kokboken 1

KOKBOKEN 1
Håkan Strömberg
KTH STH
Hösten 2006
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Innehåll
Olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Uppgift 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Uppgift 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Uppgift 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Uppgift 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Ekvationer med absolutbelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Uppgift 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Uppgift 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Olikheter med absolutbelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Problem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Problem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Avståndet mellan två punkter i rummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Längden (normen) av en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Normerad vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter . . . . . . . . . . . . .
19
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Uppgift 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Uppgift 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Visar om två ekvationer anger samma linje . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Linjens ekvation från parameterfri till parameterform . . . . . . . . . . . .
23
3
INNEHÅLL
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Bestäm skalärprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Bestäm vinkeln mellan två vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Avståndet från en punkt till en linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Formel för: Avståndet från en punkt till en linje . . . . . . . . . . . . . . .
27
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Bestäm projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Uppgift 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Uppgift 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Linje genom två punkter skär plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Planets ekvation för tre givna punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Skärningen mellan två linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Planets ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna . . . . . . . . . . . . . . .
35
Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna . . . .
36
Avstånd från punkt till plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Uppgift 2. Alternativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Planets ekvation på parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Ligger punkten på linjen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Bestäm arean till parallellogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Bestäm skärningen mellan två plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Bestäm vinkeln mellan två plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Uppgift 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
OLIKHETER
Olikheter
Uppgift 1
Lös olikheten
x2 − x − 6 < 0
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera polynomet
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1 Andragradsekvationen har rötterna x1 = 3 och x2 = −2 vilket leder fram till
faktoriseringen (x − 3)(x + 2) < 0.
2
x < −2 x = −2 −2 < x < 3 x = 3 x > 3
x−3
−
−
−
0
+
x+2
−
0
+
+
+
(x − 3)(x + 2)
+
0
−
0
+
Svar: −2 < x < 3
Håkan Strömberg
6
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 2
Lös olikheten
4−x
≥0
x+2
Lösning:
Plan:
1 Ställ upp tabell för teckenstudium
2 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1
x < −2 x = −2 −2 < x < 4 x = 4 x > 4
4−x
+
+
+
0
−
x+2
−
0
+
+
+
4−x
−
odef
+
0
−
x+2
Svar: −2 < x ≤ 4
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
OLIKHETER
Uppgift 3
Lös olikheten
x2 + 2x + 1
<0
x−1
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera täljaren
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x + 1)2 (första kvadreringsregeln).
2
x < −1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 x > 1
x+1
−
0
+
+
+
x+1
−
0
+
+
+
x−1
−
−
−
0
+
(x+1)2
x−1
−
−
0
odef
+
Svar: x < −1 eller −1 < x < 1
Håkan Strömberg
8
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 4
Lös olikheten
x2 − 2x − 3
>0
x2 + 2x − 8
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera täljaren
2 Faktorisera nämnaren
3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium.
4 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x1 = −1 och x2 = 3
vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1)(x − 3).
2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x1 = 2 och x2 = −4
vilket leder fram till faktoriseringen (x − 2)(x + 4).
Vi kan nu skriva om olikheten
(x + 1)(x − 3)
≥0
(x − 2)(x + 4)
3
x+4
x+1
x−2
x−3
(x+1)(x−3)
(x−2)(x+4)
x < −4
−
−
−
−
+
x = −4
0
−
−
−
odef
−4 < x < −1
+
−
−
−
−
x = −1
+
0
−
−
0
−1 < x < 2
+
+
−
−
+
x=2
+
+
0
−
odef
2<x<3
+
+
+
−
−
x=3
+
+
+
0
0
Svar: x < −4 eller −1 ≤ x < 2 eller x ≥ 3 (se grafen nedan)
10
8
6
4
2
-4
Håkan Strömberg
-2
-2
-4
-6
-8
-10
9
2
4
KTH Syd
x>3
+
+
+
+
+
OLIKHETER
Uppgift 5
Lös olikheten
x+1
≥3
x−3
Lösning:
Plan:
1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller
ett rationellt uttryck (bråk).
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1
x+1
≥ 3;
x−3
x+1
− 3 ≥ 0;
x−3
