetet med analysmaterialet. För grundskolan finns mål att
sträva mot och mål att uppnå för årskurs 3, 5 och 9.
Utöver läroplan och kursplan har aktuell forskning och erfarenheter från verksamhet och undervisning i de aktuella åldrarna påverkat innehållet. På sid 7
finns de mål som främst är aktuella för materialet.
Problemlösning
Problemlösning finns med inom alla matematikens kunskapsområden och är
en viktig miljö för lärandet. En del problem har ett svar medan andra har flera
möjliga svar. Ibland krävs det att barnet tar reda på fakta för att problemet ska
gå att lösa. Lösningsmetoderna kan variera. Lärarens roll när det gäller att prob­
lematisera situationer så att barnet ställs inför utmaningar är mycket viktig och
en problemlösningssituation kan ofta bidra med underlag för en analys. Barnet
kan visa sin problemlösningsförmåga vid det aktuella tillfället och också annan
kunskap som begreppsförståelse m m.
Ur Kursplan i matematik för grundskolan:
Mål att sträva mot
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik,
samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen.
Ansvar och självbedömning
Barnets förmåga att ta ansvar för sitt eget lärande är en aspekt som är applicerbar på analysschemats alla delar och särskilt på rutan ”Visar tilltro till sin förmåga” som återkommer under schemats tre olika huvudrubriker. En annan aspekt
som hänger samman med tilltro är hur barnet ser på och reflekterar över sitt
eget kunnande, barnets självbedömning. I ”Diagnostiska uppgifter i matematik
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
5
– för användning i de tidiga skolåren” (omarbetning av ”Diagnostiskt material i
matematik för skolår 2”, 1996) och ”Ämnesprov i matematik för skolår 5” finns
material som kan användas som en del av en självbedömning.
Ur Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet:
Skolan skall sträva efter att varje elev
• tar ett personligt ansvar för sina studier och sin arbetsmiljö,
• successivt utövar ett allt större inflytande över sin utbildning och det inre arbetet i
skolan,
• har kunskap om demokratins principer och utvecklar sin förmåga att arbeta i
demokratiska former.
Kunskapsområden
Det går att dela in matematiken i olika kunskapsområden, t ex taluppfattning
osv. Hur indelningen än görs har de olika områdena starka band till varandra.
Detta framgår av följande modell:
(Algebra)
Sortering, tabeller
och diagram
Taluppfattning
Mätning och rumsuppfattning
Att algebra står inom parentes beror på att en rubrik med algebraiskt innehåll
inte finns med i detta analysschema. Schemat har dock ett algebraiskt innehåll.
Under schemats rubriker finns flera exempel på sådant som kan räknas som förkunskap till algebra.
6
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Citat ur styrdokumenten
Ur Kursplan i matematik för grundskolan:
Mål att sträva mot
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
• utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna
förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,
• inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer och verksamheter och får kännedom om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder
inom matematiken utvecklats och använts,
• inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer,
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser
och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande,
• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik,
samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen,
• utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska
modellernas förutsättningar, begränsningar och användning,
• utvecklar sin förmåga att utnyttja miniräknarens och datorns möjligheter.
Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin
förmåga att förstå och använda
• grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och
procent,
• olika metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma
storleken av viktiga storheter,
• grundläggande geometriska begrepp, egenskaper, relationer och satser,
• grundläggande statistiska begrepp och metoder för att samla in och hantera data och
för att beskriva och jämföra viktiga egenskaper hos statistisk information,
• grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter,
• egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer,
• sannolikhetstänkande i konkreta slumpsituationer.
Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje årskursen
Målen uttrycker en lägsta godtagbar kunskapsnivå. Skolan och skolhuvudmannen ansvarar
för att eleverna ges möjlighet att uppnå denna. De flesta elever kan och ska komma längre
i sin kunskapsutveckling än vad denna nivå anger.
Eleven ska ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att
• kunna tolka elevnära information med matematiskt innehåll,
• kunna uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av
vardagligt språk, grundläggande matematiska begrepp och symboler, tabeller och bilder,
samt
• kunna undersöka elevnära matematiska problem, pröva och välja lösningsmetoder och
räknesätt samt uppskatta och reflektera över lösningar och deras rimlighet.
Inom denna ram ska eleven
beträffande tal och talens beteckningar
• kunna läsa och skriva tal samt ange siffrors värde i talen inom heltalsområdet 0–1 000,
• kunna jämföra, storleksordna och dela upp tal inom heltalsområdet 0–1 000,
• kunna dela upp helheter i olika antal delar samt kunna beskriva, jämföra och namnge
delarna som enkla bråk,
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
7
• kunna beskriva mönster i enkla talföljder, och
• kunna hantera matematiska likheter inom heltalsområdet 0–20,
beträffande räkning med positiva heltal
• kunna förklara vad de olika räknesätten står för och deras samband med varandra
med hjälp av till exempel konkret material eller bilder,
• kunna räkna i huvudet med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom
heltalsområdet 0–20 samt med enkla tal inom ett utvidgat talområde, och
• kunna addera och subtrahera tal med hjälp av skriftliga räknemetoder när talen och
svaren ligger inom talområdet 0–200,
beträffande rumsuppfattning och geometri
• kunna beskriva föremåls och objekts placering med hjälp av vanliga och enkla
lägesbestämningar,
• kunna beskriva, jämföra och namnge vanliga två- och tredimensionella geometriska
objekt,
• kunna rita och avbilda enkla tvådimensionella figurer samt utifrån instruktion bygga
enkla tredimensionella figurer, och
• kunna fortsätta och konstruera enkla geometriska mönster,
beträffande mätning
• kunna göra enkla jämförelser av olika längder, areor, massor, volymer och tider, och
• kunna uppskatta och mäta längder, massor, volymer och tid med vanliga måttenheter,
beträffande statistik
• kunna tolka och presentera enkel och elevnära information i tabeller och diagram.
Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte årskursen
Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för
att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö.
Inom denna ram skall eleven
• ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och
decimalform,
• förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna
upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler,
• kunna räkna med naturliga tal – i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och
med miniräknare,
• ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga
egenskaper hos geometriska figurer och mönster,
• kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider
samt kunna använda ritningar och kartor,
• kunna avläsa och tolka data givna i tabeller och diagram samt kunna använda elementära lägesmått.
8
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Att arbeta med analys av barns kunskap
I arbetet ingår att ta fram underlag för analys, att analysera iakttagelserna och
att sammanfatta och dokumentera dem.
Att ta fram underlag för analys
Uttrycksformer
Barnet kan visa sitt matematiska kunnande på olika sätt, med olika uttrycksformer. Nedan beskrivs de uttrycksformer som är aktuella för detta material.
Handling
Barnet kan visa sitt kunnande i matematik genom
att t ex sortera klossar eller ordna dessa i någon form
av mönster. Även äldre barn kan uttrycka matematiskt kunnande med handling genom att t ex lösa ett
problem och då utföra de handlingar som beskrivs i
problemet.
Bilder
Såväl yngre som äldre barn kan rita och måla för att
förklara sina matematiska tankar.
Ord
– talade och skrivna
Barnet kan med ord, muntligt och skriftligt,
kommunicera sina tankar.
Symboler
– informella och formella
Informella symboler kan t ex vara strecken som
barnet ritar för att ange antal i en mängd. Formella
symboler är siffror, likhetstecken m m.
Ur Kursplan i matematik för grundskolan:
Mål att sträva mot
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
• inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer,
• utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser
och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande,
• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik,
samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen.
Situationer
Lek, rutinsituationer, tematiskt/ämnesövergripande arbete, arbete med matematik, arbete i andra ämnen är exempel på situationer där barnet ensamt eller
i samspel med andra kan visa kunnande i matematik. Ibland styr barnet över
situationen, tex i en lek, och väljer då kontext, sammanhang. Läraren kan också
vara den som initierar situationen och syftet kan då vara att skapa en situation
för lärande eller en situation för att ta fram underlag för analys. Dessa båda syften är ofta förenliga och kan vara aktuella samtidigt. Ett exempel är när läraren
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
9
samtalar med barnet för att få reda på hur hon/han tänker om ett visst begrepp.
Frågorna som läraren ställer initierar tankeprocesser hos barnet och när barnet
kommunicerar sina tankar med läraren så kan barnet ha fördjupat sin kunskap
om begreppet.
Att skapa underlag för analys och att faktiskt analysera vilket kunnande
barnet visar är två olika läraraktiviteter. Ibland sker dessa samtidigt, barnet
uttrycker ett kunnande och läraren blir genast klar över vilket kunnande som
barnet har uttryckt. Ibland antecknar läraren sin iakttagelse och analyserar vid
ett senare tillfälle vilket kunnande som barnet har gett uttryck för. För att få
underlag till analys är det givetvis bra om alla i arbetslaget är delaktiga.
Nedan ges exempel från olika sorters situationer.
Rutinsituationer
Exempel på omedelbar uppfattning av antal: Barnen ska
äta lunch. Jacob ser direkt hur många som sitter vid
bordet.
Lek
Exempel på grundläggande rumsuppfattning – uppfattning
om kroppen: Gruppen leker Följa John. Jasmin följer lätt
de rörelser som barnet före gör.
Tematiskt arbete
Exempel på kommunikation där kartor ingår: Klassen
arbetar med ett tema om länder. Maria och Ivan arbetar
med Italien. De gör en tredimensionell karta i formbar
sand för att visa formen på landet.
Matematiskt
initierat arbete
Exempel när det gäller användning av tabeller vid
problemlösning: Barnen i klassen får ett problem att lösa:
”På ett fält där man tränar hunddressyr finns människor
och hundar. Det finns sammanlagt 24 ben och nio huvuden. Hur många människor och hur många hundar
finns det?” Maria gör en tabell över olika alternativ för
att lösa problemet.