x + 1 3(x − 3)
−
≥ 0;
x−3
x−3
10 − 2x
≥0
x−3
2
x<3 x=3 3<x<5 x=5 x>5
10 − 2x
+
+
+
0
−
x−3
−
0
+
+
+
10−2x
−
odef
+
0
−
x−3
Svar: 3 < x ≤ 5
Håkan Strömberg
10
KTH Syd
INNEHÅLL
Ekvationer med absolutbelopp
Uppgift 1
Lös ekvationen
|x + 3| = 5
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1, där termen med absolutbeloppet är = 0.
2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x1 och en då x > x1. Ersätt
tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt −-tecken framför parentesen
om så skall vara!
3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i
aktuellt intervall.
Genomförande:
1 Då x = −3 är |x + 3| = 0.
2,3 Vi får två ekvationer
Då
Ekvation
Rot
OK
x < −3 −(x + 3) = 5 x = −8 Ja
x=2
Ja
x ≥ −3 x + 3 = 5
Svar: x1 = −8 och x2 = 2
Håkan Strömberg
11
KTH Syd
EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP
Uppgift 2
Lös ekvationen
|x − 6| − x = 4
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1, för vilket |x − 6| = 0
2 Betrakta två intervall. Ett där x < x1 och ett där x > x1. Lös upp termen med
absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer.
3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet.
Genomförande:
1 Då x = 6 är |x − 6| = 0
2 De två ekvationerna me gällande intervall
Ekvation
Rot
OK
Då
x < 6 −(x − 6) − x = 4 x = 1
Ja
ingen rot Nej
x ≥ 6 (x − 6) − x = 4
Svar: x = 1
Håkan Strömberg
12
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 3
Lös ekvationen
|x + 1| − 2|4 − x| + |2x − 3| = 0
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi för vilka var och en av de tre termerna = 0.
2 Sortera de tre ’brytpunkterna’ och skapa fyra intervall, man kan finna utefter
x-axeln.
3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer.
4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall.
Genomförande:
1,2 De tre eftersökta x-värdena är x1 = −1, x2 =
3
2
och x3 = 4
3 Vi har nu att studera följande fyra intervall
x < −1
−1 ≤ x < 32
3
≤x<4
2
x≥4
4 Detta ger oss följande ekvationer
Då
x < −1
−1 ≤ x < 32
3
≤x<4
2
x≥4
Ekvation
−(x + 1) − 2(4 − x) − (2x − 3) = 0
(x + 1) − 2(4 − x) − (2x − 3) = 0
(x + 1) − 2(4 − x) + (2x − 3) = 0
(x + 1) + 2(4 − x) + (2x − 3) = 0
Rot
x = −6
x=4
x=2
x = −6
OK
Ja
Nej
Ja
Nej
Svar: x1 = −6 och x2 = 2 (se grafen nedan)
15
10
5
-10
-5
5
10
-5
Håkan Strömberg
13
KTH Syd
OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP
Olikheter med absolutbelopp
Problem 1
Lös olikheten
|x − 2| + |x − 4| < 8
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1, för vilket |x − 2| = 0 och det x2 för vilket |x − 4| = 0
2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x1, ett då x1 ≤ x ≤ x2 och ett då x > x2.
Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje
intervall.
3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten
gäller.
Genomförande:
1 x1 = 2 och x2 = 4
2 Intervallen är x < 2, 2 ≤ x ≤ 4 och x > 4.
3
Då
x<2
2≤x<4
x>4
Olikhet
−(x − 2) − (x − 4) < 8
(x − 2) − (x − 4) < 8
(x − 2) + (x − 4) < 8
Lösning
x > −1
Alltid
x<7
Intervall
−1 < x < 2
2≤x<4
4≤x<7
För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och
åter för en del av tredje. Sammantaget fås
Svar: −1 < x < 7
Håkan Strömberg
14
KTH Syd
INNEHÅLL
Problem 2
Lös olikheten
|2x − 4| + |x| < |5 − x|
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi, för vilka termerna är = 0
2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall.
3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet.
Genomförande:
1 x1 = 0, x2 = 2 och x3 = 5
2 De fyra intervallen är
x<0
0≤x<2
2≤x<5
x≥5
3
Då
x<0
0≤x<2
2≤x<5
x≥5
Olikhet
−(2x − 4) − x < (5 − x)
−(2x − 4) + x < (5 − x)
(2x − 4) + x < (5 − x)
(2x − 4) + x < −(5 − x)
Lösning
x > − 21
Alltid
x < 49
x < − 21
Intervall
− 12 < x < 0
0≤x<2
2 ≤ x < 49
Inget x
1
9
Svar: − < x <
2
4
Håkan Strömberg
15
KTH Syd
AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET
Avståndet mellan två punkter i rummet
Endast som en del i ett större problem.
Uppgift 1
Bestäm avståndet mellan punkterna P1 = (5, 9, 7) och P2 = (1, 2, 3)
Lösning:
Plan:
1 Vi använder direkt avståndsformeln
p
P1P2| = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Genomförande:
1
|P1P2| =
p
(5 − 1)2 + (9 − 2)2 + (7 − 3)2 =
√
16 + 49 + 16 =
√
81 = 9
Svar : Avståndet mellan punkterna är 9
Håkan Strömberg
16
KTH Syd
INNEHÅLL
Längden (normen) av en vektor
Endast som en del i ett större problem.
Uppgift 1
Bestäm längden av vektorn ~v = (6, 3, 2)
Lösning:
Plan:
1 Vi använder följande formel
|~v | =
q
v21 + v22 + v23
Genomförande:
1
|~v | =
Håkan Strömberg
p
√
√
62 + 32 + 22 = 36 + 9 + 4 = 49 = 7
17
KTH Syd
NORMERAD VEKTOR
Normerad vektor
Endast som en del i ett större problem.
Uppgift 1
Bestäm den normerade vektorn ~r till
~v = (4, 8, 1)
Lösning:
Plan:
1 Bestäm längden av vektorn ~v
2 När vi dividerar varje komposant
med |~v | får vi den normerade vektorn ~r.
v1 v2 v3
~r =
,
,
|~v | |~v | |~v |
Genomförande:
1
|~v | =
2
p
42 + 82 + 11 =
~r =
Svar: ~r =
4 8 1
, ,
9 9 9
Håkan Strömberg
√
16 + 64 + 1 = 9
4 8 1
, ,
9 9 9
18
KTH Syd
INNEHÅLL
Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter
Uppgift 1
Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna
P1 = (1, 4, 2) och P2 = (9, 4, 3)
Lösning:
Plan:
1 Välj en av de två punkterna
2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna.
3 Sammanställ valen till linjens ekvation
Genomförande:
1 Vi väljer punkten P1
−−→
2 ~r väljs till P1P2
3
−−→
P1P2 = (9, 4, 3) − (1, 4, 2) = (8, 0, 1)

 x = 1 + 8t
y = 4 + 0t

z = 2 + 1t
Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten
och två sätt av bestämma riktningsvektorn.
Svar:
Håkan Strömberg

 x = 1 + 8t
y=4

z=2+t
19
KTH Syd
BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER
Uppgift 2
Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P1 =
(1, 4, 2) och P2 = (9, 4, 3)
Lösning:
Plan:
1 Välj en av de två punkterna
2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna.
3 Sammanställ valen till linjens ekvation
Genomförande:
1 Vi väljer punkten P2
−−→
2 ~r = P2P1 = (−8, 0, −1)
−−→
3 P2 + P2P1 · t = (9, 4, 3) + (−8, 0, −1)t
Svar: (9, 4, 3) + (−8, 0, −1)t
Håkan Strömberg
20
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 3
Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna
P1 = (6, 5, 4) och P2 = (1, 2, 3).
Lösning: Plan:
1 Välj en av de givna punkterna till punkten P0
1 Bestäm en riktningsvektor ~r = (r1, r2, r3)
2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
r1
r2
r3
Genomförande:
1 Vi väljer punkten P1
2 ~r = (6, 5, 4) − (1, 2, 3) = (5, 3, 1)
3 Med hjälp av formeln får vi nu
y−5
z−4
x−6
=
=
5
3
1
Svar:
Håkan Strömberg
x−6
y−5
=
=z−4
5
3
21
KTH Syd
VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE
Visar om två ekvationer anger samma linje
Uppgift 1
Är de två linjerna
l1 = (9, 4, 3) + (−8, 0, −1)t
och
l2 = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t
identiska?
Lösning:
Plan:
1 P1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l1
2 Ta reda på om P1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l2. Om så
vet vi att P1 även ligger på l2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är
identiska.
3 P2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l2
4 Ta på samma sätt reda på om P2 ligger på l1. Om så är fallet vet vi att P2
ligger på l1.
5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska.
Genomförande:
1 P1 = (9, 4, 3)
2 Sök t i
(9, 4, 3) = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t
(8, 0, 1) = (16, 0, 2)t
t = 12
3 P2 = (1, 4, 2)
2 Sök t i
(1, 4, 2) = (9, 4, 3) + (−8, 0, −1)t
(−8, 0, −1) = (−8, 0, −1)t
t=1
Svar: De två linjerna innehåller båda punkterna P1 och P2 vilket betyder att linjerna
är identiska.
Håkan Strömberg
22
KTH Syd
INNEHÅLL
Linjens ekvation från parameterfri till parameterform
Uppgift 1
Överför linjens ekvation
z
x−3
=y+2=
2
3
till parameterform
Lösning:
Plan:
1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z
Genomförande:
1
Svar:
Håkan Strömberg