Arbete i
andra ämnen
Exempel på uppskattning av volym: Klassen lagar mat.
Jacob ska avgöra om saften i en tillbringare räcker till
fem personer. Han säger: ”Det ser ut att vara ungefär en
liter, så det räcker nog.”
Att analysera den kunskap som barnet visar
En viktig aspekt är med vilken kvalitet barnet visar sin kunskap. Högre kvalitet
kan t ex vara att barnet visar förståelse för ett begrepp på olika sätt och i olika
sammanhang. Kunskap i matematik är ofta situationsbunden. Att barnet visar
förståelse för ett begrepp i en viss situation behöver inte innebära att han/hon
säkert visar samma förståelse i en annan situation. Analysen bör fokusera på om
barnet visar sitt kunnande i olika situationer eller om det bara är i en viss situation. En annan kvalitetsaspekt är i vilken mån barnet kan generalisera sin kunskap. Barnet kan t ex se ett mönster när det gäller hur ett visst problem ska lösas
och använder sedan detta mönster för att lösa ett liknande problem.
10
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Under rubriken ”Kommentarer och exempel till analysschema” finns mer
detaljerad information. Här beskrivs vad analysen kan fokusera på och här finns
också exempel från olika situationer.
Materialet sträcker sig till målen att uppnå för årskurs 5. Många barn kan
dock betydligt mer när de går i årskurs 5. Detta innebär att för många barn som
går i årskurs 5, och kanske även i tidigare årskurser, kan det vara lämpligare att
använda det analysmaterial som tar sin utgångspunkt i målen att uppnå för årskurs 5 och sedan sträcker sig till årskurs 9.
Att dokumentera iakttagelser och analyser
I många situationer har barnet möjlighet att visa kunskap från olika delar av
analysschemat. Blanketten ”Underlag för iakttagelser” (sid XX) kan användas
när läraren vill göra en helhetsbeskrivning i en viss situation. Här finns möjlighet för läraren att på ett enda papper föra in observationer gällande den kunskap som barnet visar inom olika områden vid det aktuella tillfället.
Här visas ett exempel på hur en lärare har fyllt i delar av underlaget.
Använder matematik
i olika situationer
Kommunicerar
matematik
Mätning och
rumsuppfattning
Sortering, tabeller
och diagram
Taluppfattning
En strävan är att materialet ska omfatta de infallsvinklar och kunskaper inom
matematikämnet som är relevanta för åldersgruppen som analysmaterialet är inriktat mot och som överensstämmer med läroplaner, kursplan och aktuell forskning. Detta innebär dock inte att de analyser läraren väljer att göra behöver bli
omfattande. Vad som fylls i på schemat för ett enskilt barn beror på vad läraren
fokuserar sin analys på.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
11
Vid utprövningar av materialet har lärare beskrivit olika sätt som de kommer
att använda materialet på:
”Vi kommer att försöka fånga tillfället i flykten genom att kontinuerligt
dokumentera den kunskap som varje barn visar i olika situationer.”
”Jag kommer att inrikta mina iakttagelser och analyser på några barn i taget.
Då kan jag också fråga andra vuxna vilket kunnande de ser att barnet visar.”
”Vi kommer att sammanfatta då och då, t ex en gång i halvåret, vilken kunskap
varje barn har visat och göra dokumentationen då. Till vår hjälp har vi våra
anteckningar och de mappar där barnen samlar sina arbeten.”
”Det bästa för mig blir nog att inrikta analysen på några olika begrepp i taget.
Då fyller jag i just de rutor som passar för alla barn i gruppen.”
”Vi arbetar med barn i skolåldern och för oss passar det bäst att i första hand
analysera varje barns arbete vid skriftliga diagnoser, t ex Diagnostiska uppgifter i
matematik – för användning i de tidiga skolåren (”Måns och Mia”). Analyserna
dokumenterar vi i analysschemat. För vissa barn kanske vi vill ha ytterligare underlag för analys. Vi iakttar då dessa barn i olika situationer.”
Analysschemat är strukturerat så att olika delområden är sammanförda under
olika rubriker, t ex ”Taluppfattning”. Syftet med denna struktur är att schemat
ska vara lätt att hitta i för läraren och är inte ett förslag till undervisningsplan.
Ordningen på analysschemats olika rutor är inte heller en beskrivning av en
progression vad gäller svårighetsgrad mellan innehållet i rutorna.
Schemat kan spegla barns kunskapsutveckling över tid och det kan därför
också användas för information vid lärarbyten och utvecklingssamtal. I de fall
ett analysschema följer ett barn genom flera skolformer kan givetvis flera kopior
behövas. Här visas ett par exempel på hur lärare har fyllt i analysschemat vid
utprövningar.
12
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Taluppfattning
I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad barnet kan som hur barnet
visar sina kunskaper. Vilka rutor som fylls i kan t ex bero på vad läraren väljer att fokusera i sin analys.
Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad.
Sexåring
Visar tilltro till sin förmåga
Visar glädje, intresse osv.
Tar ansvar för sitt lärande.
Vid jämförelse av tal, beräkningar osv.
Hanterar och löser problem
Använder kunskap från ”Taluppfattning”.
Använder ”Taluppfattning”
I olika situationer.
Kommunicerar ”Taluppfattning”
Argumenterar för sina tankar.
Med fingrar, bild, ord, symboler.
Vardagsord
Förstår ord som fler än, färre än osv.
Uppfattning om antal
Ser räkneorden som antal.
Sorterar. Ordnar i serie.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100.
Parbildning
Behärskar ett till ett-principen.
Räkneorden som ordningstal
Förstår och anger.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–30.
Omedelbar uppfattning av antal
Uppfattar upp till 3–5.
Ser större antal i grupper.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
13
Sortering, tabeller och diagram
I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad barnet kan som hur barnet
visar sina kunskaper. Vilka rutor som fylls i kan t ex bero på vad läraren väljer att fokusera i sin analys.
Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad.
Tioåring
Visar tilltro till sin förmåga
Visar glädje, intresse osv.
Tar ansvar för sitt lärande.
Vid tolkning av tabeller och diagram osv.
Hanterar och löser problem
Använder kunskap från ”Sortering,
tabeller och diagram” som redskap.
Använder ”Sortering,
tabeller och diagram”
I olika situationer.
Kommunicerar ”Sortering,
tabeller och diagram”
Argumenterar för sina tankar.
Med gester, bild, ord, symboler.
Vardagsord
Förstår ord som vanligast, oftast,
minst, mest, lika.
Klassificering och sortering
Urskiljer egenskaper.
Håller fast vid klassificeringskriterier.
Lägesmått
Förstår typvärde, median, medelvärde.
Tabeller
Bokför vid sortering.
Tolkar tabeller.
Gör egna tabeller.
Diagram
Gör egna diagram.
Tolkar diagram.
14
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Koppling till diagnostiska uppgifter
Syftet med analysmaterialet är, som tidigare beskrivits, att det ska vara en hjälp
för lärare att analysera och dokumentera det kunnande som barnet visar i matematik fram till och med målen att uppnå i årskurs 5. Syftet är däremot inte
att ge svar på om barnet har det kunnande som krävs för att för att hon/han
troligtvis kommer att uppnå målen i årskurs 5. Detta kan ”Diagnostiska uppgifter i matematik – för användning i de tidiga skolåren” (omarbetning av ”Diagnostiskt material i matematik för skolår 2”, 1996) ge vägledning till. Dessa
diagnostiska uppgifter har också som syfte att belysa barnets starka och svaga
sidor i matematik. Uppgifterna i materialet ska ses som en uppgiftsbank och går
att använda även i årskurs 1 och 3. Nedan beskrivs var i ”Diagnostiska uppgifter
...” det går att hitta uppgifter som passar till analysschemats rubriker. Eftersom
”Diagnostiska uppgifter ...” täcker ett något mindre område är vissa delar av
analysschemats underrubriker inte representerade.
För att bedöma om barnet har uppnått målen i matematik för årskurs 3 och
5 kan uppgifter ur ämnesprov för årskurs 5 användas som komplement till övrig
bedömning. I proven från och med år 1999 finns översikter där det framgår var
i proven det finns uppgifter för olika områden.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
15
Rubrik ur analysschemat
Uppgifter ur ”Diagnostiska uppgifter ...”
Mätning och rumsuppfattning
Grundläggande rumsuppfattning
F:9
Uppgifter angivna under ”Avbildning, förstoring och förminskning”,
”Mönster” och ”Symmetri”
Avbildning, förstoring och förminskning
F:9 (avbildning)
A:3, B:9* (förstoring/förminskning)
*B:9 motsvaras i DM2 från 1996 av uppgift B:11
Mönster
Symmetri
A:1, A:7, C:8, D:8, E:10
A:3, B:9*, E:10
*B:9 motsvaras i DM2 från 1996 av uppgift B:11
Längd
C:1, E:4, E:5
Massa (vikt)
E:2
Area
D:1, D:5
C:7, D:3 (dessa båda uppgifter prövar i första hand hälften/dubbelt men
kan också visa begreppsförståelse för area)
Tid
D:2
Sortering, tabeller och diagram
Klassificering och sortering
A:grupp
Tabeller
A:grupp
Diagram
A:grupp
Taluppfattning
Positionssystemet
B:2–5, C:3, E:1
Räknesekvens
Underlag för individuella samtal
Uppdelning av tal
Underlag för individuella samtal
Huvudräkning
Underlag för individuella samtal, C:grupp, F:1, F:2, F:3, F:5
Uppgifter angivna under ”Hälften/dubbelt”
Skriftliga räknemetoder
C:5
F:2, F:3 (dessa båda uppgifter prövar i första hand huvudräkning men
kan också visa skrifliga räknemetoder)
Miniräknare
Del E
Förståelse för räknesätten
Underlag för individuella samtal, A:5, C:6, C:grupp, D:7, D:grupp, E:2, E:3, E:4, E:6, E:8,
E:9, F:1, F:5, F:6, F:7, F:grupp*
*F:grupp motsvaras i DM2 från 1996 av uppgift E:grupp
Mönster
B:grupp, E:grupp*
*E:grupp motsvaras i DM2 från 1996 av uppgift F:grupp
Hälften/dubbelt
A:2, A:4, A:6, B:1, B:8*, C:2, C:4, C:7, D:3, D:4, D:6, D:7, E:7, F:4
*B:8 motsvaras i DM2 från 1996 av uppgift B:10
Tal i bråkform
16
F:6, F:8
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Kommentarer och
exempel till analysschema
Analysen, som kan göras med hjälp av materialets olika delar, kommenteras
nedan. Materialet är indelat i tre områden, ”Mätning och rumsuppfattning”,
”Sortering, tabeller och diagram” och ”Taluppfattning”.