x−3


= t x = 3 + 2t



 2
y + 2 = t y = −2 + t






 z =t
z = 0 + 3t
3

 x = 3 + 2t
y = −2 + t

z = 3t
23
KTH Syd
BESTÄM SKALÄRPRODUKTEN
Bestäm skalärprodukten
Uppgift 1
Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna ~v = (2, 4, 3) och ~u = (1, −2, 5)
Lösning:
Plan:
1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna ~v = (v1, v2, v3) och ~u =
(u1, u2, u3)
~v ◦ ~u = (v1, v2, v3) ◦ (u1, u2, u3) = v1u1 + v2u2 + v3u3
Genomförande:
1 Vi har vektorerna ~v = (2, 4, 3) och ~u = (1, −2, 5) och får
(2, 4, 3) ◦ (1, −2, 5) = 2 · 1 + 4 · (−2) + 3 · 5 = 2 − 8 + 15 = 9
Svar: ~v ◦ ~u = 9
Håkan Strömberg
24
KTH Syd
INNEHÅLL
Bestäm vinkeln mellan två vektorer
Uppgift 1
Bestäm vinkeln mellan vektorerna ~v = (0, −2, 1) och ~u = (5, −1, −5)
Lösning:
Plan:
1 Bestäm |~v | och |~u |
2 Bestäm ~v ◦ ~u
3 Använd sedan formeln för att bestämma cos θ
~v ◦ ~u
cos θ =
|~v ||~u |
4 I sista steget har vi att bestämma
~v ◦ ~u
θ = arccos
|~v ||~u |
Genomförande:
1
|~v | =
|~u | =
2
3
p
√
02 + (−2)2 + 12 = 5
p
52 + (−1)2 + (−5)2 =
√
51
~v ◦ ~u = (0, −2, 1) ◦ (5, −1, −5) = 0 · 5 + (−2) · (−1) + 1 · (−5) = −3
cos θ = √
4
−3
√
5 · 51
−3
θ = arccos √ √
5 · 51
√
√ −3
5· 51
Svar: θ = arccos
Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra
att kunna följande samband
π
π
1
= = 60◦
arccos
arccos (0) = = 90◦
2
3
2
√ !
3
π
π
1
◦
= = 30 arccos √
= = 45◦
arccos
2
6
4
2
Håkan Strömberg
25
KTH Syd
AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE
Avståndet från en punkt till en linje
Uppgift 1
Givet punkten P1 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, −1) + (−4, −1, 1)t. Bestäm det
kortaste avståndet mellan P1 och linjen l.
Lösning:
Plan:
1 Bilda en vektor ~v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P1.
2 Ta fram en riktningsvektor ~r till linjen l.
3 Vektorerna ~v och ~r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att ~v◦~r = 0.
Ställ upp detta uttryck.
4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas.
5 Rötterna till ekvationen ger punkten P.
6 Då vi har både P1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas
Genomförande:
1 P = (10 − 4t, 5 − t, −1 + t) är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta
vektorn blir
−−→ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
~v = PP1 = (10 − 4t, 5 − t, −1 + t)(3, 7, 9) = (−7 + 4t, 2 + t, 10 − t)
2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P2 = (10, 5, −1) och
−−−−−−−−−−−−−→
P3 = (6, 4, 0) och bildar ~r = (10, 5, −1)(6, 4, 0) = (−4, −1, 1)
3 Vi bestämmer skalärprodukten ~v ◦ ~r
~v ◦ ~r = (−7 + 4t, 2 + t, 10 − t) ◦ (−4, −1, 1) =
(−4)(−7 + 4t) + (−1)(2 + t) + 1(10 − t) =
28 − 16t − 2 − t + 10 − t = 36 − 18t
4 Vi löser nu i huvudet ekvationen ~v ◦ ~r = 0, som alltså är 36 − 18t = 0 med
roten t = 2
5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 − 4 · 2, 5 − 2, −1 + 2) = (2, 3, 1)
6 Avståndet mellan P och P1 är
p
√
(2 − 3)2 + (3 − 7)2 + (1 − 9)2 = 1 + 16 + 64 = 9
Svar: Det sökta avståndet är 9
Håkan Strömberg
26
KTH Syd
INNEHÅLL
Formel för: Avståndet från en punkt till en linje
Uppgift 1
Givet punkten P0 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, −1) + (−4, −1, 1)t. Bestäm det
kortaste avståndet mellan P1 och linjen l.
Lösning:
Plan:
1 För den givna punkten P0 = (x0, y0, z0) och en linje genom punkten P1 =
(x1, y1, z1) med riktningsvektorn ~r = (a, b, c) får vi direkt avståndet genom
formeln
v
u
u y0 − y1 z0 − z1 2 z0 − z1 x0 − x1 2 x0 − x1 y0 − y1 2
+
+
u
t
b
c
c
a
a
b
a2 + b2 + c 2
Genomförande:
1 Vi sätter in talen för ~r = (−4, −1, 1), P1 = (10, 5, −1) och P0 = (3, 7, 9)
v
2 u
9 − (−1) 3 − 10 2 3 − 10 7 − 5 2
u 7 − 5 9 − (−1) u
+
+
t −1
−4
−1 1
−4 1
(−4)2 + (−1)2 + 12
v
2 u
10 −7 2 −7 2 2
u 2 10 +
u
+ −4 −1 t −1 1 1 −4 (−4)2 + (−1)2 + 12
r
122 + 332 + 152 √
= 81 = 9
18
Svar: Det sökta avståndet är 9
I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och
P0 = (x0, y0) vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret
d=
Håkan Strömberg
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
27
KTH Syd
BESTÄM PROJEKTIONEN
Bestäm projektionen
Uppgift 1
Bestäm den vinkelräta projektionen av ~u = (14, 21, −7) i riktningen ~v = (2, 6, 3)
Lösning:
Plan:
1 Bestäm en enhetsvektor ~r i samma riktning som ~v
2 Beräkna ~u ◦ ~r
3 Beräkna (~u ◦ ~r)~r
Genomförande:
1a |~v | =
√
22 + 62 + 32 =
√
49 = 7
1b
~r =
2 Beräkna
~u ◦ ~r = (14, 21, −7) ◦
3 Beräkna (~u ◦ ~r)~r
Svar:
38 114 57
,
,
7 7 7
Håkan Strömberg
2 6 3
19
, ,
7 7 7
2 6 3
, ,
7 7 7
2 6 3
, ,
7 7 7
=
= 4 + 18 − 3 = 19
38 114 57
,
,
7 7 7
28
KTH Syd
INNEHÅLL
Uppgift 2
Sök projektionen av vektorn ~v = (1, 4, −3) på vektorn ~u = (2, 1, 1).
Lösning
Plan:
~ har samma riktning som ~u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna där för
1 w
~ som en faktor k gånger ~u, alltså som w
~ = k~u.
w
~ + ~p = ~v leder till ~p = ~v − w
~ . Vi kan alltså uttrycka ~p med hjälp av w
~ och ~v.
2 w
~ och då är ~p ◦ w
~ = 0. En ekvation med k som
3 ~p ska vara vinkelrät mot w
obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera ~u
~
med för att få w
Genomförande:
~ = k~u = k(2, 1, 1) = (2k, k, k)
1 w
~ = (1, 4, −3) − (2k, k, k) = (1 − 2k, 4 − k, −3 − k)
2 ~p = ~v − w
~ ◦ ~p = 0 ger nu
3 w
(1 − 2k, 4 − k, −3 − k) ◦ (2k, k, k) = 0
2k(1 − 2k) + k(4 − k) + k(−3 − k) = 0
3k(1 − 2k) = 0
k1 = 0
k1 = 12
Nu har vi k och kan skriva
1 1
~ = 1, ,
w
2 2
Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn
(0, 0, 0) (nollvektorn) är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv!)
Håkan Strömberg
29
KTH Syd
BESTÄM PROJEKTIONEN
Uppgift 3
Sök projektionen av vektorn ~v = (1, 4, −3) på vektorn ~u = (2, 1, 1).
Plan:
Använd direkt formeln
~ =
w
~v ◦ ~u
~u
|~u |2
Lösning:
(1, 4, −3) ◦ (2, 1, 1)
(2, 1, 1)
21 + 12 + 12
1 · 2 + 4 · 1 + (−3)1
~ =
w
(2, 1, 1)
6
3
~ = (2, 1, 1)
w
6
~ = 1, 21 , 21
w
~ =
w
Håkan Strömberg
30
KTH Syd
INNEHÅLL
Vektorprodukt
Uppgift 1
Bestäm vektorprodukten av vektorerna ~v = (1, 2, 3) och ~u = (1, 1, 0)
Lösning:
Plan:
1 Ställ upp determinanten
2 Beräkna determinanten
Genomförande:
1 Vi har de tre enhetsvektorerna
~ex = (1, 0, 0)
~ey = (0, 1, 0)
~ex = (0, 0, 1)
och får determinanten
(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
1
2
3
|~v × ~u| = 1
1
0
(1, 0, 0) · 2 · 0 − (0, 1, 0) · 1 · 0 + (0, 0, 1) · 1 · 1−
− (0, 0, 1) · 2 · 1 + (0, 1, 0) · 3 · 1 − (1, 0, 0) · 3 · 1 =
(0, 0, 1)
− (0, 0, 2)
+ (0, 3, 0)
− (3, 0, 0) =
(0 − 0 + 0 − 3 , 0 − 0 + 3 − 0 , 1 − 2 + 0 − 0) = (−3, 3, −1)
Svar: (−3, 3, −1)
Håkan Strömberg
31
KTH Syd
LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN
Linje genom två punkter skär plan
Uppgift 1
Givet två punkter P1 = (1, 2, 3) och P2 = (4, −1, 6). Var skär linjen, genom dessa
punkter, planet 2x + 3y + 4z = 5?
Lösning:
Plan:
1 Ta fram linjens ekvation på parameterform.
2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t.
3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t.
4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation
Genomförande:
−−−−−−−−−−−−→
1 På vektorform får vi l = (1, 2, 3) + t(4, −1, 6)(1, 2, 3) som i parameterform ger