De fyra första underrubrikerna inom varje område återkommer under varje
huvudrubrik och har liknande formuleringar. Dessa underrubriker är ”Visar
tilltro till sin förmåga”, ”Hanterar och löser problem”, ”Använder ...” och ”Kommunicerar …” Dessa rubriker har en generell karaktär och hör ihop med mål att
sträva mot.
Alla rubriker i följande text kommer i samma ordning som på analysschemat.
Under de flesta rubrikerna finns exempel på situationer där barnet kan visa sin
kunskap. I de fall där det finns fler än ett exempel handlar det första exemplet
om yngre barn.
Mätning och rumsuppfattning
Visar tilltro till sin förmåga
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet visar tilltro till sitt tänkande
och till sin förmåga samt glädje och intresse i såväl spontana som styrda situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet tar ansvar för sitt eget
lärande. Här avses situationer där kunskap från ”Mätning och rumsuppfattning” ingår.
Hanterar och löser problem
Analysen fokuseras på barnets förmåga att formulera, gestalta och lösa problem,
med särskilt fokus på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från ”Mätning och rumsuppfattning” i problemhanterandet.
EXEMPEL
Problemlösning där kunskap från ”Mätning och rumsuppfattning” ingår:
Barngruppen arbetar med temat ”Hus”. Barnen har tillsammans med läraren kommit
överens om att de ska konstruera varsin modell av ett staket. I arbetet visar Sara sin
kunskap och förståelse för mätning och längdbegreppet. Hon klipper ut ”brädbitar” i papp.
För att alla bitar ska bli lika långa använder hon ett finger som måttstock.
Använder ”Mätning och rumsuppfattning”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från
”Mätning och rumsuppfattning” i olika situationer, t ex vid matlagning eller
under slöjdlektioner.
Kommunicerar ”Mätning och rumsuppfattning”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnets kommunikation har ett
innehåll från ”Mätning och rumsuppfattning” i såväl spontana som styrda situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet argumenterar för
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
17
sina tankar. Kommunikationen/argumentationen kan t ex ske med gester, bild,
ord, föremål och matematiska symboler. Orden behöver inte vara ett korrekt
matematiskt språk, såsom cirkel och rektangel, utan kan vara mer vardagligt inriktade ord, såsom fyrkant, streck eller ring.
EXEMPEL
Kommunikation:
Maria ska beskriva sin skolväg: ”Först går jag rakt fram länge och sedan svänger jag
vänster. När jag kommer till parken går jag tvärsöver den.” När läraren frågar kan hon
uppskatta hur långa de olika sträckorna är.
Vardagsord
Analysen fokuseras på barnets förståelse för vardagsord som har med ”Mätning
och rumsuppfattning” att göra: stor, större, störst, kantig, tung, långt bort,
länge, kortare, längre, spetsig, rund, bakom, höger, vänster, uppåt osv.
Grundläggande rumsuppfattning
Har uppfattning om kroppen
Analysen fokuseras på barnets uppfattning om var den egna kroppen börjar och
slutar och var han/hon är placerad i rummet. Denna kunskap är grundläggande
för rumsuppfattning.
EXEMPEL
Uppfattning om kroppen:
I leken bedömer Victor var han kan och inte kan krypa under, i vilka utrymmen han får
eller inte får plats och hur högt han når.
Det finns ett par röda stövlar kvar när Sara kommer ut i kapprummet. Hon ser direkt
utan att prova att de inte är hennes: ”De är alldeles för stora.”
Uppfattar föremåls storlek, form, placering osv
Analysen fokuseras på barnets uppfattning om föremåls storlek, form, placering
osv i rummet. När det gäller språket är bl a ord för läge viktiga, t ex under, över,
höger, vänster.
EXEMPEL
Uppfattning om storlek, form och placering:
Jacob lägger pussel. En bit är formad som en kvadrat. Där biten passar in i pusslet ska
den vridas ett kvarts varv. Jacob ser att han måste vrida biten för att den ska passa in i
pusslet.
Maria gör en karta över sitt klassrum. När hon ska rita bord, stolar osv kan hon föreställa
sig hur de är placerade utan att titta efter.
Avbildning, förstoringar och förminskningar
Avbildning
Analysen fokuseras på hur barnet hanterar avbildning. Bl a avses i vilken utsträckning barnet förstår att en bild av ett verkligt föremål föreställer något som
finns i verkligheten och i vilken utsträckning barnet förstår att ett föremål som
är avbildat från olika håll kan se olika ut på bild. Denna förståelse kan barnet
18
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
visa t ex genom att muntligt beskriva sin tolkning av en bild och att göra en
egen avbildning.
EXEMPEL
Avbildning:
Jasmin och Victor arbetar med lera. Victor berättar att han har gjort en orm.
Sara och Jacob målar bilar som åker över en bro. De pratar om vilka som är störst och
minst. Sara säger: ”De som är längst bort ser minst ut.”
Ivan ritar av sakerna på bordet som de ser ut uppifrån. När han avbildar ett glas ritar
han det som en cirkel på papperet.
Förstoringar och förminskningar
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan göra och tolka bilder
där sträckorna är förstorade eller förminskade. Analysen omfattar också i vilken
utsträckning barnets förstoring eller förminskning har samma form som originalet. För yngre barn bör iakttas om barnet förstår att ett föremål som på en
bild ser mindre ut än ett föremål på en annan bild kan vara det större föremålet
i verkligheten.
Kartor och ritningar
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan tolka och använda kartor
och ritningar. Analysen kan också omfatta om barnet klarar att göra egna kartor
och ritningar. För att kunna tolka och använda en karta över närområdet, t ex
skolgården, krävs att barnet kan orientera sig med hjälp av kartan. Ofta handlar
förståelsen om hur föremål är placerade inbördes. På kartor finns symboler, t ex
för vägar och hus, som är viktiga när det gäller förståelsen för kartor. För att
kunna analysera om barnet kan tolka hur långa sträckorna på en karta eller en
ritning är i verkligheten iakttas om och hur barnet använder sig av den information som finns på kartan eller ritningen. Ofta visas informationen som en liten
skallinjal där sträckornas längd i verkligheten är markerad och/eller med en text
”1 cm på kartan motsvaras av 100 m i verkligheten”.
EXEMPEL
Att göra egen ritning:
Barnen ska bygga en bil. Sara gör först en ungefärlig, ej skalenlig, ritning.
Med hjälp av ritningen kan de sedan genomföra sitt arbete.
Tolkning av kartor:
Klassen arbetar med länder och kartor. Ivan visar förståelse för skala genom att ta
reda på det verkliga avståndet mellan två orter.
Geometriska objekt
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan jämföra och sortera
geometriska objekt efter storlek, form och andra egenskaper. Analysen omfattar
också i vilken utsträckning barnet kan känna igen geometriska objekt, namnge
objekt korrekt samt beskriva objekt. Geometriska objekt kan bl a vara tredimensionella objekt, kroppar (t ex klot, kub), eller tvådimensionella objekt, figurer
(t ex triangel, cirkel). Ord som kant, sida och hörn är viktiga när det gäller att
beskriva egenskaper hos objekt.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
19
EXEMPEL
Sortering av objekt:
Sara sitter med olika föremål framför sig. Föremålen har samma form som olika
geometriska kroppar. Hon sorterar föremålen efter form med klot (bollar och kulor)
för sig osv. Sedan gör hon en ny sortering och då efter storlek.
Att känna igen geometriska objekt:
Gruppen arbetar med ett tema kring hus. Läraren uppmanar barnen att leta efter
rektanglar. Ivan kan då se rektangelformade delar av husen, fönster, dörrar osv. Något
fönster har formen av en kvadrat. Det är korrekt att kalla det rektangelformat eftersom
kvadraten är en speciell rektangel.
Mönster
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan uppfatta, avbilda, fortsätta och göra egna mönster. I detta fall avser analysen mönster inom geometri.
Geometriska mönster kan vara en förkunskap till algebra.
Tre olika sorters mönster:
EXEMPEL
Att uppfatta och fortsätta mönster:
Victor upptäcker mönster på golvet, muren, väggen och trottoaren.
Barnen får i uppgift att fortsätta måla ett givet geometriskt mönster i en bild. Mönstret
byggs upp som plattor på ett golv. Sara visar att hon kan uppfatta och fortsätta mönster
genom att hon målar färdigt golvet korrekt.
Klassen arbetar med att göra sammanhängande och täckande mönster – tesselerande
mönster – av geometriska figurer. Ivan konstruerar ett mönster. Senare syr han en kudde
i slöjden med samma mönster.
Symmetri
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet uppfattar symmetri. Här avses spegelsymmetri, dvs det som i vardagligt tal kallas symmetri.
EXEMPEL
Uppfattning av symmetri:
Jasmin tittar sig själv i spegeln. Hon kan säga vad som är lika på båda sidor av en
tänkt mittlinje.