 x = 1 − 3t
y = 2 + 3t

z = 3 − 3t
2
2(1 − 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 − 3t) = 5
3
2(1 − 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 − 3t)
2 − 6t + 6 + 9t + 12 − 12t
20 − 9t
t
4
= 5
= 5
= 5
= 53




x = 1 − 3 · 35 = −4




y = 2 + 3 · 53 = 7






 z=3−3· 5−2
3
Svar: Den eftersökta punkten är (−4, 7, −2)
Håkan Strömberg
32
KTH Syd
INNEHÅLL
Planets ekvation för tre givna punkter
Uppgift 1
Tre punkter P1 = (1, 3, 0), P2 = (3, 2, 1) och P3 = (3, 3, 2) är givna. Bestäm planets
ekvation på normalform.
Lösning:
Plan:
1 Bilda två vektorer ~v och ~u med hjälp av de tre punkterna.
2 Eftersom de bildade vektorerna ~v och ~u är parallella med planet är ~v × ~u en
normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor ~n.
3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten.
Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna.
Genomförande:
−−→
1 ~v = P2P1 = (1, 3, 0) − (3, 2, 1) = (−2, 1, −1) och
−−→
~u = P3P1 = (1, 3, 0) − (3, 3, 2) = (−2, 0, −2)
2
3
~ex ~ey ~ez
~n = ~u × ~v = −2 1 −1
−2 0 −2
= −2~ex − 2~ey + 2~ez = (−2, −2, 2)
−2x − 2y + 2z + d = 0
när vi till exempel sätter in punkten P1 = (1, 3, 0) får vi
−2 · 1 − 2 · 3 + 2 · 0 + d = 0
får vi d = 8
Svar: −2x − 2y + 2z + 8 = 0 eller varför inte 2x + 2y − 2z = 8
Håkan Strömberg
33
KTH Syd
SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER
Skärningen mellan två linjer
Uppgift 1
Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna
l1 = (1, 2, 3) + (4, 5, 6)t
och
l2 = (−1, 4, 4) + (2, 7, 7)t
Lösning:
Plan:
1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform
2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna!
3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta
4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t
5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles
skär verkligen ekvationerna varandra.
6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra
för att erhålla skärningspunkten.
Genomförande:
1 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = (−1 + 2t, 4 + 7t, 4 + 7t)
2 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = (−1 + 2s, 4 + 7s, 4 + 7s)
3