Gruppen arbetar med att måla fantasifigurer. Jacob väljer att ha olika många armar och
fingrar på de båda sidorna och säger: ”Jag gör olika.” Sara strävar efter symmetri och gör
hela tiden lika på båda sidorna i figuren och säger: ”Min figur blir likadan på båda sidor.”
20
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Maria och Ivan får i uppgift att hitta saker med symmetri. Till sin hjälp har de en spegel.
De placerar spegeln lodrätt längs föremålets symmetrilinje. Då bildar spegelbilden av
föremålet och den synliga delen av föremålet samma form som hela föremålet.
Längd
Analysen fokuseras på barnets begreppsförståelse vad gäller längd. Förståelse för
vad avstånd är hör ihop med längdbegreppet. Även förståelse för vad omkrets är
hör hit. En del är också om barnet säkert vet att längden på ett föremål, t ex ett
snöre, fortfarande är lika även om det är böjt på ett annat sätt än tidigare. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan jämföra, sortera och mäta
längder och då använda lämpliga metoder och måttsystem. Enheten kan vara
icke-standardiserad, t ex en barnfots längd, eller standardiserad, meter, decimeter, centimeter och millimeter. Många barn mäter tidigt längder och använder
då ofta kroppsdelar eller något föremål som mått.
Viktigt vid analysen är att uppmärksamma om barnet förstår mätandets idé
och inte blandar enheter utan använder samma enhet. När barnet blandar enheter kan hon/han t ex få en sträcka till fyra fötter och ett finger lång och då säga
att sträckan är fem. Ett barn som förstår mätandets idé för längd kan t ex visa
detta genom att upprepa ett antal likadana föremål lagda intill varandra för att
mäta längden på en sträcka. När det gäller användning av linjalen som mätredskap är det viktigt att barnet förstår att det är mellanrummen mellan markeringarna som är mätenheten. Att kunna göra rimliga uppskattningar är ett viktigt
kunnande inom alla aspekter av längd.
EXEMPEL
Begreppsförståelse vad gäller längd:
Gruppen och läraren pratar om vilken väg till matsalen som är kortast. Sara föreslår att
de ska lägga bandyklubbor efter varandra för att ta reda på detta.
Mätning av längd:
Klassen arbetar med uppskattning och mätning av längd. Ivan uppskattar längden på olika
sträckor i skolan. Han mäter sedan sträckorna och anger längden på olika sätt genom att
använda olika enheter. Uppskattningarna stämmer ungefär.
Volym
Analysen fokuseras på barnets begreppsförståelse vad gäller volym. Att förstå att
det i ett högt smalt kärl kan få plats mindre, lika mycket eller mer vätska än i ett
lågt brett kärl är en viktig del av uppfattningen om volym. En del är också om
barnet säkert vet att en volym som endast förändras till formen, t ex vatten som
hälls från en sorts glas till ett annat, är oförändrad.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan jämföra, sortera
och mäta volymer och då använda lämpliga metoder och måttsystem. Enheten
kan vara icke-standardiserad, t ex ett glas, eller standardiserad, liter, deciliter och
centiliter. Att kunna göra rimliga uppskattningar är ett viktigt kunnande inom
alla aspekter av volym. Även när det gäller volym är det viktigt att uppmärksamma om barnet har förstått mätandets idé, se motsvarande under ”Längd”.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
21
EXEMPEL
Begreppsförståelse vad gäller volym:
Jasmin och Victor undersöker i vilket glas det får plats mest saft genom att hälla över
saften från det ena glaset till det andra. De finner att det får plats lika mycket i glasen
trots att det ena är högre än det andra. l resonemang med läraren kommer de fram till
att det beror på att det högre glaset är smalare än det andra.
Barnen ska baka. I receptet står att det ska ingå 1 dl vatten. Jacob häller i vatten i ett
decilitermått men fyller det inte helt. Sara säger: ”Du måste fylla det helt, annars är det
inte en hel deciliter.”
Ivan ska ta reda på vilken av två stenar som har störst volym. Han gör det genom att
sänka ner dem i vatten var och en för sig och ser för vilken sten som vattenytan höjs mest.
Läraren frågar senare: ”Vad är volym?” Ivan svarar: ”Volym är hur stor plats någonting tar.”
Samma formulering kan dock i vissa fall användas även om area.
Massa (vikt)
Analysen fokuseras på barnets begreppsförståelse vad gäller massa. En del av
uppfattningen om massa är att förstå att det inte går att se med blotta ögat vilket föremål som väger mest utan att en stor sak kan väga mindre än en liten. En
del är också om barnet säkert vet att ett föremål som endast förändras till formen, t ex något gjort av modellera, fortfarande väger lika mycket som förut.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan jämföra, sortera och
mäta massor och då använda lämpliga metoder och måttsystem. Enheten kan
vara icke-standardiserad, t ex ett sudd, eller standardiserad, kilogram, hektogram
och gram. Balansvågen är ett redskap för att jämföra massor. Att kunna göra
rimliga uppskattningar är ett viktigt kunnande inom alla aspekter av massa.
Även när det gäller massa är det viktigt att uppmärksamma om barnet har förstått mätandets idé, se motsvarande under ”Längd”.
EXEMPEL
Uppskattning av massa (vikt):
Sara rangordnar några föremål efter deras massa. Hon känner hur tunga föremålen är i
handen och låter sig inte luras av föremålens storlek.
Ivan uppskattar några föremåls massa: ”Den här väger nog ungefär 2 hg för den känns
som godiset jag köpte igår.” Uppskattningen är i detta fall rimlig.
Area
Analysen fokuseras på barnets begreppsförståelse vad gäller area. Förståelse för
area handlar om att förstå att area innebär storleken av ett områdes yta. En
viktig aspekt är också i vilken utsträckning barnet förstår att det inte är figurens
area som han/hon har tagit reda på vid mätning av omkretsen. Att klara av att
täcka ytor är ett kunnande som är närbesläktat med begreppsförståelse för area,
En aspekt är också om barnet säkert vet att en yta som endast förändras till
formen, t ex ett papper som klipps sönder och sedan sätts ihop på ett nytt sätt,
fortfarande har samma area.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan jämföra, sortera och
mäta områden med olika area. Mätningen görs företrädesvis med icke-standardiserade enheter, t ex rutor av något slag. Att kunna göra rimliga uppskattningar
är ett viktigt kunnande inom alla aspekter av area.
22
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
EXEMPEL
Begreppsförståelse vad gäller area:
Victor har fått två tunnpannkakor. Han lägger dem på varandra för att se vilken som är
störst.
Barnen lägger fyrkantiga figurer i mosaik med kvadratiska bitar. Sara säger till kamraten;
”Min fyrkant är större än din för jag har använt 12 bitar och du har använt 10.”
Eleverna i en klass undersöker med hjälp av ett hopknutet snöre och centimeterrutat
papper vilken rektangel med en given omkrets som har den största arean. Ivan säger:
”De rektanglar som är smalare har mindre area.” Maria säger: ”Kvadraten har störst area.”
Vinklar
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet har begreppsförståelse samt
kan jämföra och sortera vinklar. Begreppsförståelse innebär att barnet uppfattar
vad en vinkel är. Det handlar då också om att förstå att en vinkels storlek beror
på hur mycket det ena vinkelbenet har vridit sig ifrån det andra och inte på
vinkel­benens längd.
EXEMPEL
Begreppsförståelse vad gäller vinklar:
Klassen arbetar med vinklar. Jacob har en kartongbit och går runt i rummet för att hitta
vinklar. Han prövar i alla hörn och säger: ”Alla hörn i vårt klassrum är räta vinklar.”
Maria har en bild med flera vinklar avbildade. Hon kan ordna dem från den minsta till
den största vinkeln. Att vinkelbenen är olika stora på vinklarna påverkar inte hennes
bedömning. Hon kan också förklara hur hon vet att en vinkel är större än en annan.
Tid
Funderar kring begreppet
Analysen fokuseras på barnets funderingar och uppfattning om tidsbegreppet.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan veckans dagar, årets
månader osv. Det är svårt att förstå vad tid egentligen innebär. En del i begreppsuppfattningen är om barnet reflekterar över vad tid är. Förståelse för ord
som tidigare, senare, förut, före, efter, igår, idag och imorgon är viktigt.
EXEMPEL
Uppfattning om tid:
Jasmin säger: ”Efter lektionen ska jag leka ute länge.”
Vid planeringen av veckan kommer läraren och barnen överens om att Sara ska visa
en film på onsdagen. Sara säger: ”Det är i övermorgon.”
Mäter
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet visar förståelse för mätning
av tid. Barnet kan uppleva mätning av tid utan vanlig klocka, t ex med en äggklocka eller att rasten varar en viss tid.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
23
EXEMPEL
Mätning av tid:
Några barn hoppar på en studsmatta. För att det ska bli rättvist föreslår Victor att de ska
ställa äggklockan på ”två streck”.
Avläser analog och digital klocka, beräknar tidsskillnader
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan avläsa analog och digital
klocka samt i vilken utsträckning barnet klarar av att bestämma enkla tidsskillnader. Förståelsen för hur avläsning av en analog klocka går till handlar bl a
om att förstå skillnaden i betydelse mellan tim- och minutvisaren. När barnet
förstår att det räcker med att se på timvisaren för att veta ungefär vad klockan är
och att minutvisaren är en hjälpvisare har ett viktigt steg i förståelsen tagits.
Förståelsen av digital tid innefattar bl a säkerhet om att det är 60 minuter på
en timme och att varje klockslag på en analog klocka motsvaras av två digitala
angivelser, t ex 14.15 på eftermiddagen och 02.15 på natten. Analysen omfattar
också i vilken utsträckning barnet kan uppskatta tid.
EXEMPEL
Tidsskillnader och uppskattning av tid:
Ivan och hans klasskamrater planerar vad de ska hinna under ett arbetspass och
utvärderar sedan detta. Ivan gör en rimlig bedömning av vad han kommer att hinna.