 1 + 4t = −1 + 2s
2 + 5t = 4 + 7s

3 + 6t = 4 + 7s
4
1 + 4t = −1 + 2s
2 + 5t = 4 + 7s
ger = −1 och t = −1 (behöver förstås inte vara lika)
5
3 + 6(−1) = 4 + 7(−1)
− 3 = −3
Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt.
6 Vi använder t = −1 i l1 och får
(x, y, z) = (1 + 4(−1), 2 + 5(−1), 3 + 6(−1)) = (−3, −3, −3)
Svar: Skärningspunkten (−3, −3, −3)
Håkan Strömberg
34
KTH Syd
INNEHÅLL
Planets ekvation
Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna
Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor ~n = (1, 2, 3) till planet och
en punkt P0 = (4, 5, 6) som ligger i planet
Lösning:
Plan:
1 Använd formeln med normalvektorn ~n = (A, B, C) och P0 = (x0, y0, z0)
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
2 Förenkla uttrycket för att nå fram till
Ax + By + CZ = D
Genomförande:
1 Insatt i formeln får vi
1(x − 4) + 2(y − 5) + 3(z − 6) = 0
2 Förenkling
1(x − 4) + 2(y − 5) + 3(z − 6) = 0
x − 4 + 2y − 10 + 3z − 18 = 0
x + 2y + 3z = 32
Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32
Håkan Strömberg
35
KTH Syd
PLANETS EKVATION
Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna
Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2) och riktningsvektorerna ~v = (3, 1, 2) och ~u = (2, 6, 4) är givna.
Lösning:
Plan:
1 Med punkten P0 = (x0, y0, z0) och riktningsvektorerna ~r1 = (a1, b1, c1) och
~r2 = (a2, b2, c2) får man ekvationen med hjälp av följande determinant
x − x0 y − y0 z − z0 a1
b
c
1
1
a2
b2
c2 Genomförande:
1
x−1 y−2 z−2
3
1
2
2
6
4
=
(x − 1) · 1 · 4 + (y − 2) · 2 · 2 + (z − 2) · 3 · 6−
(x − 1) · 2 · 6 − (y − 2) · 3 · 4 − (z − 2) · 1 · 2 =
−8(x − 1) − 8(y − 2) + 16(z − 2) = −8x + 8 − 8y + 16 + 16z − 32 =
−8x − 8y + 16z − 8
Svar: Ekvationen kan skrivas −x − y + 2z = 1
Den här metoden kan användas även för
• 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer
• 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna.
Håkan Strömberg
36
KTH Syd
INNEHÅLL
Avstånd från punkt till plan
Uppgift 1
Bestäm avståndet från punkten P1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y +
4z + 5 = 0.
Lösning:
Plan:
1 Bestäm normalvektorn ~n till planet
2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P1 och har riktning ~n
3 Bestäm linjens skärningpunkt P2 med planet genom att ersätta x, y och z med
motsvarande uttryck i t.
4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten
5 Bestäm avståndet mellan P1 och P2
Genomförande:
1 Normalvektorn är ~n = (2, 3, 4)
2 Den sökta linjen l har ekvationen
(x, y, z) = (1, 2, 4) + (2, 3, 4)t
3
Vi skriver den på parameterfri form

 x = 1 + 2t
y = 2 + 3t

z = 4 + 4t
2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + 4(4 + 4t) + 5
2 + 4t + 6 + 9t + 16 + 16t + 5
29t + 29
t
4
=
=
=
=
0
0
0
−1

 x = 1 + 2(−1) = −1
y = 2 + 3(−1) = −1

z = 4 + 4(−1) = 0
Skärningspunkten P2 = (−1, −1, 0)
5 Avståndet mellan P1 och P2 är
p
√
√
d = (1 − (−1))2 + (2 − (−1))2 + (4 − 0)2 = 4 + 9 + 16 = 29
Svar: Avståndet är
Håkan Strömberg
√
29
37
KTH Syd
AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN
Uppgift 2. Alternativ
Bestäm avståndet från punkten P1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y +
4z + 5 = 0.
Lösning:
Plan:
1 Med punkten P0 = (x0, y0, z0) och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0
kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel:
Ax0 + By0 + Cz0 + D d = √
A2 + B2 + C2 Genomförande:
1
Svar:
√
29
Håkan Strömberg
2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 4 + 5 29 √
√
d=
= √29 = 29
22 + 32 + 42
38
KTH Syd
INNEHÅLL
Planets ekvation på parameterform
Uppgift 1
Tre punkter är givna P1 = (1, 2, 3), P2 = (4, 5, 6) och P3 = (7, 7, 7); Skriv planets
ekvation på parameterform.
Lösning:
Plan:
1 Bilda två vektorer, ~r1 och ~r2, med hjälp av de tre punkterna.
2 Välj ut en av de tre punkterna
3 Ställ upp planets ekvation
Genomförande:
1
−−→
~r1 = P1P3 = (7, 7, 7) − (1, 2, 3) = (6, 5, 4)
−−→
~r2 = P1P2 = (7, 7, 7) − (4, 5, 6) = (3, 2, 1)
2 Vi väljer punkten P2
3