Maria tittar i TV-programmet och ser att filmen börjar 20.30 och slutar 22.00.
Hon säger: ”Vad bra, då får jag plats med två så långa filmer på mitt band.”
Sortering, tabeller och diagram
Visar tilltro till sin förmåga
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet visar tilltro till sitt tänkande
och till sin förmåga samt glädje och intresse i såväl spontana som styrda situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet tar ansvar för sitt
eget lärande. Här avses situationer där kunskap från ”Sortering, tabeller och
diagram” ingår.
Hanterar och löser problem
Analysen fokuseras på barnets förmåga att formulera, gestalta och lösa problem,
med särskilt fokus på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från ”Sortering, tabeller och diagram” i problemhanterandet.
EXEMPEL
Problemlösning vad gäller tabeller och diagram:
Barnen får i uppgift att tydligt visa resultatet av en undersökning. Barnen löser uppgiften
på olika sätt. Några barn konstruerar en sorts stapeldiagram, några gör tabeller osv.
Använder ”Sortering, tabeller och diagram”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från ”Sortering, tabeller och diagram” i olika situationer.
24
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
EXEMPEL
Användning av diagram i en vardaglig situation:
I närområdet har gjorts en undersökning som behandlar om de boende vill att det ska
byggas ett badhus i området. När klassen pratar om detta berättar Maria att hon har sett
ett diagram i tidningen som visar att de flesta vill att badhuset ska byggas.
Kommunicerar ”Sortering, tabeller och diagram”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnets kommunikation har ett
innehåll från ”Sortering, tabeller och diagram” i såväl spontana som styrda situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet argumenterar för
sina tankar. Kommunikationen/argumentationen kan t ex ske med gester, bild,
ord, föremål och matematiska symboler.
EXEMPEL
Kommunikation där diagram ingår:
Jacob tittar på ett stapeldiagram som en kamrat har gjort. Han pekar på den högsta
stapeln och säger: ”Här är det mest.”
Klassen arbetar med ett tema om miljö. En grupp vill visa sina resultat i ett diagram.
Maria gör diagrammet med hjälp av ett kalkylprogram på datorn.
Vardagsord
Analysen fokuseras på barnets förståelse för vardagsord som har med ”Sortering,
tabeller och diagram” att göra: vanligast, oftast, knappt, lika, jämföra, skillnader,
mer, mindre, mest, flest osv.
Klassificering och sortering
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan bestämma efter vilken
egenskap objekt kan sorteras samt i vilken utsträckning barnet vid sorteringen
kan hålla fast vid klassificeringskriterier. Klassificering handlar om att urskilja
egenskaper hos det som sorteras och att sortera hela mängden efter samma sorts
egenskap.
EXEMPEL
Sortering:
Gruppen har varit i skogen. Barnen har samlat material. Sara sorterar sitt material efter
färg, bruna saker för sig osv. Jacob sorterar efter form, långa och smala saker för sig osv.
Elevrådet kommer med förslag om en ”Elevernas önskevecka” för lunchen. Varje klass
lämnar förslag på 5 maträtter. Maria och Ivan sorterar förslagen så att de maträtter som
är ungefär lika räknas tillsammans.
Lägesmått
Det finns tre vanliga lägesmått, typvärde, median och medelvärde.
Förstår typvärde
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet förstår vilket som är det mest
typiska, dvs det som förekommer mest. I ett diagram går detta ofta att läsa av
tydligt, t ex i ett stapeldiagram där typvärdet har den högsta stapeln.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
25
EXEMPEL
Förståelse för typvärde:
Gruppen ska bestämma utflyktsmål. De gör klosstaplar för varje förslag.
Victor och Sara ser genast vilket förslag som vinner, vilken stapel som är högst.
Klassen har gjort en tabell över vilken månad kamraterna fyller år.
Ivan ser att det är flest födelsedagar i april.
Förstår median
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet förstår att medianen är mittvärdet om värdena är rangordnade.
EXEMPEL
Att ta reda på medianen:
Klassen pratar om olika lägesmått. Läraren frågar barnen hur man skulle kunna ta reda
på medianen av hur långa de är i klassen. Maria svarar att de skulle kunna ställa upp sig
på en lång rad från den kortaste till den längsta. Längden på den i mitten är då medianlängden.
Förstår medelvärde
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet förstår vad medelvärde är.
Barnet kan visa tidig förståelse genom att ta reda på medelvärdet praktiskt, t ex
med klossar.
EXEMPEL
Att ta reda på medelvärde:
Barnen har olika antal legobitar. Läraren frågar: ”Hur många skulle var och en ha om vi
delade upp bitarna så alla hade lika många?” Sara använder legobitarna för att lösa uppgiften. Hon flyttar legobitar mellan barnen så att det blir lika många i de olika högarna.
Klassen beslutar att de ska läsa 100 böcker tillsammans under en månad.
Ivan säger: ”Då måste vi i genomsnitt läsa ungefär fyra böcker var.”
Tabeller
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan bokföra resultatet vid
sortering. Barnet kan göra en enkel tabell när hon/han bokför vid sortering. En
del barn använder siffror medan andra gör streck eller bilder när de ska ange
antal. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan tolka tabeller
gjorda av andra samt i vilken utsträckning barnet kan göra egna tabeller.
Noteras bör dock att när det gäller mål att uppnå i årskurs 5 räcker det med
att barnet kan tolka data givna i tabeller och att det således inte krävs att barnet
kan konstruera korrekta tabeller.
Diagram
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan göra egna diagram, kan
tolka diagram samt har insikt om hur och när diagram används. Det går att finna många exempel på diagram i vårt samhälle, t ex i tidningar. Även yngre barn
kan göra en form av diagram när de ska synliggöra resultat av en undersökning.
Tolkningen av informationen som ges i ett diagram kan ske genom att barnet
26
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
läser av ett värde i taget, att barnet jämför värden i diagrammet m m. Exempel
på diagram är stapel- och cirkeldiagram.
Noteras bör dock att när det gäller mål att uppnå i årskurs 5 räcker det med
att barnet kan tolka data givna i diagram och att det således inte krävs att barnet
kan konstruera korrekta diagram.
EXEMPEL
Tolkning av diagram:
Gruppen gör ett stapeldiagram över antal familjemedlemmar. Varje barn tar lika många
lappar som de har familjemedlemmar och sätter dessa i stapel på platsen för sitt namn.
Victor upptäcker att det är lika många i hans familj som i Jasmins.
På elevrådets anslagstavla sitter ett cirkeldiagram som visar resultatet av vilka maträtter
skolans elever vill ha under ”Elevernas önskevecka”. Ivan ser på diagrammet att det är
ungefär dubbelt så populärt med tacos som det är med köttbullar.
Taluppfattning
Visar tilltro till sin förmåga
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet visar tilltro till sitt tänkande
och till sin förmåga samt glädje och intresse i såväl spontana som styrda situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet tar ansvar för sitt eget
lärande. Här avses situationer där kunskap från ”Taluppfattning” ingår.
Hanterar och löser problem
Analysen fokuseras på barnets förmåga att formulera, gestalta och lösa problem,
med särskilt fokus på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från ”Taluppfattning” i problemhanterandet.
EXEMPEL
Problemlösning som kräver kunskap från ”Taluppfattning”:
Den vuxne säger: ”Du och två kamrater vill ha bullar. Det finns bara två bullar. Hur kan ni
dela dem?” Barnen löser uppgiften på olika sätt; de ritar, klipper, använder egna symboler
och/eller siffersymboler. Svaren kan också bli olika: ”En person får en hel bulle och de
andra varsin halva.” ”En halva slängs bort och de tre får en halva var.” ”Var och en får två
tredjedelar.” osv.
Klassen arbetar med temat ”Bronsåldern”. De får följande uppgift: ”I en bronsåldersby
hade man vävt 30 m tyg. Hur många klänningar, mantlar, koltar och blusar sydde de? Till
en klänning gick det åt 4 m tyg, mantel 3 m, kolt 2 1/2 m och blus 2 m.” Barnen ger olika
exempel på vad man kan sy av tyget.
Använder ”Taluppfattning”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet använder kunskap från ”Taluppfattning” i olika situationer.
EXEMPEL
Användning av ”Taluppfattning” i olika situationer:
Victor sitter och bygger med klossar och ser att fyra bitar fattas. Han går och hämtar exakt
fyra bitar.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
27
Klassen säljer bullar för att få in pengar till klasskassan. Några barn vill veta hur mycket
de fått in sammanlagt. Maria tar fram en miniräknare och utför de beräkningar som behövs.
Kommunicerar ”Taluppfattning”
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnets kommunikation har ett
innehåll från ”Taluppfattning” i såväl spontana som styrda situationer. Analysen
omfattar också i vilken utsträckning barnet argumenterar för sina tankar. Kommunikationen/argumentationen kan t ex ske med gester, bild, ord, föremål och
matematiska symboler.
EXEMPEL
Spontant formulerat antal:
Victor säger: ”Jag vill ha fyra russin.” i stället för ”Jag vill ha några russin.”
Sara säger: ”I vår klass är vi fler än i andra klassen för vi är 26 och de är 24.”
Spontant formulerade beräkningar:
Klassen diskuterar hur många korvar som behövs till en utflykt. Maria säger:
”Om alla äter två korvar var behövs 52 stycken.” (De är 26 barn i klassen.)
Vardagsord
Analysen fokuseras på barnets förståelse för ord som har med antal att göra, t ex
många, fler än, flest, få, färre än, lägst antal, öka, dela.
Uppfattning om antal
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100
Ser räkneorden som antal
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet vet att det sist sagda räkneordet motsvarar hela antalet. Det bör dock uppmärksammas att barnet kan härma
hur andra gör när han/hon räknar utan att riktigt själv ha förstått. Analysen
omfattar också i vilken utsträckning barnet förstår att antalet inte beror på de
räknade föremålens storlek, t ex att tre små föremål är fler än två stora samt att
antalet inte beror på om föremålen ligger tätt tillsammans eller utspridda.
EXEMPEL
Förståelse för räkneorden som antal:
Victor räknar fyra stycken klossar: ”Ett, två, tre, fyra. Fyra.” Läraren frågar:
”Hur många är det?” Victor svarar: ”Fyra.”
Sorterar efter antal
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan sortera grupper av föremål efter antal. Hon/han kan se vilka grupper som har samma antal.
EXEMPEL
Sortering efter antal:
Jasmin har kort med prickar på. Trots att prickarna är placerade på olika sätt på korten
sorterar hon korten så att kort med samma antal prickar hamnar tillsammans.
28
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Ordnar i serie efter antal
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan ordna grupper av föremål i ordning från det minsta till det största antalet i en sekvens, serie.
EXEMPEL
Att ordna i serie efter antal:
Klassen har samlat saker från naturen som sorteras i högar, kastanjer för sig, tallkottar
för sig osv. Jacob ordnar högarna i stigande ordning efter antal.
Parbildning
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet behärskar parbildning. Barnet kan använda parbildning t ex när han/hon ska avgöra i vilken mängd antalet
föremål är störst. Barnet jämför föremålen i mängderna parvis. Att kunna koordinera räkneord med räknade föremål är en viktig del av förståelsen för räkning
och kan också kallas ett till ett-principen.
EXEMPEL
Parbildning:
Victor säger ett räkneord i taget när han räknar sina leksaker samtidigt som han pekar.
Han visar därmed att han behärskar parbildning.
Räkneorden som ordningstal
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–30
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet förstår och kan ange ordningstalen, första, andra, tredje osv. Orden sjätte och sjunde kan vara svåra att
skilja på. Analysen omfattar också barnets förståelse för att ordningstal endast
representerar ett av de räknade föremålen, t ex ”det fjärde”, till skillnad från
räkne­orden som antal där räkneordet uttrycker hela antalet, t ex ”fyra stycken”.
Omedelbar uppfattning av antal
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet med en blick kan uppfatta
ett antal utan att behöva räkna föremålen ett och ett. På engelska benämns detta
”subitizing”. Vid större antal än 3–5 brukar de flesta i tanken gruppera föremålen i mindre grupper för att snabbt uppfatta antalet. Tärningsmönster och tal
som med hjälp av fingrarna uppfattas som helheter, t ex ”handen plus två fingrar
= sju”, kan ge barn talföreställningar som de kan ha nytta av när de ska uppfatta
antal omedelbart. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan göra
rimliga uppskattningar när det gäller större antal föremål.
EXEMPEL
Att gruppera föremål i mindre grupper:
På bordet finns fem tallrikar. Victor ser direkt att antalet är fem utan att behöva räkna dem
en och en. Den vuxne frågar honom hur han kunde veta det. Han svarar: ”Jag såg tre på
ena sidan och två på andra.”
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
29
Symboler och obekanta tal
Analysen fokuseras på barnets förståelse för symboler. Symboler kan vara informella, skapade av barnet eller gruppen, eller formella, såsom siffror och andra
matematiska symboler. Barnet kan ha god förmåga att lösa problem där beräkningar ingår, men ändå ha svårt att förstå siffrornas betydelse. Vid analysen av
barnets förståelse för ensiffriga tal är det därför viktigt att iaktta om barnet förstår att siffran visar ett tal som symboliserar ett antal.
Analysen omfattar vidare i vilken utsträckning barnet förstår likhetstecknets
innebörd och om barnet kan ta reda på värdena av obekanta tal i enkla uttryck.
Obekanta tal handlar om att ta reda på ett eller flera utelämnade tal i en likhet.
Detta kunnande hänger samman med förståelse för de fyra räknesätten samt
förståelse för likhetstecknets innebörd. Detta är en förkunskap till algebra.
EXEMPEL
Användning av symboler:
Barnen har målat fantasifigurer och ska visa hur många armar figurerna har. Sara målar av
armarna precis som de ser ut på teckningen. Jacob målar streck i stället för armar. Moa
skriver antalet med siffror. Robert, vars figur har fyra armar på varje sida, skriver 4 + 4 = 8.
Uppgifter när det gäller obekanta tal:
8 = __ + 4
28 – __ = __ · 6
Positionssystemet
Analysen fokuseras på barnets uppfattning om positionssystemet. För barn
som inte vet någonting om positionssystemet kan en etta och en tvåa bredvid
varandra (12) tolkas som ”ett och två” eller som ”ett och två är tre”. Barn som
däremot känner till något om positionssystemet tolkar det lättare som talet tolv
och förstår dessutom att talet står för antalet tolv. Kunskapen handlar vidare om
förståelse för tiotal, hundratal, tusental osv. I förlängningen handlar det om att
förstå att med våra siffersymboler (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kan vi beskriva hur
stora och små tal som helst. Beroende på var siffran är placerad har den ett visst
bestämt värde. Barnets förståelse för betydelsen av siffran 0 och talet 0 bör också
fokuseras.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet har en känsla för tals
storlek, t ex att 7 000 är tio gånger större än 700. Detta är bl a viktigt vid huvudräkning och uppskattning. Miniräknaren är ett användbart redskap när det
gäller att låta barn undersöka aspekter av positionssystemet och när läraren vill
skapa en situation för att få fram underlag för en analys.
EXEMPEL
Uppfattning om positionssystemet:
Barngruppen är på väg till ett museum. De åker med två olika bussar, buss nummer 4 och
buss nummer 40. När de kliver på buss 40 säger Jacob: ”Den här bussen har ett större
nummer för det var en fyra och en nolla.”
Sara får kort med 20 olika tal från 1 till 100. Hon börjar att sortera i högar efter 10-talen.
Sedan sorterar hon inom varje 10-tal.
Barnen får i uppgift att slå in talet 3 596 på varsin miniräknare. De ska sedan fundera
över vilket tal de ska lägga till för att det på femmans plats i stället ska stå en åtta. Ivan
ser direkt att han ska lägga till 300 eftersom femman står på hundratalspositionen.
30
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Räknesekvensen
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv
Analysen fokuseras på hur långt barnet klarar att säga räknesekvensen (1, 2, 3, 4
osv). De flesta barn börjar med att lära sig att räkna från ett till tio. Kunskap om
räknesekvensen när det gäller större tal än 20 innefattar förståelse för att entalen
upprepas för varje nytt tiotal, t ex 21, 22, 23. Övergången mellan 29 och 30
kan vara särskilt intressant att iaktta.
Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet behärskar räknesekvensen uppåt och neråt från olika tal, vet vilket tal som kommer före och efter ett
visst tal samt kan börja räknesekvensen från vilket tal som helst. I analysen ingår
också barnets intresse för och kunskap om stora tal. Stora tal är något som kan
intressera barn i olika åldrar. Ett barn uppfattar ofta ”tusen” och ”miljoner” som
mycket. Många barn reflekterar även över oändlighet.
Uppdelning av tal
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan dela upp ett tal på olika
sätt. Detta kan ske genom handling, med bild eller i huvudet. Barnet kan också
redovisa sina tankar på olika sätt, t ex med ord och/eller matematiska symboler. En
del i en god taluppfattning är att barnet kan se så många uppdelningar av ett tal
som möjligt. Det kan också handla om att förstå att den ena delen ökar lika mycket
som den andra minskar när ett tal delas upp på olika sätt i två delar. För att säkert
kunna hantera tal över 10 är viktiga förkunskaper dels att säkert kunna dela upp
talen 6–9 i två heltal, dels att kunna dela upp talet 10, dvs ”tiokamraterna”.
EXEMPEL
Uppdelning av tal:
Sara kan i huvudet tänka sig flera olika sätt att dela upp talet sju;
ett/sex, två/fem, tre/fyra.
Huvudräkning
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv
Analysen fokuseras på kvaliteten i de strategier barnet har när hon/han räknar i
huvudet. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan avgöra om
svaret är rimligt. Det är viktigt att barnet utvecklar olika strategier för huvudräkning. De barn som använder tidskrävande och krångliga strategier under
längre tid behöver få hjälp med att komma fram till mer framgångsrika strategier i de fyra räknesätten som sedan kan utvecklas till automatiserad kunskap.
Subtraktion inom talområdet 6–10 kan vara värt att särskilt uppmärksamma
då detta är en förkunskap till subtraktion i högre talområden. Samband mellan
räknesätt är ofta en väg till goda strategier.
EXEMPEL
Goda strategier för olika räknesätt:
Addition: Läraren frågar Sara: ”Om du har tre bilar och går och hämtar åtta till, hur
många bilar har du då?” Sara svarar: ”Då har jag elva bilar. Jag tänkte på åtta stycken
och så lade jag till två och sedan en till. Det blir elva.” Sara räknar från det största talet,
åtta, och sedan tänker hon upp till tio först och sedan det som är över tio.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
31
Subtraktion: Klassen ska lösa uppgiften 13 – 7. Barnen löser uppgiften på olika sätt.
Ivan: ”Det blir sex, för sju och sex är tretton tillsammans.” Maria: ”Om jag tar bort sju ifrån
fjorton får jag sju, men nu hade jag tretton så då blir det sex.” David: ”Om jag jämför sju
och tretton så ser jag att det är 3 + 3 steg emellan.” Ivan löser uppgiften genom att använda addition. Maria utgår från en känd subtraktion, och tar först bort sju ifrån fjorton. David
ser det som en jämförelse och använder tiotalet som en viktig referenspunkt.
Multiplikation: Maria tänker ut hur mycket fyra tablettaskar kostar om de kostar sju kronor
styck: ”Det blir 28 kronor för två gånger sju är 14. Om jag dubblar 14 får jag 28.” Maria
använder sig av ”dubbelt” som strategi.