 x = 4 + 6t + 3s
y = 5 + 5t + 2s

z = 6 + 4t + 1s
För varje val av s och t får vi en punkt i planet.
Håkan Strömberg
39
KTH Syd
LIGGER PUNKTEN PÅ LINJEN?
Ligger punkten på linjen?
Uppgift 1
Ta reda på om punkten P = (1, 2, 4) ligger på linjen

 x = 5 + 8t
y = 5 + 6t

z = 6 + 4t
Lösning:
Plan:
1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen.
2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen
Genomförande:
1 1 = 5 + 8t ger t = − 12
2 5 + 6(− 12 ) = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt. 6 + 4(− 21 ) = 4, så
även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två
undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen.
Svar: Punkten ligger på linjen
Håkan Strömberg
40
KTH Syd
INNEHÅLL
Bestäm arean till parallellogram
Uppgift 1
Bestäm arean till det parallellogram som ’spänns’ upp av vektorerna ~v = (8, 2, 7)
och ~u = (7, 8, 3).
Lösning:
Plan:
~ = ~v × ~u
1 Denna area A = |~v × ~u |. Bestäm först w
2 och därefter |~
w|
Genomförande:
1 Uppställningen av ~v × ~u ger
~ex ~ey ~ez ~ = ~v × ~u = 8 2 7 =
w
7 8 3 = 2 · 3~ex + 7 · 7~ey + 8 · 8~ez − 7 · 8~ex − 8 · 3~ey − 2 · 7~ez =
(6 − 56)~ex + (49 − 24)~ey + (64 − 14)~ez = (−50, 25, 50)
2
A=
p
(−50)2 + 252 + 502 =
√
5625 = 75
Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e.
Håkan Strömberg
41
KTH Syd
BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN
Bestäm skärningen mellan två plan
Uppgift 1
Bestäm skärningen mellan planen 4y − x − z = 3 och 3x − 11y + 3z = 6.
Lösning:
Plan:
1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och
y.
A1x + B1y + C1t = D1
A2x + B2y + C2t = D2
2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen
Genomförande:
1
−x + 4y − t = 3
3x − 11y + 3t = 6
2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y − 3 − t. Detta
resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y
3(4y − 3 − t) − 11y + 3t = 6
12y − 9 − 3t − 11y + 3t = 6
y = 15
Svar:
y = 15 insatt i x = 4y − 3 − t ger x = 57 − t. Vi har nu x, y och z uttryckta i
t och kan skriva linjens ekvation

 x = 57 − 1 · t = 57 − t
y = 15 + 0 · t = 15

z=0+1·t =t
Håkan Strömberg

 x = 57 − t
y = 15

z=t
42
KTH Syd
INNEHÅLL
Bestäm vinkeln mellan två plan
Uppgift 1
Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x + 3y − 8z = 3 och 9x + 4y + z = 8.
Lösning:
Plan:
1 Ta fram normalvektorerna ~n1 och ~n2
2 Beräkna normalvektorernas norm, |~n1 | och |~n2 |.
3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln.
~n1 ◦ ~n2
θ = arccos
|~n1 ||~n2 |
Genomförande:
1 ~n1 = (5, 3, −8) och ~n1 = (9, 4, 1).
√
√
p
√
2 |~n1 | = 52 + 32 + (−8)2 = 98 och |~n2 | = 92 + 42 + 12 = 98
3
θ = arccos
45 + 12 − 8
(5, 3, −8) ◦ (9, 4, 1)
1
π
√ √
= arccos
= arccos =
98
2
3
98 98
Svar: Vinkeln mellan planen är 60◦
Håkan Strömberg
43
KTH Syd
BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN
Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan
Uppgift 1
Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen

 x = 3 + 2t
y = 4+t

z=9+t
Lösning:
Plan:
1 Ta fram en normalvektor ~n till planet
2 Bestäm längden hos ~n
3 Ta fram en riktningsvektor ~r till linjen
4 Bestäm längden hos ~r
5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan ~r
och ~n.
~n ◦ ~r
α = arccos
|~n ||~r |
6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 − α
Genomförande:
1 ~n = (5, 3, 8)
√
√
√
2 |~n | = 52 + 32 + 82 = 98 = 7 2
3 ~r = (2, 1, 1)
√
√
4 |~r | = 22 + 12 + 12 = 6
5
(5, 3, 8) ◦ (2, 1, 1)
√ √
α = arccos
98 6
6 θ=
√
π
21
3
3
=
= arccos √ = arccos √ = arccos
2
6
14 3
2 3
π π
π
− =
2
6
3
Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60◦
Håkan Strömberg
44
KTH Syd