Division: 24 godisbitar ska delas på fyra barn. Jacob säger: ”Först tänker jag att alla får
fem var. Då är det fyra kvar. Då får alla en godis till, alla får alltså sex godisbitar var.”
Maria säger: ”Det blir sex eftersom fyra gånger sex är 24.” David säger: ”Hälften av 24
är 12 och hälften av 12 är 6.” Jacob löser uppgiften med att börja med en känd division,
medan Maria utnyttjar sambandet mellan division och multiplikation. David använder sig av
begreppet hälften.
Skriftliga räknemetoder
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet har skriftliga och fungerande
beräkningsmetoder, inte på att det är en speciell sorts metod. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan hitta egna metoder och tolka andras
skriftliga räknemetoder. I analysen ingår också i vilken utsträckning barnet kan
bedöma om svaret är rimligt. Om barnet klarar att komma fram till egna och
korrekta varianter av skriftliga metoder kan det vara ett tecken på förståelse
för tals positioner och för det matematiska symbolspråket. För att tolka andras
metoder krävs ofta förståelse för strukturer och positionssystemet. De barn som
använder tidskrävande och krångliga skriftliga räknemetoder under längre tid
behöver få hjälp att hitta enklare och mer funktionella metoder.
EXEMPEL
Egen skriftlig räknemetod:
Sara ska räkna ut 54 + 39. Hon bokför sin uträkning så här:
50 + 30 = 80 4 + 9 = 13 80 + 13 = 93.
Skriftliga räknemetoder:
Klassen får i uppgift att räkna ut 513 – 489. Barnen löser uppgiften på olika sätt.
Maria lägger till 11 till båda termerna för att sedan räkna ut svaret i huvudet:
513 – 489 = 524 – 500 = 24. David räknar addition från 489 upp till 513:
513 – 489 = 11 + 13 = 24. Ivan använder uppställning.
Cecilia beräknar 4 · 326. Hon använder kort multiplikation:
4 · 326 = 1 200 + 80 + 24 = 1 304.
Miniräknare
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet använder miniräknaren som
redskap för att göra lämpliga beräkningar och för att utveckla tankar om tal
och tals positioner. Analysen omfattar också i vilken utsträckning barnet kan
använda miniräknaren för addition, subtraktion, multiplikation och division.
När miniräknaren används vid problemlösning behöver barnet inte utföra svåra
beräkningar och analysen kan lättare fokuseras på vilken förståelse barnet visar.
Viktigt är att uppmärksamma om barnet reflekterar över svarets rimlighet.
32
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
EXEMPEL
Användning av miniräknaren:
Jacob undersöker med hjälp av miniräknaren vad som händer när han adderar 10 till olika
tal. Han utbrister: ”Det blir ett mer där (pekar på tiotalsplatsen) hela tiden.”
Maria ska ta reda på vilket tal som är störst av 1/5 och 0,5. Hon slår 1/5 på miniräknare
och kommer på så sätt fram till svaret.
Förståelse för räknesätten
Använder räknesätten som redskap
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning och hur barnet använder de olika
räknesätten i olika situationer. Detta är en viktig aspekt när det gäller förståelsen
för de fyra räknesätten. Barnet kan t ex arbeta med multiplikation på matematiklektionen men använda en krånglig upprepad addition i en helt annan
situation. Barnet använder då inte multiplikation som ett redskap. Barnet kan
visa en informell förståelse för olika räknesätt innan han/hon har kunskap om
motsvarande symboler som plustecken osv. Ett exempel är när barn delar upp
ett antal föremål så att alla får lika många.
En viktig kunskap är i vilken utsträckning barnet verkligen sätter sig in i situationen och inte låter sig förledas av att ett visst ord finns med. Ordet ”yngre”
leder t ex inte alltid till att en subtraktion är det lämpligaste räknesättet: ”Kalle
är 8 år och 3 år yngre än Kajsa. Hur gammal är Kajsa?”. En annan aspekt är
i vilken utsträckning barnet ser att ett räknesätt är användbart till flera olika
sorters situationer – se nedan under ”Tolkar matematiska uttryck”. För att analysen lättare ska fokuseras på barnets förståelse för räknesätten kan barnet i en
problemlösningssituation använda miniräknare och på så sätt inte störas av svåra
beräkningar.
EXEMPEL
Användande av räknesätt:
Jacob spelar spel. Han slår 5 på alla tre tärningarna. Han säger: ”3 femmor, det är 15.”
Sara, Moa och Jacob ska dela lika på 16 vindruvor. De lägger först 3 i varje hög och sedan
en i taget till alla har fått 5 var. Den som blir över ger de till en vuxen.
Maria ska köpa 8 påsar chips till klassen. ”En påse kostar 16,90 kr. 8 gånger 16,90 är
135,20.” Hon använder miniräknare för att göra beräkningen.
Tolkar matematiska uttryck
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet kan ge en tolkning av vad
matematiska uttryck kan innebära. Analysen om fattar också i vilken utsträckning barnet kan beskriva olika sorters situationer till ett och samma uttryck.
Barnet behöver dock inte ha ord för vad olika sorters situationer kan kallas.
EXEMPEL
Tolkning av ett matematiskt uttryck:
Klassen får i uppgift att skriva en räkneberättelse som passar till 345 – 298.
Maria skriver: ”En pojke har 345 kr. Han köper ett spel för 298 kr. Då har han 47 kr kvar.”
Ivan skriver: ”Jag har 345 kr och min kompis har 298. Då har jag 47 kr mer än min kompis.” Maria har i detta fall skrivit en räkneberättelse som innehåller minskning och Ivan har
beskrivit en jämförelse.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
33
Vid ett annat tillfälle skriver barnen i klassen räkneberättelser till uttrycket 12/4. Maria
beskriver en innehållsdivision: ”Mamma har 12 ljus. Hur många adventsljusstakar räcker
de till?” Ivan beskriver en delningsdivision: ”Jag har 12 chokladbitar och delar dem lika
mellan mig och mina tre kompisar. Hur många får vi var?”
Ser samband
Analysen fokuseras på i vilken utsträckning barnet ser samband mellan räknesätt. Samband kan vara att barnet förstår att ett tal kan skrivas som olika uttryck
där olika räknesätt kan finnas representerade. Samband kan också vara en hjälp
till goda strategier vid huvudräkning.
EXEMPEL
Samband:
Sara säger: ”11 minus 8 är 3 för 8 + 3 är lika med 11.”
Ivan säger: ”35 dividerat med 5 är 7 för 7 gånger 5 är 35.”
Sara skriver: ”12 = 3 · 4, 12 = 15 – 3, 12 = 10 + 2.”
Maria ska räkna ut 348 + 352. Hon säger: ”Jag tar bort 2 från 352 och lägger
till 2 till 348. Då får jag 350 + 350. Dubbelt av 350 är 700.”
Mönster
Talområde 1–5, 1–10, 1-20, 1–100 osv
Analysen fokuseras på barnets kunskap om mönster som bygger på antal och tal.
Dessa mönster kan bl a vara tal uppfattade med hjälp av fingrar och talmönster.
Att kunna se mönster av olika slag är grundläggande inom matematik. Talmönster är en förkunskap till algebra. När det gäller tal uppfattade med hjälp av fingrar fokuseras analysen på i vilken utsträckning barnet direkt kan visa olika antal
med sina fingrar. Om barnet visar talen sex till nio genom att hålla upp alla
fingrar på ena handen och resterande antal med den andra handens fingrar tar
barnet hjälp av femtalet. Barnet kan också utgå från begreppet dubbelt när hon/
han visar tal med sina fingrar, t ex visa talet sex genom att hålla upp tre fingrar
på varje hand.
Andra mönster som bygger på antal och tal kan visas med klossar, bilder,
siffer­symboler m m. Mönster när det gäller tal omfattar också förståelse för
udda och jämna tal. Mönster som visas med bilder:
D|||OD|||OD|||
Mönster där skillnaden mellan talen är lika: 2 - 4 - 6 - 8 - 10
5 - 10 - 15
10 - 20 - 30 - 40
Mönster där skillnaden mellan talen ökar med ett för varje steg:
1 - 2 - 4 - 7 - 11
Mönster där varje tal bildas av att det föregående talet multipliceras med två:
1 - 2 - 4 - 8 - 16
Mönster där talen bildas genom att talen 1, 2, 3, 4 multipliceras med sig självt:
1 - 4 - 9 - 16
34
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
EXEMPEL
Tal med hjälp av fingrar:
Jasmin visar talet åtta genom att hon håller upp bägge händerna och viker ner två fingrar
på ena handen.
Användning av talmönster:
Victor sitter och trär ett halsband. Han tar tre indianpärlor och sen en glaspärla och
upprepar sedan mönstret.
Sara räknar barnen som ska gå till lunch. De ställer sig två och två.
Hon räknar: ”2, 4, 6, 8 osv”.
Klassen undersöker hur många matcher det blir om alla möter alla i en pingisturnering.
De kommer fram till följande:
Antal personer:
Antal matcher:
2
1
3
3
4
6
5
6
Maria ser att den nedre raden bildar ett talmönster och kan då se hur många matcher det
blir med 5 och 6 deltagare.
Hälften/dubbelt
Analysen fokuseras på barnets förståelse för begreppen hälften/dubbelt. Barnet
kan visa förståelse för dessa begrepp på olika sätt, antingen som del av helhet,
”Hälften av kakan”, eller som del av antal, ”Jag har dubbelt så många byggbitar
som hon har”. Barnet kan utföra beräkningar av hälften/dubbelt i handling,
med bild eller i huvudet. Barnet kan också redovisa sina tankar på olika sätt, t ex
med ord och/eller matematiska symboler. Förståelse för hälften/dubbelt samt
kunskap om hälften/dubbelt av olika tal är en viktig del i en god taluppfattning
och har bl a samband med förståelse för multiplikation och division.
EXEMPEL
Användning av hälften/dubbelt:
Jasmin tar tre russin. Hon får av läraren veta att hon nästa gång får ta dubbelt så många.
Jasmin tar då sex russin.
Sara och Jacob delar på en apelsin. Sara konstaterar att båda har fått en halv apelsin.
Ivan tycker att det är svårt att räkna ut 5 · 6 i huvudet. Han funderar en stund och säger
sedan: ”Jag dubblar 5:an och tar 10 · 6. Det vet jag är 60. Sedan tar jag hälften och får
30.”
Tal i bråk- och decimalform
Tal i bråkform
Analysen fokuseras på barnets begreppsförståelse för bråk, t ex en halv, en tredjedel, en fjärdedel. Analysen omfattar barnets förståelse för bråk som del av helhet och bråk som del av antal. Del av helhet betyder att det är en hel som delas i
lika stora delar och del av antal betyder att det är ett antal objekt som delas upp
med lika många i varje grupp. Om barnet förstår vad t ex en fjärdedel är vet barnet att de fyra fjärdedelarna av en hel måste vara lika stora. En del i förståelsen
är att barnet kan dela t ex ett papper i tredjedelar eller fjärdedelar. Att storleksordna och jämföra bråk kan barnet göra i handling, med bild eller i huvudet.
Barnet kan också redovisa sina tankar på olika sätt, t ex med ord och/eller matematiska symboler. Det bör dock uppmärksammas att barnet kan ha förståelse
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
35
för ett begrepp, t ex två tredjedelar, men ändå ha svårt att förstå de matematiska
symbolerna för begreppet, 2/3.
EXEMPEL
Begreppsförståelse för bråk:
Jacob har fått sitt halva äpple delat i två delar och säger:
”De här bitarna är fjärdedelar av hela äpplet.”
Maria kan rangordna bråken ”en tredjedel”, ”en fjärdedel” och ”en halv”.
Hon kan förklara hur hon löser uppgiften.
Tal i decimalform
Analysen fokuseras på begreppsförståelse för tal i decimalform. Ofta har barn
lättare att bedöma vilket av två tal i decimalform som är störst om det handlar
om en storhet, t ex ”1,4 m är längre än 1,17”. Mer generell kunskap visar barnet
om han/hon kan jämföra talen och se tiondelar, hundradelar osv kopplade till
positionssystemet.
36
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Kopieringsunderlag
Underlag för iakttagelser
Analysschema
Lärarsynpunkter
Underlag för iakttagelser
I många situationer visar barnet kunskap från olika delar av analysschemat. Detta underlag kan
användas när läraren vill göra en helhelsbeskrivning i en viss situation. Läraren kan här föra in
de kunskaper som barnet visar från de olika rubrikerna vid det aktuella tillfället.
Barnets namn:
Situation
Visar tilltro till
sin förmåga
Hanterar och
löser problem
Använder matematik
i olika situationer
Kommunicerar
matematik
Mätning och
rumsuppfattning
Sortering, tabeller
och diagram
Taluppfattning
38
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Analysschema
Mätning och rumsuppfattning
I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad barnet kan som hur barnet
visar sina kunskaper. Vilka rutor som fylls i kan tex bero på vad läraren väljer att fokusera i sin analys.
Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad.
Visar tilltro till sin förmåga
Visar glädje, intresse osv.
Tar ansvar för sitt lärande.
Vid mätning, arbete med mönster osv.
Hanterar och löser problem
Använder kunskap från
”Mätning och rumsuppfattning”.
Använder ”Mätning
och rumsuppfattning”
I olika situationer t ex matlagning.
Kommunicerar ”Mätning
och rumsuppfattning”
Argumenterar för sina tankar.
Med gester, bild, ord, symboler.
Vardagsord
Förstår ord som längre, tung, störst osv.
Grundläggande rumsuppfattning
Har uppfattning om kroppen.
Uppfattar föremåls storlek,
form, placering osv.
Avbildning, förstoringar
och förminskningar
Tolkar, gör själv.
Kartor och ritningar
Tolkar ritningar och kartor, gör egna.
Fortsättning på nästa sida
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
39
Fortsättning: Mätning och rumsuppfattning
Geometriska objekt
Jämför, sorterar, känner igen,
beskriver kroppar, figurer osv.
Mönster
Uppfattar, avbildar, fortsätter, gör egna.
Symmetri
Uppfattar.
Längd
Har begreppsförståelse,
jämför, sorterar, mäter.
Volym
Har begreppsförståelse,
jämför, sorterar, mäter.
Massa (vikt)
Har begreppsförståelse,
jämför, sorterar, mäter.
Area
Har begreppsförståelse,
jämför, sorterar, mäter.
Vinklar
Har begreppsförståelse,
jämför, sorterar.
Tid
Funderar kring begreppet, mäter, avläser
analog klocka, avläser digital klocka,
beräknar tidsskillnader.
40
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Analysschema
Sortering, tabeller och diagram
I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad barnet kan som hur barnet
visar sina kunskaper. Vilka rutor som fylls i kan tex bero på vad läraren väljer att fokusera i sin analys.
Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad.
Visar tilltro till sin förmåga
Visar glädje, intresse osv.
Tar ansvar för sitt lärande.
Vid tolkning av tabeller och diagram osv.
Hanterar och löser problem
Använder kunskap från ”Sortering,
tabeller och diagram” som redskap.
Använder ”Sortering,
tabeller och diagram”
I olika situationer.
Kommunicerar ”Sortering,
tabeller och diagram”
Argumenterar för sina tankar.
Med gester, bild, ord, symboler.
Vardagsord
Förstår ord som vanligast,
oftast, minst, mest, lika.
Klassificering och sortering
Urskiljer egenskaper.
Håller fast vid klassificeringskriterier.
Lägesmått
Förstår typvärde, median, medelvärde.
Tabeller
Bokför vid sortering.
Gör egna tabeller.
Tolkar tabeller.
Diagram
Gör egna diagram.
Tolkar diagram.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
41
Analysschema
Taluppfattning
I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad barnet kan som hur barnet
visar sina kunskaper. Vilka rutor som fylls i kan tex bero på vad läraren väljer att fokusera i sin analys.
Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad.
Visar tilltro till sin förmåga
Visar glädje, intresse osv.
Tar ansvar för sitt lärande.
Vid jämförelse av tal, beräkningar osv.
Hanterar och löser problem
Använder kunskap från ”Taluppfattning”.
Använder ”Taluppfattning”
I olika situationer.
Kommunicerar ”Taluppfattning”
Argumenterar för sina tankar.
Med fingrar, bild, ord, symboler.
Vardagsord
Förstår ord som fler än, färre än osv.
Uppfattning om antal
Ser räkneorden som antal.
Sorterar. Ordnar i serie.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100.
Parbildning
Behärskar ett till ett-principen.
Räkneorden som ordningstal
Förstår och anger.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–30.
Omedelbar uppfattning av antal
Uppfattar upp till 3–5.
Ser större antal i grupper.
Fortsättning på nästa sida
42
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
Fortsättning: Taluppfattning
Symboler och obekanta tal
Förstår informella talsymboler,
siffror, tecken.
Förstår likhetstecknets innebörd.
Positionssystemet
Förstår tiotal, hundratal osv
samt betydelsen av 0 (noll).
Har känsla för tals storlek.
Räknesekvensen
Räknar uppåt, neråt, från vilket tal som
helst. Har kunskap om stora tal.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv.
Uppdelning av tal
Utför i handling, med bild, i huvudet.
Med ord, matematiska symboler.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv.
Huvudräkning
Har strategier.
Bedömer rimlighet.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv.
Skriftliga räknemetoder
Har fungerande metoder.
Hittar egna metoder.
Bedömer rimlighet.
Miniräknare
Använder vid behov.
Använder för olika räknesätt.
Förståelse för räknesätten
Använder räknesätten som redskap.
Tolkar matematiska uttryck.
Ser samband.
Mönster
Har kunskap om mönster som bygger på
antal och tal.
Talområde 1–5, 1–10, 1–20, 1–100 osv.
Hälften/dubbelt
Utför beräkningar i handling, med
bild, i huvudet.
Med ord, matematiska symboler.
Tal i bråk- och decimalform
Förstår begreppen.
Jämför i handling, med bild, i huvudet.
Med ord, matematiska symboler.
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
43
Lärarsynpunkter
Analysschema i matematik
Namn:
Skola:
Ort:
Vi ber dig som använder analysschemat i matematik att besvara nedanstående frågor. Synpunkterna skickas till:
PRIM-gruppen (Analysschema)
Stockholms universitet
106 91 Stockholm
1. Vilken yrkeskategori tillhör du?
oFörskollärare i förskoleklass
oLärare i grundskolan
oAnnan:
2.
Vilken åldersgrupp/skolform tillhör de barn du använder analysschemat för?
o Grundskolebarn årskurs 1–3
o Grundskolebarn årskurs 4–5
oFörskoleklass
o Grundsärskola
oSameskola
3. Beskriv kortfattat hur du använder analysschemat och ange gärna hur ofta du fyller i det.
44
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
4.
Vilket stöd får du av ”Kommentarer och exempel till analysschema” vid analyserna?
oStort stöd
o Visst stöd
oInte särskilt stort stöd
Kommentarer:
5.
Vilken uppfattning har du om övrig lärarinformation?
o Bra
o Ganska bra
o Ganska dålig
o Dålig
Kommentarer:
6.
Innebär analysschemat att din uppfattning om barnens kunskap i matematik förändrats för
o alla
o de flesta
o cirka hälften
o några
o inget
Kommentarer:
7. Vad är det bästa med analysschemat?
¨
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
45
8. Vad är det sämsta med analysschemat?
9. Övriga synpunkter
Tack för att du tog dig tid att svara på enkäten
46
analysschema i matematik för åren före årskurs 6
